PROBLÈMES

••■ Déterminer le point tfùitersection rfes droifet /A + mB + nC = o,

. A B Il faut résoudre ces équations par rapport a t^ et r; ; on aura

-oA-tB-«C

— a 1 in,

Il -»|., 1 -«1

D,„„.db,Coogle

11 est facile au moyen de ces relations d'ëcrire les valeurs des inconnues A, B, C. La côbdition du parallélisme des deux droites sera b, < /, ffl, t

•1 . Trouver la eoadition pour qu« les trois JroittB lk-\-mB-\-nC='0, l'A -\- m'B+fl'C = o, /"A4-m"B-|-B"C = o pattentpar un mime point.

n faut que ces trois équations soient satisfoites en même temps par un système de valeurs pour A, B et C, et, par coDséqueat, que le déterminant de ces équations soit nul.

Autrement, les droites concourent en ud même point, si l'on peut trouver trois constantes k, k', k" telles que l'on ait identiquement

t{(A4-mB+nC)+it'(rA-fm'B+n'C)+it"(/"A+m"B+«"C)=o; car les coordonnées du point d'intersection des deux premières annulent les deux premières parenthèses et elles devront aussi annuler le trindme de la dernière; donc ce point est commun aux trois droites.

Bi. 1. Les biueetrice* ifuD triangle pauent par au même point.

Toute droite qnî piue par le «ommet (■) du triingle de réf<érflne« ■ une ëquition de h

f6niienB-t-aC = o;onen tire-— — •— . Le rapport des coeffidenta metN eit ëg*]

«I da signe contraire tu rapport algébrique des perpeudîenliires atuiasées d'an point de la droite inr les eôt^ C et B; pour une bissectrice, ces perpendiculaires sont ^alet,

et — ^ — I ; par suite, les équations cherchées seront ;

B-C = o, C-A = o, A — B — o; leur somme est identiquement nulle.

Ex. ». Les perpendiculaires abaissées des sommets sur les côtés opposés concourent on on même point.

On trouTora, pour la perpendiculaire issue dn sommet (a), —^= -t et son

équation sera: Bcos^— CcDay<soi de même, pour les autres, on aura: Ccosy — Acosa^O, A coa x — B eoi ^ = o. L'addition de ces équations donne o bio. El. 1. Les médianes se coupent en un même point.

Panrlamédianeducâlé|i-/, ona: — = : — , et son équation est: Bsin^Cainr=o;

pmr les deux antres, on trouvera : C sin y — Asinn^o, Aains — Bsin^^O. Si an ajoute membre k membre, on a O ^ o.

D,gnz.dbvC00gle

Ex. «. Les bittedriew itt angles extjrienr* d'un triangle reneoutreat l«f tMt oppofà en troii pointl aitait ea ligna droite.

Leiëqnttions de cm biueclrices sont; (i)B + C^o, (3)C-I- A^o, (3)Ah-B^o; ellei rencontrent les eâté* A, B, C du triangle en trois pointe qui m trouTcot f nr la droite A -»- B + C = o.

El. k. Par les sommets d'un triangle, on mine trois droilei qui se eonpent en un point; elles reneontreut les cAlês du trisngJe en trois points I, F, K. Hontrer que les droites IF, PE, Kl rencontrent les eâtés eu trois points en ligne droite.

Les équations des droites qui passent par les sommets et qui concourenl en nu même point sont de la forme

(I) «B — nC=o, (a) nC — iA = o, (3) lA — mB = Q. Pour le point F, Intersection de (3) avec le cité C, on a

C = o et JA— mB = o.

De même ponr le point I, intersMiion de (i) avec A, on a aussi

A=o et mB — nC=o.

L'ëquatioo de la droite IF est donc

(IF) (A-mB+iiC = o.

On trouTen ponr les deas antres

(FK) — U + MB-i-nC = o,

(IK) a + mB — «C = o.

Cela étant, pour les points d'intersection de ces droites avec les eél^ on a B = o, (A — mB + iiC=o, A = o, — JA + mB + «C — o, C = o, U + mB— iiC=o.

Si on mnltiplie les premières équations par ans, si, 2n et si on aujonte membre 1 membre, on voit que les trois points d'intersection se trouvent sur la droite fA + mB + »C = o.

n résulte de cette propriélë nne construction géométrique de la droite JA-HnB+nCso. On prend, dus le plsn, le point 0 déterminé par les relations

JA ii> mB = nC, «t on le joint aux sommets du triangle par les droites (3), (2), (i) ; soient F, E, 1 leurs points d'intersection avec les côtés a^, af, py : les lignes FK, Kl, IF vont couper respectivement les cétés yfi, fia, rr aux points ■', ■/', ^ qni appartiennent à la droite U + mB -I- «C = o.

Ex. •. Étant donnée la droite IA'vmB+nC=o, construire le point /A=mB=«C Soient A', B', C les points où la droite donnée reneontre les cAlés j»-/, yt, afi; si on réunit ces points aux sommets du triangle, on aura trois droites aA', ^B'.ïC ayant pour équations

(«A'I mB + hC = o, (^B*) nC + lA = o, (7C') /A -^ mB = o ;

dësignoni par C", B", A" lu points d'inteneclion dei droite* aA', fiff ;ak',yC'i pB', tC ; si on tire les lignei A"a, B"^, C'/j elles se couperont eo on même peint qui sen le point cherché ; car il est facile de vériBer que les droites A"a, B''^, C'y sent représenlëes par

nB — tiC = o, kC — JA = o, lA — mB = o.

Ex. *■ Montrer qne les droites qui passent par on même point et par les sommets d'un triangle déterminent, aar les cêtés, lii segments dont le produit de trois non conséeutifs est égal au produit des trois antres.

Suent (i| mB — nC = o, {3) nC — tA = o, (3) JA ~ mB = o les droites, et o, A, e

les points où elles reDCootrent respectivement les cAtés A, B, C. Ponr le point a on a :

m C as sin a , , n b/ siny l eafiia a , . ,- .

— = = ^ : — ; ou trouTera de même :-;=■; — : — et -= : — : en moltipbant,

K B a-/ sin 7 J 63 sin B m 0^ sin j9

Kl. m. Quand deni triangles sont tels qne les cAtés se coupent deux à deox en trois points situés snr une ligne droite, les droites qui joignent les sommets deux i deux conconrcnt en un m^me point.

Soient afif, b' ^ / les deux triangles et

(H) JA+ mB-i-NC=o,

la droite qui renferme les pdnisd'inlerseelion des côtés A et A'iBetB', C et C. L' équation du c6lé A' sera de 11 forme

lA+mB-*-nC + kA = o, car il passe par le point d'intersection de A et H; cette équation peut s'écrire (A') f'A-t-mB-i-nC = 0.

On trouvera également

(B*) IA + m'B-MiC=o

iC) M-t-«.B-*-n'C=o.

S on retranche ces équations membre k memhre, on obtient (C/)A + (m— mOB = o, (m'-m)B-H(»-«')C = o, y-OA + K-«)C=o.

Ces droites passent parles sommets a', /S*, y' du second triangle, puisque ces équations proviennent des précédentes par aouslraetion ; de plus elles passent aussi par les sommets «, fi, 7. Ces trois droites concourent en un point : en ajoutant ces équations, eu

Deai triangles qui jouissent de cette propriété sont appelés Aomolof ijuet; la droite B est Vaat d'hûiHologic et le point de concours des droites xx', ^^', 7-/' en est le rtntrt.

PoNciLiT, Traité 4a prop.proj. 4ti fig. p. ISl, a établi la théorie des figures bomologiqnes et son application a la recherche des propriétés des lignes.

D,gnz.dbvC00gle

- Si •

•cUcélèAdK

•9 . Trouver Pangle S if une droite /A -(- niB -J- iC ^= o n triangle de rifirenee.

Si on mène par le sommet y une parallèle à Ift droite donnée, soo équation est

A — *B = o, avec la condition

— jfc, o

Mais on a

me — bn = {na — ïe) k; d'où il = sine

sin (y — 9) ' l'équation par rapport à tang 0, on trouve A sin y

en développant et résolvant

tangS

cosj- Si on remplace k par sa valeur, il vient

(me — fi6) sin y (m sin y -

(no — le)-\-(me — n6)cosy nsina — /siny-f-(»«siny — »sin^)cosy* et, finalement, en remarquant que

sin « = sin (P -f- y) = sin j3 cos y + sin y cos |3, on obtient

- m sin y — » sin S

m cos y + fl cos p — ( •S. ïy«nierfflnj/ede»rfrotlM/A+mB4-nC=o,('A+m'B+»'C=o. Soit V l'angle des droites, S et 6' les angles qu'elles font avee le cAté A. On a : V = 6 — 6% et, par suite,

tanBV= '"Se-t»"»"'

UngV =

-f- lang G taug G'

on remplace tang S et tang 9' par leurs valeurs, on aura I

(msiny — ns\a^){m'&tsy-\^H'eosp — l') — (m'siny — n'siDPXtico8y-|-neos^) (mcosy-j-ncosp — l){m 'cosy+n 'cos(3— ^ )-\-{m siny — nsi n fJ)(™ 'siny — n'âi^) En développant, on pourra mettre cette expression sous la forme,

/(m'siny — ii'Binp)4-w(»'sina — l'siay)-{~n{l'sia^ — m' sin a) II' +mm' -\~nn' — (mn'-|-m'n)cosa — {nl'-}-n'l)coap — {lm'+l'm)c

D,gnz.dbvC00gle

lit condition de pcrpendicuUritë des deux droites sera tt'+ntm'+iin'— (mn'+m'n)co8« — (n^+n'Qcosp — {lm'+l'm)eoay=o, on /'(' — « COsP — mcosj')-j-m'(m — ncoset — lcosy)-{~n'(n — mcosa — /cosP)'=o.

•4. Chercher l'expreaiion de» perpendieuîaù-es abaùsées de» »ommft» du triatigh de référença tur la droite lA + mB + nC = o. Soient p, 9, r ces perpendiculaires. Oa a (N* S8) ap bq cr l m n' chacune de ces fractions est égale à la suiTante : l <g>, bq, er ] 2S

\l,m,n\ |ï,m,ttj" Oo a donc pour les perpendiculaires

a \l,m,ni' " b | /, m, n ( ' c W, m, n l

•S'. Trouver la perpendiculaire abaiuée d'unpoint (Ai, Bi, Ci,) sur h droite igtA + bqB -]- erC = o.

Menons, par le point (A|, B,, Ci), une parallèle & la droite donnée et

appelons P la perpendiculaire cherchée. Les distances de cette parallèle

aux sommets du triangle de référence sont p — P, q — P, r — P, ou

bien, p-l-p^y-i-p, r + P; l'éqoalion de eette droite sera

Comme clic passe par le point (Ai, Bi, Ci), on a

a(p±P)A, -|-fc(çr±P)B, + e(r±P)C,=0.

D'où l'on tire

<yA« 4- bqBi + crCi ayA, + bqii + erCt

~ — oAi — 6B1 —cCi~ 2S

Si l'équation de la droite donnée était de la forme

D,„„.db,Coogle

on aurait simplement

••. Qvelle est l'expression d« la distance d'un point (Ai , B< , Ci) d la droite (A + mB + nC = oî

Si on écrit l'équation de la droite sous la forme apA -f- bqK + erC = o, on a

aS En remplaçant p, q, r parleurs valeurs (N' 64), on trouve

•7. TVouver IatIùtanceentre^(Ieuxpoin(s(Ai, Bi, Ci,), Ai, Bt, Ct). Une droite qui passe par le premier point est représentée par A — A,B — B, C — C,

si elle passe par le second, on a les relations

At— Al B«~B, Ci— Cl

. On en déduit

(Al — Al)* sin 2a + (Bi — BQ' sin 2^ + (Ci — C«)' sin gy ^ , X* sin 2« + f * sin 2^ + v* sin zy ° '

ou bien (N-> ^9),

, (Al — Ai)*sin2.n + (B« — Bi)*5in2P + (Ct — Ci)*sin2y ° 2 sin ût sia p sin y

•8. TVouver Njualion (^ ta perpendiculaire abaitMée tCun poitU {&,,Bi, Cl) sur la droite lA + mB + nC=o. La droite est représentée par

A — A, B — B, C — Cl

D,gnz.dbvC00gle

avec les conditions

ai -)- 6fi + CT = o l'X + m'ft + n'v = o; l't m', n' sont les coefficients inconnus qui entrent dans l'équation /'A-^m'B-)-»'C = o de cette droite soub la forme ordinaire. La condition de perpendicularité est (N* 63)

F{1 — n cos fi — meosy)-\-m'(tn — n cos a — leosy) + n' (il — ffi cos a — / cos |3) = o . Par la comparaison de ces relations, on voit que A, ft, v sont proportioanels k

l — nco8|3 — mcoBy, m — ncosa — Icosy, n — mcosa — /cosjS; et les équations de la perpendiculaire seront :

l — mcos7 — ncosj3 m — ncosa — leosy n — f cosp — meosa Exeroloes.

Es. 1, Trouver l'éqnatîon de la droits meaée par lis deux pointa ABC ABC

\ i.' p' ■/ \ El. •. Qn«lJe ut r^ttion de la draita menée p*r un point et rinterseetion de deux antres f

JA + wB+nC fAH-w'B + n'C lA, + mB, + »C, ~ f A, + m'B, ■*■ n'C, " Ex. S. Qael est le nppwt de*»egiiieiitsqne la ligne JA-t-MB-f-itC^odéleriiiiite sur b droite qm passe par lei point! (A„ B|, Ci), (A|, B,, Ci)?

Bx. 4. IMtemÙDer les coordonnées do point où la droite U + mB-t-oC^o rencontre lei eélis dn triangle de référence. Pour le côté As o, on tronvera

me — nb «6 — me

Ex. K. ^oiiTer l'équation de 1t droite passant parle point d'intersection des lignes A^CcM^, B:=Ccosaetle point de référence 7.

B. A cos a ^ S cos |S.

D,gnz.dbvC00gle

Ex. •. Uuell« Mt il sorftce du Iriingle dont le» tommeU coîncideDt ai de< titét da tritngle d« Tétirtaet ?

£x. f. Écrire r^atioo générale des droites pwallèleii /A •t-mB-t-mC = 0. R. lA -i- mB + mC + 1 (oA + tB -t- eC) = 0.

El. •■ Trouver la candiiioo pour que la droite U -i- mB -i- nC = o wit paralWe u edt^ A dn triangle de réKireoei.

R. me — «b^o.

Ex. •. Les droites A-)-Ccosp=:0, B + C<oiai = o sont panllèles.

Ex. <■■ Chwcher les eoudîtionï pour que li droite U-t-nB + nC:=a soit perpendicalura aux eètit dn triangle de rtrërence. R. ( — ttcos^ — meoi7^0, m — ncosec — lcos7 = o, n — ncoscc — Jcos/9^a

Ex. II. L«s perpendiealairet élevées sur les milieax des cAlés du triaDgl«A>B.C^o mM représentées par les équations

Bsin^ — Csin7-»-Asin(fl — 7)=o,

C ain 7 — A sin a + B sin (7 — a) =z o,

A lin « — B stD |l -t- C ain (b — jt) = o. Ex. i«. EtoBt données le« droites

(I) U-«-mB + «C = o, (3) tA-*-mB — nC=o, (a) JA — tnB -i- «C = o, (4) JA — mB - mC = o,

on forme le* groupes (i, 2), (3,4)i U.3)- (a.4)i U,4).(a.3)i »ient P « P', Q et ff, R et R' les pointa d'intersection de ces lignes. Xontrer qae lea milienz des drmtet PP', 00', RR' sont sitDé* snr la droite

PA ^ «^ o ■** 6 "*" c ""■ Ex. as. Prouver que les tiont d'une droite avec lei tMt dn triumle de réHrenee satialbnt i la relation

lit m a -t- fi An p-t-i/A m y -t-àimûii fi tin y = 0t et que la dittance de doux points a pour ezpreaiiMi

(B,-B.)(C-C.)»ina+(C-C)(A,-A.)sin^-l-(A.-A.)(B,-B,)siny " siD a sin j9 sin 7

El. i«. Tronverlei sinnsdetangles d'une dr(HtetA-»-mB-»-<iC=aaTeele*cMét dn triangle de réiérenee. Les sinus cherchés satisfont aux équalioni il-HBi/i + n» = b, 1 sin d -I- ^ sin ^ -t- ( lin 7 =B ol

D,gnz.dbvC00gle

^(nitiu]i— nsin^XnsiDa — t^nTitiay*-- I «in P lia V 1 | lin y gm a | I sin i sin |$ |

En •imidifitiit U deroi^ frictioD, on trouven

Ex. IB. IWorflrraD^e de deai droites (), /i, •), (X', /, /). Soit O (A^, 8,, C,) laur point d'intenection j prénom nir chacune d'elles, i partir du point O, les Uingnenra OP = OQ = i. En dësienaot par A,,B,, C, ; A,, Bj, C, les coordoiuiéet des points P «t Q, on aura

A, = A,-t-i, P,=:B,-i-;«, C, = C,+.; A, = A,4-X'. B, = B,-H/.' C, = C, + /. De pins le trwngle OPQ donne . j.a„---p^*- (^-fO(— *')»in« + <.-/)(l->')sin^H-tl-x')Ot-^')»iiy

Enëgard aux relations

jHv sin a -t- «1 lin ^ -|- l/i lin ? = — sïo c( sin ^ md y, ^Vsina-H/l'sin P -4-l>'sin7^ — sinctiin Psiny,

' ~ ~ ïïmâ'L fl sin y '^^'''^ '/'') wn a -» {^l' -t- W) wn P -t- (V' H- .■^') «in 7]-

c. *•. Cherdier le cosiniu et le sinns de l'angle desdroites lÀ -4-mB-»->iC^o, 4-ni'B+n'C = o.

II' ■+■ mm' + m»'— (««' -i-iMn')cos a — (nJ'H-fnOcosP — (J«»' +n«f)cos7

sin a sfn S sin }

Ex. «*. Déterminer Fangle des dr<ûtes(i))A-»-ifB-»-erC=o,(^A-i-6f'B+i)p'C=o,

R. zS sin 7 =

D,gnz.dbvC00gle

Eï. m: Li droite ^A+£fB + erC = 0Mtperpeiidi<ti]ureaDG6téC, m i>—f=c. £x. !•. Let droite!

eU'A-Hi«'B+«'C=o

HDt perpeadicDliiras, si on • 1* relatioD

n-4-«V-*-ii'.=± [ t',m',n' \.

Ex. ss. Sar let millciu du cAtà d'uo Iriaogle, on élève des perpen^calurei proporlianuelles micAtéSietoii joiat leur* eitrëmitég «as sommets opposés da trini^ Montrer qne les trois droites ainsi obtenues te coupent en tm point dont les eoorden- D^et TMGenl l'JqtutioQ

Kn{a — y) un (r — h) sio (b — A

Ex. IX, Trouver les baateurs et letcdt^dD triuigle Ibnné par les draitM (i) JA + f»B + «C = o, (3) t'A + m'B + •■€ = o, (j) *"* -+• "«"B ■♦- «"C = o- Soit P| la haulenr relative an cote (c). On ann

lA ->- wB -t- wC

où les coordooDëes A, B, C satisfont aax équations

i'A+M'B-+-«'C=o, i"A + »i"B-i-n"C=o, oA -4- ftB + eC = — aS.

On atm des expressions analogues poor les hauteurs P«, Pc

Soit, maintenaot, p la longueur du cMë (i); on • évidemment p

D,gnz.dbvC00gle

substitnut ■ P| et 1 àa (i, 2) leon nleon, il vmidrt

a b t j «in a nn £t lia 7

Ex. as. Quelle e*t rex]wesnini de U mrftce du triangle de l'exemple précMmt?

a i e [ a b e abc

Ex. «a. Tnrover !■ lurfiee du lrîui|^e dont les etUt tant représenlêi pir «pA + fiyB-i-erCsïo 0|»'A + 6j'B + <t'C=o, op"A + 6î"B + (r"C=o.

pf ,' r-

. a«. Troorar l'aire dn triangle toaat par les droites

ftB-i<eC=o, RC-t-aA=o, aA-f'B~0.

§ 3. COORDONNÉES DE LA DROITE; tODJtTlOH DU POINT; COORDOKNËES TAnOENTlELLES EN CÉNfiRAL.

••. Considérons une droite mobile ayant pour équation (i) II* 4- uy + I = o.

A chaque système de valeurs attribuées aux paramètres, tel que w = « 11 = |3, correspond une droite déterminée; on dît que ces quantités sont les coordonnées de la droite^ puisqu'elles suffisent pour la construire dans le plan de la figure.

D,gnz.dbvC00gle

Toutes les droites fournies par IVquation (i), lorsqu'on donne è u et « des valeurs qui satisfont k la relation

(a) OM 4- '«' + I = 0(

passent par un point fiie; car si on élimine v entre (i) et (2), on trouve l'ëquation

{6x — ay)ii-}-6 — y^o qui renferme un coefScient indéterminé u, et représente une infinité de droites issues du point d'intersection des lignes

bx — 1^ = o et y — 6^0, c'est-i-dire du point a: = a, y = 6. 11 en résulte que toute équation de la forme (2) entre les coordonnées d'une droite mobile peut être regardée comme Féquation d'un point dont les coordonnées cartésiennes sont les coefficients de u et t.

En général, lorsque les coordonnées u et v satisfont à une relatioa f(u, v) = o, la droite ux 4- vy 4- 1 1= o doit se déplacer dans le plao suivant une loi déterminée; il faut regarder f(u, v) = o, comme déterminant une suite continue de droites dont les intersections successives forment une certaine courbe i laquelle elles sont tangentes. De là vient le nom de coordonnées tangmtùllea attribué aux variables u et v, tandis que la relation f{u, v) ^ o s'appelle IV^^uotion tangattieUe de U courbe enveloppe des droites ; elle détermine, en effet, les coordonnées d'une tangente quelconque k cette ligne.

Une même courbe est donc représentée en coordonnées pointe par 9 (x, y) = o, et en coordonnées %nes par /"(m, b) = o. Le degré de ç donne l'ordre de la courbe, tandis que le degré de /"donne la cloue de la courbe. Généralement les fonctions f et foal des caractères différents comme nous le verrons plus lard.

ï#. Quelle est l'équation du point qui divise la distance de deux points donnés en deux segments dont le rapport est égal à — ï Soient

(P) aiU + 6(W + r i= o et (Q) atu -j- 6it) + 1 ^ o les équations des deux points. Multiplions la première par m<, et la seconde par IHt; on aura, en ajoutant,

{mifli "1- miui) u 4- (mtbi 4- «iiM e 4- »•* + «i = o-

D,gnz.dbvC00gle

C'est réquatioD demandée: car elle représente un point qui a pour

coordonnées : x =

lHl -|-wit Pour le milieu de PQ, on aurait

(ai + ot) w -h (fci + 6ï) » 4- 2 = o. 7 1 . Trouver la sur face du triangle dont Us tomnut» »ont : aiu-^biv -\-ci ^o, UiU -{- btv -i- ct ^ oetaïu-l- btV-^ci =o. On sait que la surface du triangle des points (xi, jfi), (xi, yi), (xi, y») » pour expression

On trouvera pourl'aire du triangle donné, en remplaçaol yi , x« etc. par

ai, 6i,

71t. Trouver Céquation dupoinl ^intersection de deux droites données. Si (ui, «i), (ut, Vt) sont les coordonnées des droites et ou + 6» + I = o, l'équation de leur poiot d'intersection, on doit avoir les conditions aui -\-bvi -{-1 = o aut + bvi 4-1=0.

IToÙ

ri — Vt ut — ui «it)i — UïBi ' et l'équation cherchée sera

[Vt Vt)U -]- («i — Ui) V-|--<'lV« — "ï"! =0'

TS. Quelles sont les coordonnées de la droite qui joint les points UiU 4- tin 4- 1 = o, aiH 4- 6ip 4- I = o?

Les coordonnées de la droite qui passe par ces points doivent satisfaire

D,gnz.dbvC00gle

k la fois aux deux équations ; il faut résoudre celles-ci, en regardant u et r comme les iacoanues. Oosura

6i — fct oi — Si sib] — a>6i 74. Chercher t'exjtreanon de la dittanee du point au -{^ 6ti -)- 1=0 à ta dr(nU{ut, Vi).

La droite donnée a pour équation en coordonnées cartésiennes

MlJC + Biy + I =0.

La distance P du point (a, b) h cette droite sera représentée par

p^tt». + &«. + ! [/«.•+ t>,»

n importe de remarquer que le numérateur est le premier membre de l'équation do point où u et t? sont remplacés par ui, Vi j de Ui cette règle : Si on divise le premier membre de l'éqvation au ~\- bv -^ i ^ o p«r I/m' + tj', U quotient exprime la dittanee du poinl de l'iquation à la droite (u, v),

7t. Trouver la condition pour que troii pointe donnée toient en Ugne droite.

Soient

aiu + 6t« + Ci =0, atu + btV-\-et =0, aiu -|- fiiB 4- Ci = o, les équations des trois points; s'ils sont en ligne droite, l'aire du triangle qui leur correspond est nulle, et on a la relation ai, bi, Cl ^o.

oi, 6t, Cl tti, 6|, et Ces trois pointa appartiennent encore b une même droite, si on peut trouver trois constantes Jti, kt et Ai telles que l'on aitl'identil^ Jt,(o,u + 6,w + c.) + At(aiU + 6n)+i)+A,(aiii+fcii* + Ci)=o; car les coordonnées de la droite qui joint les deux promiers points, annulant les deux premiers termes, devront aussi annuler le dernier, et, par eonséquent, le troisième point est sur la droite des deux autres. Tfl. Trouver Vangle de deux droitei donnée» (ui, vt), {ut. Va). Cette question revientà déterminer l'angle des droites ropresentées, en

D,gnz.dbvC00gle

coordoonées cirtésieDoes, par les équations

uix-j-viy + i =o,' VtX+Vttf-\-l =o.

D'après ime formule connue, on aura

• lang ç == ;

D en résuie que la condition de perpendicularité sera

et celle du parallélisme

«I Di

c'est-t-dire que, dans ce dernier cas, les coordonnées des droites sont proportionnelles.

El. a. InCerprétir Ici equitions 91

ai + c = 0, te-t-e = o, au-t-Ao^o, e^o. El. a. Chercber l'équalioii d'un point «ilué anr uoe droite doDD^ («,, t>t).

B. <i(« — «ij-t-ito — o,)^o.

Bx. M. Qndle «il k condiliaD pour one trois droites pusent par an même point?

B. u, (vi — «,) -H «1 {V, — V,] + «1 {«, — »,) = o. Bi. «. Ecrire les ëquttiont dei sommet» d'nn (riin^e dont les eitit sont (— i, 2), (I.— 3)><3.").

R. 5M-i-at> + i = o, « + 40 — 7=0, an — o — 5 — a £1. k. Wterminer les coordonna d'ans droite qui pisae par le point de concours des drcHte* («1, t>i), («■, Vt],

Ex. ■, Diitince de deux points a,u + b,v + i^o, ai* -t- i^iD h- i = O.

R. J = l/(a.-a.)'-l-t*.-M*- El. *. DisUnce de l'origine i II droite (hi, v,).

El. s. Dus quel rapport une droite (iii,Ci) divJse-l-oUe la distSDce des points

D,gnz.dbvC00gle

L'équitioa d'un paiat qui détennioe deux tepnenti dont le rapport est éf^i i— -

peut ï'toîre

«•i (oiH + biO -I- 1) ■«- m, (ogH -+- Ëi« -I- 1) = O. Bd sappouDt qne li droite doniiéc («i, v,) puie pu te point, il Tiendra, pe«r le rapport chercM,

m, ttiu,-hb,vi-t-i •

ni a,Hft- fiidi-t-I

Ex. •. Que représente l'équition homogine du degré m

«" + a,u*^v ■+ a,«"-*ii* -f- -t- 0.0" = o?

Si, tptt» tTÙr dJTisë par b", on résoud l'équetion pu- rapport ■ - > on tronren M ndnM a, A, c . • • .1 réelle* ou iimginuret. Il en résulte que l'équitioo pn^mée définit M poincs

w — 00 = 0, « — bv = o, ....% — h = 0 utués à l'inOni.

77. Considërons maintenant trois points fiies a, P, ^ ayanl pour coordonnées rectangulaires (xt, y»), (xi, yi), (xt, yi), et représentas par les équations

(«)U = 0, (P) V = o, (y) W = o, OÙ U = xtH-|-jrftti-|- I, y^x,u-{-yiV+ I, W^ j;iH-|-S«" + i'

Une droite, qui se meut dans le plan suivant une certaine loi, peut être déterminée, i chaque instant, par ses distances aux trois points fixes. Nous les représenterons par A, B,C, comme les coordonnées triangulaires, afin d'avoir plus d'uniformité dans les équations. En vertu du N* 58, les quantités A, B, C sont liées par la relation

a'A* + 6'B* + c'C» — aBCfie cos a — aCAeo cos ^ — 2ABa6 cos y = 4S*; de sorte que la droite est déterminée de position, si l'on connaît seulement les valeurs positives ou négatives des rapports - . -^ de deux de

ces distances à la troisième. Dans ce mouvement, la droite mobile reste

tangente à une certaine courbe qui sera représentée par une équation entre

A B les rapports-) p

ir ly

D,„„.db,Coogle

ou, par UDC équalion homogène entre A, B, C, F(A,B,Cl = o.

Les quantités A, B, C sont les coordonniei tatigentieltea de la droite mobile, et l'équation précédente, qui sert h calculer les valeurs des coordonnëcs d'une tangent* quelconque, est Viqualion tangenlietle de la courbe.

D'après la signification des premiers membres des équations des points fixes, les distances A, B, C pcurent s'exprimer en (onction de u et o ; car, H- 74, on a

toute équation homogène en A, B, C se changera en une autre de même nature en D, V, W, puisque le radical disparaît nécessairement.

78. L'équation homogène du premier degré de la forme (P) ÏA4-»iB-f-nC = o,

représente un point; car elle revient à

m-hmV + nW = o qui est du premier degré en u et v. Les coordonnées rectangulaires des points de référence étant (X(,y«), (xi, t/i), (ai,i/i), celles du point (P) seront

ha -f- nixi -\- nxi It/g + my< + «yt

Lorsque l'un des coefiicients est nul, par exemple n = o, on a l'équation n deux termes

(D) M + mBi=o ou tV + mV = o,

qui représente un point D situé sur la droite des points fixes a et |3; car les valeurs U[=mi, v:=vi, qui satisfont Ii la fois aux équations IT^o et V = o, satisfont oussi ii la relation (D), et la droite miX -\-vty-\-i=o doit passer par les points a, P et D. Les coordonnées rectangulaircR du point D sont

Ixt + mxi Itft + my<

'^ i + m ' ^~~ t-hm

D,gnz.dbvC00gle

Ce pninldivÎAr'tloRcIniIist.irK'f! ap nn deux segments t«ls que jr;r = y;

il se trouve sui* «p, si / cl m sont de même signe, et, sur son prolongement, si ces coefficients sont de signe difTtlrcnt.

Lu Gonsiruelion du point (P) rcpr<!scn(é par l'équation à trois termes peut se faii-e de In manière suivsnte : on prend d'nbord sur a^ an point z représente par

(a) i[I4-niV==o,

; il aura, pour coordonnées,

^ — T+iir •" ^ — î+^

Posons

le point (P) sera donne par l'équation

et, pour le trouver, on divise la distance xy en deux segmente tels qoe Le point ainsi obtenu est celui qui répond il l'équation (P);

Py l + m

car SCS coordonnées sont

h ffly. -H «y>

39. TyoHuer les coordonnieg triangulaires du point défini par Céqua- - (ii»iM + »iB+ mC = o.

Désignons par As, Bi, Ca les coordonnées cherchées par rapport au triangle «{Sy, Nous savons qu'une droite, en coordonnées triangulaires, est représentée par l'équation

apA + bqB + erC = o.

Si elle passe par le point (Ao, Bo, C«), on a la condition

ap\t -\- bqRi, + crCt == o.

Or, p, q, r sont les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle

de référence sur la droite, c'est-ù-dirc les coordonnées tangentielles.

Par conséquent, en regardant p, q, r comme variables, l'équation préré-

D,gnz.dbvC00gle

deole représentera le point (A„ Bo, C»). Identifions cette éqnatïon avec celle du point donne : on aura les ëgnlités

— 2>lS

Les quantités Ai, At, A, sont les hauteurs du triangle de référence. De ces égalités, on tire

ki ht ht et réquaUon liomogène du premier degré peut encore s'écrire

M. Trouver Nquafion du potnl d'interstetioa de dtux droites données. Soient {A,, B,, C,), (Aj, B», C) les coordonnées tangcntielles des droites, et

/A+»mB + iiC = o, l'équation de leur point d'intersection. On a les deux équations /A, + inB, + nCi = o, /Ai-f-mBi+»iCi = o;

si on élimine ^, m et n entre ces équations, on trouve, pour le point demandé,

Al, B„ C,

At, B„ C.

D,gnz.dbvC00gle

81 . Chercher l'txpreBsion de ta dittance du point ^A^-mB + nC^o à la droile (Al, B,, C).

Si P est cette distance, une parallèle i la droite donnre men^c par le point de l'dquatioD aura pour coordonnées Ai -|~ I*i ^ + !*> Ct + P, ou bien. Ai — P, B| — P, C| — P j comme elles doivent satisfaire à l'équation du point, on a ,

/(A.±P) + m(B, ±P) + B{C.±P) = o, d'où

„ ^fA. + mBi+nC.

"-"^ t + m + n ' Si l'équation du point donné était

on IrouTeraît de la même manière

Ex. 1. Uontrer que la dtoilc qui joiui tei 1111110111 de deux cdlcs d'un Irlinglc est parallèle lU troisième c6lê.

Les ^quitioDS des milieux de AB et fiC soDt

A -t-B=o el B-f-C=o, et celle du point li l'infini sur AC

Si OD multiplie la première pir — i et il l'on ajoute menibrc à membre, od IniuTe 0= o; CCS trois points sont en ligne droite.

Ex. •■ Trouver l'cquilion du point d'inlerieetion des médianes. Le milieu I de AD ■ pouréqURtion A-t- B =0; donc A-l-B-(- C ^ O représcnt» un point de II médiane -yl; on verra, de même, que ce point ipparlieiit aussi bdi deux autres médianes ; de sorte que A + B -t- C ^ □ cil l'fquslion de leur point d'înlei^ section.

Ex. S. QuadëEnisientleséqualioDBA = B = C? R. Les points d'une ligne i l'infini.

El. *. Trouver les coordonnées de la ligne droite qui passe par les points

IA+ fliB-(-nC = o el ^ A -^ m'B + ii'C=o. R. On a

D,gnz.dbvC00gle

an ablÎBDdrt les vtleura de A, B, C, en y ajoaUnt U rsUlion j a\, bB, eC.\ = aS.

Ex. •. Sur les cdtës i.B, BC et CA d'nn triangle, on prend trois poiots D, E, F ei ligne dnitei montrer que le produit de tras stfoUDls non eonsccutib est égal ai produit des autres.

Dans l'bypathbe oiï D et E sont prii snr AB et fiC, tandis que le pcÙDt F est sur |i prolohgement de AC, les équations de ces points en ligne droite seront

(D) JA-(-mB=o, (B) MB-t-»C = o, (F) mC — JA=o. Or,

m Ap n BE 1__^^ i DB' t»~BC' n~ FA^Af D'où

iTt . a» . m