COURBES DU SECOND ORDRE
Ëqtutlon générale da Beoond dagré en ooordoiuéea ourtésiamiiM.
SoHMiiii. — IhtUguti repréimliit par l'équation gitii''^» ^h *emnd iegri. IdntiU d« i^urliet dn êteond ordre avec Uê itttion» confçvu, Cmire, diaMèlrt* tt maa dit lignée ibt iraind ordr». — De la tangente et de ta polaire. -- SimpU/teaUm de Ciquathn générale,
S 1. DISCUSSION DE L'âQUATlOK GËNËRUE DO SECOND DEGHË. 5BCTI0KS COHIQDES ASSUJETTIES K CeRTAINES C0KD1TI0K9.
144. L'équation la plus gcnéralc du second ddgrc en x et jf est de la forme
(i) Ay» 4- zBxy + Ci» + 2Dy + «El + F = o, dans laquelle A, B, C, D, Ë, F sont des coefficients positifs ou négatifs; dans les cas particuliers, plusieurs de ces cocflicicnts peuvent être nuls; mais, pour que l'équation sotl du second degrt^, l'un des trois premiers doit toujours être différent de zito. RcsoItods l'équation par rapport »y,i\ viendra
(2) y = 5i±^±i,/(Bi AC)ï»+2(BD— AE)j;-t-D'~AF.
Si le coefficient A n'est pas nul, on peut poser :
D,gnz.dbvC00gle
et la valeur de l'ordoancc y devient
(3) y = mx-l-6±R.
* Menons dans le plan doux axes quelconques OX, OY, et construisons la droite D représentée par
(D) y = mx-\-b.
D'après l'équatioD (3), les points de la eourbe s'obtienocnt en augmentant et en diminuant l'ordoimée de la droite D, de la valeur de l'expression R pour l'abcissc correspondante; ils se trouvent donc, deux ù deux, sur des parallèles h. OY, de chaque côté et à cgale distance de la droite D, qui jouira de la propriété de passer par les milieux d'une série de cordes parallèles. Celte ligne D est nommée diamètre de lo courbe.
La forme du lieu représenté par l'équation (i) dépend de la quantité H; pour l'obtenir, il faut déterminer les valeurs de x qui rendent ic radical réel; car, pour ces abcisscs, les ordonnées fournies par l'équation (5) sont réelles, et les points correspondants du lieu existent. On y parvient par la règle suivante : lorsqu'un polynôme du second degré de la forme <w'+6x + e, égalé à séro, donne des racines égales ou imaginaires, il conserve le même signe que le coefficient de x*, quel que soit x; il en est encore ainsi, quand les racines sont réelles et différentes, cxcepic pour les valeurs de x comprises entre les deux racines. Posons A=B* — AC; ily n lieu, dans la discussion de l'équation (3), de distinguer trois cas, suivant que A ou le coefficient de x* dans le trinAme sous le radical est négatif, positif ou nul.
145. Premier «M: A <o. Soient x' et x" les racines du trinâme sous le radical égaléàzéro;ea mettant le signe négntif dcAcn évidence, on peut écrire
Si les racines x' et x" sont réelles et
inégales, il n'y a que les nombres
compris entre x' et x" qui, substitués
àx, donneront un radical réel. Prenons "1- **■
OP' = x', et OP" = x"; les points du lieu doivent se trouver dans la
portion du plan située entre les parallèles à OY, menées par les points P'
et P". D'ailleurs y no peut pas devenir infini pour une valeur de x comprise entre x' et x", et la cuurbc de l'équation (3) sera nccesaairemcDt fermée, comine le montre la figure.
Lea deux points du diamètre A' et A" appartiennent k la courbe; car,* pour x = x' et X := x", R '= o, et l'ordonnée de la courbe (3) se réduit à l'ordonnée du diamètre. Quand l'abcisse x varie de x' à x", R, qui est nal au point A', augmente d'abord pour diminuer ensuite et reprendre li valeur o au point A"; entre ces limites, il existe une valeur de x qui donne à R sa plus grande valeur, et à laquelle correspondent les poials M et H' de la courbe les plus éloignés du diamètre. Pour déterminer cette abcisse, écrivons
La quantité R est maximum avec le produit (x — x'l(x"— x); mais, dias
ce dernier, la somme des facteurs est constante et égale à x" — x*; sa to-
leur est maximum, lorsque les facteurs sont égaux. Posons x — x'=x" — x;
x'+x" ODen tire, x>=>— ^!^ — : c'est l'abscisse du milieu I de P'P".En substituant
ce nombre à x, on a, pour le maximum de R, — • y ^.
Si les racines x' et x" sont égales, l'équation (3) devient
y = nt4-6±: — 7 — (/— A;
elle représente un point réel situé sur le diamètre, et dont l'abcisse est X =< x' : seule valeur qui puisse faire disparaître le radical imaginaire de l'équation.
Enfin, si les racines x' et x" sont imaginaires, il n'existe aucun nombre réel qui puisse rendre la quantité sous le radical positive ; l'ordonnée y est imaginaire et la courbe n'existe plus.
La ligne du second ordre qui répond à ce premier cas s'appelle tltipie; elle est caracténsée par la relation : B' — AC <o.
El, 1. Que reprftciilent les équations
(1) 4y' — 4ay + îx' — 8y — M + 9:=o,
(a) ï' — wjr -I- 4^" H- as - 141 + 13=0,
(3) r/'-2Xtf +2J!' — 2J-M-»-6 = 0?
D,gnz.dbvC00gle
Des «Ilipsci : poBr ee» ^quilioas, B" — AC <o, La premiire représente upc ellipse réelle comprise enlre les parallèles a — 1=0,* — 5 = 0; le diamètre est y = - a: -t- 1 el, pour a: = 3, R prend sa valenr miximmn I. L'éqoalion (2) représente le point {2, l) da diamètre y = x — i ; enSn, l'ellipse de réqnalioQ (3) est imaginaire.
Ex. ». Indiquer U position des courbes représentées parles équalions saivantes:
(1) y* — 3xy -t-aai' — 2y — 3ii!-t-7 = o,
(2) y" -I- 3Xy -*• lOB!* - 9» :^ o,
(3) 2iB«-»-3if» = 8.
La première est une ellipse comprise dans la portion du plan inlcrceplée par lei
parallèles X — 3 K D, a - 2 = o { l'ëqualion du diamètre est y = 1 -t-i j i"""" '=2' a est maximum et égal i - . L'ellipse de l'cqnaUon {2) passe par l'origine et se termine ilaparalliie 31 — 1 = 0; le diamètre est y = — «, et R est maximum pour " = -■ L'équation (3) représente une ellipse «yraélrique par rappoK aux axes coordonnés. Ex. ». Que représente l'équalioii
oi> + Ay> -^ pu + çy -I- r = o, lorsque oet & sont de même signe;
Une ellipse dont le diamètre est parallèle aux x; si a = b, l'équation représente du cercle : on doit donc regarder le cercle comme un cas particulier du genre ellipse. Ex. 4. Quelle eat la condition pour que les équations asf' -t- a' -t- px + q ^ o.
a«*-t-y'-+-ry-t-»^0 représentent des ellipses?
II faut que le coefBcient a soit positif.
lAB. Deuxième ca* .• A > o. Supposons que les raciaes x' et x" du trinôme sous le radical égalé à zéro soient réelles et différentes; on aura
Les valeurs de x comprises entre x' et x" rendentRimaginaire ainsi que l'ordonnée y de l'équation (3). Prenons
OP' = l'elOP"^ x"; il n'y ""■ "■
aura aucun point du lieu dans In parlic du plan intcrccpliie par les parai-
D,gnz.dbvC00gle
lèlcs j — x'=^o, X — Jc"=o. Hnis,qunnil x varie «Jupuis j:" jiisqii'û + 00, ou depuis x' jusqu'il — 00 , R est toujours réel cl augmente indélinimciit Dvcc X. La courbe se composera de deux brandies dislinclcs partant dc^ points A et A' et s'cloignaut î) rinfini dans les deux sens du dinmètre. Si les racines sont égales, on a
l'équation {3) s'abaisse au premier degré, cl devient ij^mx-^b±. — -— (/îï .
Dans ecltc hypothèse, on a, pour le lieu de l'équalion du second degré, les droites
(DO y = mx + 6-^:=^(/Â,
qui se coupent sur le diamètre D; cor, pour x = x', les ordonnées des
droites D, Di, Di sont égales.
Enfin, lorsque les racines sont imaginaires, il n'existe aucun nombre
rcelqui puisse annuler le radical; maisR est toujours réel quel que soitjr,
et la courbe embrasse tout le plan de chaque rtilé du diamètre sans rencontrer celle droite. Si l'on veut déterminer les points les plus rapprochcsdu diamclrc.il Tant, dans clioquu cas, introduire un carré sous le radical, et mettre It sous la forme
où (t'est nécessairement une qnanlilé Fif. M. positive, puisque R est réel que) que
soit x; alors, il est visible que la valeur x = « rend R minimum. On obtiendra les points les plus rapprochés du diamètre, en prenant, sur l'ordonnée qui correspond à x = a, à partir du dinmclrc, les longueurs IM ^= IM' =^ minimum de R.
D,gnz.dbvC00gle
La courbe qui répond h ce second cas s'appelle hyperbole; elle est earactërisëc par la relation : B* — AC ^ o.
Ex. 1. Que rcprc$ciitcDt les équilioDS
(I) 4S*~8xy-*-3»>'-¥49 — œ-t-5 = o,
(3) j)* — aty + ^ï — 4a! — 2 = ûî
Des hyperboles: elles donnent B' — AC>0. Le diamètre de l> première cit y:slB 1 et les poiuU où e[ie rGiicoDlro cette droite oui pour ibcisses e=: — i,
c:=4; Il seconde cquBLioii représente les deux droites y^ — i,y^2« — 3 qui se coupent sur le dismèlre y ^ » — 2 ; enfin, l'hyperbole de l'équttion (3) ne rencontre pis lo diamètre donné par ]r = > — i;dana cet eicmple, R peut se mettre soas la forme R = ï^l«-hi)'-«- 2, et, pour *= — i, on a H=l/Tquî est »a yaleur
Ex. •. Qae rcprëscole l'équation générale (1), lorsque l'un des coefltcients ActCi égal a tëro?
Supposons A = o, on a réquatioii
2B«y -t-Cx'-t- sDy -I- zE* + F = o,
qoi, résolue par rapport i jf, devient
Ca' -I- zf.!t -I- F
après avoir effcciuc la division autant que possible, la valeur de f sera de la forme
où r est le reste numérique de la division. Construisons les droites qui ont pour équations
(II) " = -^' m v=mx^b.
Si x=z — -=1 l'ordonnéeyde la courlo est inGoie, et quand x varie depuis — —
jusqu'à -*■ 00 , elle diminue d'abord et se rnpprocbc ensuite do l'ordonnée de la droite D en la surpassant toujours; cnlin, pour x=:co, la fraction du second membre de (n) est nulle. On a ainsi une brauche de courbe située dans l'ongle des droites D cl H et qui s'étend vers Tinfîni en se rapi^ocbanl de plus en plus de ces droites. Il existe uiio deuxième brancbe infinie située dans l'angle opposé) et qui correspond aux valeui'S de c
comprises entre — — cl — œ . L'équation proposée représente donc une hyperbolcj on a effectivement B' — AC = B' > o.
Ex. a. Indiquer la psition de la courbe dci'équation 2Bxy •+■ 2Dy + zEx + F =^ o.
D,gnz.dbvC00gle
On *: A^C:=o et B* — AC^o. Il ctt bcile de inoDtrer, ea luirtnt It imrdM de l'eicmplE prMdcDt, que l'équilioB repr^nte une hj'perbole silure diiu let taff** opposés des d roi le)
143'. Troisième eaê ; A=o. Si B* — AO=o, le trinAme sous le radical égale à z<!ro a deux racines dont l'une est infinie, et l'autre est donnée par l'ëquation
2 (BD — AE) a: 4- D' — AF = o.
