DE LA TANGENTE ET DE LA POLAIBE DANS LES COURBES DO SBCOHD ORDRE
1S1. Soient M (x', y*), H' (x", y") deux points situés sur la conique (i) f(a;, y) = Ay« + îBiy H- Ci' + «Dy + aEx -[- P = o.
La droite qui rëunit ces deux points peut être représentée par une équatioD de la forme
(2) A{y-y') {y-y") + 2B(x-x') (y-y") + C(l-a-') (x~ x") = Ay* + aBay + Ci» -f 2Dy + aEx + F,
car, après avoir effectué les opérations et supprimé les termes communs, elle s'abaisse au premier degré; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des points H et M', en tenant compte des relations Ay" 4- zBjc'y' + Cx'» + aDy' + zEi' + F = o, Ay"» + 2Bx"y" + Cx"* -+ 2Dy" + aEi" + F = o
qui expriment que ces points appartiennent h la courbe. La sécante en tournant autour du point M devient tangente i la conique, lorsque le second point H' se confond avec le premier; pour cette position limite, x" = x\ y" ;= y', et l'équatioD (a) devient
A(y - »? + 2B(x - x-) (y - /) + qx - x-)» = Ay* + 2Ba;y + Cx' + 2% + aEx + F. Développons te premier membre et supprimons les termes du second degré en x et y ; on aura
— 2Ayy'— 2B(xy'-t-yx')— 2Cix'+Ay"+2Bx'y'-|-Cx''=2l>y+2E3:+F, et, au moyen de la relation
Ay'» -f- aBx'y' -\- Cx" = — 2%' — zEx' — F, ou obtient finalement, pour l'équation de la tangente à une conique en un point H (x^, y'),
Ayy' + B(xy' +yi'j + Cxx' + D(y -j-y') + E(H-x') + F = o.
Si on désigne par V le coefficient angulaire de la tangente, on en déduit
y By'+Cx'+E f.(x',y') Ay' + Bx'4-D r,(x', y')'
de sorte que, la tangente étant une droite qui passe par un point H (x' y'), son équation peut aussi s'écrire sous la forme
D,gnz.dbvC00gle
Bemarque. Si l'on prend IVquation hnniogène
f(x, y, z) = Ay* + aBiy + Ci» + ïDyz + 2E21 + F2* = on a la relation
xP, + t/ Pf + xr, = 2 t(x, y,z), comme on peut le vérifier facilement; par suite, l'équation de la
(x-i')f., + (y-y')f„ = o, ou
pourra Be mettre sous la forme symétrique
xr.,-\~yi'„ + zî'.,= o, r,„ f,„ f „ désignant ce que deviennent les dirivëes qu^nd on y substitue x',y', x' à Xt y, z. Il est facile de constater qu'on peut encore écrire
IflS. £a îangente d l'extrémité c^un diamètre eit parallèle au conjugué de ce diamètre.
En effet, l'équation d'un diamètre est
(D) mr,{x,y) + t'.(x,y)^o,
m étant le coefTicient de direction des cordes; c'est aussi le coeffidcnt angulaire du diamètre conjugué qui est parallèle aux cordes. Soient (x' y') les coordonnées du point oti le diamètre D rencontre la courbe; on a pour ce point
"t r,(i', yO + f,(x', y') - o, d'où V,. — y^ ■
Cette valeur de m est précisément le coefficient angulaire de U tan< génie à la conique au point (x', y'); ce qui démontre U proposition.
Remarque. En vertu de cette propriété, si 00 mène, k l'extrémité d'un diamètre d'une parabole, une tangente à la courbe, elle sera parallèle aux cordes divisées en deux parties égales; cette circonstance permet de simplifier l'équation générale lorsqu'elle délînit une parabole. On prendra le diamètre pour axe des x, et la tangente pour axe des y. L'origine étant sur la courbe, on aura d'aburd F ^ O; ensuite, les cordes parallèles aux y étant divisées en deux parties égales, pour chaque valeur attribuée i l'abcisse, l'équation qui représente la courbe
Digiiz.dbvCOOgle
doit donner des valeurs égales et de signes contraires pour l'ordonnëe; donc il faut que les coefBcicnIs B et D soient nuls; enfin, pour que l'on ait fi* — AC ^^^ o, l'un des coefiictents A et C doit être égal h zéro; soit C := o : l'équation de la parabole, rapportée aux axes choisis, sera de la forme
Ay' -)- 2Ex = o,
en posant p ^ — —■
ICI. Trouver l'équation des tangentet menées d'un point (x*, y') à ta conique Ay* + 280^ + Cx* + 2!^ + aEx + F = o.
Les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint le point {3^, y'} b un autre point (x", y") du plan sont données par les formules mx" -|- MX* my" + m/'
m + « ' * m + n Si OD substitue ces expressions dans l'équation de la conique, on a
A(«iy" + ity')* + 2B(»ny" + ny') (ntx" -\- nx') + C(«wr" + nx*)» + (m + «)[aD (my" + ny') + aE(mx" + nx') + F(m -}- «)] = o.
Développons et posons, pour abréger, — = X,
Ay'" -j- 2Bx"y" -(- Cx"» + 2Dy" + aEx" + F = S", Ay" + îBx'y' + Cx'* -|- aDy' + aEx" + F = S', Ay"y'+ B(x'y + x'y") + Ci"x'+D(y"+y') + E(x"+x') + F = P"; il viendra l'équation
(3) S"À»+aP"). + S' = o,
qui détermine les valeurs de X pour les points d'intersection de la droite et de la conique. Supposons que la droite des points (x', y'), (x",y") soit tangente à la courbe; l'équalion (3) doit avoir des racines égales, et, par suite,
Si 00 remplace dans cette relation, x", y" par les coordonnées x el y
D,gnz.dbvC00gle
d'un point quelconque de l'uue des tangentes issues du point (x*, y'), on aura, pour l'équation de ces droites,
(4) [Ayy' + 8(3^ -}- yx-) + CxT' + D{y +y') + E(x + x") + F]' -{\y'+2Bxy+Cx*-^2Dy+2Ex+¥) (Ay'+aBxy4-Cx'»+2Dy'4-3Rj:'-fF)=«; ou, plus simplement, en désignant par P, S et S' les polynAmcs des pArenlhèses,
P» SS' = o.
En posant x" =0, y' ^ o, il vient, pour les tangentes menées de l'origine k la conique,
(Dy + Ex + F)' — (Ay' + aBxy + Cx' + aDy + aEx + F) F = o, ou bien, en développant,
(D* — AF)y' + 2 (DE — BF) xy + (E* — CF) x* = o.
K4. Désignons par^, Xt les racines de l'équation (3); les poinU d'intersection de la sécante avec la conique seront : fx' + A,x"
Ils forment avec (x' y'), (x", y") un groupe de quatre points dont le rapport anharmonique est égal à ^ . Posons y = a, Oa a les relations
ou bien, en remplaçant ).| par <aX„
Par l'élimination de Ai, on trouve
Regardons maintenant le point (x', y') comme fixe et le point (x", y") comme variable. L'équation précédente représentera le lieu de ce dernier faisant avec les autres sur chaque sécante- le même rappoi't anharmonique a. Ce lieu est une conique. Dana le cas où a = — i, le point (x",y"J forme nvec les autres un système harmonique et le lieu est alors la droite double p"* = o. Cette droite qui jouit de la propriété de diviser hirmo-
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oiquement chaque sécante s'appelle la polaire du poînl fixe. Si nous remplaçons x", y" par x, y, elle a pour équation
Ayy' + B(iy' + yiO+C^a/+D(y + y')+E{x + x')-f-F = o.
Pour les tangentes issues du point fixe ou pôle les poînis d'intersection avec la courbe coïncident sur chacune d'elles et le quatrième point harmonique doit se réunir avec eux ; la polaire est donc la corde de contact de ces tangentes.
Pour construire la polaire d'un pointp (fig. 58), on mène d'abord deux sécantes quelconques /jffltn'.pnn'; on tire ensuite les droites mn' et nm' qui se coupent en p, ainsi que les droites mn, m'ti' qui se rencontrent en f: la droite (g est la polaire demandée. En effet, dans le quadrilatère mn m'n' les droites qui aboutissent au point f Tarmenl un faisceau harmonique ; la droite fg divise harmoniquement les sécantes et doit coïncider avec la polaire.
Si le point p s'éloigne à l'infini, toutes les sécantes sont parallèles et la polaire divise les cordes mm', nn' en deux parties égales ; elle passe alors par le cesbre et coïncide avec un diamètre de la courbe.
tCft. La polaire d'un point ftitué sur une droite P passe par le pôle p de cette droite.
Soient {x', y'), (x", y") les coordonnées des points p et f; les polaires correspondantes ont pour équations
(P) Ayy'-f B{xy'-i-yx'}-I-Crx'H-D(y + y') + E(x + i') + P=o, (F) Asi,"+B{xy"+yx")+Cxx"+D(y+y')-i-E(x + x")+F=o.
Comme le point /"se trouve sur la droite P, on a Ay'y" + B(x"y' + y"x') + Cx'x" + 1%" + y') + E(x"+ x*) + F= o, relation qui exprime aussi que la droite P passe par le pèle (x', y*) de la première.
D'après la construction indiquée précédemment, la polaire du point f est la droite pjr; on peut dire aussi que toute droite P, qui paise par un poîTit f, a ion pôle tur ta polaire de cepoint.
lien résulte que la polaire du point d'intersection de deux droite* poste
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pta- Us pôUê de eu droites, et, réciproquement, le pôle fune droite f»i JMnl deux poinlt est l'interaection des polaires correspondantes.
Lorsque deux points tels que p elg jouissent de cette propriété, que la polaire de l'un passe par l'autre, on dit qu'ils sont conjuguas par rapport h la conique. Il est visible que deux points conjugués seront les conjugués barraoniques par rapport aux points où la droite qui les réunit rencontro la courbe.
On appelle aussi droites conjuguêett par rapport à une conique, deux droites telles que le pAle de l'une se trouve sur l'autre. Deux droites conjuguées forment toujours avec les tangentes, menées de lenr point d'intersection à la courbe, un faisceau harmonique.
El. I. Trouver Im cquttioos des Ungeote» i la conique .^* — 3sv -h a* — Sy — u — 3^0, ■ni points où elle reDCoDtre l'ue des m.
El. •. Quelle est II polaire de l'origiDe par rapport 1 U conique f(z,y)^o?
B. Djr + E» + P = o.
Ex. 1. Qoelleest I* polairedu centre de 11 cqniqge f(x.y)=:o? n Une droite h finGni.
El. 4. Écrire les ëqnations des tangentes issues de l'origine et I* poltiro de ce point pour la conique y* — 2Ey + 2v — 4« — 2^0.
El. a. Déterminer le pAle d'une droite pz -t- ^y-t-r^o par npporl à [■ conique f(»,y) = o L'^iiation de la polaire du |ioint (a', y') peut se mettre sous la forme
x(By'-«-C(e' ■*■ E) ■+ y (Ay' -♦- Bu' -»-D) + Dv' -t Ea' -t-¥ = o; les équations qui détominenl le pAle elierehé seront
By' + Car'-i-E Ay' + Bai'-KD Dy' + Eai' + F p ~ q ~ r '
Ex. •■ Les polaires d'un point (iie par rapport i toutes les coniques qui passent par quatre points donnât concourent en un même point. En eBét, h palaire d'un point (>', y") par rapport i une conique représentée par oa'y' -t-zJ«y -t- Sô*»* — 00' (6-»- 6") y — 66' ia-t-oTfm-t-aa'bb' ^o, a pour équation
3aa'yy'+z)(«y'-f-vir')+-ai6'«»'— (w'(6-*-ft')(y-t-y') — ft4'(o+o'){B-t-»0-t-wia'64'=o; elle renferme un coefficient indëterminc et représente des droites passant par on point fixe. Lorsque »' ^o,s' =.a, il vient
m' (i ^ 6') y + M' (a -•- n'} « — au'U' = o.
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Lt pokire de TwigiDe par rapport i une conique qoeleonqne de la série etl nue droile fixe. Il ett heile de Tërifier que celle droite paise par le point d'inteneclinn de» diagonales et citui de deux cdtéa opposés dn quadrilatère, et que le triangle dont les sommets sont les poiols de concours des côtés opposés et celui des diagonales jouit de celle propriété, qae eliaque côté est la polaire du sommet opposé.
Ex. >. Chercher la condition pour que deux droites soient coDJuguécs par rapport à la conique: /(«t y, i)^o,,«' + ai,j('-t- ojjs' ■+■ 2a,|Cy -t~2aiixy -4- zoMyi^o.
Soienl la + /jy H-vi^^o, i.'a + /i']/ -t-v'z :=o les droites et {x', y', «') le pâle de la première. En identifiant les équations
lan-^V + .* = o et afi, + yf,, + ir.f = 0 on a les égalités
ry=*), /;,=*^, r.,=i.i
on y ^oule 1'»' + ii'y' ■+■ »'*' = o pour éliminer ensuite »", y", r', k et il vient
S 4. SIMFUFiCATIOn DE L'fiQl'ATlON DU SECOHO DEGRÉ.
ICC. Nous avons vu que les propriëtës du centre et de» diamètres permettent de ramener l'ëquation générale des coniques ii des formes plus simples. Nous nous proposons, dans ce paragraplie, d'indiquer le calcul des coefficients qui entrent dans l'équation finale.
Supposons, en premier lieu, que l'équation
générale
(i) Ai/* + 2Ba3/ + Cx> + 2Dy + zEx+F = o
représente une courbe à centre. Après avoir Fig. su.
dëtermioé les coordonnées a et [3 de ce point, on y place l'uri^jine.
L'éqaation (i) est alors privée des tenues du premier degré en x et y, et
se réduit à
(2) Ay» -h 2hx\j + Ca;* = H,
d ou le nouveau coefficient H est égal a — — — ■
Par une transformation des coordonnées, il est toujours possible de faire disparaître de l'équation (2) le terme en ay. Admettons que les aies
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~ SOS — auxquels la courbe est actuellement rapportée soient rectangnlaîres ; amenons ces axes dans la posiUon CX', CT', en les faisant tourner d'un angle f autour du point C. L'équation de la conique pour les nouveaux axes s'obtient au moyen des formules
x = x' cos tp — y' sÏD 9, 1/ = i" sin ip + y' cos ç. La substitution de ces valeurs conduit à une équation de la forme (3) M/' + aRx'y' -)~ Nx" = H,
dans laquelle
H=Acos*f — 2Bsin(peostp-]-Csin*ç, N^AsiD*!p+2B3inifcosç-l-Ccos*3 R ^ A sin ip cos <p — B sin* (p + B cos' (p — C sin 9 cos ç. Pour déterminer U valeur de (f qui annule R, posons :
A sin ç cos (p — B siu* tp + B cos* (p — C sin ip cos 9 = 0, ou bien
(4) (A — C) sin 2(p -}- aB cos 2ip = o.
On en tire, tang 2f^- r ■ Soit 29' l'angle plus petit que n, donl
la tangente répond i cette valeur ; les angles
aip', 2ip' + 7r, 2ç' + 27r, aç' + jir,.... ont la même tangente, et, par suite, les valeurs
satisfont h l'équation R = o ; mais elles ne donnent que quatre directioDS opposées formant un seul système d'ases rectangulaires. Dans l'ellipse et l'byperbole, on ne peut pas avoir en même temps, B = o, A ^= C; donc, il existe toujours un système d'axes rectangulaires et un seul pour lequel l'équation d'une conique i centre est de la forme {5) Hy' + Na:' = H.
Lorsque l'équation (2) définit une conique en coordonnées obliques, il faudra d'abord la rapporter h des axes rectangulaires. Dans ce but, on peut conserver l'axe des z et prendre une droite qui lui est perpendiculaire pour axe des y. Les formules de transformaUon sont alors x'sind — y' cos 6 y'
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Après la subatitutiou la conique aura une équation de la forme A'y'* + aBVy' + C'a:'* = B où
A — 2B cos e -j- C cos' 6 B sin 0 — C sin 9 cos 6 „, „
sin' 9 ' sin' ô '
Les aies étant maintenant rectangulaires, on pourra la ramener h la forme (5} comme on vient de le dire.
■ •7. 11 reste à indiquer le calcul de H et de N. Reprenons l'équation R ^ o que l'on peut écrire bous les deux formes
sin (p (A côs 7 — B sin y) = cos ;> (C sin 7 — B cos <p) cos f (A sin 9 -)- B cos 9) = nn ç (B sin (p -]- C cos 9). Posons
A cos ip — B sin « C sin 9 — R cos s
cos ip sin 9
k sio f -\- B C08 <p __ B sin (p + C cos 9
sin 9 cos 9
On en tire (a') (A — it) cos 9 — B sin 9^0, (C — s«) sin 9 — B coa 9^0, (P*) (A — Si) sin 9 + B cos 9 ^ o, B sin 9 + (C — St)cos 9^0.
L'ëlimination de sin 9 et de cos 9 dans (a') et {p') nous montrent que Si et s* sont les racines de l'équation
ou bien
(Jt) <» (A 4- C) « + AC — B» = o.
Or, si on multiplie les deux termes des rapports {a) et (|S) par cos 9
et sin 9 et si on ajoute, on trouve s, = H et «■ ^ N. Donc les cnelBcients
qui entrent dans l'équation réduite seront les racines de l'équation (k).
On arrive immédiatement au même résultat en remarquant que
AC — B' est un invariant du premier membre de l'équation; le module
de la transformation étant l'unité, on doit avoir
MN — ft'=AC-B',
D,gnz.dbvC00gle
204 — Si R = o, il vient
MH = AC — B".
D'un autre cdt<!, en ajoutant les valeurs de H et de N, on IrouTe M + N = A + C; ce qui montre aussi que H et N sont les racines de l'équaUon (k).
Quand les axes primitifs sont obliques, par les valeurs de A', B*, Cu trouve d'abord
A + C-aBeose AC-B*
sin'9 ' 8in'*fl
Les premiers membres ont des valeurs constaDtes pour tons lei uk rectangulaires; donc les seconds membres jouissent aussi de la propriété de l'invariaDce pour tous les axes obliques. On aura
' sm' 9 Bin' 9
Les coefficients H et N seront les racines de l'ëquation A + C — 2Bcos9 , AC — B"
tflS. La forme de l'ëquation
Hy' 4- Nx' = H indique que la courbe est rapportée k deux diamètres conjugués ei par conséquent les axes rectangulaires sont dirigés suivant les aies de li courbe. Désignons par 2a, 26 les longueurs des axes de la conique c'està-dire les segments qu'elle déterinine sur les axes coordonnés. En pos«nl successivement y = o, x ^ o, on obtient :
par suite, a* et h* sont les racines de l'équation , H(M4-M) H'
ou bien, CD remplaçant H + N, HN et H par leurs valeurs, , 3(A + C — 2Bcoge) j^sin'e
