S 3. CENTRES DE SIHILITUDE DB DEUX CERCLES

131. Soîeatocti les centres de deux cercles. Si on prcnil |ioiir a\i^ des coordonnées tes tangentes communes, les équations des cercles sont de la forme

■ (o) ic' + ï' + 2ïy C09 S — 201 — laij + n* = o, (i) a;' 4" y* + 2*1/ cos e — aa'a — 2(i'y-ho"= o,

où « = SA, tt' ^= SA' et Q est l'naglc des axes. Menons pnr l'origine une sécante j/ = par; elle rencontre les cercles aux points r, r', R, H'. En

vr|. M.

représentant par x et y, X cl Y les coordonnées des points r et R,

on a les égalités

'==5, d'où -=.

Posons

Si, dans l'cquation (i), on remplace les variables x et */ par )jc, )y, on obtient

À' (x* -\~y* + 2xy cos S) — aa')^ — 2a'ly + a" i= o,

et, en prenant X=— , on retrouve l'équalion du premier cercle. Pour les

points r et R appartenant ïi la fois aux cercles et ù In sécante issue du point S, on a donc les relations

d'où

X Y [/X' 4- Y* + ïXY cos 9 SR o| SA^ '^ y l/x>-\-y''}-2XycosB ^r a SA Lo rapporte-:— est constant igucl que soit la direction de la sécante, et

D,gnz.dbvC00gle

on peut cunslruire le second cercic flu moyen du premier, en prenant, sur

le prolongement de Sr, un point R tel que SA =— • Sr. Cette propriété

est celle qui caractérise la similitude de deux figures. Le point de concourt des tangentes communes S est appelé centre de limiUtitde des deux cercles. Les points r et R qui apparlicnnent i des ares de même sens sont dits komologuei directe; deux points tels r et R' sont homolcgneê inverêta. H faut attribuer la même signification aux droites homologue» directes et aux droilei homologues inverses.

IIS. Les rayons qui aboutissent a deux points homologues directs sont paralIcIcB ; car ai on mène les rayons aux points de contact des tangentes, on a évidemmeot

SR SA'r,Si Sr~SA ~n~SÔ'

et les triangles orS, iRS sont semblables. Réciproquement, si on mène deux rayons parallèles or, iR, la droite qui joint les points r et R passe par le centre de similitude. Cette propriété permet de construire te point S sans faire usage des tangentes; il suOil de mener par les centres o et I des cercles deux rayons parallèles ; la droite passant par leurs extrémités rencontre la ligne des centres au point S.

Si on rapportait les deux cercles aux tangentes intérieures, on verrait également que leur point de concours Sj jouit des mêmes propriétés que le point S. C'est aussi un centre de similitude des deux cercles. Pour le construire, il faudrait tirer deux rayons parallèles et dirigés en sens opposé; la droite qui réunit leurs extrémités détermine sur la ligne des centres le point Si.

Cette construction des points S et Si nous montre que les centres de similitude de deux cercles existent toujours quelle que soit leur position dans le plan, qu'ils soient intérieurs ou extérieurs l'un à l'autre. Quand deux cercles se touchent, leur point de contact sera évidemment un centre de similitude.

ISS. Les droites homologues directes sont parallèles tandis que tes droùes homologues inverses concourent sur l'axe radical. Prenons pour axes des coordonnées les sécantes SR et SP issues du

point S; posons Sp=p, Sp'=p', Sr=r et Sc' = r'. On app' = rr',

et l'équation du premier cercle est de la norme (N" 104)

(o) x* + y* + 2JycasB — (p+p')x — {r + r')y+rr'^o.

Si on désigne par m le rapport de similitude, SP = mp, SP' = mji', SR = ntr, SR' = mr' ; et le second cercle aura pour équation (i) X* + y* + 2XJ/ cos 9 —m{p+p')x — m{r + T')y + m'rr' = o.

L'axe radical des deux cercles est représenté par

(p l p')x + (r-f r')y — rr'(r + in) = o.

D'ailleurs les différentes droites bomologueg de la figure ont pour équations

Il est Tiaible que les droites homologues directes rp et RP ainsi que r'p' et R'P' sont parallèles; d'un autre côté, si on ajoute membre à membre les équations (rp) et (R'P'), (r'p') et (RP), on trouve

ou bien

[p4 j/)i + (r + r')y — (i4-m)iT' = o; et par conséquent, les points d'intersection des droites homologues inverses se trouvent sur l'axe radical.

1S4. Trouver le$ eoordonniet dei centres de simUùvde de» ctrclet Ce = o. Cl = o.

Soient

Ad = «0» + bi,v -\-i = o. Al ■= aiU + fciO + i = o, les équationsdcs centres des cercles donnés ;ceux-ei seront représentéspar

A," — r.» («• + V') = o, Al* — r," {«» + «') = o, dans lesquelles u et v sont les coordonnées d'une tangcnic quelconque. En retranchant ces équations membre à membre après les avoir divisées respectivement par r»' cl ri*, on obtient Ao' A,»

D,gnz.dbvC00gle

Cetic relation est satisfaite par les valeurs de u et f qui correspondent au\ tangentes rommunes, et, par suite, les équations , , Ao A, A- A,

représentent les points de concours de ecs tangentes ou les centres <lr similitude des deux cercles. La première donne le point que nous avons appelé jusqu'ici S, et dont les coordonnées rectangulaires sont :

la seconde représente le point de concours des tangentes intérieures, et les coordonnées rectangulaires de ce point sont

atri'\-ain b^r, -j- 6|r,

r, + ro ' "'^ rt+u

La forme des équations (a) met en évidence celte propriété des centres de similitude de diviser harmoniquement la distance des centres des eerdes.

ISfi. Trouver les équatiom des tangentet commuues aux etrrlei Co=oetC, =o.

Les tangentes menées d'un point extérieur (x', y') au eercle Co ont pour équation

[{X - a„) (x- ^ ao) 4- (y - 6.) (y' - 6.) - r.*]*

- K^ -«».)* + (!/- 6.)' - ru'] [{x- - «.)• + (y' - 6»)' - r.*] = o.

Ponr obtenir les tangentes communes extérieures, il suffit de remplacer

x' et y' parles coordonnées du point S; après quelques réductions, on

trouve

[(I - a.) (o. - .,) + (J - 4.) ib.- 1,) - r. (r, - r.)j' -[(x-o.)' + (s-6.)'-r.'j|o.'-(r,-,-.)'l = o.

D,„„.db,Coogle

ou oi reprdsenb; la disUnce des cenires. On peut transformer cette équation, en remarquant que t'ciprcsssion renfermée dans la première parenthèse est égale à

(a* — ai)x+{b» — b,)y — a«*^mai — V+6»6t — for, -j-»"»* =— [Ci — Ce — oi* — 6i*4-'"i* — oo* — 6û'-|-ro*+2«o(i(+ 36061 — aroT)]

En autwtitusnt, l'équation des tangentes extërienres est de la forme j C, — C ~ [^' — (r, — n)*]\* — 4C, \Sï* - (r, — r,)'] = o.

1S#. Trouver Im éijuationi det polaires des centres de timititude relalivetnent aux cerrlts Ce = o, C| = o. la polaire d'un point (x', y') relativement au cercle Co a pour équation

(X - B.) (x' - a.) 4- (y - 6.) (y' — M - •■»* = 0- Pour obtenir la polaire du point S par rapport au même cercle, il faut poser

a»r, — Oir» , fceTi — 6ira

r,~rt ■' ri — r»

Après la substitution, on obUcnt

(x — floH"» — «i)-t-(y — M(^i> — 61)— '■•('■' — ro) = o,

ou, en Tcrtu d'une transformation indiquée au numéro précédent,

Cl — C, — [ôï' — (r, — r,)*] = 0.

Pour In polaire du même point rclalivcBiCDt au cercle Ci, on aurait

ou bien,

C, — C, 4- [ôï* — (n — ro)«I = o.

EnGn, en répétant le même calcul pour le centre de similitude Si, on

trouTerait pour les polaires de ce point relativement aux cercles C* et C|,

C, — Co - [ÔT* — {r„ + r,}»] = o,

D,gnz.dbvC00gle

On dûteriDÎncrnït les coordonnées des points de contact des tangentes cxtdrieurcs et intérieures, en combiDant ces équations avec celles dn cercles Cn et Ci .

§ Z. SYSTÈME DE TROIS CERCLES. — DU CERCLE TÂSGËNT A TROIS CERCLRS DONNÉS.

117. Considérons, dans un plan, trois cercles représentés par Itt équations

C, = o, Cl = o, C» = o, dont les centres sont les points (oo, bo)> (ai , b,), (oi, bi), et les rajrons ra,ri, ri. Les sécantes communes des cercles pris deux ii deux ont pour équatioDs

Co — C) = o, C, — C) = o, Cl — Ca = o, et, par conséquent, elles se coupent en un même point appelé centre radical des cercles donnés. En vertu de la signilicalion des qutntilû Cn, Cl, Cl, ce point jouit de la propriété, que les tangentes aux cercles issues de ce point ont même longueur. Le centre radical est ainsi le centre d'un cercle orthogonal aux trois autres et dont le rajon est It longueur commune des tangentes. Deux des trois équations précédentes, par exemple,

Cl — Cl =s o, Ci — Co ^= o,

serviront à calculer le centre du cercle orthogonal; le rayon s'obtiendra en substituant les valeurs trouvées pour xcty dans l'une des expressions C„ C„ Ct.

1*6. LeB centrée de simililude de trou cerck» sont nluét Iroit à troit tur quatre droite».

D'après le N' 134, les points de concours des tangentes extérieores sont représentés par les équations

r<i r, Tt r» ri re

et les points d'intersection des tangentes intérieures par

La Torme de ces équations indique que les trois premiers points sont en ligne droite, ainsi que deux des trois outres avec l'un des points (i), (2], (3). Les coordonnées rectangulaires des six centres de similitude se ral-

D,gnz.dbvC00gle

culent facilement au moyen des relations prëcëdentes. Les droites sur ksquelles se trouvent ces points sont lea axes de similitvde des eerclcs donnés; celle qui joint les points (i), (2), (3) s'appelle axe extérieur de timUitude. Ces points et ces droites existent toujours, quelle que soit la position relative des cercles d, C|, Ct.

Il résulte de ce théorème que, si un cercle S ^= o touche les deux cercles Cg ^ o et Ci = o, les points de contact sont en ligne droite avec un centre de similitude de Co et Ci; car ces points de contact sont deux centres de similitude des trois cercles S, Co et C|.

1S9. Trouver Véifualion de l'axe extérieur de similitude.

n BufGt de chercher l'équation de la droite qui joint les points (i) et (3) du numéro précédent. Les coordonnées rectangulaires de ces deux centres de similitude sont

r, ~ ri •' fil — r.

ct l'équation de l'axe extérieur de similitude peut se mettre sous la forme

(7) M^t - b,)-hr, (6a — 6,) + r, (6, — 60)]» — [ra{at — a,) + r, {«• — ai) + rt (oi — o»)]y

4- ro(ai6» — oi6i) + n (ai&« — «eti) + rt {at,b, — Oi6û) = o. On trouverait de la même manière les équations des autres axes de similitude.

1 40. Déterminer le pôle de l'axe extérieur de similùude. Nous avons trouvé (N* 136) pour la polaire du centre extérieur de similitode des cerelcs C» et Ci par rapport au premier^ l'équation

(8) C, - C. - [oV — (r, - ra)'] =0.

De même, la polaire du centre extérieur de similitude des cercles Ci ct Cl relotivcmcnt à Co sera

(9) C — Co — [m' — {r, — r„)*\ = o,

où o2 est la disUnce des centres de C» et d. Les droites (8) ct (9) doivent passer par le point demandé ; en résolvant les équations par rapport à x et y, on aura les coordonnées rectangulaires du pôle de l'axe extérieur de similitude des trois ccreles par rapport à C«.

D,gnz.dbvC00gle

Fi|. (7.

— lf.4 —

141. Nous niions Icrmincr l'titudc du cercle pnr la résolution d'un problème intéressant et qui a àéjh reçu plusieurs solutions. Ce problème consiste u déterminer un cerrlc tangent à trois eoreles donnrs. Soient o, I, î les centres des cerelcs Co =o, Ci = o, Ci = o; X et y les coordonni'cs «lu centre du cercle inconnu et r son rayon. On exprimera qu'il est tangcRlintcricurcment ou extcriciirrnicn t n l'un des cercles proposés, rti cgalnnt la distance des centres ïi lo somme ou ii la diffcrcncï des rayons. Ce qui conduira aux égalités suivantes : (x — a„y + (y — 60}' = {r ± r«)», (x-a.}' + (y-M' = ('-±r,)', (x-a,y + (y-b,y = {r±r,Y; ou bien

CB + r<,* = (r±ro)».

La combinaison des signes donne lieu ù buit solutions distinctes: miii le nombre des solutions réelles dépendra de la position respective des cercles donnés. Quand ils sont extérieurs l'un Jv l'autre, on a ; i* Dcuï cercles dont l'un louebe les trois cercles donnés intérieurement et l'iulrc extérieurement; 2' Trois cercles ayant des contacts extérieurs stcc dcu\ des cercles donnés, et un contact intérieur avec le troisième; 3' Trois cercles ayant deux contacts intérieurs et un conlncl extérieur «lec 1rs cercles proposés.

Dans chaque cas, on pourra toujours écrire trois équations de 1» forme (a), en ayant soin de donner aux rayons i„, r,, r» des signes convenables. Par exemple, pour les deux cercles qui louchent les aiilrt-s, l'un intérieurement, l'autre extérieurement, on aurait les égailles (10) C-f r,« = (r4-ro)', C,-\-r,' = {r + r,y, C, + r*' = (r + r,)^ (10') C„ + ,■„« = (,■-,.„)>, c,+,V=.(r-n)', C. + r,» = (r-r,J^

D,gnz.dbvC00gle

Le» rcliilions {x) renrcriiient donc la solution analytique du problème ; il faudrait rcsouilrc ces trois ëqualiuns par rapport aux inconnues x, y et r, pour obtenir tous les cléments d'uQ cercle qui répond k la question.

149. Nous nous proposons,dsns ce qui va suivre, d'indiquer un moyen de dfîcrirc un cer(dc langent à trois cercles donnés sans résoudre les équations (x). D'abord, si on retranelic \cs équations (lo) membre à membre, on obtient

Cl - C = 2rlr, — r,),

(n) Ct — Co=.2c{r, — !■„),

En multipliant respectivement ces dernières par rg, r„ ri, cl en ajou-

(antensuilc, la somme des seconds membres est nulle; on a donc l'cqualioR

Les coordonnées x et y du centre du ccrelc cberclié doivent satisfaire aux relations (ii) et (12) qui découlent des équations (10), Hais si on remarque que les diiïércnccs Ci — Cj, C| — C», Cb — d sont du premier degré en x et y, et qu'elles représentent les premiers membres des équations des sécantes communes, l'équation (12) est celle d'une droite qui passe par le centre radical. De plus, elle ne change pas si on écrit — ra, ~ri, — Ti nu lieu de ro, r,, r» ; cette d.roite renferme les centres des cercles tangents extérieurement et intérieurement au:c cercles C», C,, Cf.

Le cocflicient angulaire de la droite (12) ■ pour expression

r« (Oi — ai) 4- «"i ("o — "0 + rt(a,~at) r,{b, — b,)-\-r,{b,-b,) + r,il„~li,y

tandis que celui de l'axe extérieur de similitude est (N* 139]

j-o (oj — oi) + r, {a» — o,) + r, (a, — oo)

La droite représentée par l'équation (12) est donc perpendiculaire à l'axe extérieur de similitude. Si on étend cette conclusion aux autres axes, on a la proposition suivante :

Les centres des huit arêtes tangents d trois cercles donnés sont sUuis deux à deux sur tes perpendîcutaires abaisses du centre radical sur tes axes de similitude.

14S. ConsidéroDS spécialement le cercle qui louche iaUSrieurement les trois autres et dont le centre est s {x, y).

Soient (jc' y*) les coordonnëes de son point de contact avec Ct; ee point divise la distance <o en deux segments dgaux b r« ct r, et, par suite, __r»x-J-ro« , nj/ + rb„

r, + r ' ^ ~ TD + r ' d'où

Ces dernières valeurs doivent satisfaire aux t-quations (i i). Remarquons que la substitution des expressions précédentes dans une fonction de U forme ax ~{- by -i- e, donne pour résultat

jc=zz',y = y', et retrancher ensuite le produit de — par la valeur du

même polyndme pour x = at,y = b». Cela étant, la substitution de x el de y dans les deux dernières équations [ii) donnera

où C'o, Cl, C'i sont les valeurs de Co, Ci, Ci quand on remplace x cty par x' et y'. En simplifiant et supprimant les accenls, on obtient deui équations de la forme

qui représentent deux droites passant par le point de contact [x', y').

— ly? —

Comparons ces équations avec colles qui de terni iaeiit le pôle de l'axe extérieur de similitude (Pf" liO), et qu'on peut écrire

C, — C C, — Ce

02 — (rj — r«)* 01 ~{r, — r,)*

La souslractioa de ces deux égalités conduit à une nouvelle équation représentant une droite qui passe par le centre radical et le pdie de l'axe eilérieur de similitude; car on a

Ci — C Cl— U

3i* — {r, — ro)' ^* — {>; — r,)'

D'un autre côté, si ou retranche (13) et (14) membre à membre, un retrouve la même équation: il en serait encore ainsi, lorsqu'on remplace rotnjri, par — r<i, — n, — r,. Il en résulte que la droite qui joint le centre radical avec le pâle de l'axe extérieur de similitude par rapport à Ct, passe par les points de contact de ce cercle avec ceux qui toucbcnl les trois autres intérieurement ct extérieurement.

En généralisant ce résultat, on a que tes droites qui passent par le centre des sécantes communes et les pôles (fun même axe de similitude, par rapport d chacun des cercles donnés, rencontrent ceux-ci en six poinli qui sont lespoinls de contact de deux cercles tangents d Cd, Ci, Ci.

Ainsi pour décrire le cercle qui toucbe les trois cercles donnés intérieurement, il faut déterminer les pdles}>i, j>„})i de l'axe extérieur de similitude relativement aux trois cercles. Si O est le centre radical, les droites Opi, Op,, Opi rencontrent les cercles intérieurement en trois points qui sont les points de coutoct. On abaisse ensuite une perpendiculaire du point O sur l'axe de siioilitude; la ligne qui joint le centre d'un cercle avec son point de contact déterminera, par sa rencontre avec la perpendiculaire, le centre du cercle cbercbé (0.

(I) Cette solulion analytique est daniiéa par 0. IIisbk dans un opuscule intitule : Vorlaungm au* der anatyliidieii Geaiiutrla dtr geraden Linit dei PuHktti und dei Krâtti, Leipzig, 180S. Le cercle qui touche trois cercle) donnes jouit de nomhreuscs propriétés, voir Pohcilet, Traiti dei propriitit prtgettlvei dtt figwtMi tome I, 1 56.

D,gnz.dbvC00gle