AB
— BA'
des taugentes aux pomts où la dniU
D,gnz.dbvC00gle
AA -(- pB -)- vC = o rencontre la conique f(A,B,C)iEO; en déduire celle det asymptolM.
DësigDonB par A', fi', C les coordonoées du pôle de la droite donnée; les tangentes eherchëes doivent se couper en ce point; par suite, l'équation, qui les définit, s'obtiendra en déterminant ces coordonnées pour les substituer dans l'équation du numéro précédent. IdenliGons l'équation de la polaire avec celle de la droite donnée. On aura f.(A',B-,C.)^f,^f,^
d'où on tire
A'f. + BT.+ CT.
Ar.(A',B',C') + Br.4-cf,
~" XA + f<B 4- wC ' iA' + fiB'H-vC W+~fiB' + vC' '
et l'équation du naméro précédent peut s'écrire
(y) *(U + ftB + vC)' = (AA' + f*B' + *C')f(A,B,C). D'un autre cAté, les égalités (|3) donnent
Ik' + n'ff + m'C — kl = o, n'A' + wiB' + l'C — kfj. = o, m'A' + l'B' + nC — *v = o.
On en déduit
En substituant à M' + pB'-f-vC sa valeur dans l'équation (y), il viendra, pour les droites ebercbées,
lA' + (^' + "C'
D,„„.di,Coogle
On arrive immédiatement h l'équation des asymptotes, en supposml que la droite soit à l'inCni, c'est-à-dire, en remplaçant X, fi, v para, b,t. On aura ainsi, pour ces droites,
% 2. tQUATIOH ou SECOND DBGRË Bf) COORDONNÉES TANGENTIELUS.
13V. Lorsque les coordonnées u et v d'une droite vx -{- vy -\- 1 ^o, qui se meut dans un plan, satisfont à une équation du second degré de la forme
(l) f (m, f) = au* -l- 2611» + W' + 2Chl + 280 + /■'^ o,
l'enveloppe de la droite mobile est une section conique. En effet, éliminons v entre les deux équations; on trouvera
(«y — 26iy+cx*)«'-|- 2(cx — by+dy* — exy)u-{- c — 2ey-\-fy*=o.
Pour chaque point du plan (z, y), cette équation donne deux valeurs pour u, et, par suite, il y a deux tangentes ii la courbe enveloppe qui aboutissent en ce point ; mais, si ce dernier appartient à la courbe, les deui tangentes coïncident et l'équation doit avoir des racines égales; on a donc la condition
{cx — by + dy* — eay)' = (oy* — zhxy + ex*) {c — 2ey-\- fy*). En développant, on obtient, pour l'équation de la courbe enveloppe en xety, {2)(d'-o/)!/*+2(6/'-de)m/+(e*-c/")a:'+2{ae-M)y+2(cd~6eK
elle est du second degré et représente une section conique.
L'équation (i) est du second degré par rapport aux coordonnées tugentielles; elle représente une courbe de la seconde cftuje; d'après ce qui précède toute courbe de seconde classe est aussi une courbe de second ordre.
Souvent on rend l'équation homogène en introduisant une troisième variable w et on écrit :
au* + ïbuv + cw' + 2duK + zewv + /te* = o
D,gnz.dbvC00gle
ou bien, en représentant les coefficients par une même lettre avec deux indices,
ohm* -l-<iïiïî' + OiiW* + 2ai]Ut) 4- soiïWW + 2auvw = o.
18#. Trouver l'équotioH du point dt contact d'une tattgente (u',v')dla contre f («, v) = o.
Soient (u', v'), (u", v") les coordonnées de deux tangentes; l'^quaUon de leur point d'intersection peut s'écrire
= ou' + ibuv + ce' + idu + 2ev + /";
car, après la suppression des termes communs, elle est du premier degré
en u et v ; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des deux droites,
eu égard aux équations
on'* + 26mV 4- ev" + 2du' + 2eu' + /"= o,
au"* + 2bu"v" + cv"* + adu" 4- acv" + /"=: o.
Lorsque les tangentes se confondent, leur point d'intersection coïncide
avec le point de contact, et ce dernier sera représenté par
a(u-u'* + 2b(u-'u')it>-V) + e{i)-vr
= au* + 2buv -4- ce* + ïdu + 2ev-\-f
ou bien, en simplifiant,
(3) auu' -\- 6 [uv' + vu') + cm' + d (u + a') + c (w + v') -{- f= o.
IS1 . Chercher l'iquatwn du pile ^une droite {u', v') relativtmBnt à la coniquet(u, v) ^= o.
Représentons par u,, Vi et u*, Vt les coordonnées des tangentes à la conique, aux points où elle est rencontrée par la droite donnée; le point de contact de lu première a pour équation
auu,+b(uv,-]-vui) + cvvi + d[u + u,)-\-e(v-\-v,)-\-f=o; comme ce point se trouve sur la droite donnée, on a la relation au'ut -\- b (u'vi ■+-v'u,)-\-cv'Vi -{- d {u' -\- u^) + e(v' -\- Vi) -\-f=o qui exprime aussi que la droite (u,, ti|) passe par le point représenté par (4) auu' -\-b(uv' +vu') + cvp' + d{u + u') + e{v + v') + f^o.
On verrait également que la droite (u*, v,) passe par ce même point;
- sas —
donc l'équation (4) est celle de leur point d'iuterseclion ou du pdie de la droite donnée (u' v').
Il est utile de remarquer qu'avec l'équation homogèDer(u, v, it>) = o, celle du point de contact ou du pôle d'une droite peut s'écrire
«/;■ -i-vf^+wr^^o ou «'/; + Vf, + K'fl = o.
Lorsque la droite (u', v', to'}, est h l'infini, «' = o, b' = o et le pile correspondant sera représenté par
C'est l'équation du centre de la courbe, puisque les polaires des points » l'iufini passent par le centre.
t9>. Trouva- les coordonnées des tangentes passant par l'interiectiin tU deux droites données,
Si(ti', v', w'), {u", v", to") sont les droites données, les coordbnnéfi d'une droite quelconque passant par leur point d'intersection seront :
U' + iw" v' -\-i.V" 10'+ iw"
"—r+r- '—T+r- »— TTr"
Substituons ces valeurs dans l'équation de la courbe f{u, V, w) = OiiM* + o«tt)* + oiitc* + aoiiwe + aouuw -1- 2(i« tîw=o: il viendra, d'après une règle connue,
S" =/■(«". t.", te"). S' =/■(«', p', w'), p=-(«"/^+»>" /:■+«"/:)■
Cette équation du second degri! donne les valeurs de A qui correspondent aux tangentes cherchées. Désignons par A|, A] ses racines. Les tangeatR et les droites données forment un faisceau dont le rapport an h armoniqur
est égal hy- Posons :~ = a; par les relations des racines avec les coefficients (N* 164), on arrive à l'équation
Supposons maintenant que la droite (u', v', to') soit fixe et l'autie
variable; cette équation repr<!sentera l'enveloppe de la droite (u", v", tr")
D,gnz.dbvC00gle
faisant dans chacune de ses positions avec les trois autres un rapport anharmonîque a. Si nous posons a. = — i , le faisceau des droites devient harmonique, et l'équation se réduit à P* := o. Donc, si de tous Ut points d'une droite fixe on mène des tangentes d une conique, la quatrième droite harmonique tourne autour d'un point fixe. Ce point est le pAle de la droite ; car, en remplaçant u", v", w" par u, v, w, il a pour équation
Pour construire géométriquement le pôle d'une droite donnée, on dcterniine (N" 1fi4] les polaires de deux points quelconques de cette droite; leur point d'intersection sera le pèle.
L'équation en A peut conduire aussi à celle des points de contact des tangentes aux points où la droite (u', v', w') rencontre la courbe. Si la seconde droite passe par l'un de ces points, il n'y a plus qu'une seule tangente passant par leur point d'intersection et l'équation doit avoir des racines égales j on a ainsi la condition P' — S'S" =^ o qui sera satisraite par toutes les droites («", v", vj") traversant les points communs à (u', v', te') et la conique. Remplaçons u", v", w" par u, v, ir; la condition précédente devient :
{uf^+vf:. + Kf^y — ^f(u,v,w,)f{u\v\w') = o:
cette équation représentera les points où la droite (u', v', v)') rencontre la courbe.
1U. Étant donnée l'équation d'une conique en coordonnées trouver son équation en coordonnées langentielles. Soit
f{x, y, z) = a,tx* -+■ a»ty* + o,jz' + 3a,txy -J- 2a,txz + aouyt = o,
l'équation donnée et [x', y', z') un point de la courbe. En identifiant l'équation de la tangente
avec la droite mobile ux -]- vy -{- wz = o, on a les égalités
D,„„.db,Coogle
Désignons par 3k la valeur cominune de ces rapports; on aura les (équations
a.ix" + «ny' + aijz' = ku ai,x' •+- a«y' + Oijz' = ko a,|j' + Ont/' + oiii' => iw mais on a aussi
ux' + vy' + wz' = o.
L'ëlimina^on de jc*, y', z', k donne pour l'équation cfaerch^ :
On «« ati V
et, en dëveloppant
«'(oiifflw— 011')+ "'(«II""— «!»')"•- «''(<»<i<»M—<»i»*)+2""("(i*'ii— «)»«>»* + 2WW (aitOii — anOii) + awo (ai^,i — aii<iii) = o. On verrait de la même manière, en partant de l'équation du point de contact d'une tangente à la conique
/■(«, r, tu) = aiiU* + attV* + a„to' + aaituv + 2ai]Uto -|- 2a«»e»p = o, que son équation en coordonnées cartésiennes peut s'écrire a,t dit a,î X
Otl On Ot} y
Un a» Ox) g X y z a on bled aT*(aïtaii— (ïii')+y'(aHaii— a,i»)+^»(0H'i*i— art*)+2!n/(oiio,»— oiiOit) + ixs (aiiats — diiai,) + zyz (ana,i — oatati) = o. On peut vérilier facilement que les coefficients de l'équation sont les dérivées du discriminant prises par rapport h Un, on, an, ati, an, on.
El. t. TroDver l'équation des cooiquei tangeotes «nx uet
Si duu l'équation
on' + 2*»!' -*■«;'-*- a»*" + a™ + f^ o, an fiil ti^O,i1 vient ou' ■*• 2du + f=o.CtUe équation donne les tangentes parallHes k l'ax« desyj car u, cl ti| étant les racines, les tangentes c
D,gnz.dbvC00gle
u,x-4- 1 ^o,H*E + i^o. Comme U coniqnc doit bmeber l'axe des y, l'ëqattion prtcédenteDedoit avoir qu'une raciae finie, et a:=0. On vemil de mémequen^o, si la eotirbe touche l'axe des x. L'ëquation cherchée est de II Tonne
Ex. a. Trouver l'équation générale des coniques tangentes i deux droites donn^ ("i, fi) (•*, •.)■ R. p{« — «.)(»-ii.)+?(t.-t.,)(p-o,)+r{t.-«,)(ti-i.,)-l-«(«-«,)(ti-ti,)=0.
El. a. Équation des coniques inscrites dans te quadrilatère AA'BB'.
Prenons pour axes les câtés AA', BB' et soient OA = a, OA' = a', OB = b,OW = b'; les équations des cAtës du quadrilatère sont
La conique étant tangenlp aux axes, son équation est de la forme
où «1, Kl, Ni, Cl sont tes coordonnées des autres câtés
dn quadrilatère ; elle ni renferme pa« les lennes en u* et
en v', et elle est satisfaite pour u^Ui et u^v„ u^^u,
etD^=Vi. Si on remplace ces coordonnées par leurs fif.ui.
Talpurs, on troure, pur réqualion des coniques inscrites au quadrilatère.
La courbe serait complëtemenl définie avec une Douvelle condition. Ex. «. Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite qui passe par les milieux des diagonales. (Newton.) Le centre d'une conique représentée par (A) est le point de réqnation
2\6''^*/ 'i\â'*'a'J'''*'ab''*'a'b ° qui renferme un coefficient indéterminé i et représente une infinité de points situés sur une même droite ; las coordonnées de celle-d l'obtiennent en résolvant les équations
D,gnz.dbvC00gle
r^ation de li droita du eentru en z et y est
Z(A — 6') «-»-2(a— n')y-t-o'A' — at = o. H Mt fteile de TériHer qn'ella pute pir les miliflai des trois dii^onalet da qntdri- Ittire.
Ex. •. IVonTar la condition pour qne l'équation générale représeniedeoi poinu.
K. {hd — ne)' = (6* — «) ( J — af).
Ex. ■. Lien du piles d'une droite fixe par rapport aux cooiqnu inaeriles danj an quadrilatère.
Le pôle d'une dnùle fiie («', «') par rapport à une coniqne (A) a pour éqnabon
i cause de la prétence de 1, elle représente une inSnilé de poinu «iluéatnr la droiir dont lea coordonnéei saliafont aal éqnatîona
1S4. L'équation générale du second degré
(7) f (A, B, C) = /A' -f- mB" + nC* + zi'K + 2«t'CA + 2«'AB = o, où A, B, C gOQt les coordonnées UDgenticlles d'une droite mobile, c'est-1dire les distances de cette droite h trois points fixes
(.)U-o, 0)V o, (,)W-o, roprésenle une section conique: car, si on substitue i A, B, C les «pressions équivalentes, ■ , -^=^^ , , elle est dn
second degré en u et v; comme elle renferme cinq paramètres arbitaires, la courbe enveloppe peut élre une section conique quelconque.
Afin de déterminer l'équation du centre de la conique (7), désignons par A', B', C les coordonnées taogenticlles d'un diamètre quelconque de la courbe, et par A la distance du centre aux tangentes parallèles h cette droite. Les coordonnées A' ■+ k, B' + h, C -\- k de l'unede ces tangentes doivent satisfaire k l'équation ; on a donc
D,gnz.dbvC00gle
ou bien r(ASBSC')-fA[f .( A',B',C'H-f ,+r.] + AV-H«-HH-a^-Hm'+2tj')= o.
Celte équation doit avoir des racines égales et de signe différent, puisque les tangentes parallèles sont à égale dislance du centre, et les coordonnées (A', B', C) d'un diamètre quelconque satisfont è la relation
f,(A,B,C)+f. + r. = o, qui sera l'équation du centre de la conique représentée par l'équation (7 1.
Par la méthode employée précédemment, on trouverait facilement, pour l'équatioD du point de contact d'une tangente (A', B', C) k la conique (7),
iAA'+mBB' + nCC +/'{CB'+ BC) 4- m'(AC'-i-C A') + n'{AB'+ BA') =0 ; c'est aussi l'équation du pAle, lorsque la droite (A', B',C') occupe une position quelconque dans le plan de la conique.
L'équation précédente peut s'écrire
Af . (A', B', C) + Sr, + Cf. = o.
En l'identifiant avec celle d'un point
iA + fiB-f lrC=0
on arrive il la condition suivante :
qui exprime que ce point appartient k la conique.
Enfin, soit (A', B', C) une droite qui rencontre la courbe aux points mi, mti menons, par m„ une seconde droite quelconque (A", B", C"); toute autre droite passant par le même point aura pour coordonnées ^^pA" + M' ^j^fAB" + yB' ^pC" + vC'
En substituant dans f (A, B, C) = o (N" 177) et exprimant ensuite que l'équation doit avoir des racines égales, on arrive h la condition pour que la droite (A", B", C") passe par le point de conUct de la tangente en m, ;
D,gnz.dbvC00gle
OU Supprime les accents et on trouve pour l'équation des points où la droite (A', D', C) rencontre la conique
[A r. (A', B', C) + B f .+ C f J' — 4 l'(A, B, C) f {A% B', C) = o. On arrive au même but, en prenant AA -f- f*B -+- wC ^ o pour l'éiin»tion de l'un des points m, , mi ; on a ta condition : XA' + ftB' 4- vC' = o puisque la droite (A', B', C')> passe par ce point; par suite
BC — CB' CA' — AC AB' — BA' n reste à substituer ces valeurs dans l'équation qui exprime qu'un point appartient à la conique.
% Z, ÉQUATIONS d'une CONIQUE CIRCONSCHITE, IRSCBITE ET COKJUCCÉE A I:H TRIANGLE, CIRCONSCRITE ET INSCRITE A UN QUAnRILATÈRE.
ISS. Trouver l'équalùm d'une courbe du second ordre rapportie à «a triangle inscrit.
Si le sommet a du triangle de référence appartient à la conique, l'équation
/A' + mB" + bC» + 2/'BC + 2m'CA + 2n'AB = o doit être satisfaite en posant : B = o, C = o, et, par suite, / ^= o. Si les points j3 et y appartiennent aussi à la courbe, l'équation devant être satisfaite pour C^o et A=o, A=oetB=o, il faut que l'on ail : bi=»=o. L'équation d'une conique circonscrite au triangle de référence ne peut contenir que les rectangles des coordonnées, et elle est de la forme
(i) pBC+«7CA-f rAB = o;
elle renferme encore deux paramètres indéterminés: il en doit être ainsi, puisqu'on peut assujettir la courbe à satisfaire ù deux autres conditions.
L'équation (i) peut s'écrire
;>BC+A(iïC + rB} = o.
Les points oii la droite fC -|- ''B = o rencontre la courbe doivent se trouver sur les cAtés R et C du triangle inscrit; mais, comme elle passe par le point d'intersection de ces cêtés, elle doit rencontrer la conique en deux points qui coïncident avec le sommet a.. Ainsi, l'équation
çC + rB = o, ou — -|- - = o,
D,gnz.dbvC00gle
représente la tangente au point a. De même, C , A A , B
seront les tangentes à la conique aux sommets |3 et y du triangle de référence. D'ailleurs elles se déduisent de l'équation
A (ffC + rW) + B (;>C' + rA'} + C{pW + qX') = o, qui reprc^-nte la tangente h la conique (i) au point (A', B', C): si ce dernier cuiucide avec le point a, B' = o, C ;= o, et l'égalité se réduit k rB -^ ^C = o. On retrouverait les deux autres tangentes, en faisaDt coïncider le point (A', B', C) avec les sommets ^ et /, Remarque. L'équation (i) peut encore se mettre sous la forme
En supposant que A, B, C soient des polynômes du premier degré en X et ^ qui, égalés à zéro, définissent les càtés d'un triangle, il existera une relation de la forme (i') entre ces fonctions pour tout triangle inscrit dans la conique. Cette propriété est vraie pour un polygone de n côtés inscrit dans une courbe du second ordre. Soit, ca effet, un quadrilatère dont les côtés sont : A =^ o, B = o, C ^ o, D = o. Menons une diagonale K; la conique sera à la fois circonscrite aui deui triangles ABK et CDKj par suite, elle sera définie par deux équations de la forme
en ajoutant membre h membre, il viendra
Du quadrilatère on passera de la même manière au pentagone, k l'hezagone, elc.; on en conclut que la relation sera vraie pour un polygone d'un nombre quelconque de côtés.
I§tt. Chercher l'équation d'une coniqueimcrite au triangle de référence. Quand ou pose A = o dans f(A, B, C) = o, il vient l'équation liomogènç
mB' ■+■ nC* -^ 2l'BC = Q
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entre les coordotméeB fi et C ; elle représente deux lignes droites 'lasatt du sommet a et passant par les points d'ÎDtersectian du c6té A avec li conique. Or, ai ce cdté est langent à la courbe, ces droites doifeal coïncider, et il faut que /" = mn. En exprimant qoe lescAtésBclC toDchent la conique, on trouTcrait également m"^/n, n'* = lm. Posons l = f*,m = g*,n=^h*: il viendra l' = ± gh, m' = ± kf, n' ^± fg, et l'équation de la conique inscrite au triangle sera
(2) pA* + g'B* + A'C* ± 2ghBC ± 2A/CA ± 2/5AB = o. Cette équation peut aussi s'écrire
(3) |/7Â + |/p + /ÂC = o,
car, après avoir fait disparaître les radicaux, on retrouve la première.
1 ST . Trouver Véifualion d'une courbe du second ordre rapportée à ma trùmgle conjugué.
Un triangle est dit conjugué h une conique, lorsque chaque cAté est It polaire du sommet opposé par rapport h la courbe.
La polaire d'un point (A', B',C') relativement à la conique r(A,B,C)=>o étant représentée par l'équation
MA'+mBB'+nCC'+/'(BC'+CB')+m'(AC'+CA')+n'{AB'-|-BA'.=o, elle se rédnit à
MA' + m'CA' + w'BA' = o, ou /A + m'C + n'B = o, pour le sommet a où B'=^o, C'=o. Si le côté A est la polaire du point a, il faut que l'on ait m' ^n' ^ o. En Taisant coïncider le point {A', ff, C") avec le sommet j3, on trouvera aussi l' = o, puisque le c6lé B est ii polaire du point ^. L'équation de la conique conjuguée au triangle df référence ne renferme donc que les carrés des coordonnées, et elle est de la forme
(4) M' + mB' -\- nC = o.
Deux conditions nouvelles suffisent pour déterminer la conique. Puur que l'équation (4) représente une courbe réelle, il faut au moins qne l'un des coeflîcients /, m ou n soil négatif. Supposons que n soil sBécUi du signe — ; on aura
/A» -1- mB* — nC» = 0 ou X'A* + f*»B* — v»C* -= o, en posant : / ^ X*, m = f^t*, n =c v*. Il en résulte que les pointa où le tm
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A = o rencontre la conique se trouvent sur les droites f^B-f-vC^^o, ftB — vC= o; celles-ci sont les ttngentes menées du pointa à la courbe; car chacune d'elles coupe la conique en deux points coïncidents sur le c6tê A du triangle. De même, iA — kC = o, M -f- 1* = o représentent les tangentes k la conique issues du point fi et ayant pour corde des contacts le cdté B. Les tangentes menées du point y sont imaginaires, et elles ont pour équation ^'A* -|- f^'B* ^ o. Ainsi, quand une conique est conjuguée à un triangle, il y a toujours un des cAtés qui ne rencontre pas la courbe, car on peut appliquer une décomposition analogue k la précédente, si deux coefficients sont négatifs.
I SS. Trouver iét/uation d'une conique circonscrite d un i/uadrilalère.
Soient A '= o et C ^ o, B = o et D i= /A + mB -J- »C = o, les équations descdtés opposés du quadrilatère. L'équation demandée sera
(5) AC + itBD<n.o,
car elle est satisfoite en posant ;
A = o et B = o, A = o et D = o; C = o et B = o, C = o et D = o; elle passe donc par les poials d'intersection de ces droites ou les sommets du quadrilatère. Comme elle renferme un paramètre variable, elle représente une conique quelconque circonscrite au polygone ABCD =: o.
Dans le cas particulier où deux cdlés oppost's B et D se confondent, la conique est tangente aux câtés> A et C, et elle a pour équation
AC — kB' = o, B ^ o étant la corde des contacts ou la polaire du point de concours des droites A ctC.
Remargue. Considérons un quadrilatère 1354 inscritdansune conique, et rapportons la courbe au triangle qui a pour sommet les points de concours des côtés opposés et le point d'intersection des diagonales. En vertu de la construction de la polaire d'un point, ce triangle est conjugué à une conique quelconque circonscrite au quadrilatère. Cela '''- °'' étant, soient
(14) /A — mB = o et (34) (A — fiC = o,
D,gnz.dbvC00gle
ies ëquationa des côtés 14, 34: celles des deux autres cAtés seront
(23) /A+mB = o, (12) /A + iiC=o, et rëquatioD d'une cooique circonscrite au quadrilatère prendra la forme
(lA + mB) {/A — ntB) + i {ÏA + «C) (M — nC) = o, ou bien,
(I + k) l*A* — m'B» — fcn*C» = o.
C'est l'équation générale des coniques circonscrites au quadrilatère et rapportées au triangle conjugué commun .
