CHAPITRE VII
COURBES DU SECOND ORDRE (boite).
Équation générale da aeoonâ degré «n ooordonnéw trlangnlkirei et UngentieUei.
SomAi**. — Déitrmitutiion du genre de la courhe rtpriientée par t'/qvatioit dit terni degré m eoordonnén triangulaire». Centre, diamètre, langvnle, pile e! polaire itu U» emrbn du eeamd ardre. — Formte de Viqwtion d'wi» tonique rerpportit 4 n triangit tireonteril, iiutrU et eoni'ugvé ; à un guadritatire Jiuerfl et tirtioneerit.
S 1 . ÉQUATIONS Bit COMDOIfflfiES TRIANGULAIRES, DU CBMTRB, DV MAIËTU DE LA TANGBNTB BT DE LA POLAIRE DANS LES COURBES DU SECOND ORDRE.
171. L'équation gënérite du second degré en coordonnées trîiogulaires est de la forme (0 f(A, B, C) = M' + mB» + nC + a/'BC + am'CA + an'AB = o.
Comme les lettres A, B, C représentent des Tonctiaos du premier d^ en X et y, l'équation (i) est aussi du second degré par rapport à ees dernières variables et représente une section conique; elle renferme cinq paramètres arbitraires, dont on peut disposer pour faire coïncider li courbe de l'équation (i) avec une section conique quelconque.
Afin de déterminer l'espèce de courbe représentée par une équation de la forme (i), cherchons les points du lieu situés i l'infini. Nous savons que la droite de l'équation
(D) aA + 6B+cC = o
D,gnz.dbvC00gle
est siluée dans le plan îi l'inlini; éliminons C entre (D) et (i); on trouvera c'(/A» + mB' + 2n'AB) — 2c(aX + 6B){/'B + m'A) + n(oA + bB)*= o, ou bien, k'-\-na* — 2t)i'ac)A*-4-2(M'c* — l'ac — m'fcc 4-106) AB+(inc'+n6' — 2l'bc)B*= Cette équation représente deux droites issues du point de référence y, et passant par les points d'intersection de la conique avec la droite à l'iofinî ; elle donne deux droites réelles et différentes, deux droites qui coïncident ou deux droites imaginaires, suivant que
(n'e»— /'oc— wt'6c+na6)»= {te* + no' — zm'oe) {me* + «6' — zl'bc).
Dans le premier cas, l'équation représente une hyperbole, dans le deuxième une parabole, et dans le troisième une ellipse.
179. Trouver le» équitiions du eentre de la conique représentée par f(A, B,C)=o.
Soient Ai, Bi, d les coordonnées inconnues du centre; les équations d'une droite qui passe par ce point sont de la forme A— A. B — B, C — Ci
On en tire : A ^ Ai + j.p, B = B| -^ fip, C = C| -f- vp; en substituant ces valeurs dans l'équation de ]a conique, il vient
l(A, + >p)* + «.(B. + pp)' + n(C, + vp)« -l-2f'{B,+f p) (C+vp) + 2«.'(C,+vp) (A.+ip}+2n'{A,+ip) (B'+f p)=o- Développons le premier membre, et représentons par fj(A, B, C), r,(A, B, C), rc(A, B, C), les dérivées partielles de f (A, B, C), prises par rapport à A, B, C ; l'équation précédente peut se mettre sous la forme (a)p"f(>.,fi,w)-l-p[Xf.(A„B„C,)+fxr.+vr.] + f(A„B„C,) = o;
elle donne les valeurs de p pour les points d'intersection de la droite et de la courbe ; comme Je centre est au milieu de la corde, les racines doivent être égales et de signes contraires, et, par suite, on doit avoir Xr4A,,B„C,)-|-ftr. + yf. = o
D,gnz.dbvC00gle
quelle que soit la direction de la corde, c'est-à-dire, pour toutes les Takiirs de X, fj-elv qui satisfont à la relation {N* 99)
oA -|- 6f/ -j- cv = o.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut que l'on ait les égalités
f.(A..B.,Ci) I\ fç
En désignant par 2k la valeur commune de ces rapports, et en substituant aux dérivées leurs valeurs, on obtiendra les coordonnées do centre par la résolution des équations suivantes :
lAi + n'B, + m'C, — ka = o, n'Ai + mB, + l'C, ~kb = o, m'A( + l'B, + nCt — Jtc = o, bAi + 6Bi + cCi + aS = o.
Afin d'abréger, posons
' ml'\
n' tit C
»' ra e
Les équations précédentes donneront
oP
+ Kl+ce
par suite,
Le centre sera à l'inSni, et, par conséquent, l'équalioa générale représentera une parabole, si K ^^ o.
D,gnz.dbvC00gle
1TS. Trouver ta longueur d'un diamètre.
Si on mène par le centre (A|, B|, C|) une droite, l'équation (a) ne renferme plus la première puissance de p, et elle donne f(A,,B„C,)
c'est le carre du demi-diamètre de direction (A, fi, v). On peut esprime'r
le numérateur en fonction de H et de K. En effet, d'après les équations
du ceatre et une propriété des fonctions homogènes, on aura les relations
2f (A„ B,, C) = A, f . + B. f . + C, f c = 2k (A,a + B.fr + Ce)
et, en remplaçant k par sa valeur —^ , il viendra
174. Chercher t'équalion du diamètre qui divise en deux parties égaies Us cordes parallèles à une direction (i., p., n).
Menons une droite de direction (A, jll, v) qui rencontre la conique eu deux points H et M'. Soit I(A', B', C) le milieu de la corde HH'; celle-ci sera représentée par les équations
Substituons, dans l'équation de la conique, aux coordonnées A, B, C les valeurs A' -|- Jp, B' + ftp, C + vp tirées de ces équations ; on aura, pour les points H et M',
p'f{X,f/,v) + p[if,(A',B',C') + f.r. + vr,]-f.f(A',B',C') = o.
Cette équation doit avoir des racines égales et de signes contraires, puisque le point (A' B' C), à partir duquel se compte la distance p, se trouve au milieu de la corde, et, par conséquent
Ar.(A'B'C') + f^f. + vf. = o.
La corde HH' étant quelconque, les coordonnées du milieu de toute corde de même direction satisfont à l'équation
> f . {A, B, C) -f- pt f . (A, B, C) + V F, (A, B, C) = o,
D,gnz.dbvC00gle
qui sera celle du diamètre^ elle est du premier degré ea A, B, C et représente une droite qui liasse par le centre : car, pour ce poiat, les valeurt des dérivées étant proportionoelles à a, b, c, on a oX + tfi + ev = o :
relation qui est satisfaite par les quantités A, ft et v. ' Les coordonnées du centre étant proportionnelles à P, Q, B, l'équatioa d'un diamètre qui passe par un point (A', B', C) de la conique pcat aussi s'écrire
ABC
tiS. TYouver l'é^u(Uion de la tangente à la eoniqae f(A, B, C) = o au point (A% B', C')-
L'équation d'une corde qui joint deux points (A', B', C), (A", B", C") de la courbe est de la forme
^ lA* -\- mB' 4- nC» + z/'BC + 2m'CA + 211' AB;
car, après la multiplication et la suppression des termes communs tm deux membres, elle s'abaisse au premier degré ; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des deux points, eu égard aux rclatious
(o') /A" + mW* + nC* + 2i'B'C' + am'C'A' + 2n'A'B' = o, (a") lA"* + mB"* + nC"« + a^B'C" + 2m'C"A" + 211' A"B" = o.
Supposons que le point (A", B", C") vienne se confondre avec le point (A', B', C); la sécanle devient tangente à la conique et son équation est alors
+ 2m'(C— C')(A— A')4-2M'(A— A')(B— B')=/A'+mB»+nC'+2/'BC
+ am'CA -1- 2n'Afi.
En développant et faisant usage de la relation (a'), l'équatioo de la tangente su point (A', B', C) est de la forme
/AA'+mBB'+BCC'+i'(CB'+BC')+m'(AC'+CA>fn'(AB'+BA')=o,
ou bien, en groupant les termes qui mulliplient A, B, C,
La coadilion pour qu'une droite XA-\-iiB-i-vC =o soit tangente à la
conique s'obtient en identifiant cette équation avec la prccédenle ; on
trouve ainsi :
tTC Trouuer i'iquatùm de la corde des contacts dei tangentes issues du point (A', B', C) à la conique {{A, B, C) = o.
Soient (Ai, B,, d), (A., Bt, Ci) les pointe de contact de ces tangentes; l'une d'elle a pour équation
fAA,+mBB,+nCC.-4-f'(BC,+CB,)+in'(ACi+CA,)+n'(AB.+BA,)=o; mais elle passe par le point (A', b', C), et, par suite, on doit avoir /A'A,-|-mB'B,+nC'C,+/'(B'C,-t-C'B,)-|-m'(A'C,+C'A,)-Hi'{A'B.4-B'Ai)=o: relation qui exprime aussi que le point (A|,B|, Ci) se trouve sur la droite réprésentée par
(P) lAA.'+mBV-^CC'+l'{W:'+CB')+tn'(JiC+C\')-\-n'{AV+KA')=o.
On verrait de même que le second point de contact (At, Bt, Ci) se trouve sur \b même droite. L'équation (P) est donc celle de la corde des contacts ou de la polaire du point (A', B', C); elle peut se mettre sous la (orme
Af.(A',B', C') + Bf. + cr. = o.
171- Trouver Us tangente» menées cPunpoint extérieur (A', B', C) à la conique f (A, B, C) — o.
Les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint (A', B', C) à un autre point (A", B", C") sont données par les formules
fjA" -|- vA'
HvB'
fC + vC
D,„„.db,Coogle
ou bien, en posant^:
B' + iB"
Pour les points d'intersection de la droite avec la conique, ces valctirt satisfoDt i l'équation f (A, B, C) = o ; en substituant, on trouve
dans laquelle S"=r(A", B", C"), P"=A"f,{A', B', C') + B"r, + C"f., S'=f(A',B',C'). Si la droite des points (A', B', C), (A",B", C") est Ungente à la coDÎqoe, l'équation {k) doit avoir des racines égales, et, par suite, p"» 4S'S" =. o.
En remplaçant A", B", C" par A, B, C, on aura, pour les tangentes, menées du point (A', B', C) k la conique,
[Af.(A',B',C') + Bf. + Cr.]» — + f(A,B,C)f(A',B',C') = o.
Lorsque le point (A", B", C") est pris sur la polaire du poiDt(A', B', C),
P" = o, et l'équation {k) a des racines égales et de signes contraires; on
retrouve ainsi cette propriété de la polaire de diviser harmonique ment
toute sécante issue du pùle et rencontrant la courbe en deux points.
L'équation des tangentes s'obtient aussi par la remarque suivante. Soit lA + ftB 4- vC = o l'équation de l'une d'elles; comme elle doit passer par le point donné, on a la condition : AA' -f- f^' -h ^^' = **> '"' en déduit
