t-e — n e-*-o — b a-hb — e
/ ^ g ^ A coa' - s coa' — p cos*— y L'éqoatioD do cercle inscrit tera
V^ATcMÎ-».|/F.cog^+|/cTcoii«.o.
1j. s. Let cercles décrits sur lei cAtés du Irisugle de référence comme dîimilrrs bbnl représentés par le« équations
BC = A (A co$ a — B CM ^ — C eo3 v),
CA ^ B (B eos jS — C cos V — A eos k),
AB = C(Ceosv — Acoio — BcDi;S).
El. •. TrouTer le centre du cercle des neufs points, ou le pôle de la droite à rinBoi
par rapport 1 ce cercle ; montrer qu'il coincide avec le milien de la droite qui joint le
■rentre du cercle circonscrit avec le point de concours des hauteurs,
El. •■ Le rayon du cercle des neuf points d'nn triangle est la moitié du rayon du
Ex. •. Montrer que l'éqniiion
BC — A'=o dcGnit un cercle tangent aux cAlJs B et C du triangle de rëfcrcace, A éluit la corde des coDIaels. Quelle est la signification géométrique de cette équation?
El. s. Le lieu des points tels que, si l'on abaisse de chseun d'eux des perpendiculaires sur les cAlés d'un triangle, l'aire du triangle, lormc par les pieds de ces droites, soi I constante.
El, ■•. Si l'on représente par
les dUfés d'un quidrilatire, l'équation
AC — BD = o rcprësente nn cercle circouMrit an qnadriUtère. Donner fa signifiotion gcomclriqar ■te l'éqDilian.
S 4. ËOUATION DU CEnUE EN COOHDONNÉEE TANGBnTIEUXS. 119. Étant donnée l'équation d'une droite mobile
proposons-nous de détenniDer la relation qui dwt exister entre les panmètres u et V, pour que la droite reste tangente à un cercle de rayon r.Soii
OM -I- 6t + I ■= o, l'équation du centre; la droite dans son noaremeot doit rester t Die distance constante r de ce point, et, par conséquent, on doitaToir(N*7()
ow + 6» + 1
(i) {au -}- 6» + 1)« — r* (u* -h »») = o.
C'est l'équation du cercle en coordonnées tangentielles. Si l'origine est au centre, elle se réduit à
Cette équation a un avantage sur l'équation du cercle en coordonna cartésiennes
Elle permet de constater l'existence des points circulaires ii Vîniini. En
effet, on satisrait k l'équation <i) par le système simultané
(a) «* + iî*='0, o« + 6i;+i = o.
La première égalité représente deux points imaginaires à l'infini, savoir;
la seconde définit le centre. Les coordonnées qui satisfont au système (a)
vérifient aussi l'équation du cercle ; les droites correspondantes doivoil
être regardées comme des tangentes i cette courbe ; elles pansent pir )r
centre et les points )i l'infini. Ces tangentes spéciales s'appellent dirvtàmi
D,gnz.dbvC00gle
atymptotiqua du Gercle. En coordonnées cartésiennes, elles sont représentée» par
Q, 6 + (a: - a) (/:r-r] [y 6 (a: ~ a) /~i] = o n est facile de vérifier que les coordonnées de ces deux droites satisfont à la première des équations (a). Si l'origine est au centre, on a simplement
ar*+y* = o ou y ±a: (/ — i =o. Les directions asymptotiqnes sont harmoniquement conjuguées aux axes y = Q, x = o. Ces derniers étant quelconques, on a ce théorème : Deux dro&ea rectangulaùret quelconque» iêsueë du centre d'un cercle et le» direeliona aei/mptotiques forment un faUteau harmonique.
1 >• . Trouver Viqualion du point de contact d'une tangente (tf ', v') au cercle r* («* -f- "*) — ' ^= o.
Soit (u", v") une seconde tangente du cercle: l'équation du point d'intersection de ces deux droites peut s'écrire
r*(u~u-)(u-u") + r'iv~v')(t-v") = r^u' + v*)-^t. En effet, après la suppression des termes commuas, la relation précédente est du premier degré en u et t>, et représente un point situé sur les tangentes, puisqu'elle est satisfaite pour u=u' et ti=e', i»=«" et «=«", en tenant compte des relations,
Supposons que la tangente (u", v") se rapproche de plus en plus de la première qui reste fixe; ii la limite, lorsque les tangentes se confondent en une seule, leur point d'intersection devient le point de contact de la tangente (u', «')j de sorte qu'en posant u" = u', v" = v', l'équation demandée sera
r» (M -»')• + r' (i. ~ «')* = r* («' + »')- I , ou, après les réductions,
Itl. Chercher l'iquation du pôle de la droite {u' , v*) par rapport au etrcte r* (a* + w') — 1 = 0.
D,gnz.dbvC00gle
Soient u", »" les coordouDées d'une tangcate à l'un des poiots où la droite (»', vO rencontre le cercle; l'équatioii de soa point de contact est
r*(««" +«>")— 1=0 j mais, comme ce point appartient li la droite donnée, la relatitm préc^ dente est tatiafoile pour u = u', v := v*, par suite, r* {u'u" + v'v") — 1^0.
La droite (u", v") passe donc par le point de l'équation r* («u' + w') — I = o, et eelle-ci représente, par conséquent, le point de concours des tangentes BU cercle, qui ont la droite donnée pour corde des contacts, c'est-^t-dire, le pAle de cette droite.
Ainsi, Péquatioti
représente h pomt de contact, ii la ^oàe (u', v') toucha te cereU el U pôle de cette mime droite, tortqu'etle e»t tùuée d'une manière quelconque dont le plan.
t%%. Si l'^nation du cercle est de la forme
on arrire !i l'équation du point de contact d'une tangente (u', r') en posant :
ia*-^) («—«') («—«") + (6«— r") (D— »<) {«-«") 4-20* («—«') (v—v")
= (au +bv+ i)* — r' (u« + v*), pour l'équation du point de concours de deux tangentes (u', v*), (u", v"); si on suppose u" = u' et v" '= v', il vient, pour le point de conlact, (a* — r») (u — tt')* + (6* — r») (i> — v')* + zab (« — u') {v — v') = (flu + 6e+i).r»(««4-B*).
En développant et faisant usage de la relation (a* — r*) «'* + (6* — r*) v'* + aabu'v' = — aaw' — ibi/ — i , on obtient
(4) (au + bt + i)iau' + bV + i)~r'{uu' + w')=o. Cette équation sera, en même temps, celle du pâle d'une droite quelconque (u', v') par rapport au cercle de l'équation (i).
]nz.d=vCOOgle
— 1*7 — ISS. Supposons, plus géoérelement, qu'on rapporte un cercle de rayon r a troit points fixes du plan
(«)D = o, ((3)V = 0, {y)W = o. Soit M + mB -)- rtC ^ o l'équation du centre, et A,B,C les coordonnées d'une tangente quelconque du cercle. On sait (N« 81) que la distance r a pour expression
/A + mB+nC "■-* / + „4-n ' les coordonnées, A, B, C étant liées par la relation (N* 77).
j aA,6B, cCJ* = 4S'; de sorte que, en rendant la première expression homogène, l'équation du cercle en coordonnées tangcntielles sera
l.A,tB,ri:|.-g.(^ i%+„ )■■
OU bien, en posant :
(s) jaA,6B,cCi'={iA+fiB + vC)'. Soaaeette forme, Téquation du centre est "kk -(-^-f-vC = o,et le rayon est égal à Ï-— : car des relations précédentes on tire
2S l + m + n' aS i + m + n* 2S i + m-j-o d'où
L'équation (5} est du second degré en\xe les coordonnées tangenlielles; elle renferme trois paramètres A, fi, v qui se déterminent au moyen des conditions géométriques auxquelles le cercle doit satisfaire.
1S4> Trouver ^équation du cercUùuerùau triangle de rfférente.
Si le cercle (5} est tangent à la droite des points de référence a et ^, l'équation doit être satisfaite pour A e= o et B >= o ; dans cette hypothèse, on doit avoir
ctC» = v*C*, ou v!=e;
D,gnz.dbvC00gle
on trouvera de même que ^ et X doÏTent avoir pour valeurs 6 et a. Si on remplace les paramètres X, fietv par a, 6, c, les termes en A*,fi*, C* vont disparaître, et il viendra
6c(cosa + i)BC + ca{cos^4-i)CA + afr{cos j' + i)AB = o, ou
BC- 6c CCS* -et 4- CA ■ eocos'-S + AB •abeoa,*- v = o.
Si on représente par s le demi-périmètre du triangle de référence, l'équation du cercle inscrit est de la forme
(6) (, — fli)BC + (* — 6)CA + (s — e)AB = o;
le rayon a pour valeur . et l'équation du centre eit
oA + 6B + cC = o-
195. Trouver t'iquation du cercle conjugué au triaagU de réfh^Kt. Si l'équatioD (5) ne renferme que des termes en A*, B*, C*, et se ramèse i la forme
(it) f,A» + M.B»4-».,C»-=o,
elle représente un cercle conjugué au triangle ixjS}'; car si on chercbc l'équation du point de contact d'une tangente donnée ou du p61e d'une droite (A', B', C), par la méthode si souvent employée, on trouve liAk' -I- «tBB' + »,CC' = o.
Or, si la droite {A', B', C) coïncide avec le cAté <x|3, on a A' = B' = o, cl, pour le pâle correspondant, ttiCC'^o, c'est^-dire, C=o ou W=o; on verra de même que les sommets (3 et a sont les pâles des càtés opposés et, par conséquent, le triangle est conjugué au cerele de l'équation {k).
Cela étant, si on développe l'équation (5), les rectangles des coordonnées disparaissent de l'équation avec les conditions
Hv=s — frc cos «, hi= — ca cos ^, A/a = — abeosy, d'où
-j a*cos^cos}' j t'cosacosy ^ c'cosacos^
ces a cosji) cos^
En substituant ces valeurs dans (5), le terme en A* a pour expressioD ./ cospcosy\^,^.rcos« + [cos(|3 + -/) + sippsiny]-[oU'^.^a^„^.,
\ ~ COSa / L '=**'' J COSa
D,gnz.dbvC00gle
et l'équation cherchée sera de la forme
ou biea
(7) A* Ung a + B* tang (3 + C* Ung y = o.
Bxaroioes.
Ex. 1. Dini ontritiigle eireoiucrit i un cercle, les droite* «pli joigaent le* im point* de contact dd cAtéa opposé* «e coupent en ud méuie point. Si on écrit l'éqaatioD du cercle inceiit au triangle soos I* forme C [(.-o) B + (.-6) A] + (.-€) AB = 0, on Toit que l'équatioD
(.-.|B+(.-J)A=o, .1. -i + -A=o, représente le point de contact du c&ti afi ; le* point* antlogues pour les autres eàiia
Le* droite* qui joignent ce* |K>ints aux sonanel* du triangle ont pour point ei
Ex. *. IVouTcr rëqnation du cercle cireoa*erit au triangle de r^fërence. Si, dtBS riqnatioa générale du second degré ea coordonnées tangentielles lA* + ^B> -h «C -I- al'BC+ 3/CA -t- a>'AB = o, 00 pose A = o, il vient
Cette éqnalion représeale deux points situés sur ^j et appartenant aux tatf entes dn lien de l'équation issues du point ce; naisi si ce dernier est sur la courbe, il n'y a plus qn'ona tangente, et l'ëquation précédente donne deux point* qui coïncident; par suite, !'■ sz/a. Ea exprimant que le* autres sonunels sont sur la courbe, on trouvera auui p'»^!», /'=:l/i. Si l'on pose X^f*,it^g*,v=:h*, l'équation du lieu pa**ant par les looimets du triangle de réfcrence sera de la forme
TA" -^ s'fl- + At? - ajABC — ïA/CA — 2/JïAB =0,
Supposons maintenant que l'ëqualion précédente représente un cercle. Pour A^O,
ysB-*-yhc=o,
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qni domw le point conunon tu cAM ^7 et à la taDgente en a : an anyeii d'une fignre, w tronven bdlemeDt,ea abaiiunt dei perpendieDltiin det points p et ^«Qr cette tangente,
; C bûnfi
A ~ 5 ~ c fin -/ '
de mène -c: — :— ^ • et, par eons^cmant, / anna ' ^
tin*a md'^ (inV On aura donc, pour ]'J)|iiatioii dn cerd* circonicrit en eoerdonnjei tangentidlet,
Ex. S. Soit a le point de eoncoiin de denz tangentet à tu cerde, et^,;, lenn poials de eontact Si on rapporte le cerde an triangie it^, md Ration s«n de la tomt
Quelle e>t la ligniSeation gjjom^triqne de cette équation?
D,gnz.dbvC00gle
