MN - MN
ce qui démontre la proposition.
tSS. Ces différentes propriétés permettent de construire l'byperbcie lorsqu'on connaît les asymptotes et un point de la courbe. On tire, ptf le point H donné, une sécante quelconque qui rencootre les asymptotes en NctN'; on prend N'M' = NH; le point M' appartient à l'hyperbole. Cette coDstruclion répétée sur différentes sécantes menées par le poiol K donnera autant de points que l'on voudra de la courbe.
Les mêmes données suffisent pour déterminer les langueurs de deux diamètres conjugués, lorsqu'on coonait la direction de l'un de ces dîimètres. Soit SE' la direction d'un diamètre ; menons par le point M ooc
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sécante parallèle A EE'; la longueur du demi-diamâtre OE sera la moyeDoe proportionnelle entre MI? et MN'. Ce diamètre étant ainsi dëterminë, on lire par le poiat E une partillèle EF au second diamètre qui est connu en direction, puisqu'il doit passer par le milieu de NN'> la droite menée par le point F, parallèlement k OE déterminera la longueur OD du second diamètre.
. Enfin, connaissant deux diamètres conjugués, on peut déterminer les axes; car on sait que les asymptotes sont les diagonales du parallélogramme construit sur les diamètres ; de plus, on a un point de la courbe. Les axes sont dirigés suivant les bissectrices des angles des asymptotes et leurs longueurs s'oblieaoent par le procédé qu'on vient d'indiquer.
939, Trouver féqtuaion de l'hyperbole rapportée à tes asymptotes.
Comme l'origine des axes est au centre de l'byperbole, l'équation de eette courbe est de la forme
Ay» 4- 2Biy + Ci» = H.
L'axe des x toucbe la courbe à l'infini ; il en résulte que pour y = o, l'équation doit donner pour x une valeur infinie, et, par suite, le coefficient C doit être nul. D en sera de même du coefficient A, puisque l'axe des y est tangent i la courbe à l'infini. L'équation de l'hyperbole, pour ce systèine d'axes, se réduit à
ïBxy = H, ou 3^ = ^ ■
Le second membre est nécessairement positif; car les coordonnées sont toujours de même signe. Posons k* = — ; l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes prendra la forme xy = k\
La quantité k* s'exprime facilement en fonction des axes de la courbe. Considérons {fig. 76) le sommet A de l'byperbole situé sur la bissectrice des asymptotes; pour ce point, on ay = x=' AP. Hais, si on élève en A une perpendiculaire h OA, et si on la prolonge jusqu'à sa rencontre en B avec l'asymptote ON, on a évidemment
D,„„.db,Coogle
— 28Î — Ainsi il Tient, pour les eoordonnées du sommet,
En substituant dans l'équation, on trouve
*.îl±ï.
ThAorèmM et «xoroloea anr l'hyperbole.
Bt. 1. TrouTcrlVquttioBije I* tuigenteàrhyperboleiiy=iH. Cette équiliou peut se mettre son» !■ forme
Ex. s. De* pirallilet meDéag d'un point de l'hyperbole eux *ajmptot«a forment avec eu droitei un ptrdlélc^rtuime dont l'iire Mt consUuie.
La'coarbe ëlant rapporlée tui isymptoles, l'aire de ce ptraltélog cipreuion ay liu 28, a6 ctanl l'angle det asymplotet ; mais
»y sin29=:i* sinaS, et sin2i)^=2sin[ICMe:=-j
Ex. a. Lieu des poiou de contact de« (angentes menées d'un point fixe aui hyperboles ayant pour tsymptetes deux droites fixes.
La tangente au point (»', y") de l'hyperbole cy ^ A* a pour équation
« y 2»' oy Soient p, f les coordonnées du point fixe j l'équilioa du lieu aéra — + — = 1 ou bien, en niultiplianl et supprimant les accents,
aaïf — py — g» = o.
Cest l'équation d'une hyperbole.
Ex. 4, Le rectangle construit sur la normale «t la pe^endiciilure al>aisié« du eeiure ■ur la tangente est constant et égal k 6*. Hteie démonitntion que (mut l'ellipia.
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Ex. S. Lt diffirence des Miréa de* projections de deux d
Ea8Bel(>',ir'), (a", ^')éUnt lea extrrimiUs de efi diimètres, on ■ ,'•-»"■ = ,. -?^' = »"K. <.•( = «•
y'*y"»=:j" j-=-(j||"— o*)— -jir"=~6'.
Ex. •. TrodTer li eoDdilioD poar qve l'éqnition
Ay» + îBiy -*- Ci' -I- flDy -t- aEœ + F = o représente ane hyperbole ëquititère.
Le» uyiiiploles de l'hyperbole représaotée par l'équtlioD sont panlliles lai droîtei à$'-|-2Bxy-i-Ca*='0. Si on exprime que ces dernières sont perpendicnltires, od trouTe ponr la condition demandée A 4- C =:o avec des axes rectangulaires, cl A + C =: sB cos e pour des axes obliques.
Ex. 9. Le point de «oDcoura des haaleurt d'no triangle inscrit 1 l'byperbole éqailitËre est sur cette courbe.
Soit AA'B le triangle iuscril; abaissons du sommet B une perpendiculaire sur AA', preDont cette droite pour axe des y et AA' pour axe des e. L'ëquation
ao'if" -»- aJiy + 6*'x* — aa' {b + b') y — ii' (o -«- a*) « + aa'bb' = o représente une conique qui passe par les sommets du triangle en supposant que a et a* soient lei abcisses des pointa A et A', et b l'ordonnée du point B. La quantité A' est l'ordonnée du second point d'interseelion de la courbe arec l'aie des y. Hais, pour
rhyperbole équilatire, oa' ^ — bb'^i'oùb' ^ t-- Il es! facile devériGerque le
point ( o, 1~ ) ^* précisément le point de concours des hauteurs du triangle AA'B.
Ex. •. Lieu des centres des hyperboles équilatères qui passeDi par (rois pointe donnés.
C'est on cercle qui a pour équation
a*{»»-i-s') -(6* — «a')y-6Cn + o')it^o, où o, d' et A ont la même aignification que dans l'exemple précédent.
tx, 9. Le cercle drcontcrit ï un triangle conjugué k l'hyperbole équilatère passe par le centre de la courbe
Soient Pi, P|, Pg, les sommets du triangle; prenons P|P, pour aie des x et P,Pi ponr axe des y. Si ou exprime que la polaire du point Ps cuîncide avec l'aie des x, et celle du point Pf avec l'axe des y, on trouve pour les coordonnées des points P| et Pi,
I— — ,0 1, lo,— — l-Lo cercle qui passe par les sommets du triangle ««ra pour éifMtàan
»K + ï»-i-a<»ycos8)-t-D» + Ey = Oi
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on buD, ta rcmplaçaDi cm 6 par — — ,
B («> -f V*) -1- «y (A -I- C) + D« -(- Ey = o. Celte éqattion peut s'^rire
» (B* -•- Ay -•- D) + y (By -»- Cb + E) = o,
M on lût que les coordonnées da centre annulent les polynâroet des ptrenUièses.
Ex. a*. Le cercle circonscrit su trisDgIe formé ptr les diagonales d'un qnadrililbc inscrit t l'hyperbole ëquilatère passe par le centre de la courba.
Ce triangle est conjugué h l'hjperbole, et, en vertu de l'exemple précédeDt> le cerde circonscrit renferme le centre.
Ex. It. Lien des points tels que la différonce des carrés de leurs distances 1 deu droites fixes est constante et égale i m*. Avec les droites fixes pour axes, on (roan rbjperbole ëquilatère
sid'B
Ex. <■• Lieu des centres de* cercles tangents extérieurement i deux cercle* donnés. Snent Ci, Ci, r,, ri les centres et les rayons de deux cercles Gies ; C et ■* le centre et le rayon du cerele qui touche extérieurement les deux antres. On a
CC-CC = r.-, Le lien de* centres C est une byperbole qui a pour foyen C, Ci et pour axe tran»-
Bx. is. Lieu des somniets d'un triangle, connaissant la base sa et la diflereoce ce' — Et des angles k la bue.
Si on place l'origine au milieu de la base, on trouTcra, avee de* axes r«etangiilains, «• — y" ^. aey tôt («' — a) = <^.
Ex. 14. Lieu des sommets du même triangle, quand l'un des angles à la base cfl .donblede l'antre.
Ex. a». Étant données deux droites OX, OY, on mène nue sécante qui le* renconUt en B et Cj irourer le lien des centres de gravité dn triangle BCO dont la surface reste constante et égale l m* .
Or, le centre de gravité se trouve sur la médiane du eôlé 6C, el ses coordooDécs sont :
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X =- OB, y = ' OC. Eu saUliluant à OB et OC leun Ttleart Jz, 3^, tVqdab'on prëcëdcDte devient
«lie représente ddc hyperbole »jml pour isymploles les droites données.
£x. «•. Partager un triangle ABC par nne séeaDte DE, de manière que les deux parties dn triangle soient entre elles dans un rapport donné, et qu'elles aient leun centres de graiîtë sur une mime perpendievlaire h la sécante.
£1. 1*. On donne deux droites et un.ppjnt ^ipsj par le point Gie F, on mène une sécante quelconque qui rencontre les droites aux points C et D; trouver le lieu d'un point H de la sécante qui divise CO dans un rappoM donné.
El. <•. Avec les données de l'eiemple précédeul, trouver le lieu d'un point N de la sécante qui la divise en moyenne et extrême raison.
Ex. ••. Quel est le lieu géométrique des centres des cercles tangents à un cercle donné et passant par un point fiieî
Ex. »•. Si l'ex^mité D d'an diamètre décrit l'hyperbole, quel sera le lieu décrit par l'extrémité E du conjugué de ce diamètre?
Ex. Sfl. Étant données la base et la différence des deux autres cotés d'an triangle, Iroaver, sous s» forme la plus simple, l'équaiioo du lieu du sommet.
Ex. *s. Dans un cercle, on mène une corde quelconqne |1H pefBPfl4icMlttre à an diamètre fixe AB; trouver le lieu du point d'intersection des droites AH, EN.
Ex, as. Étant données les hyperboles
Iroaver le lieu du pôle d'une tangente quelconque de l'une par rapport i l'autre.
Ex. a4. Trouver le lien du point d'intersection des normales i l'hyperbole menées aux extrémités d'une corde focale.
Ex. Ift. Etant données deux droites Bies, on mène des sécantes parallèles telles que AB qui les rencontre en A et Bj on prend, sur chacune d'elles, un point H tel que AH • HB = l*. Trouver le lieu du point H.
Ex. ••, Trouver le lien des intersections des perpendiculaires abaissées des foyers d'une hyperbole sur deux diamètres conjugués.
Ex. •«. On mène nne série de cercles qui passent par deux points fixes, et, dans cbicun d'eux, un diamètre parallèle è une direction donnée; trouver le lieu des extrémités de ces diamètres.
Ex. >•. Étant donnés un point et une droite fixes, on fait tourner uo angle de grandeur constante autour du point fixe; trouver le lieu dn centre dn cercle circonscrit au triangle variable formé pu les cotés de l'angle et la droite donnée.
Ex. sa. Etant donnée une ellipse, on mène deux diamètres conjugués quelconques j trouver le lien de l'intersection de l'un de ces diamètres avec une perpendiculaire abaissée d'un point fixe sur l'autre.
Consulter ensuite le cuir, IX oij se tf ouvent de nombreux e:
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