X-i-a = o, iu— ^(À + fi)(î.' + u') + /y==o
Il en résulte que les points ou les droites
A — JtB = o, A + AB = o, seront harmoniqucment conjugués avec les points ou les droites A c= o, B = o.
Si les points a, b, p, q sont rapportes à une même origine sur la droite, la condition pour qu'ils forment un système harmonique sera également
a, b,py q étant les abcisses de ces points. 11 arrive souvent que les deux groupes de points (a, b), (j>, q) sont définis par des équaU'ons du second degré
aa:' + 2 iï 4- j8 = o, c^'x' -f- î fît -J- P' = o
D,gnz.dbvC00gle
On a, dans ce cas, les relations
o6 = c, a + b = ~- — , V1='-,> P + 9 = — ^ En subslrtuant, la condition précédente devient
Lorsque quatre points a, 6, p, q sont h^rmoniquemcnt conjugues deux H deux, on a X + u ^ o, ou bien
Pour que celte relation soit satisfaite, il faut que l'un des points p et f se trouve entre aîX b; alors un des deux rapports est ncgalif. Si le point p se rapproctie du point 6, son conjugué q s'en rapproche aussi; mais si p s'éloigne pour venir vers le milieu o de ab, le point q s'écarte de plus
en plus du point 6. Enfin, si le point p est en o, on 07^= — t, et son
bp
conjugué sera à l'inlïnî, afin que^= i. Un segment ai est toujours
aq
ie^=
bq
divisé barmoniqucment par son milieu et le point à l'infini sur sa direction.
Si quatre droites A, B, P, Q conjuguées deux à deux forment un faisceau harmonique, l'une d'elles P se trouve dans l'angle (A, B) et sa conjuguée Q dans l'angle adjacent. Toute droite qui coupe le faisceau sera divisée liormoniquement; si on mène une sécante parallèle à l'une des droites, par exemple ù Q, le segment compris entre A et B sera divisé en deux parties égales par la droite P, k point d 'intersection de la sécante avec Q étant à l'infini.
85. Parmi les figures où se rencontrent des divisions harmoniques, une des plus remarquables est le quadrilatère complet. Considérons, dans un plan, quatre droites A, B, C, D qui se coupent en six points i 5,6; menons les lignes
13,24, 56. L'ensemble Fr». st.
' de toutes ces droites constitue le quadrilatère compUl, dont tes sommets
D,gnz.dbvC00gle
sont les poinls i, 2, 3, 4, 5, 6, et les diagonales lus droites 13, 24, 56. Prenons pour triangle de rérérencc celui qui est formé par A, B, C et soit
(D) A-l-B + C = o l'équation de la droite D.
La diagonale 13 passe par le point d'intersection de A avec D, et son équation est de la forme A 4- B -)- C — itA = 0 ; or, elle passe aussi par le point 3, el la relation précédente doit être salisraitc pour B = o,C=' o; il faut que l'on ait it ^ i . Si on applique un raisonnement analogue aux tlroitcs 24, 56, on trouve, pour les équntions des diagonales,
Soient 0, 0', 0" les poinls d'intersection de ces droites. En rclranchant les deux premières équations membre à membre, on a C — A = o qui représentera la droite 05; de sorte que la soustraction des équations préeédenleg, prises deux à deux, donnera pour les droites 5O, 3O' et 2O",
Ces équations démontrent l'existence de trois faisceaux de droites harmoniques ayant pour sommets Ici points 2, 3 et 5. Les droites de diaquc faisceau sont
Chaque diagonale se trouve ainsi divisée harmoniquement par les deux autres; de plus, les conjuguées harmoniques des diagonales, c'est-à-dire les droites 5O, 3O', 2O", se coupent en un même point.
Ces propriétés du quadrilatère fournissent une construction de la quatrième droite d'un faisceau harmonique, lorsqu'on connaît les trois autres. Supposons qu'il s'agisse de trouver la droite conjuguée à 3O' relativement au groupe 36, 35. Par un point quelconque 0' pris sur la droite conjuguée du celle que l'on clierchc, on mène deux sécantes quelconques 0'24,
D,gnz.dbvC00gle
0'65; on tire les droites 46, 35 qui su couperunt en un point 1 apparlvDaut h la droite demandée.
De même, étant donnés trois points 0', 6, 5 sur une droite, pour trouver le poÎDt 0" conjugué de 0' relativement au groupe 6, 5, on joint ces derniers à un point quelconque 3 du plan ; par le point 0' on mène une sécante 0*24; un tire ensuite les droites 46, 25 qui se rencontrent au point I. La droite 31 coupe la ligne des points donnés en O" qui sera le point cherché.
£1. 1. La» bisMctrices des uîglea adj ace nls des droites A=:o,B=:o «oiil coiijuguëei barmouiquement par ripport n ces droites.
Ces biswctnces ëtaul A-»-B = oetA — fi = 0, elles forniEnl uii faiicciiu harmonique avee A et B.
Ex. s. Trouver l'équiUoii d'une droite qui forme un bisccau harmonique avec les Irois lignes
Soil A — >B = oUdroite cherchée; oa doit avoir
{/«)(;-«)" • D'où
ml — smn + Hl
m — al-t-n L'éqnalion demandée sera
A {m —iil-*-n)+Biml — 3mH-*-nl) = o.
Ex. s. Par un poiut od mène les droites i, 3, 3 aui sommets d'un triangle; tojcnt i',3', 3' les droites qui compliteut les faisceaux aux sommets; deux d'entre cites conconrent en un méuie point avec l'uue des trois prcmiires droites. Les équations des droites sont de 1* forme
(i) /A — mB = o, (2) «B — tiC = o, (3) ni: — lÂ=o, (I') M-t-B«B=o, (3) «iB-t-«C=o, (3') uC + U = o. Or, si 00 relrauehe membre à membre (i') et (a') on trouve l'équation (3); doue les droites i', a' et 3 sont concoartutes, etc.
El. 4. Avec les m^es données que dans l'exemple précédent, inoutrer que les droites i\ z', 3' rencontrent les cdtés du Iriangle en trois points situés eu ligne druile. Ces poinls d'inleneclion sont sur la droite fA-t-mB-t-wC^O. Ex, a. Un coups les câtës d'un triangle par une droite et on construit le quatriènie point harmouique sur deux cdtésj moulrer que les deux points ainsi ohtcuus sont en ligne droite avec le point d'inlerscctiou de la sécante et du troisième eâté. Les poinls d'inlcrscelion de la sécante avec les cdtés ont pour équations /A-wB = o, inB-«C = o, nC — a = 0
D,gnz.dbvC00gle
et leurs coi^ugucs hiirinimji]ucs
/A + mB ES 0, irB + nC => o, nC -h JA = O.
Li MDJlnclÎDii àes dcmEèrca cqualions, prises deux i deux, reprodoît Tone Att trois premières, donc etc.
De pluî, les droites qui joignenl ces derniers poials ■« sommeU dn uiin^a «»»• courent en un point dont l' équation est JA -■- tnB -t- nC = o.
89. Invotulion. Six points situes sur une droite et coajugnés deux i
I deux a et a', b et b',
I e et «', sont dits en
''i- "■ involution, lorsque
le rapport anbarmonique de quatre d'entre eux pris dans les trois systèmes
est égal h celui de leurs conjugues.
Soient
les équations de six points appartenant a une même droite. Considérons le système des quatre points
(o) A = o, (a') A' = o, (6') A — A'A' = o, (c') A — u'A' = o. Les équations de leurs conjugues peuvent s'écrire (a')A'-o, (a)A-o, (6)A--iA-o, «A'-Ia-o,
d'où on tire, pour la condition de l'involution.
Celte équation suflîl pour affirmer que les six points sont en involution, e'est-à-dire, qu'avec cette condition, le rapport anliarmonique de quatre points, choisis h volonté dans les trois systèmes, sera toujours égal à celui de leurs conjugués. En effet, posons, conformément n celte relation,
fi = k}., a' =^-j-; tes équations des six points deviennent
(o) A=o, (6) A — lA'=o, (c) A — WA' = o,
D,gnz.dbvC00gle
Prenons la combinaison
(o) A = o, (a')A'=o, (6)A-U' = o, (e) A~itÂA' = o; leurs GODÎnguës respectifs sont
(a')A'=o, (o) A = o, (6')A' — iA = o, (c')A' — Ja = o.
Oa voit que le rsp^tort anharinooiquc a la même valeur dans les deux systèmes. I) est facile de vérifier qu'on srriTeraîl au même r<!sultat avec toute autre combinaison ; donc la relation (4) est suffisante pour établir l'involution des points représentés par les équations (3).
87. Lorsque six pomtB ctmieméme droite reprétenlis par Us équations (3) aonf tn itixolttlùm, on peut déterminer des constantes l, m, n de manière à avoir l'identité:
(i) fA A' + m (A — U') (A — >'A') + n (A — ftA') (A — ft'A') = o. En effet, en égalant les coefficients de A*, AA' et A'* on trouve m-{-n = o,
mXX' -\- Mfiifi' ^ o.
Or, par hypothèse, on a : 2>.' == fifi.', et la dernière équation est équivaiente à la première; il reste deux équations distinctes qui suffisent pour la détermination des rapports I : n, m : n donnant l'identité (t).
Réciproquement, ai l'on a l'identité (t), les six points définis par (3) formeront une involution ; car l'élimination de m et de h entre la première et la dernière équation du système (c) donne V.' — fifi' = o.
§8. L'identité précédente doit être considérée comme une nouvelle
définition analytique desix points en involution. Pourle système de points
(o) A— U' = o, (6) A — fxA' = o, (c) A~vA' = o,
les eonditions qui résultent de l'identité :
I(A— ÀA')(A— i'A')-|-m(A— fiiA')(A— ft'A')+«{A— vA')(A— k'AO^o, sont:
