IXV -f- mftfi' + "V"' = o
D,gnz.dbvC00gle
En éliminant les constantes l, m, n, on trouve pour la condition de l'inrolution des poinis donnas ;
fi + [i' v + v'
Si on pose, comme cas particulier, fn m= fjt', v = v', cette équation développa se réduit ii
c'est précisément ia condition pour que les points
A — iA'^o, A — ii'A' = o, A — fiA' = o, A — vA' = o, forment un système harmonique; chacun des deux derniers poinb compte pour deux dans i'involution; ce sont deapotnta doubUt.
89. Troit couples de points harmonùjuement conjuguée à deux points fixa A =: o, A' ^ o sont en invotution.
Les équations des points, dans ce cas, sont de la forme
A-f-;,A' = o. k + (iA' = o, A+vA'=o, A — ?.A' =i o, A — ^A' = o, A — vA' = o, et elles donnent lieu h l'identité
(„.^.)(A»-»A'»}+(X»-v»)(A'-f.'A")+(f*'-X»)(A»-v'A'»)=o; ils sont donc en iavolution. Les points A et A' comptés chacuD pour deux forment une involution avec les points de chaque couple : ce sont les poinis doubles de I'involution des six premiers points.
•O. Six points (Cune droite définis par des éijfvations de la forme {«) A = o, ' (5) B = o, (c) C = o, [a') mB — nC = o, (6') nC — M!=o, (c') lA~mB-=o sont en involution.
Car on a l'identité
1/l (mB — nC) -f wB (nC — M) + nC (/A — «iB) = o. .
91. Au point de vue de la géométrie synthétiqae I'involution de six points est caractérisée par des équations entre les segments qu'ils déler-
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— ii\ —
minent sur une droite. On peut les dt^duire des rcintions précédentes. Si, par exemple, on prend la condition }.i.' — iiii' = o, et si on remplace /, y, y., fi' par leurs valeurs déduites des équations (3), il vient :
ofc ofc' ae ac'
a' h a'b' a'e a'c' ou bien
06 • a6' a'b' • a'b ac • oc' a'c' • a'c
On obtient encore une autre équation en égalant le rapport nnharmoniquc des points a, c, b', e' h celui de leurs conjugués a', e',b,c; ce qui donne 06' cb' a'b e'b
ae' ' ce' a'c ' c'c ou
ab' • ce' a'b • c'c
at' • thf a'e • €b
d'où on tire, en remarquant que ce' = — c'c, ah' • 6c' ■ ca' ac' -ba' •cb'
On peut aussi déduire cette relation des équations (a'), (&'), (c') du numéro précédent. D'après la signification des conatsntes, on a :
n ba' l eb' m ac'
m ca' « ab' l 6c'
En multipliant ces égalités membre h membre, on obtient la même relation.
99. Lorsque A et A' sont des fonctions linéaires de x et de y, les différents systèmes d'équations que nous venons de considérer représentent un faisceau de six droites passant par un même point. On dit que ce faisceau est en involulion, lorsque le rapport aobarmonique de quatre droites prises dans les trois couples est égal k celui de leurs conjuguées. Les diverses' conditions trouvées serviront aussi à caraetériser un tel faisceau. Au point de vue synthétique, on remplace les rapports de segments par des rapports de sinus. Les équations (3) et celles du N* 90 donneront,
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en se rappelant la signifieation des coDBlanlcs lorsqu'il s'agît de droites :
sin (A, B) ■ sin (A, B') sin (A', B') • sJn (A', B) sin(A, C) ■ sin (A, C')^sin(A', C). sin(A', C)'
ii(C,A')
sin (A, C) . sin {B, A') ■ sin (C, B')
M. Une transversale rencontre tes côtés d'un quadrUalére etdeuxdiagonfUts en six points en ùicolution.
Soient
A( = o, A*=o, At=o, Ajt^o,
les équations dés sommets d'un quadrilatère simple, et ai, at, Oi, ai les nombres auxquels se réduisent les fonctions Ai, Ai, Ai, At, pour les eoordonnées d'une seeante queleoaque S. On aura, pour les équations des points d'intersection,
ai a* '
at ai
ai ai
A. A, a, at '
Posons
ai ot
Al A«A a, a, i.
A, A.^B at at f.
Fil. 3G. en désignant par ï, f/, v les facteurs pro-
pres à ramener les équations {a), (6), (c) à la forme au -f *« -t- i = o. Les ëquolions des six points deviennent alors
D,„„.db,Coogle
ce qui montre (N" 90) que ces points sont en involution. On peut s'en assurer aussi, en remarquant que
ft ba' V eh' } ae'
V ca'' ï. ab' ' (ji ic' '
d'où on tire l'équation qui caractérise l'înyolutioQ de six points oc' ■ 6a' - c6' ab'- bc" ■ca'~ ^' Cette propriété donne la eonstniction du sixième point d'une ÏDVoltition. Supposons qu'il s'agisse de trourer le point c* qui forme une involutioD avec les cinq points donnés a, a', b, b', c. Par les points a', b, c on mène trois droites qui forment un triangle quelconque At Ai A4 ; on joint b' et a avec les sommets Ai et Ai; les droites 6' Ai, oAi, se coupent quelque part en A|. La ligne qui passe par Ai cl le troisième sominet Ai détermine le sixième point c' de l'involution.
•4. Les draiteB qui joignent un point du plan aux sommets d'un quadrUalère forment un faisceau en involutùm.
Soient A| ^ o, Ai = o, Ai ^ o, At ^ o les équations des cAtés, et Si, a%, as, a*, les Taleurg de A|, A*, Ai, A4 pour les coordonnées du point fixe; les équations des six droites seront
* ' oi a,
Soient >., fictv les facteurs convenables pour ramener les équations (A), (B), (C) Ji la forme x cos a -}- y sin « — ;> ■= o; posons :
Les équations précédentes deviennent (A) A = o, (B) B = o
et par conséquent, d'après le numéro 90, il y a inTolulion.
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- H* — Lorsque le point est ù l'inGni, les droites sont parallèles, et on a celte propriété : les projections parallèles des six sommets d'un quadrilatère complet, sur une droite quelconque, sont six points en involution.
OS. Séries homographiquet ou projecUves. Considérons deux i Det D' renfermant respectivement les systèmes de points a, b, c, d......
a', b', c', d' ; on dit que ces deux séries sont homograpbiques ou
projectivcs lorsque le rapport anharmoniquc de quatre points quelconques de la première est égal h celui de leurs correspondants de la seconde. Ainsi, par exemple, un système de droites passant par un même point déterminent sur deux sécantes des séries de points qui répondent i celte définition. T)e même les équations
A — ÀB = o. A' ~ Jt>B' = o, où X est un paramètre variable et k une constante déterminée, définissent 9eux séries de points dans lesquelles existera l'égalité des rapports anharmoniqnes; car, les valeurs (X,, Xf, >.,, Xt) ou {kï,, kXt, A-X,, kit) donnent le même rapport.
Afin d'établir d'une manière générale la condition de projectivilé, considérons les points
A— >,B = o, A — M = o, A — ;..B = o, A — /,B = o situés sur une droite D, les trois premiers étant fixes et le quatrième pouvant occuper une position quelconque sur la droite. Soient, en second lieu, les points
A'(ji,B' = o, A'--f*iB' = o, A' — u5B'=o, A' — /iiB' = o appartenant h une seconde droite D', ft|, fn, fit étant des constantes déterminées et u. un paramètre variable. En regardant ces points comme se correspondant deux à deux, l'égalité des rapports anharmoniques donne la relation
Xt — h >) — 3. ftt — fti . V-i — ft ît — ii'it — X ^ — fjii'f*» — f ou bien
En développant, on arrive k une équation de la forme («) tlfi -f- ntA + nfi + j> = o;
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/, Ml, R, p sont des constantes qui dcpendcnt dos trois premiers couples de points correspondants. Pur suite, à chaque valeur de i, correspond une valeur unique et déterminée pour (*, et réciproquement. Les points (ui, F:ti, jLti) de la seconde suite correspondant aux points (Xi, X), Xi) de la première peuvent être pris à volonté sur la droite D'; mais, dès que le choix en est Tait, les deux séries projectives sont eom pi élément déterminées : la position du point fi qui doit correspondre aii point A est unique et donnée par la relation (jx).
Un choix convenable des points (fit, fit, fn) permettrait de simpliBer la relation précédente. Pour l = o elp = o, elle se réduit à nf*+mî.=o, et l'on peut prendre u =^ kX; les équations de deux séries bomographiques seront, coDimc plus haut,
Il est inntile d'ajouter qu'on peut appliquer les raisonnements qui précèdent à deux faisceaux de droites de centre différent O et 0'; il faut regarder A, B, A', B', comme étant des fonctions du premier degré en x
9%. Quand deux points correspondants de deux séries projectives coïncident, Us droùes ijui réunissent ht autres points correspondants concourent en un mime point.
Supposons A = A'; les équations de deux points correspondants sont alors
A — XB = o, A-'k)W = o.
En les retranchant membre i membre, il vient — B + AB'=.o.
C'est l'équation d'un point indépendant de X et qui appartiendra à toute droite passant par deux points correspondants quelconques.
Dans ces eonditîons, on dit que les deux séries projectives sont en situation perspective. On peQt toujours placer ainsi deux séries homograpliiques; il suffit de déplacer l'une des droites de base de manière à faire coïncider deux points correspondants.
On démontre de la mùme maniùrc que, dans deux faisceaux homogro' phiques ayaiil un rayon commun, les droites correspondantes se cotipent tiir une même droite.
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- il6 -
91. Supposons maintenant que les deux droites de base D et D* coïncident ; on aura une seule et même droite portant deux séries projectives. On peut se demander, dans ce cas, s'il existe des points doubles, c'est-à-dire des points qui se correspondent à eux-mêmes. Pour qu'il en soit ainsi, il faut poser }. = [i, et la relation (a) devient alors /?,» + (m + ii)i+p=o:
Équation du second degré dont les racines correspondent siux points doubles. Il ne peut y avoir plus de deux points doubles; car si trois points coïncidaient avec leurs correspondants, la projcctivité étant fixée, les autres points devraient aussi se recouvrir, et les deux séries serment identiques.
SiA^i,ona:A — B:=o ou le point k l'iofini delà première série; par suite, son correspondant sera
tandis que pour f/= i ou pour le point i l'infini de U seconde série, le correspondant dans la première sera
l + m' ces points différent généralement; cela tient au manqne de symétrie de la formule (a) relativement à 1 ctfi. Ils coïncident, si m ^ n, c'est-i-diie, si l'on prend ta relation
(«') fV + »«(^ + f*)+P = o,
pour établir l'homographie. On dit, dans ce css, que les séries projectives sont en invçlution : elles sont caractérisées par celte propriété que le point à l'infini a le même correspondant dans les deux suites.
Supposons encore nti=o; la relation (a') se réduit h iiu+p = o et l'on peut poser : Ifissk; par suite, les équations
A — >Bs=o, A— rB==o
définissent sur une droite deux séries homographiques en invololioc. Pour les points doubles, on a : X*^=k; d'où À >= ± i/k, et leurs équipons seront :
A — |/rB = o, A + |/*B = o.
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— U7 — Ils divisent harmonique ment la distance des points correspondants A et B; ii est facile de vérifier que la même propriété se reproduit sur chaque couple de points. •
Enfin, si 1=^0, p = o, la relation [et') se réduit i A -|- f^ ^ o, et les équations
A — XB = o, A + XB = o
définissent encore deux séries en involutioD dont les points doubles sont: A = o, B = o.
•S. Supposons qu'on rapporte les points à une même origine U sur la droite; désignons par a,b,c,x les abcisses de quatre points de la première série, et par a',b',c',x' celles des points correspondants. L'égalité des rapports anharmoniques conduira également k une relation de la forme
txx' -{' mx -^ nx' -{- p = o.
Pour les séries en involution, ce serait
Ixx' + m{x-i-x')-^p^= o.
Par un choix convenable de l'origine, cette relation pourrait se réduire à /jx'+pi=o; par suite, on peut poser
xx' = A (constante).
Le produit des distances de deux points correspondants quelconques à l'origine est constant.
99. Généralisation de l'inoolution. Etant donnés deux couples de points définis par
o«x» + aiJ: -\-ai = o, o^x* + a\x -j- a^ = o ut }. un paramètre arbitraire, l'cquation
oox' + oix + a» + A («'b^' + "'{X + ttj) = o représente, pour chaque valeur de )., un troisième couple en involution avec les deux autres ; car, combinée avec les précédentes, elle conduit à une identité (N° 87). Sous ce point de vue, l'involution que nous avons étudiée pourrait s'appeler l'involution du second ordre.
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- us —
En géaéral, si on a deux groupes de n points sur une droite aosc" -f- aix"~' + •••-}- o. =^ o, a'^x" + a', x—' -^ ■ • ■ -\-a', = o l'équation
aax' +a,x—' -{ • + a,) + J{a'„a;" 4-o',i'-' H l-ai) = o
définira ud troisième groupe de n points quel que soit À, On dit que <xs trois systèmes de n points forment une involution supérieure du n'™' ordre. Nous verrons plus tard, dans la théorie des courbes, comment on a él^ amené naturellement h s'occuper des involutions d'ordre quelconque.
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CIIAPITKE IV.
