CHAPITRE V

CEIRGLE (sitite).

'FroprléUa d'un aystème de dmx on d« pliuleon wmlM.

SoMKi»*. — Sgitbitt (te ctrtlt* qui ont mima lieaiite tomname. Dt l'amt rtuiieal, — Cmiri de timiiUude de dmx etrtttt. — Propriité* du lyttèm* de Ireit ctrlt* daiu wt pliut. Du etreU tangaut à Iroi* eerele* donnU.

§ 1. DE l'aXB RAMCAL.

t%%. Conàidérons le système de deux cercles représentes par les équations

(o) (x — oe)' + (y — 60)* — r,' = o, (i) (x — a.)»-l-(y — 6,)* — r,'=o, que nous écrirons, pour abréger,

Les expressions C» et Ci ont une signification géométrique qu'il fiiut indiquer. Si H (x,y) est un point quelconque du plan,(x — (>«)*+(y — ^)* est le carré de la distance de ce point au centre du cercle C* ; mais cette distance est l'hypothëDUse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont le rayon et la tangente issue du point H. Donc le premier membre de l'équatioa Co = o, c'est-à-dire (x — œo)' -f- (y — 60)* — r*, représente le carré dé le tangente menée d'un point H (x, y) du plan au cercle de l'équation.

La putMonce d'un point par rapport à un cercle est le produit des

se^ents dëtermiaés sur une sécante issue de ce point. On sait que ce produit est constant et égal au carré de la tangente menée du même point au cercle; de sorte qu'on peut dire aussi que €« et Ci représeolent la puissance d'un point H (x, y) par rapport aux cercles Co = o, Ci ^ o.

1S7. L'équation générale des cercles qui passent par les points d'ioter' section de C« et Ci est

(g) C — AC,=o,

où X est un coeffieient indéterminé ; car elle est du second degré et de li forme de l'équation du cercle en coordonnées rectangulaires ; de plus, les points communs à Cg et C| ont des coordonnées qui annulent ces quantités et qui satisfont à l'équation. On en tire

et, par conséquent, pour chaque cercle [s), le rapport des puissances d'un point rclatiTement i C«et Ci est constant.

Dans le cas particulier où > = i, l'équation {o) Co — Cl = o

est du premier degré en x et y, et représente une droite qui jouit de la propriété d'être le lieu géométrique des points du plan d'égale puissance par rapport aux cercles Co et C., et de passer par leurs points d'intersection. On l'Hppelle axe radical ou sécante commune des deux cercles.

Si on remplace, dans (o), Co et Ci par leurs valeurs, on trouve 4 {ai — a«) X 4- 2 (6i — 6,) y + i = o, en posant t = oo' + fc»* — oi* — bi* — r»* + ri*; cette équation représente une droite qui a pour coefficient angulaire — ^^ ^ ; elle est perpendiculaire à la ligne des centres, c'est-à-dire à la droite qui joint les points (Ofl, («}, (ai, b,).

L'axe radical de deux cercles existe toujours, soit qu'ils se coupent en deux points réels ou en deux points imaginaires; dans le premier cas, c'est la droite qui joint les points réels d'intersection, et, dans le second, celle qui passe par les milieux des tangentes communes; car les Ungentes menées de ces points aux deux cercles étant égales, ces milieux ont même puissance et doivent appartenir à l'axe radical.

L'emploi des coordonnccs cartésiennes donne scukmcnt deux points d'intersection pour deux cercles quelconques; cependant, chaque cercle passant par les points circulaires h l'infini, on doit regarder ces derniers comme deuT points d'inlerseetion du système. C'est ce qui devient évident avec les coordonnées triangulaires.

On donne quelquefois le nom de faiieeaii de cercles en tntoUnion au système (j). Cela tient ù ce que, pour y = o, l'équation prend la furmc

ai» + (:x + y — A {x'x* + |S'jc + -/) = o ;■ par suite, quel que suit J,les deux points qu'elle représente sont eq inrolulion avec les points d'intersection des cercles Co et C, avec l'axe des X. Comme ce dernier est quelconque, on peut dire que les cercles du système (s) déterminent sur une droite quelcouquc des points en invointion.

ISS. Tous les cercles de l'équation {s) passent par deux points lixcs du plan et ont môme axe radical, celui des eereles Co et d. Pour simplifier, prenons la droite des centres (ao, ^o), (oi, b,) pour axe des x, et l'axe radical pour a.TC des y, un cercle quelconque de la série sera représente par l'équntion

oii j. est l'abeissc du centre et r le rayon. Si on développe, il vient

(s) ^' + y' — 2)jr + m* 1= o,

en posant : m*^À* — r*. ï^ quantité m' est la valeur du premier membre de l'équation pour x = o, y = o, et représente le carré de la longueur constante de la tADgenlc menée du point 0 il l'un des cercles, c'est-ù-dire la puissance de l'origine. Il faut donner le signe -[- ù w' dans l'équation, si les cercles ne se rencontrent pas, et le signe — , s'ils se coupent en deux points réels: dans le premier cas, î.* — r'> o, et

dans le second, Â'— r* <o. Si *'''" *"■

'■^=±m, on a r=o, et l'équntion [s) donne deux points ou cercles inli-

D,gnz.dbvC00gle

nimcDt pcli(s situés sur la ligne des centres aux distance ± m de l'origine. PoNCBLET a appelé ces deux points les cercles Umitea du système : ils sont réels, si les cercles ne se rencontrent pas, et ils n'existent plus dam le cas contraire.

1S9. Les polaires d'un point du plan par rapport à tons les cercla de mime axe radical passent par vn point fixe.

La polaire d'un point [x', y'), par rapport ii un cercle quelconque du système, a pour équation

ro'+(i-^)(«'-'.)-'-'-o,

OU luen,

yy'+xx'~).{x + x') + m'=o;

quel que soit },, la polaire passe par le point d'intersection des droites yy' + xx* -|- m* = o et i + x' »= o.

Ce point fixe, en vertu d'une propriété de ta polaire, est réciproque du point donné; de sorte que toutes les polaires qui lui correspondent eoDeourent au point (x', y').

Pour un point de la sécante commune, on a x* ^ o, cl le point rpci> proque se trouve aussi sur cette droite.

Si on pose y' =: o et x* >= m, l'équation de la polaire devient x-{-m^o.

Ainsi, un point limàe a pour polaire, par rapport à tous Us cercles du aytième, une droite fixe perpendiculaire d la ligne des centres et passant par l'autre point limite; ees deux points divisent harmoniqucment les diamètres de tous les cercles.

!>•- Si d'un point de l'axe radical on mène des tangentes aux cercles du système, leurs points de contact se trouvent sur une circonfércoee ayant pour raycm la longueur commune des tangentes, et pour centre le point choisi sur la sécante commune. Ce nouveau cercle est orthogonal aux premiers, c'est4-dire que les tangentes aux points d'intersection sont perpendiculaires; il passe par les points limites, car les distances du centre à ces points sont les tangentes de ces cercles infiniment petits. ' L'aie radical doit donc être regardé comme la ligne des centres d'uae nouvelle série de cercles, orthogonale à la première, et ayant pour sécante commune la ligne des centres des cercles de la première série.

D,gnz.dbvC00gle

L'équalioa d'un cercle «{uulconquc du second système sera de la forme

jc' + (y — u)* — r* = o, ou bien

ï*4-y* — 2iii/ — m' = o; H étant l'ordonnée du centre et m la distance d'un point limite ù l'origine.

Ex. 1. Quel est l'axe radical des cerclej

«■-i-j(*— 3x— 41'-«-9=Ot «j' + ï» — 3» + ay — 6 = 0? R. » — 6y + i5:— o.

Ex. S. Trouver l'ëquatioa du cerde qui pute par le point [2, 3) et qui ■ mbac Mcante conmiDne avec le» e4irGlw de l'eieniple i.

R. 3!» -t- y + 4* — 4oy + 99 = O. Ex. a. Chercher les courdonnée» du eenlre et le njon d'un cerde de l'équatioD C,-lC.^o.

p. — ig. 6. — ift, r.l* -H i (M* — r,' — r,') r,'

□[ est )a dislance des centre* des cercles C* et Ci. El. «. Quel est 1« lieu géométrique des réciproques des points de la droite des

R. m±m^o : deni droites parallèles à la sécante eommane et passant par les poÏDlt limites.

El. S. Trouver le lieu des réciproques de tous les pointa de la droite gz=pa-t-b, 11 butélimiuor z* entre les deux équations

X»' + Ji (px' -*• b) -^- a,' = 0, « + «' = 0. On trouve a^ -f- pxg — by — m* =: o qui re[vésentc une courbe du second d^ré. Lorsque la droite donnée passe par le point limite (■», o), on t,pm-i-b^o et lacoorbe M rédQJt aux droites

a-»-»i=o, m+pj/ — m=o, dont l'aoe est parallèle i l'txe radical et passe par le second point limite; l'autre est perpendiculaire i la droite doonée.

Kl. •. Trouver réqualiou des cercles orthogonaux aux cercles donnés par les équations

(l) «• + »* — 3»(|i — 2*0? -I- e, = o, (a) «• -t- s' — 2a,ai — 36^ -i- e, = o. .'"

Soit

le eercte cherche. En exprimant que la somme des carrés des rayons qui aboulisseol à

z.dbvCoogle

u carre de I* distante

a«,ï -»- ib^fi y c. = o, an.ïH- 2ft,3 — /-'■.= o.

l'nr ri'liroiDalioD dc«, j9, l'cquilion gcncralcdcmaadccMri

I B* -t- sr* + ■/ « sr I = o.

F.x a. Trouver le cercle ortbogooal au trois ecrdeisuiiBnL »' •*- y* — 2»»» — z''oy + c» =o,

X* +SI* — 2a, s — 2(>|ir + c, ^o,

Ex. S. Soienl T, U, V les {ircmicr) lucmiirf s de nprèa les avoir rendus liomogcncs par l'iotroducliou T^ cic. ^tam les dérivées prises par rapport i r, y, i orlliogannl pcul se mettre sous la foriue

I TV ir; f* \

in|UBiioni de l*exenple prcccdnil "uLC Iroisi^e variable a ; TJ, TJ, montrer que réquaiioii du tente

Elle ci|irime ilora que Ici polaires d'un point de ce cercle par rapport aux trois aatm concourent en un autre [Miiit du même cercle.

Ex. •. D'uQ point H on mène trois droilei passant par les sommela a, f., y d'un triangle et coupant les eAlés opposés aux points n',^', -/. Le cercle orlh clouai aui cercles di.'erils sur az', ^^', y/ passe par deux jioinli lîics, quel que mil le jwint H. (H Faumc.)

Ex. a*. Étant donnés deux ecrelet qui se coupent orthogonal cmeol, si l'on bit passer au cercle par leurs centres cl leurs points d'inierMclioii, la sonime des jiuiisanees d'un point de ce cercle par rapporlaux cercles donnés est nulle.