Système de toniques eonfoeales. Considérons l'équation
où a et 6 sont de» constantes déterminées et > un paramètre arbitraire. En supposant o > 6, toutes les valeurs de i comprises entre — eo et 6' donnent des ellipses; les valeurs de X comprises entre b* et a* donnent de» hyperboles; enfin, si ) varie entre a» et + oo , l'équalion ne représoile plus que des ellipses imaginaires. Toutes ces coniques ont les deux mène» points pour foyers; car, on a : c ^ j/o' — A — {b* — X) = j/o* — b*; on Ica appelle coniques confocaiee.
D,gnz.dbvC00gle
Soit (x' , y') un point du plan ; si la conique de l'équation passe par ce point, on doit avoir
équation du second degré en X qui a toujours ses racines réelles. En effet, posons, dans le premier membre, A^ — ta , X ^ b*, X ^ a*', Ut résultats correspondants
+ 00, -j,>'-6«), +i't(a'6') sont alternativement positifs et négatifs; il y a une racine plus petite que b* à laquelle correspond une ellipse, et une autre comprise entre a* et h* à laquelle correspond une hyperbole. Soient A|, ).t ces racines; le point (x', y') appartenant aux deux courbes, on a
et, par soustraction, en négligeant le facteur (X, — >t), x'* y^
Or, cette relation exprime que les tangentes
sont rectangulaires.
Donc, par chaque point du plan passent deux courbes du système, «m ellipae et une hyperbole qui se coupent orthogonaitment.
999, Les propriétés des foyers permettent de décrire l'byperbole au moyen des axes. Soient AA', BB' les axes donnés (fig. 73). On décrit du point 0 comme centre une circonférence avec un rayon égal à a" + 6* pour déterminer les foyers F et F'; on trace ensuite de ces points comme centres deux circonférences avec des rayons tels que leur diflërence soit ^le k 2a i en vertu du N» 220, les points d'intersection des circoaférences appartJwnent à l'hyperbole.
D,gnz.dbvC00gle
Pour tntcr l'hyperbole d'un mouvement continu, on fixe {fig. 7S) au foyer F' une règle F'M qui puisse tourner autour de ce point. On attache ensuite les extrëmitës d'un fil, d'une part au foyer F, et de l'autre à l'extrémité H de la régie, la longueur du fil étant telle que F'H — FM soit égale i m. La pointe d'un crayon, qui glisse le long de la régie pendant le mouvement de rotation autour du point F', décrit une porUon de l'hyperbole; car, par ce procédé, les rayons vecteurs diminuent de la même quantité et leur difTércncc est toujours égale â l'Hxe transversc.
TANfiBKTB ET NORMALE.
SSS. Si on applique l'équation générale de la tangente (N" 1 61 ) lorsque f(af,y)^-j — ^ — I, on obtient, pour l'cqualion de la tnngcnle au point (x*, y*) de l'hyperbole rapportée h ses axes,
en maltipliant et faisant usage de la relation— — ^^ i, elle prend la forme (7)
L'cqualion de la normale HNà la courbe au même point sera
Si on pose y^o dans les équations précëdenles, on trouve t,., ,».
Enfin, on a aussi pour la sous-tangente et la sous-normale
S, = — PT = — (On - OT) ''Z" •
D,„„.db,Coogle
%9â. Mener une tangente à l'hyperbole par un point extériew (x', g"). Ponr trouver le point de contact (x", y") d'une tangente issue da point donné, il faut riSsondre les équations
^V^y'jr a;"i y"» ^
par rapport à x" et ii y" ; il est facile de vérifier que les racines sont réelles ou imaginaires suivant que le point est à l'extérieur ou h l'inténear de la courbe; elles sont égales lorsque le poini appartient h l'hyperbole.
D'après l'équation générale (N* 163), les tangentes menées par le point {x',y') à l'hyperbole rapportée aux axes sont représentées par
9SS. Dan* fkyperbok, la tangente et la normale aonl lei bûsedrict* des angles des rayons vecteurs du point de contact.
Menons les rayons vecteurs du point H (fig. 73) ; la droite HT est bi»sectrice de l'angle FMF', si on a la proportion TT MF
tf'""mp'
Or, en vertu des équations (4), il vient ex'
MF g ex' — a*
MF' ex' eat' + a'*
d'un autre càté, on a aussi
TF' '~x' ex" — a*
par conséquent, la proportion indiquée existe et la tangente est bissectrice de l'angle en H du triangle FMF'. La normale est bissectrice de l'angle FMR, car les angles NMF et NHR ont pour compléments des angles égaux.
D,gnz.dbvC00gle
4M. Le lieu dfs projeeliom d'un fot/er sur tes tangentes à l'hyperbole tU la circonférence décrite snr l'axe transverse comme diamètre.
En effet, prenons {fig. 73) MH := MF; dans le triangle isocèle HHF, la
tangente MT est perpeo dieu taire à HF et passe par le milieu de cette
ligne. Le point I est la projection du Toyer sur la tangente; mais on a,
F'H MF' — MF dans le triangle FHF', 01^ — = ^a. Comme la tangente
HT est quelconque, il en résulte que le lieu du point I sera la cireonfcrence décrite du centre avec un rayon égal à a.
497. Construction de la tanjrenfe Supposons, en premier lieu, qu'il s'agisse de trouver la direction de la tangente en un point H (fig. 73) de l'hyperbole. On mène d'abord les rayons vecteurs du point donné; on prend ensuite sur F'H une longueur MH = MF, et on abaisse du point H une perpendiculaire sur la droite qui joint les points F et H; ce sera la tangente demandée, car elle divise l'angle en M en deux parties égales.
Si la tangente à l'hyperbole doit être menée par un point extérieur S, il faut décrire de ce point comme centre une circonférence avec un rayon SF; une deuxième circonférence ayant pour centre le foyer F' et pour rayon ta rencontrera la première en deux points H et H'; on joint ces points au foyer F : les perpendiculaires abaissées du point S sur les droites FH et FH' seront les tangentes demandées. Les points de contact se trouvent sur les droites F'H et F'H'.
Exeroloea.
Ex.- >. Chereber l'expreitîoD de la pcrp«ndicul«irc abaissée du ceutre sur la Eaugente à rbyp«rbol«.
Si DU désigne par a l'angle de la norioale avec l'axe trsusvcr&c, ou obtient, par la comparaison des équalious
-; —-— l = o, el xcosa + ysina — P = o,
cosE ie' sJD a y'
D,„„.db,Coogle
On en AiAwX ude seconde expressioD de U perpeDdkuUirc
P' = a'«M' = — ft**in'n.
Ex. a. Le produit des perpendicultires abaissées des royers sur li tangenle à l'hyperbole est CDnsUDl et égil à — 6*. Soientpetp'eesperpendiculiires, oDt
p.p'=P' — ^cos'a = — *".
El. s. Lieu du poini d'intersection de I» perpendiculaire abaissée du fojer sur l> taageDt« avec le rayon qui joint le centre au point de eontact.
R. La directrice.
Ex. 4. Lieu du point d'intersection de I* perpeadicnlure (baissée du centre sur h tangente avec le rayon vecteur du point de contact.
R. Un cercle.
SS8. Soit m le coefficient angulaire d'une corde MH'; le diamètre correspondant, pour l'byperbole rapportée aux axes, est représenté par l'équation
— — m^ = o, ouv= -;— x.
En désignant par m' le coefficient angalaircdu diamètre, on a la relation
Menons par le centre In droite EE' parallèle à MM'; ce sera le diamètre conjugué du premier, et la relation précédente exprime que, dans l'hyperbole, le produit des coefficients angulaires de deux diamètres conjugués est constant et positif : il en résulte que ces diamètres sont toujours d'un même côté de l'axe imaginaire. Lorsque m' augmente depuis xéro
D,gnz.dbvC00gle
jusqu'à In valeur-) la quantiuStn diminue en restant plus grande que - ;
Tinglc DOE des diamètres devient de plus en plus petit. Enfin, quand
m'=- , on a aussi m =- et, i eette limite, les diamètres seconfoodent a a
sur la direction de l'asymptote.
On peut vérifier facilement que deux diamètres conjugués quelconques
forment avec les asymptotes un faisceau harmonique.
Soient maintenant [x', y'), {x", y") les points oii les diamètres conjugués rencontrent l'hyperbole; l'équation du diamètre EE' peut s'écrire
X V V' 3;x' vv'
-; — f--^=0, ou —l'—rr=0:
mais, comme il doit renfermer le point x", y", on a la relation
On e
D déduit
suite.
Il y a donc toujours un des deus diamètres qui ne rencontre pas la courbe. Prenons sur le diamètre EE' une longueur OE, telle que les
coordonnées de l'extrémité E soient^ i — : on regarde OE comme
étant la longueur du demi-diamètre imaginaire.
999. La d^érenee des carrés de deux diamétrei conjugués est constante et égaU d la différence des carrés des axes.
D,gnz.dbvC00gle
Posons a'=0D,6'^0B; il vient, en vertu du Dumëro précédent,
d'où
9S0. L'aire du parallélogramme construit nur deux diamitres conjugHés est égaie au rectangle des axes.
En ciïel, OP ëtnnt In perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente en D, et 9 l'angle des diamètres conjugués, on a
sin (p = -
o6^o'6' sinç; ee qui dërooDtre la proposition.
tSI. Hyperbole rapportée à deux diamètres conjuguas. Prenons, pour axes des coordonnées, les deux diamètres DD' et EE'; l'équation de l'byberbole sera de la forme
Na:' — My« = H, car, pour cbaque valeur atlribuéc i l'une des variables x et y, on doit trouver pour l'autre des valeurs égales et de signes contraires. Posons
aa' est la longueur du diamètre qui rencontre la courbe, et 26' est celle du diamètre imaginaire. Cette équation est de la même forme que l'ëqna-
D,„„.db,Coogle
lion de l'hyperbole rapportée aux aies; il en sera de même pour les équations de la langente, de la normale, du diamètre avec ces nouveaux axes; m et m' étant les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, on aura aussi la relation mm' =^ —^ , etc.
9S9. Corda supplémentaires. On peut satisfaire il l'équation de l'hyperbole
en posant
équations qui représentent deux droites issues des extrémités du diamètre 2a', et qui se coupent sur la courbe, c'est-à-dire deux cordes supplcmeataires. Soient [i et fi.' leurs coefScients angulaires, on a , 6"
Ainsi, les diamètres parallèles k deux cordes supplémentaires sont conjugués.
L'aagle de deux cordes supplémentaires est égal à celui de deux diamètres conjugués, et peut prendre une valeur quelconque entre zéro et un angle droit. En effet, considérons, pour plus de facilité, deux cordes supplémentaires menées par les extrémités de l'nxc transverse; elles sont représentées par les équations
!-a-> !HG-)^
en désignant par f l'angle de ces droites, on trouvera
tang w =
Lorsque y augmente depuis o jusqu'Ji oo , l'angle (p diminue depuis 90° jusqu'il o. Il en résulte qu'étant donné un angle aigu quelconque, il est toujours possible, par la construction indiquée pour l'ellipse, de trouver deux diamètres conjugués qui font entre eux l'angle donné.
D,gnz.dbvC00gle
SSS. Deux diamélreê coi^uguét déterminent, êw une tangtnU fixté f hyperbole, deux segments dont le produit est eoTtstant et égat au earri du demi-4iamélre paraltèle â la tangente.
On le démontrerait de la même manière que pour l'ellipse N* 315, ea changeant dans la suite des équations 6" en — b'*. La conslrucUoD indiquée pour déterminer la direction des axes de l'ellipse s'applique également à l'hyperbole.
