AC-B')' " + (AC — B

D,„„.db,Coogle.

Cesl l'équation aux carrés des longueurs des demi-axes.

Dans l'équation de la courbe le binâme B* — AC se réduit h — HN ; elle donnera une ellipse si M et N sont de même signe et une hyperbole dans le cas contraire. En substituant à H et N leurs valeurs, elle prendra la forme

1C9. Supposons maintenant que l'équation générale

Ay» + 2B3:y -\-Cx* + aDy + 2Ea: + F = o représente une parabole. On ■ : B* ^ AC, et les trois premiers termes forment un carré. Posons n = |/A, m ^= yCi ') viendra (nu; + ny)' -\- aDy -|- 2Zx + F = o. Sous celte forme on voit que la droite 2Dy + 2Ea;-(-F = o rencontre mx -f- m/ ^ o en deux points coïncidents qui appartiennent à la courbe ; c'est donc une tangente k la parabole. De plus, la droite mx -\-ny = o rencontre U courbe en un point unique appartenant & cette tangente; c'est un diamètre de la conique. Cela étant, si k est un paramètre arbitraire, l'équation précédente peut s'écrire

(mx + nj + A)' + 3 {D — n*) y H- 2 (E — mA) a: + F — A» = o. La droite

2{D — ni)y-j-2{B — mJt)j: + F — *' = o sera une tangente & l'extrémité du diamètre représenté par mx + ny + A = o.

Pour en déduire l'axe de la courbe, il faut exprimer que ces droites sont perpendiculaires; ce qui donne

m (E — mJt) -+- n (D — nA) = o ;

., . , Dfi + Em D(/Â+E|/C , „ . ,. ,„

d ou fc = — ^ ^ = — ' ' — . et l'équation de l'axe sera :

,/A + VC + ^4i^' =

D,„„.db,Coogle

Prenons maintenant cette droite pour axe des x et la tangente 1 l'extrémité pour aze des y. L'équation de la courbe donne /mx + «y + 1\ ■

/mx + «y + ty \ (/m* + «» /

2(D — nk)i/-\-2(E—mk)x+f—k* ~ m' + n*

2 /{D— nJt)»+(E— mit)' En attribuant à A la valeur trouvée précédemment, le numérateur est le carré de la distance d'un point de la parabole à l'axe ou y', et le dénominateur est x. Donc cette équation se réduit à

y' = 2px en posant :

^: |/( D — nk]* + (E — mi)' Dm — En D i/C — E l/Â ™ ^" (m'-hn*)' (A + C)'

Si les axes primitifs sont obliques, il faut prendre pour la condilioi de perpendicularité m (E — m*;) + n (D — nit) — [m (D — n*) + n (B — mi)] cos 6 = o. On en déduira la valeur de k qui doit entrer dans l'équation de l'iie. On arrive ensuite de la même manière à l'équation réduite dans ItqueOe on trouve

(Dm — En) sin' g (D /C — E |/Â") sin' 9

(m* + «' — 3»>n cos 6)* (A + C — a |/AC cos S) '

110. Considérons maintenant le système de deux coniques représentées par les équations

Ay» + 2Bxy + Cx^ + 2Py + zEa: + F = o, P (Ay' + aBacy + Cx*) + aD'y + aE'x + F' = o,

où les coefficients des termes du second degré sont proportionneb. Le> binâmes B' — AC et p* (B* — AC] sont négatifs, positifs et nuls en mène temps; les courbes sont du même genre. La relation (N* 160) qui détermine les diamètres conjugués ne change pas si on remplace A, B, C par pA, pB, pC; les diamètres conjugués auront les mêmes directions dans les deux courbes et leurs axes seront parallèles. Ou dit, dus M

D,gnz.dbvC00gle

Càs, que les coniques sont semblables et umblablement placées et on les appelle coniques homothétigueM.

Ces courbes jouissent aussi de la propriété d'avoir leurs axes proportionnels. Afin de le démontrer, remarquons que le rapport des racines de l'équation du second degré

x*+px + g=^Q, devient indépendant de p et de g, si l'on pose p' = kq; sa valeur dépend seulement de la quantité k. Formons l'expression— =i pour l'équation aux carrés des demi-axes (N* 168); on trouve :

(A + C — 2BcoBfl)V (AC — B*) sin* a '

cette expression ne change pas en remplaçant A, B, C par pA, pB, pC.

Donc le rapport des racines est le même dans les deux équations aux

carrés des demi-axes. Si on désigne ces derniers par a* et 6% a" et 6", on

aura

o' a'* aa 26

îT=ï7;» par suite — ; = ~ri'' 6» 6'» ^ 20' 30

c'est la relation qu'il fallait établir.

Supposons que la deuxième courbe se déplace dans le plan en restant égale h elle-même de manière que les diamètres conjugués et les axes ne soient plus parallèles; les deux courbes ne seront plus semblabletnent placées i on dit alors qu'elles sont seulement semblables.

Dans ce cas, la proportionnalité des axes existera encore puisque les courbes sont restées les mêmes. La condition de similitude de deux coniques

Ay + aBxy + Cx* + iDy + 2Ex + F = o, Ay + zB'iy + C'a:' + aD'y + zE'x -(- F' = o,

s'obtiendra en exprimant que les rapports des carrés de demi-axes sont égaux ; ce qui donne :

(A 4- C ~ 2B cos 6)' (A' + C — 2B' cos 6)'

D,gnz.dbvC00gle

ApplloRtlonB diverma dM théorie! séoéralM.

Ex. 1. Trouver rëqndion d'une cooique puHnt pv 1m points (0,0), (i, — i), (o, — i), et UngEnte lui droilc* y — 2a=^o,y — «+i = o. R. s*— 3x5 — ÔB' + y— ae = o. Ex. •. Trouver les «symptoles de la courbe représenUe pir l'équitioD {« - ¥) (» -I- 3If) + 4» - y = 6.

a. 4(« — l') + 3 = o. 4<« + 3l') + i3=o- £1. I. Chercher U condition pour que la droite u» -t- vy -t- 1 =^ o touche la conifM

R. (D* — AF)m> + 2(SF -DB)i<c -«-(£■ — CP)u> + 2(AE — BI>)t( + a((:D -BE)u-t-B'-AC = o.

Ex. 4. Chercher I* condition pour que l'axe des ai soit langent k l'ori^ne à li conique l(c, y)^D.

Ex. k. Par un point donné, mener une corde qui aoit divisée en deux parties iplts pu c« point. Si on prend ce point pour pAle, l'équation du second d<^ré eu ecordonnées polaires

aura des racines Ggites et de signes contraires avec li condition Diinu -f- E eosH = Oi par suite, la droite Dj/ -t- Eic = o est coupée en deux parties égilei à l'origine. Si le point donné était le centre, on aurait Di=o, E = o et la condition précddenU leiait toujours satisfaite.

Ex. •- Trouver les équations aux aies des coniques suivantes :

(i) y* — aay + m' = 2, (2) y' — a*y -»■ 3«* = — i

(3) y'— xï + «' = i, (4) y« = *'.

R- (0 (3+|/5)y'+U-V^5)"'=4. (2) i2-*-t''I)y*+(2-KS«'=^. (3) 3ï*^-«' = a) (4) !'»-«■ = *•.

Ex. *. Quelles sont les équation* réduites des paraboles

. (i) y' — aœy -i- X» — ay -m + 3 = O.

Ex. S. Que représente les équaliona

(a -»- y — 2}* = y - 3», (a + y — 5l' = y — aa+-8?

D,gnz.dbvCpOgle

Ex. •, Que repr^nte l'équation y* + nmy -t- o^ ^ i dans laquelle m egl i

R. De* coniques doni Ici txes coioddent. Ex. ■•. Cli«reher la eondilian poor qae lei ci

Ay« + aBa^ -t- O" + aDj -I- 3Eb -»- F = o, ay* -t- «fiijF + ex* + 2(^ -t- M» -«- 1= o aient Iran axes pvdUles.

Sx. II. Tronrer l'équation des dianièlres eomarans dei couiqnei Av' H- 2B«y -*- Cai» = I , i {x* ■*- 1*)= j, ainti qnc la condition pour que Ici deux conrbei soient tangentes.

B. {A — l)ii!«-<-aB»y-*-{C — ))«'-o; (A— J) (C — )) = »•. Ri. f*. Déterminer I* condition pour que l'txe des <r aoil une asymptote de la conique ( («, jr) = o.

Ex. ■ S, Eiprimer qae les asymptotes de li conique f (a, y) ^ o sont rectangulaires.

R. 1+ 5-^co,s^o,(„e,obliques); A -I- C= o, (axes recungui aires).

Ex. 14. TrouTcr l'éqaation de l'axe de la parabole

a b a* -f- J* -t- aab cos S Ex. IM. Etant donnée l'équation générale d'ane coniqae à centre, on pose i = ACF - CD« — AE* - FB* + aBDE ;

montrer qae l'équation générale peut se ramener ï la forme

A> "*" C ' A" "*" qAC — B') ~ "■ Ex. €•. Que représentent les équations

M» + N" = I, iP - N" = I, M> + N = o,

lorsque H, N sont des fonctions Eiiiéaires iIps coordonnée» x et y?

D,„„.db,Coogle

Ex. 1S. Interpréter les éipialions

JMN4-mNL-i-nlM = o, ly-t-IMf =o.

LM — IP' = o, \onque L, M, N, P représentent des polynômes du premier degré en x et y.

Ex. as. Si, paruQ point O, on tire deux sécantes qui rencontrent une conique ui

points Pu Pi; Qii Q„ le rapport ' ^...'Mt constant, qael que soit le poinl 0, pourTU que ta direction des sécantes reste ta même. (NiwTon.)

Ex. ■•. Déduire du théorème précédent les corallaires suiranla :

t< Lés produits OPi ■ OPa et OQi ■ OQi sont entre eux comme les carrés des Uageute* parallèles aux sécantes.

S> Les mêmes rectangles sont entre eux comme les carrés des diamètres pwiUèlo aux cordes.

3* Les tangentes menées d'un poinl quelconque k une conique sont entre éttt comme les diamètres parallèles à ces tangentes.

Ex. ••- Si les côtés d'un triangle AB, BC, Ck reacontrent une conique respediirment aux points C,, Ci; Ai, Ai; Bi, Bi, on s la relation

ACi.AC,.BA, .BAi-CB. ■CB, AB, . AB, . BC, . BC, ■ CA, ■ CA, ~ ''

Montrer qu'on * une relation analogue pour un polygone quelconque (CtaMOT).

hx. ■ I . D'un point H on abaisse les perpendiculaires HP et HQ sur deux droiln Gxes ; IrouTer le lieu du point H, lorsque PQ passe par un point Gie.

Ex. •«. Par un point Sxe du plan d'un angle donné XOY, on mène une séesalt quelconque, el, par les points où elle rencontre les côtés, on tire des droites panllèlci 1 ces câtés ; trouver le lieu du point d'intersection de ces parallèles.

Ex. va. Trouver le lieu d'un poinl dont l'ordonnée est moyenne proportiopncUe entre les ordonnées correspondantes de deux droites Exes.

Ex, t4. Étant données la base et la somme des côiésd'uo triai^le, trouver le tien ih centre du cercle inscrit.

Ex. as. Étant données la base el la somme des côtés, trouver le lieu do panl d'Intersection des médianes.

Ex. «•. Trouver le lieu géométrique des centres de gravité des triangles qni oK même base et même angle au sommet.

Ex, Vf. Quel est le lieu géométrique des centres des cercles tangents i une dreilt et pisunt par un point donné.

Ex. *•■ Chercher l'cquation du lieu des centres des cercles tangents i la fois à hk droite et i un cercle donnés.

£x. ••, Trouver le lieu du centre d'un cercle qui intercepte, sur deux lignes iMS, deux longueurs données.

Ex. ■•. Trouver le lieu du centre d'un cercle qui passe par un point et qui iilcrcepte, sur une l^e fixe, une longueur donnée.

D,gnz.dbvC00gle

Ex. >■. Trouver le lien du centre d'un cercle qni conpe àean cercles fixes sons des angles donnés,

El. *S. Ou donne on cercle tnngenlàdeui droites recungulaires «ax pointsPetQ; OD mène une Ungenle quelconque qui rencontre les mêmes droites aux points R et S. TrouTer le lien du point de rencontre des droites PS et QR.

El. a». Un triangle ABC est circouirrit à un cercle, si l'uigle C est coosttnt et si le sommet B décrit uae droite, quel sera le lieu du sommet A?

Ex. a«. DsnsuQ tnpèie ABCD, le câtë AB est donné en grandeur el en position; de plus, ou donne la longueur du câté parallèle CD et U somme des deux autres calés. Trouver le lieu du point d'intersection des diagonales.

Ex. ••. On doune deux coniques S et i; trouver le lieu du pdie d'une tangente i|uelconqae de < par rapport 1 la courbe S.

Ex. sa Si, a partir de chaque point C d'une droite terminée aux points A et B, on porte, dans une direction constante, une longueur proportionnelle à la moyenne i;éométrique des segments CA et CB, rextrémilë de cette longueur a pour lieu une conique à centre.

Ex. ■«. Trouver la courbe telle que, si l'on mine une tangente quelconque terminée aux axes, cette taagentc soit divisée en deux parties égales par le point de contact.

Ex. SS. On donne une droite et un segment fixe AB; si l'on joint un point P quelconque du plan aux points A et B, les lignes PA et PB vont déterminer, sur la droite donnée, la perspective A'B' du segment. Quelle courbe doit décrire le point P pour que cette penpeetive conserve toujours la même grandeur?

Ex. >•. AB et CD sont perpendiculaires k une même droite AC. On prend, sur CD, un pmnt Q quelconque, et, sur AQ, un point H dont la distance & A B soit égale i CQ ; trouver le lien du point H.

Ex. «•. Psr deux pmnts fixes A et B pris sur une ellipse donnée, on fait passer des eereles variables; trouver le lieu du point U oii concourent les tangentes comuunei au cercle et à l'ellipse.

Ex 41 . On donne deux angles de grandeur déterminée : supposons qu'on les fasse tourner autour de leivs sommets respectifs, de manière que deux de leurs cAtés se coupent sur une droite 5ie ; montrer que h point d'intersection des deux autres câtés déerir* une section conique. (Niwtor.)

D,gnz.dbvC00gle