S 2. CENTRE, D1AIIËTRB8 ET AXES DES COURBES DU SECOND ORDRE
ISS. Le centre d'une ligne est un point fixe par rapport auquel tous les points de cette ligne sont placés symétriquement deux k deux, de sorte que les cordes, qui passent par ce point, y sont divisées en deux parties égales.
D,gnz.dbvC00gle
tNiur trouver les équations qui déterminent le centre d'une eoniqnc, nous aurons besoin des deux lemroes qoi suivent.
LnniB I. Lortque l'origine eU œt cetUre iTune courbe Ai second ordrt, l'équaUon de eelle-ei ne renferme pat le» terme» du premier degré eux et y.
En effet, soit 0 l'origine des coordonnées, et le centre d'une conique représentée par l'équation
Ay* + aftry + Cx' + 2Dy + 2Ea; -f- F = o.
Menons, par le centre, une sécanl« quelconque qui rencontre la courbe
en H et H'; HP et H'F éUnt les
ordonnées de ees points, les triangles
OMP et OH'P' sont égaux, et, par
conséquent, les points H et H' ont
des coordonnées égales et de signes
contraires. Si l'équation est satisfaite
par les coordonnées -]-x, -|-ydn
pii, ,(1, point M, elle le sera aussi par les
coordonnées — z, — y du point H':
ce qui exige que les termes du premier degré ne se trouvent pas dans
l'équation, afin que le premier membre reste invariable, ai on diange
x et y en — a: et — y.
LuiE II. Si dans le polynôme
( [x, y) = Ay* + aBjcy + Ci* + aDy + 2Rc + F, onremplaee X e(y par a + x", ^-{-y',on obtient
l(«+:r',P+y'}=Ay" + 2Bi'y'+Cx'*+y'r,{«,(3)+i'f,(«,^)+f{a,^); c'ett-à-dire que let coefficients des terme» du second degré ne changent pas; ceux de» termes du premier degré sont les valeurs des dérivées ptaHelUt, par rapport à y et à x du polynôme primitif, pour x = a, y ^ ^f a le terme constant est le résultat de la iubstitution des mêmes vaieurs de xH de y dan» le polynàme proposé.
En effet, l'expression A04-y')'+2B{(S+y')(« + i')+C(<x+i')'+2l>(|3+y')+2E(«+x')+F étant développée, peut s'écrire
(A) Ay'* + 2Bj;y + Ci" + 2(A|S+B«+D)y' + 2(Bp + 0-(.E)x' + A(5' + 2B«fi + C«" + 2D|3 + 2E« + F.
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La dôriTée partielle de la foDction proposée, prise par rapport k x, est le polynôme formé en multipliant chaque terme par l'exposaut de x daas ce terme, et en diminuant ensuite cet exposant d'une unité; nous la représentravns par f, {x\ y). D'apris cette règle, on aura
f ,(x, y) = 2% + 2Ca: + aE = 2 (By + Cx 4- E).
La dérivée partielle, par rapport ii y, se forme en effectnant les mêmes opérations sur cette variable; on aura
f ,(x, y) = 2Ay 4- 2Bt + 2D = 2 (Ay + B« + D).
n est visible que, dans la relation {k), les coefficients des termes dn premier degré et le terme constant sont les valeurs des fonctions ''»(«, y). P.(a:. y), f (3=. y) pour x = «, y = p.
1M. Zu eoordofMéet dueentre d'une eoniqtu représeniéepar Véquation (i) Ay» + 2Ba;y + Cx« + 2Dy + zEa: + F = o «ml les vaieuT* dé x et de y qui annulent Us dérivées parlieUes du premier membre, prises par rapport dx et dy.
Soient a el ^ les coordonnées inconnues du centre ; supposons qu'on y transporte l'originesans changer la direction des axes primitifs. L'équation de la conique, pour les nouveaux axes, s'obtient en posant : x=^a-\-x', y c= |3 -)- y', et, en vertu du lemme II, on aura
Aji- + aB.'j' + Or" + »■ r,(a, |3) + »■ r.(«, |3) + f(., P) - o. Or, l'origine ^tant au centre, les termes en x' et y' doivent disparaître de l'équation, et, par suite,
f,(«,p) = o, r.{«,^=o, e'estrà-dire qoe les coordonnées do centre sont les valeurs de x et de y qui satisfont aux équations
ou bien,
Ai/-{-Bx + D = o, %-fTCx-|-B='0.
tm. En revivant «es équations, on trouve pour a et J3
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Dans l'ellipse et l'hyperbole, fi* — AC est différent de séro et les ralenrs précédeotes sont finies et dëtermigëes : ces deux courbes ont un centre unique. Lorsque B* — AC = o, les valeurs de a et ^ sont infinies; donc la parabole n'a pas de centre visible dans le plan.
Si l'on a, en même temps, B' — AC = o et AE — BD ^ o, a et P w
présentent sous la forme- , et les deux équations (e) se réduisent h une
seule
Ay+Bir + D =o; il y a, dans ce cas particulier, une infinité de centres situés sur la droite représentée par cette équation. Mais, dans cette hypothèse, l'équation de la coniqoe résolue par rapport )i y devient
Ay 4- Ba -j- D zp /D' — AP = O ; elle représente deux droites parallèles i la ligne des centres. Après la détermination de a et ^, on pourra calculer la quantité K = f{a, j3) = Ai3»+2B«p+C«*-|-2D|3 + 2E« + F par la substitution directe dans le premier membre de l'équatioa primi- Uve. On simplifie ce calcul par la remarque suivante. Si on multiplie les équations du centre
Ap + B«4-D = o, B(3 + Ca4-E = o respectivement par p et a pour les ajouter ensuite, il vient
AJ3» + 2Bap + C«» + Dp + E« = o ou bien
K — Dp — Ea — F = o
d'où K = Dp + E«4-F.
On peut aussi exprimer K au moyen des coefficients de l'équation en élimiroant a et p entre les trois égalités précédentes. On a
— !87 — Le premier délermiDaDt est le discrimiDayot d; il vient donc
L'ëqution de t'ellipse et de l'hyperbole rapporta à leur centre sera (a) Ay»+2ftïy + Cx*+K = o ou Ai,*+2Bxy-\-Cx'+j^-^ = o.
IV8. Si K ou i sont nuls, l'équation des coniques )i centre se réduite (3) Aj» + 2Biy + Cc' = o:
relation homogène du second degré qui représente deux droites PP', RR' passant par l'origine ; ces droites sont réelles, si B* — AC > o, et imaginaires, si B* — AC < o.
Nous allons voir que l'hyperbole, représentée par l'cquatiOQ (2) quand K a une valeur différente de zéro, se rapproche indéGniment des deux droites de l'équation (3). Résolvons l'équation Ay'+aBiy '<§■ «>■ + Cx' = — K par rapport à y. Il viendra
x±j |/{B' — AC) a:' — AK.
Le diamètre de la courbe passe par l'origine; il est facile de vérifier que l'hyperbole se trouve située dans le plan, comme le montre la figure. De même l'équation (3) donne
AC)i
en écrivant Y au lien de y, afin de distinguer l'ordonnée de la droite de celle de la courbe. Cela étant, l'arc A'K correspond aux valeurs positives
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du ridicil; si od retranche les ëquationt, en preiuntle àgM-^'fouilc* deux radicaux, il vient
Y — y=i(/{B' — AC)x» — |/(B* — AC)x» — AK, ou bien,
(/(B* — AC) X* + |/(B» — AC) it» — AK
La différence des ordonnées de la droite et de la courbe dimioue k mesure que x augmente, et, pour x = ao, Y — y^o. La partie d'hyp«bole A'K se rapproche donc de plut en plus de ia droite OB, et, à l'infini, les deux li^es se touchent. IJ serait facile de montrer que cette propriélé a lieu pour les autres parties de la courbe relatiTement aux droites; il suffit de répéter la transformation précédente, en prenant les radicaux avec le signe -|- ou le signe — , suivant la partie de la courbe et de li droite que l'on considère. On donne le nom d'ast/mptoUt aux droites que nous venons de définir; en général, on appelle ainsi toute ligne fixe vers laquelle s'approche indéfiniment une braniJie de courbe infinie.
11 résulte, de ce qui précède, que toute ht/perbola reprétaUée jmt ftqtêaUon
Ay» + 2ftxy -J- Car* + K = o, a pour aaymptotea Ut deux droite* de f équation Ay» + îBfy + Cx* = o,
oblenwe en ;H>aant K ^ o.
Remarque 1 . Assujettir une conique à avoir pour centre un point donné {a, p) équivaut k deux conditions géométriques simplet; car, on a, entre les coefficients de l'équation générale, les deux relations
Ap + Ba + D = o, ^ + C« + K = o.
La conique serait complètement définie avec trois nouvelles conditions : aussi l'équation de l'ellipse et de l'hyperbole rapportées à leur centre ne renferme plus que toois paramètres.
Remarque 3. Assujettir une hyperbole k avoir pour asymptotes deux droites données équivaut h quatre conditions. En effet, si on prend pour ori^ne leur point d'iutersection, ces droites sont représeqtées par une
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ëqaalion de la forme
Ay» + îBxy ^ Ci» = o, et rh]rp<rbol6 correBpODdante par
Ay» + 2Ba:y + Cx» + K = o, où il n'y a plu« que le paramèlre K à détermiDer; on ne peut plus assujettir la courbe qu'à une seule condition.
Ex. *. IXtenniiier le centre et le» équatioi» timplificei des conique* iuïtmM : (i) y"— 2By + 2*» — 3y— 3*-l-7=o,
El. s. TrooTer te lien griomëlrique de« centres des coniques qui paaMiit pu- les points A, A', B, B'.
PrenoD* poor aies le» droites AA', BB' (fig. S6), et posons : b=OA, a'=OA', 6 = OB V = OB' ; r jqoktion %iain\t des eouiques est
(d) aaV-»-al"V-*- W'** — ofl'(6-<-6')y — it'(B -+•»')«+ am'bb' = q.
Pour obtenir le lieu denuodé, ilfintëliaunerl entre les équations du centre Ma'y + al» - aa'{l> -*- SO = o, aJy + tWm - *'/(« H- o'J = 0; on trouve linsl l'^ualian
{r) wa't' — aiôV - aa'(ft -»- f ) y + ^^(o + o') x = 0, qoî représente une ellipse on une hyperbole suivant le signe des quinlilês a, o', h, b'. U conique («) passe par l'origine, et rencontre les aies aux distances — ^ — , t±^ de ce point, e'esl-Wire au milieu de AA' et de BB' ; elle a pour cenU-e lo point! f ■ — , I qui est le milieu de 11'.
Si on prenait pour aies Ira droites AB, A'B', ou les diagonales AB', BA', l'équitiou des coniques serait encore de la méuie forme que (d), et ou arriverait i cette conclusion, que la courbe
dei centres passe aussi par les milicui des deux ***■ ^■
autres c^és opposés et des diagonales, ainsi que par les points de coiicour» de ces cotés
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•Ides diagonales; enfin le centre h troDTe au milieu de la droiU qui joint lei nuBenz dei eàté* opposés AB, A'B', aingi qu'au milieu de la ligne qui joint les milieux dea diagonalH. Comme la courbe n'a qu'un centre, on en déduit ce théorème connu : Ikm* «m fMorinialère plan, It* àtailtê t/uijoigmnl lei milieux det edléi oppctii «I de> iinga^aU* t totiptHl M tour milieu.
Celle courbe dos ceutres pourrait s'appeler la conique dsi neufpoinli du quadribltrcj elle pisse par les trois points de concours des c&léi opposés cl des diagonales et par tel sii points milieux des côlés et des diagonales.
Ex. S. Écrire réquilion d'une conique qui a pour centre le point (b, {$).
R. Ay>+2Bxy+CE* — 2<AjS+Ba) y — 2|BjS+Ca)a+P=o, OU soDt la forme: P <ï-/')*+ 5 (» — -)<y -!»)■*•••(»-«)' + » = o-
Ex. «. Trouver l'équation de l'byperbole qui * pour asymptotet lei droits y — a» ^ o, y — bx^o, «1 qui passe par le point (o, c). R. y*— (a + fi) jy -t-nfcr' = c*.
Ex. B. Écrire l'équation qui détermine les coefficients angulaires des asymptotes ainiiqueréqualiondeees droites pour laconique Ay*+2l)«y-»-Cx'-|-2Dy-|~2E>+F>=o R. AiB'-j-2Bim-C = 0}
IS9. DiwÉTHES. Le diamètre d'une courbe est le lieu des milieui d'uue série de cordes parallèles à une direc> tion donnée.
Sott 1/ = mx 4- 6 l'équation d'une droite
donnée; proposons-nous de trouver l'équatioD
du diamètre d'une e«nique pour les cordes
parallèlesà cette droite. Représenlonsparjct^i
les coordonnées du milieu I de l'une de ces
Fii. m. cordes MM', et transportons l'origine en ce
point, en conservant la même direction des axes. L'équation de li
conique rapportée aux axes OX, OY étant
t{x, y) = Ay' -f 2Ba)y + Ca:» + iDy + 2Ex + F = o, celle de la même courbe, pour la nouvelle origine, sera Ay" + zBi'y' + Ci" + y' T, (x„ y,) + r" T, (i., y,) + f {i,, y.) = o. D'un autre côté, l'équation de la droite MH' csty'^mx'. L'élimination de y' entre ces équations donne la relation (4) (fLm^-h2Bm + C)x-+[mPj(x„yi) + r,{x„y,)]x' + I{x„y,) = o,
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dont les racines sont les abcisses des pointe H et M', Mais l'origine étant ■u milieu de HH', l'équation doit donner pourj/ des valeurs égales' et de signes contraires; d'oà la condition
Il en résulte que les coordonnées du milieu d'une corde quelconque parallèle à ta direction donnée vérifient la relation (6) fflr,(x,s) + f',{x,y) = o,
qui sera l'équation du lieu cherché, ou du diamètre correspondant i la droite y = nu; -4- &■ En remplaçant les dérivées par leurs valeurs, on aura
m (Ay + Ba: + D) + (By 4- Cx + B) = o : équation du premier degré qui représente une droite passant par le centre delà courbe; car, pour ce point, I'f{x,y) = 0, r.(x,y)^o. Si on écrit
(Am + B)y + (Bm + C) a: + Dm + E = o, il vient, en désignant par m' le coefficient angulaire du diamètre, Bwi + C ~Am+B Lorsque B* — AC =■ o, on a
C B C+Bot B~A"^B4-Am' et m' est constant quel que soit m : dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles. Mais, dans les coniques à centre, la direction d'un diamètre Tarie avec celle des cordes.
Ainsi, datu VeUipie et l'hyperbole, Um diamètres sont des droites gui pattent par le centre et dont ta direction dépend de celle des cordes; dans la paraboUy ce sont des droites parallèles.
!••. Deux diamètres sont dits eorgui^iiés, si chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Menons une corde MM" parallèle à DD', et reprenons la relation (7) sous la Tonne (7) Amm' 4- B (m + m') + C = o.
Cette équation ne change pas, si on remplace m par m', et m' par «1 ; le diamètre EE' correspondant i la direction des cordes de coefficient angu-
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laini m', aura pour coefficient de direction m, et il sera parallèle ■ Mil'. Les deux diamiires DD' el BE' sont conjnguës et leurs coefficicots angulaires satisfont k ta relation (7). Dans l'ellipse et l'hyperbole, & chaque valeur de m' correspond une râleur rëelle de m donnée par cette équation : ces deux courbes ont une infinité de systèmes de diamètnt eonjugaés.
On donne le nom d'oxei, dani une conique, aux diamètres qui H>nt perpendiculaires aux cordes divisées en deux parties égales. Si la coordonnées sont rectangulaires, on doit avoir, pour un tel diamètre,
»im'c= — I, et, par suite, en vertu de (7), m-i-m' •= — - — ; par coit- •équent, les quantités m et m' sont les racines de l'équation
Remplaçons z par y : x; elle devient
By' — (A — C) ly — Bi» = o.
Cette équation représente deux droites passant par ^or^pnc et parallèles aux axes de la courbe. Enfin, si a et ^ sont les coordonncct do centre, l'équation aux axes de la conique sera
Remarque t. Dans la recherche de l'équation d'un diamètre, noui avons supposé que les cordes parallèles i la direction donnée reoecmtrent la courbe en deux points situés i une distance finie, en admettant que l'équation (4) avait deux racines. Dans le cas particulier où m satiifait i la relation km' + 2Cm -}- C = o, le» cordes ne rencontrent li courbe qu'en un point; c'est ce qui a lieu, dans l'hyperbole, lorsqu'il»
sont parallèles aux asymptotes; car, si on remplace m par > on * Ajf* + aBxy + Cx* <=■ o qui représente les asymptotes, si l'origine est tu centre. Dans la parabole, on a : B •— j/AC, et la relation précédeiile devient [m ^k -\- |/Q* == o ; de sorte que les cordes de coeffidnt
angulaire — \/ — ne reacontreat cette courbe qu'en un point. Dib>
ces eu particuliers, il n'y a pas de diamètres correspondants, ou idatAt ils sont sitaés i l'infini.
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Remarque S. A toute droite passant psr le centre et de coefficient angulaire m', correspond un diamètre conjugué dont la direction est donnée par la relation (7). Cependant, pour une asymptote, on a AtR''-l-26m'-f'C^=o, et l'équation (7) ne peut être satisfaite qu'en posant nt = m' ; dans ce cas, les deux diamètres conjugués coïncident.
Hemanfue 3. Un diamètre avec la direction des cordes équivaut k deux conditions; en effet, prenons ce diamètre pour axe des x, et, pour axe des y, une droite quelconque parallèle aux cordes; l'équation de la conique sera de la forme
afin d'avoir deux valeurs égales et de signes contraires pour y, à chaque valeur de x. Cette équation ne renferme que trois paramètres, et ta courbe Dc peut plus être assujettie qu'à trois autres conditions. Avec deux diamètres conjugués pris pour axes, l'équation de la courbe sera de la forme
p^* + gx*-\-r = o;
car, à chaque valeur attribuée à l'une des variables, on doit avoir pour l'autre des valeurs égales et de signes contraires. Un système de deux diamètres conjugués équivaut h trois conditions.
Ex. 1. étant donnée l'ëqutlioD d> r«llips«
,1 3jcy + 5»» -»- 2jf — 3» - 5 = o, dctoiainer le diamètre des cordet panllilei i 1* droite y ^ «jb — i, ainsi que les u« de la courbe.
On trouvera, pour le diamètre, l'équalioa y -t- 40 •)- 1 ^ o, et, pour les axes,
Ex. •. Hime recherche pour rhjrpei^Mtk y ^ •
B. 2> + y = 2a, y-i-a — a = o, y — «-f-oso.
Ex. s. Ecrire les équations des diamètres qai divisent en deux ptrlies ëgilci les cordes parallèles aux aies des coordonnées pour la conique Ay* + aBxy + Cx* -1- zOy
E. Aj/-t'tm-i-D = o, By+Ce + E = o.
La première reprdseote le diamètre des cordes parallèles anx y, et la deuxième celai des cordes parallèles ani a.
Ex. «. lïouver le coefficient angulaire de l'axe d'une parabole représantée par l'équaiioD ginérala.
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]| but résoudre réquation ; i< — z — i^o, et poser B^|/ÂC. Lm neÛMi
sont + \ / ■= ' — * / - ; le coeflîciBnt tngulaire do» c«nle« esl -t- » / - 1 ta, pour l'tuire *ileur, il n'y ■ pu de diamètre correspondant. Le roeffideot nigiiUîre de
Ex. K. L'^natioD des aies de 1* conique /(s, y) ^O avec dei axei oblique* peat s'écrire «nii la forme
/;• (A coi fl - B) -t- /; /J (C — A) + /;• (B — C eos fl) = o. Ex. •. Dans toutes les coaiquM qui passeot par quatre poials fixes, les diamtee* conjugué* i une direction donnée conconreni en un même point. En effet, si l'on reprend l'équation de ces courbes
aa'f^ + jAxy'i-bb'a? — oa'(b-i-b')y — bb'(a-*-a')* * aa'bV^o, te diamiire correspondant aux cordes de direction n est représenté pu l'équlion
xi (g + me) -t- 2bb'x -t- zmaa'y — bb' (a + n') — maa! (J -i- A^ ^ o; tous les diamètres passent par le point d'intersection des droites
y + nx^=0, 2hb'm + wnaa'y — 66* (o + o*) — nwa' (6 + 6')^o. Pour obtenir le lieu des points de concours des diamètres correspondants i tontes Ici directions passibles des cordes, il faudrait éliminer ni entre ces deux équations; on obtient ainsi
zAVœ' - aïo'jf' — bb< (o + o') * -t- ao' (6 -t- V) ï = o : celte équalioD représente une ellipse ou une hyperbole qui eolDcide avec le lieu des centres des coniques qui passent par les points donnés. Ex. V. Trouver le lieu des milieux des cordes passant par un point fixe. Soient a, /lies coordonnées du point fixe; il faudra éliminer le coefficient anjpilaif* m entre les équations
y-jï = «, {*-«),
Il vient ainsi, pour le lien cherché, l'équation
