MO
Soit (*", jr") les coordonnces de ('«lUnniU da dràmèlre coojngn^ de ceini ipiî (MM
par le point H, et 2i' la loDguiur de ce diimètra. On tirs, de Téquitioq prée^denle,
FM.p'M = «"* + s"*— 6".
Ex. a. Lb somme des tané» des projections de deni diamMres eoujngaés snr an aie est égale a a carr^ de cet ate.
En eOét, a^, y' et x", t" étant les coordonnées des extrérollés des diamètres, il Tient
y" -t- ir'" = y" -a 1- = -j («• — »") H j- = 6*.
n mfne des tangentes aoi ellipses booio-
trou ver le liru des pnnU de coDlact.
fl f»ut éliminer (r* entre les éqnatfons
«' est l'abcisse du point donné. On troure réqnitioD
d'il' -*-v*)— i(t'+ «!'•) + cV=o qai représente on cercle.
Ex. t. Le rectsngte construit sur la normale et la perpeodi col aire abaiisée du entre sur la tangente est constant et égal h £':
La longueur de la normale est la partie de cette ligne {/Ig. 66) comprise entre le point de contact et celai où elle reoconlre le grand axe. On a
mH*
= PR» + y" = ^«" + y" = ft»(^ + ^Ji
«[(' = -, et MN.P = J'.
Ex. •■ Lieu dn point d'intenection des tangentes aux extrémités de deux diin^ira conjugués.
Si on élève au carré les équations
£*' njl «£| y>" j
et si on ajoute membre à membre, il vient
D,„„.db,Coogle
eu (et doublet praduiU tUsparaÏMeot, eu ^erd i b iwlltion c'y = — »'/; nuii *" + •"■ ^ a*, y" -*-y"'^6*;iloncon a pour l'équitioD du lieu »» y"
Ex. •. Deux diamètres coujugués quelconques
lormeut (vec les droites im^iutire* :-, +T^^onabiKe*u turmotiique.
Ex. s. CoDiMitHul les aies de II courbe, calculer les longueurs des deaii-diaiuèlres conjugués qui font entre eux un angle f|. Eu appelant ces diamèlrea sa' et st'i ou a les relations
y suifi y suif,
Ex. m. Trouver le lieu des points dont It somme des carrés des distauces à deux droites fixes est coDstauie et ^»le ■ m'. Avec les droites fixes pour axes, on trouve
B étant l'angle des axes ; le lieu est une ellipse dont les droites dénuées forment un système de diamètres conjugués égaux.
£i. •. Ou donne la base za d'un triangle et le produit des tai^entes des angles b et <r' adjacents i cette base} trouver le lieu des sommets.
Plaçons l'origiDe au milieu delabasej avec des axes reelauguItlresdoDtraxe.desc ccincide avec le côté donné, on a
y — Ung « (« -t- a), y = — tang «' (« — «)
pour le* équatious des edtés qui aboutissent au sommet variable. Soit tang n • tang n' = m* i il vieDt, après la substitution,
Ex. ■•. Une droite AB de longueur constante glisse sur deux droites fixes OX, OY taisant entre elles uu angle y ; trouver le litu décrit par uu point quelcuuque M de cette
Posons AB = <ii, HA = s, 1IB= 6; avec les droites données pour axes, on a
où / et /> représentent les distances des points A et B i l'origine. Hais le triangle ABO i" -I- /i' — ii/t cos f = m'i
D,„„.db,Coogle
«n Eliminint > et /i, il vienl ponr l'ëquition du lieu décrit par un point H
c'est une ellipse qui a pour ceulre le point d'ialersection des droites Gxcs.
El. 1 1. Étant donnéi une ellipse lyiul pour aies 3a, 2h elle cercle déeriliDrie grand axe, OD mène une ordonnée HP qu'on prolonge jusqu'à sa rencontre en N arec le cerelci soit F le foyer ainsi que tt et v les angles NOA, HFA. Démontrer les fbnnnk)
fcosu), 11) tang- = l I tBDg--
à chaque point de l'ellipse correspond une Talour de n déteraioée par cei relations. Cela étant, on sait que p = FII =^n — ea; oD trouve la formule (i). en remplafanl x par o cos u.
On a aussi (N* 197).
égalons les deux valeurs de p el résolvons V équalioD par rapport à ci
On en déduit bellement
, o , /l-cosii . /<i + eMl— «os») ''"B;=\/ nr^t, = y <.-e)(r-^cos.)'
El. la A deux diamètres conjugués dp l'ellipse correspondenl deux diaatètres perpendiculaires dans \e cercle.
Si Ml et m' sont les mFllîi-ieulB angulaires de deux diamètres conjugués, oo ■
mm' = , ■ SoienI x', 9'), (x", y") les extrémités des diamètres, et k', m'' tes vaienn
de l'angle u qui leur correspondent ; il vient
w — ^ =i - tang u', m'=.ÎL.^:- tipg w'
D,gnz.dbvC00gle
El. IS. Trouver l'éqiMtioD de 1i Ungenle et les longuean des demi-diimètres conjoguës eD renclioD de l'angle u. On trouve pour li tangeule
6'"=:o'sm*ii'-t- ft'eos'»'.
Ex. ■«. Trouver l'aire de l'elllpte.
Iiucrivons, dius II moitié de l'ellipse el Te deiui-cercle décrit sur le grand axe, deux polygones dont Ces sommets se trouvent sur les mêmes ordonnées. Deux trapèzes correspondiDts 1 et T inscrits dans l'ellipse et dans le cercle ont mime bue, el oo a la relation
Ainsi, en représentant pari, f, t"...,T, T',T".,., les surhces des trapèus inserila dans l'ellipse et dans le cercle, on a
Cette équation est vraie quel qae soit le nombre de cotes des polygonesj à la linile, en supposant que ce nombre augmente Indéfiniment, on aura surf, ellip.
surf ellip. = - surf, eeri. ^= noS- Si on désigne par a', />', les demi-d in mètres conjugués qui font entre eux un angle 9.,
surf, ellip. = lat'b' sio f .
Ex. ift. Du centre 0 de l'ellipse, on mène II perpendiculaire OR sur la normale au
point H ; si H et H' sont les points de rencontre de la normale avec les axes, on a :
HR ■ HR = b', HH' ■ HR = a'
Ex ■«. Si le diamètre OP rencontre Is polaire du point P en R el la courbe en S,
OP.OH=î)SV Ex. <>. Si on joint un foyer F aux sitréoiilës d'une corde parallèle au grand axe, la somme des deux rayons vecteurs est égale au grand axe. Ex. 1 n. La somme des rarrés des réciproques de deux diamètres perpeudioalaires
D,„„.db,Coogle î
Ex. fl». On mène le» demi-diimèlrci coDJuguà OD, OE ainsi que le» Domulrt ta Det Equi s« reDGonlnnt «D S; montrer que OS est perp«Ddiculiir« à DE.
El. *•- Parmiles panllélogninnie» inscritlàuneiuéme elIipie,ceuidoDtlesdia(«- Dtles forment deux diamètres conjugués wnl miximum.
Ex. SI. Duu tout partllélogrimmecirconscrili une ellipse, las diaBOoalestootdeii diamètres conjugués.
Ex. sa. Par ud point fixe, on mine des taDgeutes à une série d'ellipses ayant ikiih centre, leurs axe» proportMonris el dirigés suivant les mêmes droites ; trouver t« lieu géométrique de» points de contact.
Ex. M. Trouver le lieu du milieu de la corde qui réunit les extrémité» de deoi diimètre» conjugués.
Ex. *«. Trouver le lien du milieu du rayon qui va du centre de l'ellipse an pnst de ciHitact d'une tangente.
Ex. 1*. Une ellipse se meut en restant tangente à deux droite» rectangulaires; (nuver le lieu du centre.
Ex. SS. Par un point fixe P pris sur l'ellipse, on mène une corde quelconque PV. Trouver le lieu du point d'intersection de la tangente en H avec le diamètre parallèle i lacorde.
Nous renvoyons les élèves studieux (u Cntr. IX, où se trouvent de nombreuses propriétés des coniques à démontrer ainsi que de* lieux géontétriques à déterminer.
§ 9. OB l'hypbrbole.
9I3. L'hyperboJc est la courbe définie par My' + Nx' = H, lorsque les coefficients M et N sont de si^^ae diffëreat; par suite, son équation se préscnlera sons l'une des formes
My« — Nx« = H, Ni» — My'=H, My' — Na:»=-o. La dernière qui correspond à 11 ^ o, dcfioit d«ux lignes droites : c'est un cas particulier du Kcni^ byperbole; les deux autres représeolent une courbe r^lle, et il suffit, pour étudier l'hyperbole, de prendre l'une des deux premières équations, par exemple, Nï«— My' = H.
Posons :« = y/l|. ft = ^^;
in aura à considërer l'équation
En supposant les axes rcctangulliireg, ce sera l'équatioa de l'hyperbole
D,„„.db,Coogle
rapportée i son centre et à ses axes. La courbe rencontre l'axe des x en deux points réels A et A', à une distance ±aAe l'origine; la longueur AA' = 2a se nomme X'axe réel ou Vaxe transwrte de l'hyperbole. Les points d'intersection de la courbe avec l'axe des y sont imaginaires; cependant, on porte sur cet axe, de chaque côté du centre, une longueur égale à b, et on regarde la dislance BB' = 26 comme étant la longueur de l'axe imaginaire de la courbe. Les points A et A' sont les sommet» de l'hyperbole.
Ou tire de l'équation (i)
6'ac' — a*y*^ à'b'.
L'ordonnée y est toujours réelle et augmente indéfiniment, lorsque l'abcisse varie d'une manière continue depuis ± a jusqu'à ± 00 ; elle est imaginaire pour toute valeur de x comprise entre ± a : la courbe se compose de deux branches distinctes issues des points A et A' et qui s'éloignent à l'infini dans les deux sens de l'axe réel en s'écarUnt de plus en pins de cet axe. Pour mieux préciser la direction des branches de l'hyperbole, désignons par p la longueur du rayon OH, et par u l'angle de ce rayon avec l'axe transverse; on a : a: = pcos(»,(/ = f>sina), et, par suite,
En résolrant l'équation par rapport h p', on trouve
(a) .^ "'fc' «'6'
6' cos' M — a* sin* la [a' -(-- &*) cos' w — a*
La plus petite valeur de p cori-espond a cos u = i, c'est-ii-dire ka^o. Le rayon devient infini, si cos &
D,„„.db,Coogle
Or, si on construit le rectangle des axes 2a et 2b, les diagonales sodI également inclinées sur l'axe des x et ont pour équations
Il en résulte que le rayon OM coïncide avec les droites (h) et (A*), lorsqu'il devient iDfini, et celles-ci sont les asymptotes de l'hyperbole. Les deux branches de la courhe sont situées dans les angles opposés des diagonales, et s'éloignent indéfiniment en se rapprochant de plus en plus de ces droites.
Dans le cas particulier où a = 6, l'équation de l'fayperbole devient
el on dit alors que l'hyperbole est iqutialère ; elie a pour asymptolei
deux droites pcrpeDiliciilaires, y = x ety =' — x. L'hyperbole équilatère
est dans le genre hyperbole, ce qu'est le cercle dans le genre ellipse.
Si on applique la discussion précédente à l'équation
My* — Nï:' = H, ou ^— ^=i, 0' a'
on verra qu'elle représente une hyperbole ayant pour axe réel zb, et pour
axe imaginaire ia; elle a le même centre, les mêmes axes que la première,
seulement son axe réel est imaginaire dans l'autre. Deux hyperboles,
qui jouissent de cette propriété, s'appellent hyperbole» conjuguées. Il est
visible que les asymptotes sont les mêmes pour les deux courbes.
9IS. L'équation de l'hyperbole peut s'écrire
Posons :
K^->i=Je->
> étant un coefficient indéterminé. Ces équationsreprésententdeux droites AH et A'H, issues des sommets A et A', et qui se coupent sur la courbe; car, en multipliant membre k membre, on retrouve l'équation (i). Pour x = o, on obtient
^ = ON = — 6/., y = OW = j J
D,gnz.dbvC00gle
d'où
ON.ON' = — fc*.
Ainsi, Vht/perboh ayant pour axe Iransverae ^a est te lieu du point itintersecUon et deux droites issues des extrémités de cet axe, et gui interceptent sur l'axe imaginaire deux segments dont te produit est constant et égal à — 6*.
On démontrerait, comme pour l'ellipse, qu'une droite menée par A perpendiculairement A AM rencontre A'M sur une droite fixe perpendiculaire k l'aie transverse. On en déduirait également un moyen de décrire la courbe connaissant les langueurs des axes.
SI*. Trouver Véijualion de l'hj/perbole rapportée à son sommet A. Il suffit de remplacer x par x-]-a dans l'équation
a> M~ ' on trouve, par ce changement,
Posons p=—; il viendra, en résolvant l'équa^on par rapport iy*, (3) y* = 2px+^x*.
Dans rbyperbole, le carré de l'ordonnée est donc plus grand que le rectangle construit sur le paramètre ap et i'abcisse.
FOYERS ET DIBECTBICES.
9%9. Les foyers de l'iiyperbole ainsi que les directrices s'obtiennent comme dans l'ellipse en identifiant les équations
(i «). + (y (5)« - (fx + „^ + „). = o.
Or, en observant que l'on passe de l'équation de l'ellipse à celle de
l'hyperbole en changeant le signe de 6*, tous les résultats obtenus pour
la première courbe (N' tl>5) s'appliqueront à l'hyperbole en remplaçant
D,gnz.dbvC00gle
6' par — 6'. Et d'abord on aura ici : c = |/a' + 6' ; ensuite m ^ o, ^ ^ o ainsi que les deux systèmes :
ix = — c, /=-, n = + a.
L'hyperbole rapportée à son centre et h ses axes peut donc être représentée par les équations
{x—,cy + 3'=(^ — a\.
(x + c)'+s' = (^+ay.
Elle admet par conséquent deux foyers réels situés sur Taxe transverse k une distance du centre ^gale à ^a*-|-6*; les deux autres foyers sont imaginaires. L'excentricité a pour valeur
c'est une quantité plus grande que l'unité. Nous aurons aussi pour les rayons vecteurs
{4) MF =— - a, MF' =— + o,
et pour les directrices
ex a'
— ^0 = 0 ou a: = ± — ■ a c
Afin de construire les foyers, on élève en A {fy. 72) une perpendiculaire AK = 6; la droite OK sera égale à \/a* -\- b'; il suffira de ramener cette longueur sur XX' pour avoir la position des foyers. Quant aux directrices, après avoir pris sur l'axe imaginaire une longueur OE = a, on élèvera en E une perpendiculaire à F'E; elle ira rencontrer l'axe transverse en un point D, pied de la directrice DL. Puisque c est plus grand que
^ j^ n, — est plus petit que a et les directrices
M trouvent entre le centre et le$ sommets de la courbe.
D,gnz.dbvC00gle
Les relations prëcëdentes nous donnent encore MF' — MF = -za, MF c
Ml étant la distance du point M & la directrice DL. De ]i ces deux théorèmes : 1° Dans Chyperbote ta différence da rat/ons vecleurt est eonttantB et égale à Paxe transveneii' Le rapport des dislanctB d'un point de la courbe au foyer et d la directrice correspondante tst constant et égal à e.
Enfin l'équation de l'hyperbole rapportée à son foyer F' s'obtiendra en remplaçant x par x — c dans l'équation
ce qui donne
a'{x'+y') = (ci-6»)'.
on
y' =p' + 2pex — (i — e*)i*.
C'est la même équation que pour l'ellipse, mais ici e ]> i. On en déduit immédiatement l'équation polaire
r + e coB û)
