AD . BE ■ CF = BD ■ CE • AF
BD - CE ■ AP Ce théorime est dû il Pythagore ; il sert de base à la théorie des tranivenales.
S9. Traaêformalion des coordonnée» triangulaireSt Soient trois droites
formaDt un triangle ; le déterminant 3 de leurs équations sera différent de zéro. Désignons par A', B", C les coordonnées relatives k ce triangle, c'cst-y-dire, les perpendiculaires abaissées d'un point du plan sur les cdlés. On aura (N* 63)
En les résolvant par rapport k A, B, C, il Tiendra
a. A = it,A' + p, B' + 9, C, (i?) 3.B=.ît, A' + p,B'+ff, C, ■
J-C = n,A' + p,B'+ff, C; les quantités tt, p, a sont les mineurs du second ordre du déterminant 6. Ces formules montrent que les epordonnées primitives sont des fonctions linéaires bomogèncs des coordonnées nouvelles. En considérant les équtitions (a) comme représentant les sommets du nouveau triangle de référence, on arriverait aux mêmes iormules pour la transformation des coordonnées tangentiellcs, les quantités p, q, r étant les coordonnées ponctuelles de ces sommets.
Il existe !>caurDup de questions où il ne s'agit que de la direction
D,gnz.dbvC00gle
indélinie des lignes; il importe peu de connaKrc les valeurs exactes des coordonnées; on prend pour celles-ci les perpendiculaires A, B, C ou pi,pt, p% multipliées par des constantes. Vu la signification des coefficients dans une équation du premier degré, on peut poser A' = /tA+/iB+fjC, B'=m,A+m,B-)-m,C, C'=jiiA+«»B+b,C et regarder les quantités l, m, n comme étant les coordonnées des cdlés du nouveau triangle par rapport au triangle primitif. Leur résolution conduira à un système analogue & (^i) dans lequel les coefficients de A', B', C seront les coordonnées des cdtés du premier triangle par rapporta l'autre,
§ 4. RAPPOAT ANHARHONIQUB ET HASIIOMQtJi:. HOUOGftAPHIB. INVOLUTION.
§S. Considérons quatre pointa a, b, p, q sur une droite; on appelle rapport laiharmonique l'expression
ap bp Qf ' bq lorsqu'on regarde les points a et b, p et ^ comme associés ou conjuyuét. On obliendrait d'autres rapports semblables en combinant les points diOéremnient. Admettons que a, b, p, q soient des nombres Fi|. u. représentant les abcisscs de ces
points rapportés à une même origine 0 de la droite ; on aura
ap bp a — p b — p
aq ' bq a — q ' b — q Il est utile de rappeler que les segments sont positifs ou négalifs d'après le sens suivant lequel on les parcoure.
Supposons, maintenant, que les points soient rapportés h un système d'axes rectangulaires; leurs équations seront de la forme (a) A = o, {b) B=o,
W (pj A — XB==o, {^) A — f»B = o.
A et B étant des fonctions du premier degré en u et v. On sait que :
, flp aq .
X = J- u=p.; d'où
bp '^ bq
i ap aq "p bp ft bp' bq aq bq Lorsque A et B sont des fonctions du premier degré en x et y du la
D,gnz.dbvC00gle
— \\iù —
forini; i cas a + 1/ sÎd a — p, les cqiialiuns (i) représente ut (juntrc droites A, B, P, Q qui se coupent en un inéine puiiit.
Le rapport anliarnioniquc du fuiscciiu est celui des points a, b, p, g où ces droites sont rencontrccs par une séeantc quelconque S. Or, si oii abaisse des points p et q des perpendiculaires sur A et B, on a . pri siu (A, P) 9;i siH|A,Q)
'" ~^"%iii (B, P) ' ^ ~^~ ^b7q) '
d'où
t P'' PS „ 1'" (^'*t sin {B, P] f ~ ÎÂ ' ç/-~ s~i<7{MÎ) ' siu (B, Q) '
mais, en vertu des triangles semblables, il est visible, qu'au rapport des perpendiculaires, on peut substituer celui des segments interceptés sur la sécante; par conséquent, -représentelerapport
anharmoniquc du faisceau. On voit, en même temps, que l'expression
ap bp aq' bq est constante quelle que soit la >'■■■ "-
direction de la sécante, cnr elle est égale au rapport des sinus des nnglcs des droites (i\GS : c'est pour ce motif qu'elle sert Je dérmilion au rapport anbarinoniquc des droites.
Donc, SI quatre points ou quatre droites sont rejirèaenUs par des équations lit la forme (i), leur rapport anharmonique est égal à — • Lorsque les points ou les droites ont pour équations
(a) A — >3 = 0. (b) A — ulï = o, (^* (^) A — ;.'B = o, (q) A — f*'U = o,
on pose A — /B = A', A — f*B = B' : en cxpriinaut A et B en fonclioii de A' et D', les équations précédentes deviennent
D,gnz.dbvC00gle
et le rapport anharmoDique a pour valeur
Si on pose : A = 1/, 0 = 3!, l'expression prccéilenlc représente encore le rapport anharmoniquc des droites
y — 'ix = o, y — \jx = o, y — X'x = o, y — ul'x = o,
S4. Le rapport anharmonique se chanjjc en rapport harmonique, lorsqu'il a pour valeur — i : ainsi une droite ab est divisée harmoniqne- I ment aux points p et q, si
ap bp
' aq' bq '
a de quatre droites linrinoniques A, 1), P, Q, ou doit avoir gin (A, P) siB (B, P) ■in (A, Q) ■ sin (B, Q) ' '
Dans l'hypotbèae où les points et les droites sont donnés par les équations (i) et {2% on a les conditions
i= A-À'.?.-fi'
ou bien
