DEBCRIPTIOK DE L ELLIPSE AU HOVBN DES AXES
!••. 1" conatrucHon. Soicat 2a et 26 les axes donnes. La circonférence décrite de l'extrémité du petit axe avec un rayon a, détermine sur l'axe majeur les foyers F et F'. Cela étant, on trace deux circonférences ayant pour centres les points F et F' et dont les rayons sont choisis de manière que leur somme soit égale au grand axe : en vertu du N* 19fi, leurs points d'intersection appartiennent à l'ellipse qui a pour axes 2a, 26. Quand on veut tracer une ellipse sur un terrain ou sur une feuille de carton, on fixe aux foyers les extrcmilés d'un fil d'une longueur égale à 2a.0a trace ensuite l'ellipse d'un mouvement continu au moyen d'un style qu'on fait mouvoir en tenant le fil constamment tendu ; car, dans chaque posi- I tion, la somme des rayons vecteurs est toujours égale à la longueur du fil, c'esl4'dire au grand axe.
"■■'■"^ 2° coMtrucHon. Après avoir décril deux
circonféreaccs sur les axes 26 et 2a pris comme diamètres, on mèae par
D,gnz.dbvC00gle
le centre une droite quelconque qui les rencontre respectivement en N et H. Od abaisse ensuite sur le grand axe la perpendiculaire HP, et, par le point N, on mène une parallèle NS a l'axe sa; le point d'intersection m de ces droites appartient k l'ellipse : car on a, par les triangles semblables, mP N0 6 HP~MO~S'
3* conttruelion. On tire (fig. 62), par une estnimitë de l'axe majeur une droite quelconque qui rencontre te petit axe ou son prolongement en un point N; on mène ensuite, par l'autre extrémité, une seconde droite qui détermine sur le petit axe un segment ON' tel que l'on ait : OPf • ON' = 6*; d'après le N' 194, ces droites se coupent en un point de l'ellipse.
4* construction. D'un point S {fig. 63)i pris sur l'un des axes, par exemple sur l'axe 2&, on décrit une circonférence avec un rayon SR =^a + 6; on prend SH ^ a : le point H appartient à l'ellipse.
On pourrait aussi, en vertu du même théorème, décrire d'un point S' pris sur l'axe 2& une circonférence avec un rayon égal Ji a — 6, et prendre sur S'A' une longueur SH = a; te point ainsi construit appartient à l'ellipse.
Le compas elUpUtiue qui sert à tracer l'ellipse d'un mouvement continu est basé sur la même propriété. Les pointes placées en S' et R' glissent dans deux rainures rectangulaires tracées sur une plaque de bois ; pendant ce mouvement, le crayon fixé en H décrit la courbe.
TANGENTE BT NURHALE.
!•#. Le coeflïetent angulaire d'une tangente au point {x', y') d'une courbe du second ordre a pour expression
Pour l'ellipse rnpportce il ses axes, on a et, par suite,
D,gnz.dbvC00gle
L'équation de la tangente sera donc
en multipliant et faisant usage tle la relation — +^ = i> «H^ P^"' ^ ramener û la forme
La normale i l'ellipse au point M (x', y') est la perpendiculnire é\t^k en ce point sur la tangente. Cette droite aura donc pour équation
Soient T et N les points où li
tangente cl la normale renroo-
Irent le grand axe. Les distances
ON et OT se dëlerminenl en
Fin. iw. posant y ^ o dans les équations
(7) et (8); on trouve ainsi
On appelle gout-langente et souit-nomtaU, les distances comprises entre le pied de l'ordonnée du point de contact et les points où la Ungente etli normale rencontrent l'axe 2a ; ces longueurs sont prises positiveDKUt ou négativement suivant leur direction. Si on les désigne par S, et S., on t, d'après la figure,
