ÉQOATION DU CERCLE EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET POLAIRES
109. L'ëqualion d'un cercle rapporte à des axes quelconques s'obtient, en exprimant que le carré de la distance d'un point variable (x, y) de celte ligne au centre est égal au earré du rayon. Soit C (a, b) le centre, rie rayon; on aura, pour des axes rectangulaires, {.) {x-a)» + fy-6)' = i-«.
En développant, cette équation prend la forme
{2} X* +y« + 2Mx + 2% + P = 0,
oii H = — a, N = — 6, et P = o* -f- 6* — r'.
L'équation la plus générale du cercle en coordonnées rectangulaires est done du second degré; elle ne renferme pas le rectangle xy des variables et les coefficients des termes en x* et y* sont égaux.
Les relations précédentes servent à calculer les coordonnées du cenlrc et le rayon d'un cercle représenté par une équation de la forme (2); on a
a = ~U, 6 = — N, r=i/M' + N' — P. Le cercle est réel ou imaginaire suivant la nature du radical; il se réduit A un point lorsque M* + N' — P = o.
Si l'origine est au centre, a = o, b=o, et l'équation (r) devient (3) x* + y' = r».
Lorsque les axes sont obliques, on a, d'après le même principe, pour l'équation du cercle,
(4) (a;-a)« + {y-6)« + 2(x-a)(y-6)co8 9 = r'; ou bien,
(5) a^* + y* + 201/ cos 9 + 2Qx -f- aBy + S = o, dans laquelle
Q=(a+6cos9), (a) R = — (6 + o cos 9),
S = o» + 6» + 206 cos 9 — r*.
Ainsi, l'équation du cercle en coordonnées obliques est du second degré; les termes en x* et y* ont pour coelTîcients l'unité, et le terme en zy, le double du cosinus de l'angle des axes.
Quand un cercle est donné pour une équation de la forme (5), on délermiac le centre et le rayon au moyen des relations (a). Le cercle est réei, imaginaire ou se réduit à son centre, suivant la valeur de r.
La position du centre peut se déterminer par une construction géométrique. Projetons le centre C d'un cercle sur les axes par les perpendiculaires CD et CE; menons ensuite les coordonnées . du point C. On a Kii. S7. OD = a + 6 cos 0, OE = 6 + o cos 9,
c'est-à-dire OD = — Q, OE ^= — R. 11 suffit de porter sur les axes les longueurs — Q et — R, et d'élever des perpendiculaires par les points 1) et E; celles-ci se couperont au centre du cercle représenté par l'équation donnée.
19I. Pour ti'ouvcrl'cquation du cercle
en coordonnées poloires, prenons un
point quelconque 0 pour pôle et la droite
Pif.w- OC pour axe polaire. Soit M (p, u) un
point variable du cercle et d la dislance OC. Le triangle OHC donne
r' = p' -)- d* — 2dfi cos u,
D,gnz.dbvC00gle
el l'équation du cercle sera
(6) f.' — 2dûcosM + rf* — r'=o.
Si l'nxc polflirc, nu lieu de traverser le centre, était une droite quelconque OX, on aurait, en représentant par a l'angle COX,
(?) P* — 2(fp cos (» — a) -4- d* — r* :-= o.
Enfin, lorsque l'origine est un point de la courbe, d = r, et l'équation (6) se réduit à
(8) p — sr cos M = o.
El. a. OQmène,dBnsun cercle,deux diamètres pcrpendiculairM ÂBet CD; IrouTcr l'ëquitton de cetle ligDc lorsqu'oD |>lice l'oiigiDE sueecsslvenieut «ux poiuu A, B, C, D.
R. (A) JB'-i-y' + arj! = o, (B) l'-^v' — 2r» = o, lC)*»-t.y«.t-2ry = o, (D) «' + y" -ar, = o.
Ex. 9. Que «ignjBent les équation!
(3) {« — r)'-^{s'-)-2)»-t-4=o, (4) «'-t-y'+-2 = oî
R. Lei deux premières rcprësenlent respFc lire ment les points {i, — z), (o> o), et les équations (3) el (4), des eercles imaginaires.
Ex, a. Ramener les équalioQS qui iDiTenl i la forme (e — ay+{!/ — h)' — r*^o. (t) «•+y'— 4*+2jf+i=o, (z) 2(«»+|*)+5B~3C-4-a=o, (3) ai' + î)'-6v=7.
El. 4. Par un point 0 d'un cercle on mine un diamètre d qu'on prend pour aie polaire; on tire ensuite (roiscordesOA, OB, OC faisant avec co dernier les angles ',?,-/> trouver les équations des cerclea décrits sur les cordes commo diamètres.
On a pour le premier
P=OAeos(B-.);
mail OA := d cos a : les équations demandées seront
l> = ieosicos(« — ï), p=iJcoj^cos(ù.-fl) p = dos /ces (« — y).
tVS. Les équaUons (2) et (5) renferment trois paramètres; un cercle est donc déterminé par trois conditions géométriques, en admettant que cliacune d'elles donne lieu à une relation unique entre les cocflicients
D,„„.db,Coogle
inconnus; oti a alors trois «'équations pour calculer leurs valeurs. L'équation générale des cercles, qui satisfont à deux conditions données, s'obtiendra en éliminant deux paramètres au moyen des relations qui correspondent a ces conditions.
lOS. Trouver l'équation dei cercUi qui paêsenl par deux potTUB fixe» situé» sur l'un de» axe».
Les points d'intersection du cercle
x» + y' + sMx -[- îNy + P = o avec les axes, sont détermines par les équations a;» + zMi-t-P = o, y' + 2% + P = o,
obtenues en posant successivement t/^oetx^o. Soient a et a' les abcisses de deux points de l'axe des x; posons
X» + 2Ma; + P = (a; — o) (X — a'). On en tire 2H^ — [a-i-a'), P^oa'; l'équation des cercles qui passent par ces points sera
x* + y* — {a + a')x + 2Ky-i-aa' = o. De même, si b et 6' sont les ordonnées do deux points de l'axe des y, les cercles qui passent par ces points seront donnés par l'équation X* -i-y* -f- 2M1 ~(b + b')y + 66' = o.
Il reste daps chacune de ces équations un paramètre variable; il y a une infinité de cercles qui satisfont aux conditions données.
Si on suppose que les points d'intersection se conrondcnt en un seul, les cercles sont tangents aux axes en un point donné; les équations précédentes deTiennent en posant a^a', 6 ^ 6',
x* + l/* — 2ax + 2Ny -1- a' ^ o, x* + y' — 26y + zMx + 6* = o.
194. Un cercle rencontre deux droùes fixe» auxpoint» AetA',Bet B'; trouver ton équation par rapport à ces droite». Soit
^' + y' + 2xy cos 6 + 2Px -f- 2Qy -|- S = o
D,gnz.dbvC00gle
l'équation du cercle; si on désigne par a et a', b et 6' les coordonnées des points d'intersection, on doit avoir
x* + 2P1 + S = ir* — (a + o') X + ao', y' + 2Qy + S = s' - (6 + 6') y + 66'.
D'où, S=aa' = 66', aP = — (o + a'), 2Q = — (6 + 6') ; l'équalion demandée sera
x' +y' + 2X]/ cos 8 — (a-\-a')x — {b-\-b')y-\-aa' =: o
109. Trouver l'équation des cercle» tangents â rfeux droites donnéei. Prenons ces droites pour axes, et soit a la distance variable des points de contact à l'origine. Il Tant que l'on ait
X* + aPx + S = X* — 203: -)- a',
y' + 2Qy + S = y* — aay + a* ;
on en tire 2P = — 20, 2Q = — 2a et S = o*. L'équation des cercles qui touchent les deux droites sera
x' -J-y* + 2ïy cos 0 — 2ax — aaïf + a* ^ o, où a est un paramètre variable.
lOC. Qvdh est l'iqu(aûm du cercle qui passe par les pointé (xi, yO> {xt, yi), (xt, y»)ï
L'équation du cercle qui passe parles deux premiers points peut s'écrire, en coordonnées rectangulaires,
(X x, Xx— x,H-(y— y , )(y-y*H->[la:-«< )(y-yi)-(x-irt)(y-y 0]=o î
car, en développant, elle prend la forme (2); de plus, elle est satisfaite pour X 1= xi ety =yi,x^ Xt et y =yi. Le paramètre 1 se détermine par la condition que le cercle doit passer par le troisième point (xt, ys), c'est-à-dire au moyen de l'équation
(x, — x,)(x, — X,) +(y« — y')(y»— yO+A [(a^î — ^Oty»— y) — (y»~y«){*» — a;i)] = o.
Si on élimine A, on trouve, pour le cercle demandé,
[(x — i,)(x — x,) + (y — y,)(y — y.)][(a:j-a:,)(y,-yi) — (y,-yO(a:. — a:.)] +[(i— X.) (y—yt)—(x~xt) (y— yi)] [{X, — x,)(i,— x,) + (y, —y.) (y.— y.)]=o;
D,gnz.dbvC00gle
124 — en développant, cette équation peut se incUrc sous la Torine :
(a;' + y»)[x.{yt — i/i)4-x,(^, — y,)4-ï"0/«— y.)l
— (a!.*+j/,')[a:,(!/.— y) +^»(y — vO + a^ (y«— y»)] + (x.*+yM[*»(» — y.) + a: (yi— yi)+x,(y.— y)i
— (xs'+yi')[j! {(/, — yO + ^'(y< — y) +x.(y — yO]=o-
Bxeraloes.
El. I. Chercher l'équation du cercle qui piMepir les pointe (0,1), (o, s) et (3, 3).
R. «' -t-y* — 2» — 6jr->-5.= o.
Ex. I. Blâme recherche pour le cercle qui pu$e par Icipoinlt (s, o), (3, o) et (1,4).
Ex. >. Trouver le lieu géométrique dei ceotrei dei eerdes qui pisient ptr les poinU {r„ Ui), ("., h).
Si on développe II première équilioa du N* 106, od troare c» -t- y» — [», + «, -t- J (y, — ( i)] * — [y, + y, + i <!, — «,)] y + ■,>, + y^,
— J(i.Ji, -».V.) = 0.
Le centre d'un cercle donné par celte équation a pour coordonnées
^xi+a,-t-l(y, — y,) yiH-y«-f-^(x, — x.)
En éliminiiDt le paramèire ), on obtient pour le lieu dei contre* yt -<- yi *"■ — ''/- «1 -^ *■ Y
C'est uue droite perpendicalure au milieu de la ligne dea deux point* donné*.
El. 4. Le lieu des points, dont le rapport de* distances à deux points fixe* est égal
■ - , eat une circunrérence qui a fon centre sur I* ligne des points donné*.
Soit 0 le point qui dîviie la dislance des points Ries dans le rapport donné ; oa trouvera pour l'équation du lieu, le point 0 clant l'origine.
Ex. t. Le lien des sommet* des triangles de même hase, et dont la somme de* earrés des autres calés est Gonïlaate, est une circonférence.
Si 2n' est la constante, l'origine au milieu de la base aa, on obtient, avec des axes rectangulaires.
D,gnz.dbvCpOgle
- ta -
El. •. Le sominct d'oo ingle cotulant, qDi se méat de ■ntnière à toameut lulour de deux points fixei, décrit ud cercle.
C dtiDt l'iDgla, A el B le* pobU Giel, el AB = 2a, on trouTe, a milieu de AB,
Ex. f . Le liea des pointS) doDt I* somme des carrés des dîsUnees i n peinis Gxes est éfSfït i m*, est nue eircaofïrenee.
Soient (>i(yi), {^uVè)—- les points fixes; le lieu ■ pour équalioTi
{• — «i)' + (y — y.)' + (»-"ri'-t-(y- ifij' + ■" = »•; OD bieo,
« («• -H >*) — «c&i — atf^i •*■ ^i' + ^ïi' := m*. Cest on cerele dont te centre est celai de* moyennes distances des points donnes
fï*., ^"1.
Lorsqu'on multiplie les digtinees respectiTonient par des constantes <h> "■> «t etc., le lien est le cercle
dont le centre ' ' ■ ■ I cmncide avec celui des dûtincei proportionnelles.
El. •. Da centre d'un cercle inscrit i un triangle ABC, oo décrit, avec nn rayon arbiinirei une seconde circonférence ; par nn point quelconque H de celle-ci, on tire dM drsites aux sommets du triingle; montrer que l'expression
Si' X « -^- MB' X 6 -H MC' X e cal constante, n, h, r étant les cfltds du triangle.
Ex, S. Par nn point 0 sur uoe circonférence, on mène te* cordes OA, OB, OC, et, sur chacune d'elles comme diamètre, on décrit nn cercle; montrer que les intersections des trois cercles, pris denx à deux, sont en ligna droite.
Ex. I*. Par an point fixe 0, on mène deux rayons OA, OB, tels qne l'angle AOB el
le rapport Tirg restent constants; u le point A décrit un cercle, quelle ligne décrira
le point B?
Ex. 11. Par nn point Gxe 0, on mène des rayons veeteun, et, sur cbacnn d'eux, on prend deux points A et B tels que le produit OA>OB = f. Si le point A, le plus rapproché du point fixe, décrit une droite, que décrira le point B?
Ex. i«. Dan* l'exemple précédent, si le point A décrit an cercle, quelle ligne décrira l'antre point?
Ex. as. Ëtaut donnds on point et nne droite, trouver le lien d'nn point tel, qaa le earré de sa distance an point donné soit égal à et foi* sa distance i la droit* donnée.
Ex. 1 J. Étant donnés la base et l'ange au sommet d'un triangle, trouver le lieu du point d'intersection des haateurs de ce triangle.
Ex. flS. Par on point 0, on mène des droites paralliles aux calés du triangle ABC;
D,gnz.dbvC00gle
i", h", le» points DU ellei reDCOOtrcitl les Eûtes. Troaver le lieu du
point 0, lorsque le sr
D-Oc + n'O.Oa' -H o"0-06'
« conslente et égale à m',
II. i«. Trouver le lieu des milieui des cordes passant par un poÎDt Gie.
\i, ta. Étant donnés un point Gie 0 et nue droite, ou mène le rayon veeleur d'ur
point quelconque H de la droite ; sur OH, on prend OP =
OU
; quand le point H décrit
la droite, quelle ligne décrit le point P?
Ex. ■•. Par l'un dei points d'intersection de deux cercle s « on mène une droite; trouTer te lîeu du milieu de la partie comprise entre les cercles.
El. ■•. Trouver la lieu des points lels que les pieds des perpendiculaires abatuén de chacun d'eux sur les côtés d'uu triangle soient en ligne droite.
Ex. t*. Une droite de grandeur constante so meut dans no cercle; trouTcr le tien décrit par un point quelconque de cette droite.
Ex. «fl. Autour d'un point fixe P. on fait pivotfr un angle droit dont les côtés, dans une certaine position, rencontrent une circonférence aux points A et B, Le li«n det projections du point P sur AB est un cercle.
Ex. ««. Les circonrérences décrites sur les diagonales d'un quadrilatère complet ont une même corde commune.
£x. XS, Par un point quelconque O de l'hypothénusc d'un triangle AfiC, rectugle en C, on mène une sécnnte qui coupe les cotés CB et CA en B' et A' ; on fait passer une circonférence par les points 0, A, A', et une autre par les points 0, B, B'. Trourer le lieu des points d'intersection de ces circonférences.
Ex, ««. On donne quatre droîtesA, B,C, D qui, prises trois à trois, forment quatre triangles ; la droite A appartiendra à troli de ces triangles. On joint le centre du cercle circonscrit à chacun de ces derniers au somroet non situé sur A ; les trois droites ainsi obtenues concourent en un même point I. tlontrer que les quatre points anak^nes i I et les centres des quatre eercles sont sur une mémo circoufcreuee.
Ex. sft. On prend deux points A et B sur une première droite et deux pointsa et b sur une seconde droite : on tire ensuite les droites An, B'i qui
point S. Si l'on fait tourner I prcmicre, le point S se dcplac Iclement & ob, dans toutes se point S décrit un cercle qui a ] Ex. ••. Étant pris qui
droite ali autour , et il se fait qui
lur centre le point 0.
points H„ M,, U„ M,
satisfont à la relation
, ''■i, itii, At les dislances mutuelles de i
point d'intersection I aTcc la te menée par le point S paral- ;n un même point 0, et que le
iir un cercle, on désigne par s points. Montrer qu'elles
o d„ (f,i du = o, dr.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. «9. Si on désigne par i le diserîmintnl dn premier mcnibre de t'équalion du cercle rendue homogène
«' H- S* ■(- 2!ey cos 6 + 2Q*i + zhi/i -t- Si* = o,
% 3. DE LA TANGEtJTB ET DE LA POLAIRE.
1A7. La tangente en un point H d'une courbe quelconque est la position limite d'une sécanle MH' qui tourne nutour du point H, jusqu'i'i ce que les deux points d'intersection se conrondcnt. D'après cctic diifinilion, proposons-nous de trouver l'équation de la tangente en un point H (x', y') du eercle
Soient (x", y") les coordonnées du second point M'; l'équation de la sécante peut se mettre sous la Torme
{X — X') (i — i") + (y — y') fy — y") = i' + y* — r*. En effet, si, après la multiplication, on supprime les termes communs, l'équation s'abaisse au premier degré et représente une ligne droite ; d'ailleurs, comme les points H et M' sont sur le cercle, on a
X'* 4- y" ~ r* = o, x"» + y"* — r» = o; l'équation est satisfaite poun = l' et y ^ y', x = x" cty = y" : 'a droite de l'équation renferme les points M et M'. Lorsque la sécante devient tangente, les deux points se confondent, et, pour cette position limite, x" =^ x', y" = y'; la tangenlc a donc pour équation
(i) (x-x')'+{y-y')' = a:'+y»-r», ou bien, en développant et faisant les réductions,
(2) xx' -|- yy' = r'. Fij. tu.
La normale au cercle ea un point M est la perpendiculaire élevée en ce point à la tangente. Si on remarque que le cocflicicnt angulaire de la
Tl{'-'%
D,„„.db,Coogle
C'est une droilc qui passe par le centre du ccrc)c. Lorsque l'équation du cercle est de la forme
(x-a)' + (y~h)* = r\ on doit prendre pour l'équation de la sécante MH' ra:a-(x'-a)] [x~a-{x"-à)]+\y-b-(s'-b)] [y-fc-(y"6)]
= {x — ay + (y~bY-r* car, en développant, elle sera du premier de^, et il est visible qu'elle est satisfaite par les coordonnées des points H et H' pour lesquels on a (x' — a)' + (y' - 6)' - r' = o, (x" - a)* + (y" — 6)' - r» = o.
Si on pose x" = x' et y"^y, il vient pour la tangente (3)[ar a-{x'<i)]'+{i,-6-(y'-fe)]*={x-o)'+(y-6)«-r«. Après avoir effectué les opérations, l'équation précédente se réduit ■
(4) (j a)(i'a) + (y 6)(y'6)r' = o. En représentant par C les expressions x*-j-y* — r*,(x — o)'-l-{y — ^)* — '^t l'équation, de la tangente en nn point (x*, y'), dans les deux cas, peut se mettre sons la forme
C — (x — ï')'-(y — yT = o. en vertu des équations (i) et (3).
10s, Trouver t'équalion du tangentes au etrcle x'-\-y* — r'=:o, meniet par un point extérieur (x', (/').
Les coordonnées d'un point variable d'une droilc qui passe par deux points du plan (x', y'), (x", y") sont données par
mx" + nx' mu" + «V'
nt + n ■' m-j-n
Substituons ees expressions dans l'équation du cercle; on aura (mx" + nx'Y + {my" + «y*)» — r» (m + »)' = o ou m*(x"*+y"' — r')4-2»«M(x'x"-J-yy" — r')+ii* (x''+y" — r*) = o. Pour simplifier, posons
D,g,-,z.dbvCOOgle
l'ëquation qui donae \cs valeurs de A pour les points d'intcrsectioa de la droite et du cercle devient
(A) C"À* + aAi-f-C' = o.
Or, si la droite des pointe {x',y% (""ty") est tangente au cercle, cette équation doit avoir des racines égales, et A* — C'C" = o, c'est-è'dire, {i'i" + t,y' — r»)» — (a;'»+y'*--r*){x"»+y"'— r') = o. En remplaçant x", y" par les coordonnées x et y d'un point variable sur l'une des tangentes issues du point (x' y*), celles-ci seront données par l'équation
(5) (xx' + yy' — r»)'-{x"+y'* — r'){x» + y»— r») = o. Au moyen d'une transrormation de coordonnées on trouve pour les tangentes menées d'un point (x', y') an cercle
(x o)« + fy-6)»-r* = o, l'équation
Oa peut mettre ces équations S0U8 une autre (orme. Posons
(» — «')•-+-(;,-}•)■ = «'+j' + i"+y — 2(«i'+jj,'| -i' + !('-H + i'- + ï"-r'-2(ici'+}j'-r'). En désignant par C te premier membre de l'équation du cercle, et par C sa valeur pour x == x*, y = y', on a
s(ix' + yy'-r')-C + C'-(x-«T-(ï-jT.
On aurait aussi 2[{x-o)(x'-a)+(y-5)(y'-6)-r']=C+C'-(x~x')*-(y-y')' en supposant que Cet C représentent les ex pressions(x—a)*-|-(y'—^)* — r*» {x' — o}' + (y' — 6)' — r*; les équations des tangentes (5) et (6) prennent la forme
(7) [c + c'-{i-xr-(y-y)T-4CC' = o-
Ex. t. ÉeriK r^DiUon de II tangente m point (3,4) du cercle «* + y* = 25.
Ex. •, Qndle eit II Ungente «u point l5,o)dti eerdev'+S'* — 4«-l-2|r~5 = o?
D,gnz.dbvC00gle
Ex. s. Trouver l'ÉquitioDquiTepr^ciitetout«ilesiaiigeD(cs au cepel«s*-i-y'=r'. Sojt jf = m»+ h un« droite ; les abcisies des points où elle renconlre le cercle «ont dctermlnées pir l'équlion
m' ■+ {mm ■+■ b)* ^ r',
(«'-«- l)îc*-»-3m6« + 6'— 1^ = 0.
La droite est tanfeote aa cercle, «i les racines sont égales, c'esi-irdire, avec la eendilioB mifii — (m' + i) (i«— r») = o; croù t ^rj/i -i-M*. L'équatioDcherch^esera
y ^ ma ± r V'i + bÏ', Ex. i. Trouver l'équation de la nonnale su point (se', jr') du cercle (« — cf -l-(j,— 6)» — »J = o.
R, {« — o)(»' — 6) — (y— 6){«' — o) = o. Et. ». Quelle est réquatioDdelalaDgenleei) (K',(>')aueerelex'+y*'t-3iTcosS^e'.
R. mx' -h yy' -(- 2 eos B (ay' + yx') == a*. El. S. SI ou désigne par 9' et 9"' les angles que [es rayons menés aux poiots (a',|0> (x", y") d'uD cercle font avec l'aie des x, l'cqiiBtian de la corde peut s'écrire
a co» i (V + fl") + V lin i (tf + 6") = r cos - (6' — 6"), ri celle de la tangente au point (y, y"),
a cos e'-*-y sin fl'^r.
Ex. •. Tronrer le lieu du point d'inltrsecliou des langeutes njetiées aux extrtmilH d'une corde de longueur constante.
El. •. Trouver le lieu des milieux des cordes paraltitcs à une droire donnée. Ex. •. Trouver la condition pour que la corde, inierf eplée par le cercle sur la droite DM -I- Ay + A = o, soit vue, d'un point (s*, y'), sous un angle droit. Ex. 1*. Mémo recherche pour le cercle
«• •*- j' -«- aM* + zKs + P=o lorsque le point («', y), est l'origine. Ex. ■■. Trouver le lieu des milieux des cordes vues sous un angle droit d'un point
Ex. ■•. Si, par un point fixe, on mène deux cordes reirtangulaires, les tangenlct aux extrémités de ces cordes forment un quadrilatère qui est toujours inscrit dans on autre cercle fixe.
Ex. tS. Deux tangentes à un cercle étant fixes, si l'on mine d'autres tangentes, le* porties comprises entre les tangentes lîxes sont vues, du centre, sous des angles égaux ou suppléments l'un de l'autre.
Ex. 14. Dans un quadrilatère circonscrit à un cercle, les diagonales ot les droites qui réunissent les points de contact des edtés opposés se coupent eu un même point
D,gnz.dbvC00gle
— iôi —
Es. *k. Dansu.i qoidrilalère eirconstrit ii un cercle, les milieux dK dingonnks «t le centre du cercle sont sur une même droite.
Ex. a«. Quind un quedrilulérc cîrconserit à un cercle est en même temps inscriplible, les droite) qui réuiiiiseni Irs points de contact des cotes apposés sont les hisscc- Irices des angles dos diogonales j le produit des deux tangentes menées pir les exlrémilés d'une même diagonale est égal au carre du raj^on du cercle inscrit; cnGn, le centre dn cercle circonserit, celui du cercle inscrit et le point de concours des diagonales sont en ligne droite.
Ex. ■>. Si, de chique point d'une droite, on mène deux tangentes a un cercle, le produit des langenlcs Irigonomé trique s des demi-angles qu'elles Fant avec la di'oilo est constant.
Ex. an. Pnr un point 0 pris sur an diamètre AB d'un cercle, on mânc une corde, et on joint ensuite SCS citrémi lis avec IcpointA; montrer que ces dernières lignes, vont délemùner, sur la tangente en B. deux legmcnls dont le rcelangle est constant.
Ex. IV. On joint un point M d'une circonrcrencc à deux points K et H pris ii égale distance du centre 0 sur un diamètre AB. Soient C et D les poinFs de rcnconirc de MK et MH avec In courbe; menons la droite CD qu'on prolonge jiisqu'i sa rencontre en P avec le diamètre AB; montrer que la droite qui joint le point P au point N, citrémitc du dlanictrc qui passe par M, est tangente 1 la circonrérence.
Ex. t«. Mener, entre deux droites, une tangente à un cercle de telle manière quelle soit parlagéc en deux parties égales par le point de contact.
1#9. L'équntion
(P) jx' + yi;" — r' = o,
dans laquelle x', y' sont les coordoani'es d'un point quelconque p du plnn, représente une droite qui, en général, n'est pas tangente au cercle. Or, on sait que, si {x", y") est le point de contact d'une tangente issue du point ix', y'), on a la relation
x'x" + y'y" — r' = o, et, par ennséquent, le point (x", i/") appartient n la droite P; celle-ci csi donc In corde des contacts des tongentcsau cerciea'-|-y' — '■'=0, me- ti%,u.
nées par le point p {x', y'). Celte droite P s'appelle la polaire du point p et ce dernier est le pôle de la droite P par rapport au cercle.
En vertu de l'équalion (P), la polaire existe toujours, même si le point p est inléricur nu cercle et les tangentes imaginaires; elle est |-er-
pendiculaire à la droite Opqui a pour équation x'y— ^x^o, et sa dUUoer au- centre eal - = ^- • On a donc la relation
0*1 . Op = r', qui sert à construire géomëlriquemenl la polaire d'un point p : il sufBtdt mener Ofi, et de prendre un point m tel que Oi» ■ Op = r*; la perpoidiculaire élevée en m A Op sera la polaire du point donné.
lit. la polaire d'un poiut quelconque q situé sur une droite Ppatu par le pâle p de celte droite.
En efliet, x", y" étant les coordonnées du ^oint q, la polaire correspondortlG a pour équation
(Q) xa;"-f jy"~r* = d;
mais, comme (x",y") se trouve sur la droite
(P) «x'+yy" — r» = o,
on a la relation
elle exprime que le point (se', y') appartient n la droite Q.
On peut dire aussi que toute (frotte P, qui pa»êe par un point 9, a mm pôle sur (a polaire de ce point,
il résulte, de cette propriété, que la polaire du point d'intersection dt deux droites P et Q est la droite pf qui passe par leurs pâles.
Ces principes doïTcat toujours être présents à l'esprit lorsqu'on parle de pèles et de polaires.
m: La polaire d'un point p est le lieu du point p' harmoniquemail conjugué par rapport aux point» d'inttrsecfion H et H' du cercle avet une sécante variable issue du point p.
Reprenons l'équation (k) qui donne les valeurs de > pour les points â' intersection M et H' du cercle avec la droite passant par les points {x',y'),(x",y"),
(k) C"?.»4-2Ai + C' = o.
Si OD prend, pour {x",y"), le pointp' situé sur la droite (P) a-x'+yy'-r' = o,
D,g,,z.dbvCOO^Ie
on a U relation x'x" ■+- y'y" — r* = o, et, par suite, A = o. L'ëqualion pr^cëdcntc donne pour A deux valeurs égaies et de signes contraires : si
A(=o, Ai = o, sont les équations des points p et p', celles des points H et M' seront de la forme
Ai — /.Aj = o. Al 4- ÂAi != o,
et, par conséquent, p' est le point conjugue harmonique de p rclativcmeat ù M et M'. Cette propriûli; pourrnit servir de déGnition h ta poloirc d'un point pnr rapport à un cercle.
De là résulte une conslruclinn géométrique de la polaire : on lire, par le point donné p, deux sécantes quelconques j)MH',;iNN'; on mène MN et M'N' qui se rencontrent en tf, ainsi que H'N et US' qui se coupent en /; In droite fg est la polaire du point p. En ciïcl, <in '*' '
sait que dans un quadrilatère MM'AW la droite fy est la conjuguée liaruiooique de gp pur rapport ù «fSI et (/M'; celle droite détermine, sur chaque sécante issue du point;», le quatrièinc point harmonique, et duit coïncider avec la polaire de ce point,
lit. Étant donnés deux points p et q avec leur» polaîret P el Q par rapport d un cercle de centre 0, on mène pr et qt retpecUvement perpen-
Soient (x'i y'), {x",t/") les coordonnées des points p et f; on a, pour les polaires,
(P) xx' + yy' — r* = o, (Q) xx' + »jij" — r' =o. La perpendiculaire abaissée du point f (x'', y") sur la première s pour expression
d'uù on tire la relation
Op-tjfs^ x'x" + y'y" — r*.
D,gnz.dbvC00gle
Un Iruuvcr:! uussi facilvmeat
Oq.pr =x'x"-{-y'ij" — r*;
et, par suite,
Op Oq 0,.,.-0,.,r, m ^-^.
1 1S. L'ëquBtioa de la polaire d'un point (x', y') du plan relativemeni au cercle
(x — a)* -H fy — 6)* — r» = o est la même que celle de la tangente, c'est-à-dire,
En vertu d'une transformation indiquée précédemment, si on désigne
par C le premier membre de l'équation du cercle, et par C la valeur de C
pour x = x' et i/ = t/', l'équation de la polaire peut s'écrire
Exeroloes.
Ex. 1. Cbercber réqnttion de la poliire du point (3, 3} relttivemenl aa eifclt (,!)• + (y H- z)« - 10 = o.
Ex. ». TrouTcr le pAle de la droite A» -t-By -t-C=o, pu rapport m «crclc e'-«-y' = r«.
Si on compwe l'éqntlioD de It droite t vec celle de la poltire am" -f- yy' — H = o, en eu
dëdnit -^ ^ --- ^ , -^ — ^; d'où on tire, pour le pile de !■ droite donnée, Ar" BH
Si la droite piue par l'origine, C = o, et le pfla eat i l'infini. ftéciproquenicDt U droite i l'infini C=oaurt ponr pile le centre dn cercle.
Ex, a. Étant donné no triangle a6c, on construit les potairet A, B, CdessonuneU: on obtient ainai un nouveau triangle o'fr'e'; montrer que les droites oa', W,e^ » coupent en un m^e point.
Les polaires des points a(>' y'), 6 («''ly"), c (•"', y"') ont pour équations A = «»'-«-yy' — r> = o, B = b»" -t-yy" — r» =0, C = *«'"-i-yy"' — r«=o.
Les droites ««', W, ce* sont représentées par des équations de la tonne
(no') B — ]iC=:o, (W) C — |i<A=o< {«<f) A — *B = o.
D,gnz.dbvC00gle
Dccigoons ptr l,ut,H iei trois valeun diSérenles que preoiKiit A, B, C, par la «uImIîtation des coordonnéef «ecentuëet qui ae s'y trouveat pu, c'«tt-i-dire, poKos :
( =« V -t- s'y" — H, m = a**'" -t- y'y'" — f^. " = »"•"' + fg"' — r»,
1m ëquatioiu ftMAtutet p«aveDt sVcrire
K on les multiplia rcspectivemeal par ~ , -~ et - , elsionijoaIe,ODobtiei)t0^o; les droites oo', Ai' et et" sont coacourcnles.
Dttu le tta particulier où a/ie est inscrit au cercle, les polaires des sommets aoal les taDgenl«s ea ces poists, et les droites aa', bb', et' sont celles qui joignent les summels d'na triangle circonscrit arec les points de contiet des cAiës opposés j on a donc ce (liéorime : Da»* loxi triangle tireontcrU à «n carelt. In droifei qui relùnl Uê lamimtë aux poiiUt da Matant àei eitii oppoiit ea«eat(raHl «n Hil flUma point.
£i. A. Si on joint un point quelconque dn cercle i, quatre points fixes A, B, C, D de celle courbe, on obtient un faisceau dont le rapport enharmonique est eoasiant.
Ex, >. Quatre tangentes fixes i un cercle sont rencontrées par une tangente variable en quatre points dont le rapport tnbarmonique est constant.
Ex. «. Quand un quadrilatère est inscrit a un cercle, toute transversale reneoutni deux couples de cjtés opposés et la cireouf^reace en sis points en involution.
El. 9. On prend, sur un diamitre, deux pointa qui divisent harmoniquemeut cette ligne; montrer que les distances d'un point quelconque du cercle à ces deux points ont leur rapport constant.
Si. B. Si on hit tourner une corde autour d'un point fixe, les distances de ses extrémités à une droite fixe quelconque, divisées respectivement par leurs distances à la polaire du point fixe, forment une somme constante.
Ex. ■. Si de chaque point d'une droite on mène deux tangentes i un cercle, les dislances de ces tangentes 1 un point fixe quelconque, divisées par leurs distances au p61e de la droite, donnent une somme constante.
Ex. !•■ Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui du Eaiseeau formé des polaires de ces points.
Ex. t*. Dans un quadrilatère circonscrit i un cercle, le point de rencontre des diagonales est le pAla de la droite qui réunit les points de concours des cAtés opposés ; celle dernière droite et les diagonales forment un triangle dont chaque sommet a pour polaire le edté opposé.
£x. I«. Dans un quadrilatireinscril ann eercla,le ppintde concours des diagonales et ceux des câtés opposés sont les sommels d'un triangle dont chaque câté a pour pôle le sommet opposé.
Ex, t%. Soient 1,^,7 les sommets d'un triangle et a',^,/ les traces, sur les côtés opposés, des polaires des sommets par rapport à un cercle; montrer que lea cercles décrits sur m', p((, yf comme diamètres se eonpent aux mtmes points. (B. Piuai.)
D,gnz.dbvC00gle
Bi. 14. Si, du centre 0 d'un cercle circoucnt à un triingle, en ebiiue itt perpendicnlurea «ir les t&th, Ii lonuiie de cm trois pcrpendieDlairei est cfala k la fomnie des nyona des cercles inscrit et circonscrit en triangle,
