S'-J^[(A,+A,)(C.-C)-HA.+A.)(C.-C,)-(A.+A,)(C.-C
ou bien, sous la forme d'un déterminant, Al, Ai, a.
~aS-2sioP
Al
Cl,
c, Cl, Cl
On peut remplacer chaque terme de la seconde suite horizontale par 2S -f- oAi+eCi, 2S4-aAi+eCi, aS+oAt+cCi, c'est-à-dire, k cause de la relation — oA — bS — <^ = 2S, par les quantités — &B|, — 6Bt, — &Bi. Donc, on aura finalement, au signe près,
oie SS'
Bi, C,
2S. 2 sin p
Ex. a. Trouver Im coordonnëei triangulaire* du somiMti du trûiDgle de tiUrmtt. R. Poorlepoiiita, «0,0 ou — k„o,Oi
• ï. 0.0, on 0,0, — A,.
Ex. •. Itimt calcul pour loi milieux iei côiéi.
D,gnz.dbvC00gle
Pour le milieu du ejté A, od ■ produit de b par B ut le double de OD a doue : — 6B ^ Sj de même, -
l'tbord A ^ o ; ensuite, peur ce mime point, Il surface de le moitié du triuigle de r^éreDce; eC^S. Les coordonnées du point milieu de A
; et celle* des milieux des deux s
Es. S. Quelles sont les coordonnées du centre du cercle iiuerit an briuigle de
" " (o4-fc+e) a + 6 + c
Kl. 4. TrooTer les coordonnéei da centre du cercle eirconserit.
Sr estlenyon de ce cercle on a :A^reoia, B^rcos^, C^=reosy.
ST. Toute droite têt reprétentée par une équation du premier degré et homogène entre les coordonnée» triangulaires.
Eu effet, soient (A, B, C), (A., Bi, C,), (Ai, Bi, Ct) trois pmnts d'une droite dont le premier est variable et peut être pris à volonté sur cette droite. L'flire du triangle formé par ces trois points est nulle; de sorte que les coordonnées A, B, C d'un point quelconque de la droite satisfont & la relation (N'Se)
ii l'on pose
Bi, C.
n= I Cl, A.
l'ëqaation d'une droite est de la forme
/A + mB + nC = o.
Réciproquement toute équation homogèoe du premier degré représente une ligne droite; car elle est aussi de premier degré en x et y, d'après la signification des fonctions A, B, C.
Dans le cas particulier où les coefficients l, m, n, sont remplacés par a, b, e, on a l'équation
flA + 6B4-cC = o,
D,gnz.dbvC00gle
qui revient n une voDStaote sS égalét ù téro; elle définil donc uae droite située à l'infini dans te plan. Si on substitue aux c6tésa, 6, c les sinus des angles opposés, l'équation précédente peut être remplacée par
A sin a -f- B sin |3 + C sin y = o. L'équation du premier degré entre les coordonnées polygonales
M+mB+nC + pD^ |-rR = o
représentera une ligne droite, puisqu'elle est aussi du même degré par rapport aux coordonnées cartésiennes x ety; mais, comme elle renTermc plus de deux constanteg arbitraires, on voit que, dans rc système, iinc droite pourra être représentée d'une infinité de manières par une équalion du premier dt^ré.
i§. Trouver l'équation d'une droite renfermant les perpenMcutairet p, q, r abaiesies de* xommelt du triangU de référence mr celle droiU. Soit D une droite ayant pour équation
/AH-mB + nC = o.
Menons par les sommets a, (i, y les perpendiculaires/*, q, r; appelons Al, Bi, Cl les coordonnées du point I où la droite rencontre le coté B. On a B( = o, et /Ai -f "Ci = o. D'où
t Cl Iiz-sîna psiax
n~ A," Ij-siny'^rBinî.
en attribuant 11 p et r des signes contraires. On trouvera au moyen du point r
l psioa m f sin (3 D'où, on déduit,
p sin « q sin j3 r sin j '
donc, si on substitue les côtés a, b, c aux sinus, les coefficients l, m, n de l'équation de la droite sont proportionnels à ap, bq, cr, et on peut écrire
odA + 6oB + erC = o, ou ^A+i-B4-^C = o. Al ht A(
Ces II 'équation demandée.
D,gnz.dbvC00gle
Comme la droîlc D est dcterminée de posilion avec deux pcnpendicuEaircs, il doit exister une 1
rclalion entre les quantités p, q, r. Pour la déterininer, menons par un point M de la droite, Ha, AI6, Me respectivement paralièles aux côtés A, B, C; appelons 6, 9 et <^ les angles IHa, III6, lUc comptés daDS le même sens à partir
de MI. On aura, eu égard aux Fig. n. '
sif^nes,
t] — r = a sin 0,
r — p = b sin <p,
p — q^esm<if.
Mais ç — fl^TT — yctiji — ç^n — a; d'où sin 9 == — sin{ip-|-j')
cl sin iji ^ sin (a — 9), On en lire
gin 6 ^ — sin !p cos y — cos <p sin y; par suite,
(sin 6 + sin (p cos y)' = (i — sin' ç) sin*)'; et, finalement,
(y) sin* 6 + sin' 9 + 2 sin S sin 9 cos y = sin' y. On trouvera de même
(a) sin' 9 + sin' if" + 2 sin 9 sin ij/ cos a ^ sin' «; et, par analogie,
(p) sin* 4" + sin* 6 + 2 sin ij; sin 6 cos P = sin' |3. Si on sufasitue aux sinus leurs valeurs dans l'une des équations précédentes, par exemple dans l'égalité (a), on aura
fr-p)- fcii)!4.,('-y)()' -1) ,„,.,!„■ .,
6* e* oc
ou
fr' (p — qY + c' (r — pY + afcc (r — p) (p — q) cos a = 6'c' sin* a.
D,gnz.dbvC00gle
En développant, il vient
6»(j'-j-c'r'-J-e'p*-l-6»p'— 26*^5)— 26'fif4-(rp—ry— p»-fpg) (**+«•— «*)
= fr'e' gin' «, ou bien,
<iy+6V+eV'~îr(fr'+c'-<i*)-fy(a'+c'-6')-pî{a»+6*-c*)
= b*e^ sin' a, c'est-à-dire, '
a^* + ft*î* + c*!* — ibeqr cos a — 2007) cos P — ^abpq cos jt = ^.
n mettre lous U forme
Pour abréger, nous indiipierons ee résultat pur U notation \<q>, bq, er\ = 2S, on
SV. Chercher réquation d'une droite ftnpMsepar un point {At, Bi, Ci). Les coordonnées A, B, C du point qui décrit une droite satisfont anx équations
f A + mB 4- nC = o, — aA — 6B — cC = 2S.
Pour le point particulier (Ai, Bi, Ci), on a les relations lAi -f mBi + nCi = o, — aAi — 6B, — cCi = 2S.
Par la soustraction des équations membre à membre, on obtient /(A — Ai) + m(B — B,) + ti(C — Ci)-=o, „(A - A.) + 6(B - B.) + e(C - Ci) = o; d'où on tire les égalités
D,„„.db,Coogle
dans lesquelles X, ft, v sont proportionnels aux déterminants
c'esl-à-dlre que les constantes X, pL, v doivent satisfaire aux équations
ak -^ b(ji -{- CD ^ o.
Soit{fig. 30) D une droite qai passe par un point M (Ai,Bi,Ci), etPnn point variable ayant pour coordonnées A, B, C; menons, par ce dernier, de* perpendiculaires sur Ha, Mb, Uc. Si p représente la distance HP, on aura
PA A — A, PM p '
de mfme
ElD ip = , sin ili =
Donc, ea admettant que A, /x, v soient les sinus des angles 9, <f et iji, on peut égaler chacun des rapport {k) à p, et les équations d'une droite qui passe par un point seront :
rt) A-A,^B — B.C-C.
En vertu des relations (a), 0), (y) du nnmëro précédent, les constantes )^ fietv satisfont aux équations
a> + fcfJL + ev = o, (*•-[-»' 4- Sf*" ws « = sin* «, V* -f- ^* + 21"^ cos P = sin* |3, i* -j- f* + SfxX cos/ ^ sin* y;
oa enewe i toute antre condition obtenue par une combinaison quelconque de ces équations. Si l'on roulait, par exemple, troarer une seconde relation symétrique en i., ft et v, on prendrait
aX + 6f* -4- ^ = o (*• + v' + aftw cos a ES sin* a.
D,gnz.dbvC00gle
En transposBDl et élevant au carre, on tire de la première
(J*Jt fftfjt gtyW
6y*-)-e*i'* + 26cftv = a'A*; d'où 2fiv^ — '■ j^
Si on substitue dans la seconde, on aura
6eu* + bev* ■+■ (a*i.* — 6';** — c*v*) cos x = bc sin* « ; d'oii
a' A» cos (c 4- ^f' + 6*** — (* V* + ^**) { — ^^-j, ) = 6e «in' a,
ou bien
a,*).* cos « + f*'"' cos P + w'oc cos y = 6c sin* a . Or, a, A, c sont proportionnels aux sinus des angles a, P, y et on peut écrire
A*sîn acosoE + fi' sin j3cos ^-]-v*sin7Cos^ ^sinasin ^sin^'; par suite,
i.* sin 2a- 4- ft* sin 2|3 4- ^* Gin 2/ ^ 2 sin a sin ^ sin y.
Il faut remarquer que toutes ces relations entre ^, fi et k ne foment que deux équations distinctes.
