S, = + PT, S. = — PN
D,gnz.dbvC00gle
d'où il suit que
9»t . Mener une tangente à t'elUpse par un point extérieur {x', y'). Soient (a:", y") les coordonnées inconnues du point de contact d'une tangente issue du point donné; cclle-«i a pour équation
a» "^ 6' ~ ' mais, comme elle passe par le point [x', y'), on doit avoir
Si on combioe cette dernière équation avec l'égalité
qui exprhne que le point de contact est sur la courbe, on trouve deux systèmes de valeurs pour a:"ety"; ce sont les coordonnées des points de contact des tangentes à l'ellipse menées par te point donné.
D'ailleurs, l'équation de ces mêmes droites se trouve iinraddiatement au moyen de l'équation générale du N* 163; ce sera
(ï+f-y-(s+fe"-)(s+?---)=°-
M9. Trouver téquation dt la polaire d'un point (x', y'). Cette équation est la même que celle de la tangente trouvée précédemment, c'est-à-dire
Lorsque le pôle est sur l'axe 2a, y' = o, et l'équation se réduit à
— ^ I , d ou XT ^ o' ; a'
la polaire est parallèle au petit axe, et située i nne distance x du centre
telle, que le rectangle construit sur x et l'abcisse du pdlc est égal au carré
de la moitié du grand axe. Si x' = c, on a : x = — ; ainsi la polaire d'un
foyer est la directrice correspondante.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. a. Las liDgentei idx extrémiléi d'un ditmètre tOQt panltèlet. |
L«s Agnitioiu de ces UDgeote* senl de 11 forme
El. a. IMterminer le point d'inleneclioa det Ungentei »ai poinlt (s' y'), («" |r^
j^K-'—yu'' ' a^t"—v''" El. s. Les droites qui joignent le poinl de contict d'nne luginte aui exltémité* dn . petit lie rencontrent l'aie majeur en deu points fi et S. ProuTci que le point de | rencontra T de li tangente aTec le nrfme ixe' est le milien de RS. Ex. 4. Quelle est la eooditioD pour que la droite y = ns •<- i soit tangente l'ellifcr
Par II CMDbinaitoD des deax fqDations, oo troofe de sorte que l'éqaxtion
représente toutes les tangentes i l'ellipse,
Ex. K. TrouTer lelieu du looiiDet d'un angledroitelrconscrit il' Soit P (b*, y') Ib lommel de l'angle ; tes valeurs de m pour les
issues de ce point sont données par l'équation
En exprimant qua le produit des raeinei est égal i — i, oo trouve, pour te lieo demandé, en Bnpprimant les aceents,
c'est un cercle circonscrit au rectangle des axes.
Ex. •. Déterminer le pdie d'une imite tHx-t-ny + p^o, p*r rapport à l'ellipH
En identifiant les équations
Ex. >. Lieu des pôles d'une droite 6xe 1- — — i = o par rapport aux dlipees
homoloeales — h — = i.
D,gnz.dbvC00gle
e pùle (x'f y*) d« Il droite.
L'eliminitian de a* conduit ï l'^cjuition
«w' — ny' — e* = o ou mz — ny — e* = o qui reprësenle une droite perpendicaliin 1 It droits donnée.
El. a. Pir un poiul du pl«n on penl, en général, mener quilre nomwiei à i'elHpW dont deux sonl loojoun réelles.
Ecrivons l'équalion de !■ nomiite sous II forme m — ^g~Sy^ ■
Si cette droite doit
pauer par un point {", §i), on a :
Soil k la valeur eo
nmune de ces rapport»; on en déduira
e^J^. .■ = JX..:
en sobsUtuant dans la relation : ^-«-Ij — i =0, on troiiTeréqualion du quatrième degré
[k ■¥■ a')' (k ■*■ 6«)« - .•'«'(* + fi')' - f (Si* -»- a*)' = Or qui admet lonjonrs deui racines réelles craiprises entre -t-m, — 6", — m.
Les pieds de* quatre normales sont sur l'hyperbole représentée par (A) en regardant »',y' comme les coordonnées variaUes; elle passe par leeentre, le point (a, |S) et ses asymptotes «ont parallèles anx aies de l'ellipse.
Ex. •. Le lieu des points d'où on penl mener deux normales perpendiculaires k l'ellipse est la courbe du sixième ordre
(o» - i')" (n'y* — i*!^)' = (o' + *•) (*' + y') {"'u* *■ ^iV)'-
Ex. !•. Les pieds de trois normales issues d'un point b une ellipse elle poinliliaaio- Iralement opposé au qualrième pied appartiennent è un cercle. (Jo»£Hi«t»HiLl.
Ex. 11. Si quatre tangentes à l'ellipse sont telUs que les nonnalcs aux pnints de conUct sont concourante», les parallèles aux tsngenlea menées par l'un des snmniets rencontrent la courlie en quatre points sitaéi sur an cercle, (JoicniasTSAi.).
«•S. Ttouver l'expreuion de la perpendiculaire «taÙJée rfu centre sut la tangente.
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La perpendiculaire Abaissée du centre sur la droite
est donnée par la formule (N* 41) (9)
On peut transformer cette expression. Désignons par a et ^ les angles de la normale ou de la perpendiculaire P avec les aies; l'équation delà tangente peut s'écrire sous la forme
xcosa-{-jfeosp — P^o.
En identifiant les deux équations, il viendra les égalités cos <x x* cos P 4/'
d'où an tire
a*cos'a M cos* p __ a'* y** —p. l W~~'à^'^V et, par conséquent,
P' = tt' cos' a-i-b* cos* (i.
Puisque les axes sont rectangulaires, cos ^ = sio «, et on peut encort écrire
(lo) P* = a' cos' a -J- 6' sin* «.
964. Le rectangle des perpendiculaires abaistées det foytrs ncrtmc tangente est confiant et égal au carré de ta moilié du petit axe.
Les perpendiculaires abaissées des points (e, o) et ( — c, o) sur la droite
„, + 6. '■-°> sont représentées par
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ou bien,
On en déduit, en multipliant membre h membre,
pp' = P* — c' C09* A^a* ces* a -|- 6' sin* a — (a* — 6*) cos' a,
ou
pp'-'*-
El. 1. Expreuioiu des perpendicalureï ibaisiées dn centre et des kytn sur U poliire d'an poinl {x', y').
Même ealcnl que pour I* ttngente.
Ea. ». Trouver Je lieu du poiol d'inieneclioii de Ji perpendiculaire abiisséfl du centra Nir 11 tangente avec le rtyon vecteur du point de contucl.
Il but climiDcr x' et jr' entre lu équationi
Od troave, pour résultat, réi|Uatioo
»* -t- j* — ac* — 4* ^ o qui représente un cercle.
Ex a. Trouver la lieu dn point d'inlersectiou de la perpendiculaire abaissée du foyer ■or II tangente avec le ra>ou qui va do centre au point de contact.
Ce pvblème revient à éliminer k' et y' entre les équations
ùV
.:) et y =
Le rélullat final est a ^= — : le lieu cherché est la directrice.
^•S. la normale et ta tangente en un point de l'ettipte sont Im bitêectricea de* angles des rayons vecteurs de ce point.
Soit MN (yîj. 66) la normiile et FM, F'M les rayons vecteurs d'uu point (x',y')y U normale sera la bissectrice de l'angle FMF', si on a la proportion HF MF MF'~MF'
par suite,
ex' a
MF
a' — ex' a' + cx'
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— 2S2 — De plus
donc
^' NF' a* + ci'
Bn coraparnot {a) m ((3), od voit qu'il 7 a égalité entre les premiers membres et, par suite, la normale est bissectrice de l'angle des rayoat vecteurs.
La tangente est bissectrice de l'angle supplémentaire FHH : car 1« angles THF et THE ou RHF' sont les compléments de deux aoclcs égaux.
tM. Le lieu des projeetwas d'un foyer Bur U$ tangentes à fetUfit est la circonférence décrite sur le grand axe.
Prolongeons le rayon vectcnr F'H (fig. 66) d'une longueur HH =^ KF. Dans le triangle isocèle FHH, la tangente, qui divise en deux parttM égales l'angle au sommet, est perpendiculaire à la base FH et passe ptr V milieu I de cette droite : le point I sera la projection du foyer sur la taagente. Hais, dans le triangle FRF', les points 0 et I sont les milieux <lts cdtées FF' et FH ; la droite 01 est doac parallèle A FH et vaut la moitié rie ce cAlé. On a donc
FH F'H + FH z 2
La tangente HT étant quelconque, le lieu du point I sera une circonférence de rayon a.
907. Lfs tangentes issues d'un point P sont igaietnent inctinies unies droites qvt joignent ce point oiu foyers.
Si on prolonge les mjons vecteurs FH
'l FH respectivement des longueurs
MH = MF, H'K = H'F', on sait que les
tangentes en H et H' sont perpendicn-
laircE i FH et F'K. Mais les triangles
i^i et. RPF, HPF' sont égaux : car PH = PF,
PF' = PK et F'H = FK = 2a. On en déduit l'égalité des angles «Pf
et KPP; en retranchant de chacun d'eux la partie commune FPF', il vient:
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FPH = F'PK, ou, en divisaot les deux membres par 2, FPM -^ F'PH' : ce qui démontre le théorème.
Corollaire. De l'égalité des triangles FPK et HPF', od tire : itngle KFP = angle PHF'; mais, comme les angles PHF' et PFH sont égaux, on a angle KFP =^ angle PFH. Ainsi, la droite qui joint un foyer au point de concours de deux tangentes est bisstctrice de l'angle des rayons vecteurs gui joignent ce foyer aux points de contact.
Dans le cas particulier où le point P est sur la directrice, la corde des contacts passe par le Toyer qui est le pAle de la directrice; l'angle des rayons vecteurs est égal à 180° : donc, la ligne qui joint U foyer au pôle (f une droite passant par ce point est perpendiculaire à cette droite.
S*8. Construction de ta tangente. Pour trouver la direction de Ig tangente à l'ellipse en un point H de cette courbe, on mène d'abord les rayons vecteurs de ce point (Jig. 66); on prolonge l'un d'eux, par exemple F'M, d'une longueur MH =3 MF : la perpendiculaire abaissée du point M sur la droite HF sera la tangente demandée.
Lorsqu'il s'agit de construire la tangente à l'ellipse menée par un point extérieur S, il iâut décrire de ce point comme centre une circonférence avec un rayon égal à SF; puis du foyer F' comme centre, on trace une autre circonférence avec un rayon égal à 2a, qui rencontrera la première en deux points dont l'un sera le point H de la figure; on joint FU et on abaisse du point S une perpendiculaire sur celte droite : ce sera une tangente à l'ellipse issue du point S. Si on désigne par U' le second point d'intersection des circonférences, l'autre tangente sera la perpendiculaire abaissée du point S sur PII'.
Ces constructions découlent des propriétés de la tangente à l'ellipse démontrées précédemment
S09. Nous avons trouvé(N'' t9D), pour l'équation générale du diamètre conjugué à une corde de coeflicient angulaire m, f/ + mf/ = o.
Sif(x,y)=^+^— I, elledevient
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- 2bi -
bésigaons par m' le coefficient angulaire du diamètre DD' qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à MM' ; on aura, d'après l'cqualioa précédente,
où m est le coefficient angulaire de MM'. On en tire
Le diamètre conjugué de DD' est la droite EE' menée par le centre purallèlement à la corde HM', La relation (12) exprime que le produit des coefficients angulaires de deux diamètres conjugués de l'ellipse esl constant et négatif: l'un Tait unai^le aigu avec l'axe 2a, l'autre un aofilf obtus; ils ne sont donc jamais situes d'un même cote du petit axe. Si
^'■- ^ mètres conjugués qui correspondent
à CCS valeurs sont également inclinés sur l'axe 2a; ils forment un système de deux diamètres conjugues égaux. Soient, x', y' les coordonnées du point D; les cordes parallèles h DD'
ont pour coefficient angulaire m' ^—^ , et l'équation du diamètre correspondant EE' sera de la forme
ce diamètre est donc parallèle à la tangente à l'ellipse à l'exlremilc D dn conjugué de ce diamètre.
En désignant par x", y" les coordonnées du point E, on a la relation
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d'où
Ces formules permettent de calculer les coordonnées de l'extrëmité d'un diamètre, connaissant les coordonnées de l'exlrémité du conjugué de ce diamètre.
%!•. La jomffie dt» carrés de deux diamètres conjugués est eonstanlt et égale à ta somme des carrés des axes. Soient n' et b' les demi-diamètres conjugués OD et OE;on a
,. , aV* , b*x''
a" = x'» + y'«, fc'* = i"' +y"' = -^ + — j-
et, par suite,
... + 6- = ...(.+^:)+y.(.+"5;)(a. + 6,(^+Ç). c'esl-à-dire
tl I . L'aire ibt parallélogramme construit sur deux diamib-es conjugués est constante et égale au rectangle des axes.
Menons les tangentes en D et en E h l'ellipse pour former le parallélogramme ODIE construit sur les demi-diamètres. On aura, en abaissant du centre une perpendiculaire sur DI,
aire ODIE = ID ■ OP = a'b' sin ip, (p étant l'angle des diamètres conjugués, car DI=OB=:fr',ct OP^^a'sinç.
Hais on a aussi
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- SS6 fin vertu des deux expressions de OP, on a la relation ab = a'b' sio ç qui démontre le théorème énoncé.
919. EllipM rapportée à deux diamètre» cotijvguéa. Lorsque les iics des coordonnées sont deu^ diamètres conjugués, l'équation de rellt|iw est* de la forme
Posons :
en introduisant les quantités a' et 6' dans l'équation précédente, il viendra
pour l'équation de l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués, sa' d 26' étant les longueurs de ces diamètres. Comme il y a une infinité dt diamètres conjugués, il y a une infinité d'axes coordonnés obliques pour lesquels l'ellipse a une équation de la forme (15). Pour les deux diamètres conjugués égaux, l'ellipse aurait la même équation que le cercle.
11 est évident qu'avec ces nouveaux axes, la tangente, le diamètre conjugué a une direction donnée auront des équations analogues à celles que nous avons trouvées pour l'ellipse rapportée h ses axes; m et m' étaot les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, on aura aussi U
%tZ. Les droites menées par les extrémités d'un diamètre et te eoupaU sur l'ellipse sont parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe.
En effet, on peut regarder J'ellipsc comme le lieu du point d'intersection des droites représentées par les équations
où / est un paramètre arbitraire ; car, en multipliant membre k membre, on reproduit l'équation de l'ellipse. Ces droites (fig, 68) passent par les
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eitrëmitës du dûmètre an' dont les coordonnées satisfont aux équations. Hais, si on désigne par /^ et ft' leurs coefficients angulaires, on a
de sorte que deux diainètres parallèles k ces droites forment un svstème de diainètres conjugués de l'ellipse.
Oq donne le nom de cordesfupp/dmenteuresauxdroîtesqiie nous venons de considérer.
Cette propriété permet de déterminer la direction de la tangente en un point H de la courbe. Soit 0 le centre; le rayon OM et la tangente sont deux directions conjuguées; donc, après avoir tiré un diamètre quelconque, on mènera une corde supplémentaire parallèle k OM; feutre donnera la direction de la tangente en H.
>I4. Diterminer les Umdes entre letqwltes varie l'angle de deux diamitres conjvguis et construire deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
Supposons que l'on mène, par les extrémités du grand axe, les cordes supplémentaires représentées par les équations
des diamètres conj
Soit If l'angle de ces droites ou celui des diamètres conjugues parallèles aux cordes. On a
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Lonqne y Tarie depuis o jnsqu'i + 6, la T^eur absolue da icoad membre diminue et l'angle obtus 9 augmente; il acquiert sa nltnr maximum pour y ^ 6 ; à cette limite, on a
tangue:
et les diamètres correspondants sont parallèles aux eordes supplémenliim qui aboutissent A i'extrémitë du petit axe.
La valeur minimum de 9, qui répond ii y ^=0, est un angle droit, c'est-à'dire l'angle des axes.
Pour déterminer les diamètres conjugués qui font entre eux un tn^r donné compris entre les limites précédentes, on mène pir le centre an diamètre quelconque, et on décrit sur ce diamètre un segment capablr it l'angle donné; la circonférence rencuntrera l'ellipse en un certain point H; les diamètres parallèles aux cordes supplémentaires qui aboutissent en ce point seront conjugués et feront entre eux l'angle donné. On trouverait, de même, la direction des axes en décrivant un demi-cercle sur un ditmètre quelconque; les cordes supplémentaires relatives au point d'ialM^ ■eetion du cercle et de l'ellipse seront perpendiculaires et parallèles ni axes de la eourbe,
919. Deux diamitres conjugués déterminent sur une tattgenk fixe, i partir du point de contact, deux segments dont le rectangle est constant il égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.
Prenons pour axe des y le diamètre 2b' parallèle à une tangente de l'ellipse, et pour axe des x le diamètre conjugué 3a' qui passe par le piKat de contact. L'équation de la courbe sera
et celle de la lan);cnle, x^a'. Soît
l'équation du diamètre qui passe par le point (x', y') de l'ellipse; celle du diamètre qui lui est conjugué peut s'écrire sous la forme XX' , yy' b'*x'
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Cein ^lant, pour déterminer les ^segments que ces Hiamètrcs dctermioent sur la tangente, il faut poser x^ a' dans les équations précédentes; on trouve ainsi les quantilës
la râleur absolue du produit est 6''.
SIS. Le théorèmeprëcédentperiDetde déterminer ladirection des axes, quand on connaît deux demi-diamètres conjugués 01) et OE de la courbe. On mène, par l'cxtrémilé D de l'un d'eui, une parallèle â l'auti-e : ce sera une tangente à l'ellipse. On prend ensuite sur CD, un point H tel que OD ■ DM = ÔË*, et on trace une circonférence passant par les points 0 et M, et dont le centre se trouve sur la tangente ; celle-ci sera rencontrée par la circonférence en deux points R et Q ; les droites OR et OQ seront les directions des ^,^ ^
axes de l'ellipse; car on a : OD • DM = DQ -DR =ÔÊ*, et les droites 011 et OQ forment un système de diamètres conjugués perpendiculaires. Pour calculer les longueurs des axes, il faut prendre les relations ab = a'b' sin <f, a* -f- 6* — = o'* + 6'*, où a' et 6' sont les longueurs des demi-diamètres donnés. On en tire {a + by = a" + b'* ■+- 2a'b' sin 9 (a — 6}* ^= a" ■+- b" — 2a'b' sin ip d'où
a -H 6 = (/o" + fr'* + 3a'b' sin 9-,
a — 6 = j/o" 4- b" — 2a'b' sin 9.
Ces dernières équations conduisent facilement aux valeurs de a et b.
Théorèmn «t •xercdoaa anr l'elllpM.
Ex. ■. La niojcnnGgéooiëtriqiiedGs nyoDSTecteurtd'un pcànlH<e', jr') d«rellipse est Je diamètre conjugua de celai qui pasae pir et point. On a
FM.P'M = o'-~ = o'-»'«-^-^- = ^' + ?^'.
D,gnz.dbvC00gle
