ÉQUATIUN DU CERCLE EN COORDONNÉES TRIANGULAIRES
I1<i. SoieDt Ai, Bi,Ci les coordonnées triangulaires du centre d'un cercle de rayon r rapporté à un Irinngle a^, et H (A, B, C), un point variable sur cette ligne; l'éqnation du cercle sera (n* 67). (i) {A— Ai)»8in2«4-(B— Bi)»8iii2P+{C— Ci)'sin27=2r'ainasiQpBin/. Eq développant, elle devient
A' sin 2x -{- B' sin 3|3 -f* C* «n 27
— 3 (AAj sin 2<x + BBt sia 2[3.4- CCt sin 27)
+ Al* sin 2a + Bi* s'"» 2^ + Ci* sin ay — ar* sin ce sin |3 sin }> = o.
Afin de rendre celte relatioo homogène, multiplions le second terme par
oA + 6B + cC
et le dernier par le carré de cette expression; l'équalion précédente peut s'écrire
■ A* sin 2« + B' sin 2p + C* sin ay + ^^-t^^t£S . f(A, B, C) = o,
où f représente une certaine fonction homogène du premier degré en A,
B,C. Posons:— ^f(A,B,C) — i'A + m'B + n'C; Véquation du ccrdc
sen de la forme
(2) A'sin2a+B*8in2p+C*8in27~(aA+6B-H;C){f'A+m'B+M'C)=o,
(3) À* sin 2a + B' sin 2p + C* sin ay
— (A sin a + B sin |3 -H C sin y) {lA + mB + nC) = o.
Dans ces équalions, les coefficients /, m, n, /', m', n' sont des fonction! des coordonnées du centre et du rayon; un cercle sera complètcmeot déterminé, si on connaît les valeurs de ces paramètres : car, on aura trois relations entre les inconnues Ai, B|, Ci, r, qui suffisent pour les calculer .en y ajoutant l'équatioa : — <iA, — (B. — cCi = 2S.
I«s Itxm praniers termes de l'équation (2) sont indépendants du centre
D,gnz.dbvC00gle
et du rayon; ils auront la même valeur pour tous les cercles possibles. Puisque l'équation est satisfaite, en posant
A' sin 2« -|- B* sin a^ + C sin ay = o oA + 6B + cC = o, on doit regarder la droite à l'inGni, comme eoupant un cerdc quelconque en deux points nécessairement imaginaires, et déterminés par ces deux relations. Ces points s'appellent les points circalaires de l'iafini. Nous verrons plus tard qu'il est souvent avantageux de considérer le cercle, comme une courbe du second ordre passant par les points circulaires à l'iniÎDi.
IIS. Trouver f équation du cercle circomcrit au triangle de référence. Si le cercle (3) passe par le sommet a, l'équation doit être satisfaite pour B = o et C "= o; en introduisant ces valeurs, on a la condition
A' sio 2a = /A* sin a.
D'où / ^ 2 cos R. Comme le cercle doit aussi passer par les autres sommets ^ et y, on obtiendra deux nouvelles relations en posant successivement A ^ o et C ^ o, ''<■ *'■
B^=o et C = o. On trouve ainsi
m = 2 cos P, n = 3 cos y.
Si on substitue aux coelEcients leurs valeurs, l'équation du cercle circonscrit sera
A* sin 2« + B* sin 2^ 4" C sin 2/ — 2 {A sin a + B sin p -|- C sin 7) (A cos « + B cOB P + C cos 7) = o, ou bien, après la multiplication et les réductions,
BC sin (fJ + -/) + CA sin (y + n) + AB sin (a + fi) = o ; mais sin 0 + •/) = sio a, sin (•/ + a) = sio p, sin (« + (;) = sin / ; ou a donc finalement
(4) BC sin a + CA sin I3 4- AB sin >- = o, ou
(5) aBC + 6CA 4- cAB == o,
eu remplaçant les sinus par les côtés opposés du triangle de référence.
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Au moyen d'une figure, on trourera facilement pour les coordonnées du centre
r étant le rayon du cercle circonscrit; de sorte que le centre sera le point d'intersection des droites
GOS (C cos p cos y L'cquatiou (4) a une signification géométrique remarquable. Soit a.^ un triangle, et A', B', C les perpendiculaires li^, Hf , Hr abaissées d'un point H sur les cAtés; on a
B'C sin çMr + C'A' sin rMp + A'B' sinpHf = 2 surf. ipqr. ou
B'C ein « + C'A' sin ^ ■+- A'B' sin }> = 2 surf, ftp.
L'équation (4) exprime donc que la surface du triangle fiqr est nulle, et
par conséquent, que les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point
quelconque du cercle circonscrit sur tes cdtés du triangle sont en ligne
droite.
1 ■•• CAercAer féçuation du cerc/e conjiM/ué ou triangle de riférentt. Un triangle est dit conjugué à un cercle, lorsque chaque sommet est le pdlc du cdti opposé. Si on pose dans (3) / := m ^ n ^ o, U vient
(6) A' sin 2« -f- B' sin 2|3 ~\- C sin îy = o,
qui est l'équation demandée. Pour le démontrer, cherchons l'équation de la tangente au cercle (6) en un point (A', B*, C). Une sécante qui passe par les points (A', B', C), (A", B", C") du cercle est représentée par l'équation (A— A')(A— A")8in2a+(B— B')(B— B")sin2p+(C— C'){C— C")sin27
^ A' sin aa + B' sin 2j3 + G' sin 2/,
qui s'abaisse au premier degré, après la suppression des termes commuoi;
de plus, elle est satisfaite par les cordonnées des deux points : car, on a
A'* sin 2a -J" ^" *™ ^P -|~ C'* sin zy = o,
A"' sin 2a + B"* sin 2^ + C"* sin 2y = o.
Lorsque la sécante devient tangente. A" = A', B" = B', C" ^ C, et on
obtient
(A — A')' sin 2a + (B — B')» sin 2|3 -f- (C — C')» sin 27 = A* sin 2« 4- B* sin 2^ + C* sin 27,
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uu bicu
AA' sia 2a -}- BB' sin ap + CC sia ay = o, pour i'équatioD de la tangente au cercle (6) ; c'est, ea même temps, t'ëqua- UoD de la polaire du point (A', B', C) situé d'une manière quelconque dans le plan. Si on suppose que le point (A', B', C) coïncide avec le sommet / du triangle, on a A' = o, B' ==0, et la polaire correspondante est C = o; on verrait de même que les sommets j3 eta ont pour polaires les droites B =; o et A =1 o. Le triangle de rëf<!rcnce est donc conjugué au cercle de l'équation (6).
On sait que la perpendiculaire abaissée d'un point, sur la polaire correspondante, passe par le centre du cercle ; il en résulte que les équations du centre du cercle conjugué seront
A cos a = B CO8 p = C cos y, qui représentent les perpendiculaires abaissées des sommets sur les cAtés opposés du triangle de référence.
117. Trouver t'équation du cercle qui passe par les milieux des cotés . du triangle de référence.
Pour le milieu (i) du cAté A, on a
A = o, BBinP = C8iny; ces valeurs, substituées dans l'équation (3), donnent la condition
aB sin p (B eos p -{- C cos y) = sB sin p (mB + nC) ou
sin yeos^-\-8\a^c»ay='mBiny + n sia p,
en remplaçant B par . .-; il vient donc finalement l'équaUon sinp
sin « = m sin y + n sin p.
On trouvera de même au moyen des coordonnées des milieux des autres côtés
sin |3 = n sin a 4" ' ^'^ 7»
sin y = I sin |3 + m sia a.
On satisfait k ces équations en pesant;
^=:cosa, ni=cosP, n^=co8y; l'équation du cercle qui traverse les milieux des cités du triangle de référence sera
(7) A» sin 2a + B" sin 2^ + C» sin 2y
— (A sin a -h B sin j3 + C sin y) (A cos et H- B cos P -H C cos 7) = o.
— uo —
Ce cercle passe par les points d'intersection du cercle circonscrit avec le cercle conjugué; cnr on a identiquement
2 (A sin « + B sin P 4" C sia y) (A cos a + B cos P + C cos y) = A* sin 2a + B* sin 2,5 + C» sia 27+2(00 sia a+CA sia ^+AB sin /) et l'équatioD {7) peut se mettre sous la forme
(8) A» sin 2a+B« sin 2,S+C' «in 2y = 2(BC sin a+CA sin |3+AB sin y); les coordonnées des points communs aux cercles circonscrit et conjuguv annulent les deux membres de réquolion.
Pour trouver les seconds points d'intersection du cercle (7) avec les côtés du triangle, posons d'abord A ^=0, diins l'équation prccédcnle; il vient
B* sin 2,5 + C* sin 2y = 2BC sin «,
B* sia |3 eos (3 + C ain y cos y — BC (sin (5 cos y -}- cos j3 sin y) = o,
c'est-à-dire,
(B sin ^ — C sin y) [B cos |3 — C cos y) = o. Pour le milieu (i), on a
A = o, B sin (3 — C sin y >= o. et, par conséquent, on aura pour le point (4),
A = o, BeosjS — €008^ = 0;
c'est donc le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet (<z) sur le
côté A, Les points (5) e( (6) auront li
même signification; il en résulte que
le cercle qui coupe en deux parUa
égales les cotés du triangle, passf par
les pieds des perpendiculaires oui
côtés, menéespar les sommets opposés.
De plus, le même cercle renferme
aussi les points milieux (7), (8), (9),
"*■ **' des longueurs 0/, 0,5 et Oa; car les
pieds des perpendiculaires abaissées des sommets du lirangle Ofîy sur les
côtés opposés, sont les points {4), (6), (5} qui appartiennent au cercle, cl
celui-ci devra passer par les milieux (7) et (8) des côtés Oj5clOy';oii
vcrn de même qu'il passe par le point (g). Le cercle qui jouit de cctlc
propriété s'appelle le cercle des neuf points du triangle «(îy.
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— 14i — lis. Tyouter tes londiliont povr qve Ciijuation homogène du second dtgri
JA» + f/B* + vC» + ai'BC + 2f*'CA + av'AB = o,
représente un cercle.
Dans r^quatioD (3), les trois premiers termes sont indépendants des coordonnées du centre et du rayon, et ils doivent être les mêmes dans les équations de tous les cercles ; il en réeulle que gi S ^ o est l'équation d'un cercle déterminé,
S+(/A + »iB + MC)(oA + 6B + eC) = o, représentera nn cercle quelconque. Prenons pour S le premier membre de l'équation du cercle circonscrit; l'équation générale d'un cercle peut s'écrire
ûBC + 6CA + eAB + (/A + mB + nC){aA + 6B + cC)=o. Cela étant, pour que l'équation proposée représente un cercle, elle doit se ramener i la Tonne
* (aBÇ + 6CA + cAB) + ^— +:E^ H-— VaA + 6B + cC) = o.
En développant et identifiant cette équation avec la proposée, on trouve les relations
D'où on tire, pour les conditions demandées,
— kabe =ftc'-i-vb* — 26CÀ' = va* + ie* — 2acft'=).6" + f«»' — 2a6v'; ou bien, en remplaçant les cdlés par tes sinus des angles opposés fi ain» y + V sin* § — ai' sin ^ sin y = v sin* a + 1 sin* y — sfi' sin a sin y = i sin* |3 + (* sin* a — 2v' sin a sin (3.
Ez. i. QDUid on cercle est circontcrit i un Irïingle, In ttngtn(e« mx Minmcls reneootrent les cAtéa opposés eu trois punis en ligne droite.
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L'cqualinn du cercle circonscrit est de la forme
C(aB-l-6A)-f-eAB = o.
La droite oB-f- bA := o rencontre le cercle en denz itoînlsuluëtsar A^oet B=o: comme elle passe par le point d'intersection de ces droites, elle est nécesaaireiMnl lanfjenle au cercle au point y. De même
eA^-aC=o,
l,C+ cB = o, seront les tangentes lui sommets ^ et a. Si on écrit les équations des luigenles sous ii
il est visible qu'eUel rencontrent les cdtés opposés sur la droite
Ex. a. Trouver l'équation de la langenlc au point (A|, B|, C|) da cercle <iBC + «CA-f-éAB=o.
On écrit pour l'équalion d'une sécante
„(B— B,)(C— C> + *(C— C,)(A— A,)-i-<:(A— A,)(B— B,) = oBC + 6CA-t-cA8. En posant A, = Ai, Si = B„ C, = C, cl simplifiant, on arrive à l'équation
A (cB, -t- tCi) + B (aC, + cA,) -i- C {AA, + nB.) = o. El. m. Quelle est l'équation de II sécante communedeacerelescirconserit elconjngDé? Rn verln des équations de ces cercles, on a la relation
A* sin SI + R' sin 2^ 4- C sin 7/ -f 2 (BC sin « -t- CA sin J9 -I- AB sin v) = o,
(Asinc. + Bsin;9 + Csin-/)(Acos«-t-Bcos/9 + Ceosï)=o, qui est satisfaite par les points communs ; le premier facteur est constant, et, par cmmquent, l'équation demandée est
El. 4. Trouver l'équation du cercle inscrit su triangle de référence. Exprimons que le lieu représenté par l'équation
JA* + pB» + ,C -*. al-BC -H 2/.'CA + a/AB = o, est tangent aux cAlés du triangle de référence. Posons A =o: il vient
^B'-i-.C' + 2i'BC = o, qui donne deux droites issues du point a et passant par les points de renconlrt et A avec le lien; or si A est une tangente, les droites précédentes coïncident, et on énil
D,gnz.dbvC00gle
i*oîr X" = jBï. On trouvera ëgiIeiDeiil /<" = 1», v" = ip. En sabslituioi, l'ëquiljon du second degré dcTient
Po»onsl = /^, ;( = p',v = A*;on pentëcri™
W /'A' + jW + AM? - 2s*BC - 2A/CA -xfg\B= o,
(«') K/^ + kTB + »/« = o;
cir, CD raisiDt dUptnîIre Iri ridictiii, on retombe sttr l'^qualion prieiicnb:.
En vertD des conditions du N° US, l'équation (m) represenle an cercle, si on a cg + bh = ah + «/■= &/■ + ag.
On en dédnjt
6e/ coj ahh
