D' — AF
Posons i' = ; l'ordonnée y de la courbe aura pour expression
y = uji + 6 ± i(/2(BD — AE)(a: — I').
SoitOP'^=x'; le point A' du diamètre appartient ù la courbe: car, pour cette valeur de x, le radical disparaît. De plus, la seconde racine étant infinie, la courbe rencontre le diamètre en un second point à l'infini. SiBD — AE> o, toute valeur de z plus grande que x' rend le radical réel, et tous les points du lieu se trouvent dans la région du plan située h droite de la parallèle X — x'=o; tout point pris & gaucbe a une abcisse plus petite que x* et ne peut appartenir au lieu de l'équation, puisque l'or^ Fi|. SI. donnée correspondante est imaginaire. La
courbe part du point A' et s'étend à l'infini dans le sens des x positifs. Lorsque BD — AE<o, l'ordonnée y est réelle pour toutes les valeurs de X comprises entre z' et — oo ; on s, dans cette bypotbèse, une branebe infinie, comme celle de la figure, seulement elle est dirigée en sens opposé, vers les x négatifs.
Enfin si BD — AE := o, l'équation représente deux lignes droites parailèlcs, réelles ou imaginaires; car la relation (3) se réduit it
y = mx + b^j j/D' — AF.
La courbe du second ordre, pour laquelle B' — AC ^ 0, s'appelle parabole; elle se compose d'une seule branebe infinie dont les deux
D,g,,z.d.bvCOOgle
parties ont uue tendance h se rapprocher h l'infini pour se rencontrer sur le diamètre.
El. a. Qae KpréscDteDt les équations
(s) y* + say -t-a^ — zy-^m-t-im^o,
(3) y" — 3*y-i- «*-*-3y— 3Hi-»-a=o?
De» paraboleg ; fil — AC = o. La première a pour diamètre y ^ 20 — I, et reueonlre celle droite su point qui a pour abciue c = — ~ ; la seconde touebc l'aio dei y et «'étend « l'inBoi Ter» lei m né^tib; It troiiième est une parabole qui m réduit aax deux droites
Et. », Indiquer la position de la parabole qui ■ pour équation
Cz> -h 2Dy ■+■ zEm + F = o.
Sionréaoodl'éqaatîonpiir rapporiiy, ona
C«'-4-aE»-*-P C
où «' et z" sont les racines de l'équation Ca' + aE* -h- F = o.
Lanque les racinei »0Dt réelles et inégales, la parabole rrnconiro l'axe des 0 en detix points ; ai elJea sont égales, la courbe est tangente à cet axe ; quand a* et a^' tont inuginairee, il n'y a plus de rencontre ayee OX.
US. Il résulte de cette discussion, en y comprenant les exemples relatirs h certains cos particuliers, que l'équation fënérale du second degré ne représente que trois espèces de courbes : des ellipses, des hyperboles et des paraboles, suivant que le binéme caractéristique fi* — AC est une quantité négative, positive 00 nulle. Le genre ellipse comprend les courbes fermées, et, comme cas particulier, le cercle, le point; le genre hyperbole renferme les courbes à deux branches infinies séparées par un certain intervalle, el, comme variétés, deux droites qui se coupent; le genre parabole comprend les courbes formées d'une branche infinie, qui se distingue d'une branche d'hyperbole, en ce que les deux parties tendent à se rencontrer ii l'infini, tandis que dans l'hyperbole elles sont de plus en plus divergentes; la parabole peut se réduire, dans certains cas, à deux droites parallèles. Enfin, lorsque fi* — AC < o, il arrive quelquefois que l'équation n'a aucune solution réelle et qu'elle représente une ellipse imaginaire; si B' — AC == o, elle peut ne donner que deux droites imaginaires.
D,gnz.dbvC00gle
149. l^s trois courbes du seconit ordre s'obtleonent en coupant on cône droit ù base circulaire par un plan. Soit 00' une ligne fixe, et RI une droite indéHnic qui tourne autour de la première en passant toujours par un point fixe S, et en conservant la même inclinaison a. sur 00'. Li surface engendrée par la droite mobile est celle d'un cdne droit à base circulaire dont 00' est l'axe, et S )e sommet : elle se compose de deux parties semblables situées de chaque cdté du point S.
Menons, par un point quelconque A de la droite SI, un plan perpendiculaire au plan de la figure qui renferme les arêtes SI et SI' ; il coupe la surface du cAnc suivant une certaine courbe AHD, et le plan ISf suivant la droite AU. Ciicrclions l'équation de la section en prenant pour axe des x la ligne AI), et, pour axe des y, la perpendiculaire à cette droite élevée au point A. Soit M un '''■''*■ point quelconque de la courbe; le
plan passant parce poinlet mené perpendiculairement à 00' coupe la surface conique suivant un cercle f MI', et le plan sécant suivant une droite HP perpendiculaire il AB, Les coordonnées. du point H sont : x=AP, y^HP. Dans le cercle IMI', on a
{*) MP' = PI-Pr.
Désignons par à la distance AS, et par ifi l'angle SAD ou l'inclinaison du plan sécant sur l'arrête SI. Le triangle AlP donne Pl siolAP sin|3 AP sin AlP cosix'
d'où
sin {3
Pl =
Si on mène PR parallèle à l'aréle SB, on a : PI' = mais AK ^= là sin a, et dans le triangle AltP, on a An sin APR sin (,'5 + 2«) AP^sin Altl'" cosa
RK=AK -
■BA
D,gnz.dbvC00gle
et, pur suite,
En substituant les valeurs (/) et (m) dans la relation (Jt), on obUent pour l'équation de la courbe d'intersection
idsiaasiuB sîn|3siD(â4-2«) .
' coB ce cas* K
ou bien
y* cos' « -|- a;* sin p sin {^ + 2«) — zdic sin « ces a sin /3 =^ o.
Cette ëqualion est du second degré en x et tf ; en la comparant à l'équi'
tJon générale, on a
A = COB' a, B = o, C = Bin (3 sin (|5 + aa),
et
B' — AC = — cos* «sin (3sin((5-|-2«).
Le binôme caractéristique B' — AC est négatif, positif on nul selon les
conditions
sin (|3 + 2») > o ou p -f- 2« < 180°,
sin 0+2aXo ou P + 2«> i8o",
sin (9 + 2a) = o ou P + 2a = iSo".
Si on remarque que P+ 2a est le supplément du troisième angle du
triangle SAB, les points A et B, dans le premier cas, sont d'un même
côté de S; dans le second, il se trouve de part et d'autre du sommet;
enfin, dans le dernier, AB est parallèle à l'arête SB.
Donc, la teetton est une ellipse, si te plan sécant rencontre toutes Us
arite» (Tune tn^e nappe du cône, une hyperbole s'il coupe Us deux
nappes, et une paraboU »'U est parallèle d une aréle du cône.
Ces trois courbes ont été appelées par les anciens sections connues;
c'est ainsi qu'elles se sont présentées à eux et qu'elles sont devenues l'objet
de leurs apéculations.
•&•. Si, dans l'équation générale du second degré (i) Ay» 4- 2Bay + Cx* + 2Dy -j- 2Ex -+- F = o, on remplace z et y par les rapports x : ji, y : z, et si on multiplie ensuite par X*, elle devient homogène et de la forme
Ay» + aBxy + ûr» + iDyz + 2Ex* + Fz« -= o.
D,gnz.dbvC00gle
H suffira de faire jc ^ i pour retrouver la première. Souveot on n'emploie qu'une seule lettre affectée de deux iadices pour les coefficients et OD écrit :
»hX* + Oity' + oiix' + 2aitiy -}- 2a,txz -\- lottyz = o. On peut se figurer que les indices i, 2, 3 se rapportent respectÎTemeal aux variables X, y, z; chaque coefficient renferme alors comme indicts ceux des variables qui se trouvent en facteurs dans le terme correspondant.
Quelle que soit la forme employée, en divisant toute l'équation ptr l'un des six coefficients il ne restera plus que cinq paramètres arbitraires; une courbe du second ordre est déterminée si on connaît les valeurs de ces paramètres ou si elle est assujettie & satisfaire à cinq conditions géomë^iques donnant lieu à cinq relations distinctes entre ces quantités : car ce nombre de relations suffit, en général, pour calculer les valeurs des cinq paramétres inconnus. Ainsi, en admettant qu'une condition géométrique équivaut à une équation entre les coefficients, on peut dire qu'uAt eour6< du teeond ordre têt en général déterminée par emg cmditioni.
Supposons que les condiUons géométriques consistent k assujettir li conique à passer par des points ou i être tangente à des droites données. Chaque fois que la courbe doit passer par un point donné (x*, y*), oq ■ une relation de la forme
Ay" + zBi'y' + Cx" + 2%' + îEx' + F = o. Pour exprimer que la courbe doit être tangente A une droite (rf) y = ma: + 6,
on élimine d'abord une variable, par exemple y, entre les équations (iQ et (i); on trouve ainsi une équation du second degré en x de la forme
Px* ■+■ 2Qx + R = o, oùP, Q, R sont des fonctions des coefficients A, B, C..., et dont les ncinei sont les abcisses des points d'intersection de la droite [d) avec la courbe. Mais, pour une tangente, les deux points d'intersection se confondent et l'équation précédente doit avoir des racines égales; on obtient ainsi U condition
Q'-PR = o, qui est une relation entre les coefficients de l'équation (i).
D,gnz.dbvC00gle
lorsque les cinq relations entre les paramètres eorrespondant sur conditions géométriques données admettent un seul système de valeurs finies pour les inconnues, il existe une conique et une seule, propre i salisùûre k ces conditions; quand ces relations sont incompatibles, il n'est pas possible de trouver une courbe du second ordre qui puisse satisfaire h ces mêmes conditions géométriques. Enfin, si le nombre des conditions données est inférieur à cinq, il y a toujours au moins un paramètre qui reste indéterminé, et, par suite, il existe une infinité de coniques qui répondent & ces conditions. Cependant, pour la parabole, on a B* — AC = o, et il suffit en général de quatre conditions pour déterminer cette courbe.
ISl. Trouver Nquation des coniques gui pasient par deux pointé donnés.
Supposons d'abord que l'on prenne, pour axe des jc, la droite qui joint les points donnés. Une conique quelconque est représentée par l'équation
Ay* + 2Bxy + Cr' + aDy -}- 2Et + F = o. Pour obtenir les abcisses des points où elle rencontre l'axe des x, il faut poser 1/ = o, et résoudre l'équation
Cx*-j-2Ear4-F=-o.
Soient a et a' les dislances i l'origine des points donnés; d'après la question, il faut remplacer le trinème Cx*+2Ex-|-F par œ' — {a-i~a') x+aa', ou poser C = i, zE = — (o + "*'). F = œ"'- L'équation cherchée sera Ay» 4- zBjy -j- x» -[- 2t>y — (o -f- «') a; + ao' = o. De même l'équation
y' + 2Bxy + Ca;' — (6 + 6') y 4- aEx + 6fc' = o
représente toutes les coniques qui passent par deux points de l'axe des y dont les ordonnées sont 6 et &'.
Enfin, si les points donnés ne se trouvent pas sur les axes, une conique quelconque qui renferme les points (xi, yi], xt, yi) a une équation de la forme
■Ktf— yf)(y— yi)+^(^— «"jia;— 3;t)+c(a:— x,)(y— y.)+(3:— x,)(y— y,)=o;
car le premier membre est du second degré, et l'équation est satisfaite
lorsqu'on remplace les variables x et 1/ par les coordonoées des ptùnto doDoës.
Les équations précédentes renferment encore trois coe£Scients iodéterminés, et il en doit être ainsi, puisqu'on peut assujettir les coniques qu'elles représentent k trois conditions nouvelles.
IBV. Trouver Céquation générale de» conique» qui postent par quatn points donné».
Comme une droite ne peut rencontrer une conique en plus de deux points, nous supposerons que trois des points donnés ne se trouvent pas sur une même droite. Cela étant, prenons, pour axes des coordonnées, deux droites renfermant chacune deux de ces points. Si a et a' sont les abcisses des points situés sur l'axe des x, b et b' les ordonnées des points situés sur l'sxe des y, l'équation d'une conique qui satisfait aui conditions énoncées devra se réduire à
I* — (o + a') I + ao' = 0, y»(6|6')j, + 66' = o, pour y = o et 3! = o ; elle sera donc de la forme aa'y*-\-2ixy + bb'x* — aa' {b + b')y — 66'(a+o')a:+aa'W ^o.
L'équation précédente peut se mettre sous une forme plus commode. Divisons^la par aa'bb'; elle devient :
En posant :
elle prend la forme
AC + fixy = o.
Or, dans le quadrilatère formé par tes quatre points, y = o, x = o sont deux cAtés opposés et A = o, C = o les deux autres cdtés opposés. De U ce principe : L'équation d'une conique passant par les sommet* tFwt
D,gnz.dbvC00gle
quadrilatère t'obtient en égalant à zéro la tomme des produits despremta-s membre» dei équationt de» côtés opposéi, l'un d'eux ayant été préalabUmeM multiplié par un paramètre arbitraù-e. Plus gënéralement, si
A = ax-\-by-\-i = o et C=a'x-\-b'y+ 1 =o, B = ex-\-dy + i=o et Ji=c'x-\-d'y+ 1 =o
sont les cdtës opposas d'un quadrilatère, l'équatioD
AC + fiSO = o
représealera une conique circonscrile à ce quadrilatère. On voit, en effet, qne les coordonnées du point d'intersection des droites (A, B), (A, D), (C, B), (C, D) annulant respectivement ces polynâmes satisfont k l'ëquation précédente. Il reste encore un paramètre (j. ii déterminer, et cela doit être puisque la courbe peut encore être assujettie h satisfaire à une condition. Si, par exemple, laconique doit passer par un cinquième point (xi, y,), en substituant ces coordonnées dans l'équation précédente, on en déduira une valeur unique pour n. Par conséquent, on peut, en général, par ànq points du plan mener une conique et une »eule.
1SI. Relation entre six points d'une conique. Considérons (Gg. 93) six points d'une courbe du second ordre; en les reliant par des droites ou obtiendra un hexagone inscrit dans lequel on regarde comme côtés apposés le premier et le quatrième, le deuxième et le cinquième, le troisième et le sixième. Désignons par A, B, C, A', B', C, des polynômes du premier degré en x et )/ qui, égalés i zéro, représentent les côtés de l'hexagone ;d'après la figure, A et A', B et B', C et C sont les câtés opposés. Enfin, menons la diagonale P'(. s.
14 et soit D = o l'équation de cette droite. La conique étant circonscrite an quadrilatère ABCD est susceptible d'être représentée par une équation de la forme
AC + }iRD = 0.
D,gnz.dbvC00gle
Hais, elle passe aussi par les sommets du quadn'iatère A'B'C D, et, d'après le même principe, son équation peut s'écrire A'C + V B' D = o.
L'élimination de D entre ces deux équations donne vACB'-l-nA'C'B = o:
équation du troisième degré représentant par conséquent une ligne dn troisième ordre; il est facile d'en déterminer la nature. D'après son origine, l'équation précédente doit être satlsraite par les coordonnées de tous les points de la conique cooime les deux premières; la courbe du troisième ordre devra se composer de la conique et d'une ligne droite. Les coordonnées des points de concours des cAtés opposés A et A', fi et B', C etC annulant ces polynômes satisfont à l'équation ; ils appartiennent donc h la ligne du troisième ordre et devront se trouver sur une même droite, la droite qui, ajoutée à la conique, constitue cette ligne. De li cette belle proposition connue sous le nom de théorème de Patcal : Ltt côtii opposét d'un hexagone inscrit à une conique te rencontrent en trm pointé iituéa en ligne droite.
Nous aurons l'occasion de développer les nombreuses conséquences de ce théorème. Nous ferons seulement remarquer ici qu'il permet de construire une conique dclinie par cinq points. Etant donnés, par exemple, les cinq premiers points (6g. S3), on les joint par les droites A, B, C, A' ; on mène ensuite par i une droite quelconque C. Les points de rencontre des droites A et A', C et C détermineront la droite tm. Soit n le point d'intersection de B avec celle-ci; la droite 15 ira rencontrer C en un point 6 qui appartiendra à la courbe.
I i4 . Forme spèàale de l'équation du second degré. Soient F (ce, ^) un point du plan et D une droite représentée pour Ix-^my -\-n = o. L'équation
(X - «)* + (y - û)' - (/i + my -t- «)• = o est du second degré et définit une section conique. On en tire (i-.)' + (y-P)' j ^, (fa + "■» + '■)' '
D,„„.db,Coogle
Or, si DU désigne par H (x, y) un point de la courbe et par HR sa distance k la droite D, l'équation précédente revient i celle-ci :
-rrr; = /* + «!*
mr'
les axes étant rectangulaires. Ainsi, pour tous les points de la courbe, on a la relation :
HP
--— ^ constante.
La conique de l'équation est donc le lieu des points tels gue le rapport des distances de chacun d'eux au point F et à la droite D est constant.
Nous pouTOQS regarder «, ^, l, m, n comme des constantes arbitraires et l'équation précédente renfermera autant de paramètres que l'équation complète du second degré. Par suite, il sera possible, en général, de passer de l'une à l'autre par une détermination convenable de ces paramètres. On peut donc admettre, pour chaque conique, l'existence d'un point et d'une droite fiscs donnant lieu au mode de génération que nous venons d'indiquer. Le point Gte F a reçu le nom de foyer et la droite D celui de directrice.
Aemarquons encore que l'équation de la courbe peut s'écrire
(/(I^^^)''-^ {y^7 = fa + «s + «.
ou bien
MF = fa; + my 4- n.
La distance d'un point quelconque de la conique au point fixe F s'exprime par une fonction linéaire des coordonnées de ce point. On pourrait aussi prendre cette propriété caractéristique du point F pour définir le foyer d'une courbe du second ordre.
Kous étudierons plus loin les propriétés remarquables des foyers dans chacune des coniques. Il importe maintenant de donner les notions nécessaires à la simplification de l'équation générale.
