DE LA PARABOLE
94*. La parabole rapportée k son axe et à la tatif^ente au sominet est
reprësentée par l'équation
(') y^=2px,
dans laquelle la quantité 2p est le paramétre de la courbe.
Lorsque ap est positif, l'ordonnée y donnée par l'équation (i) est réelli
et augmente indéfiniment, ti
l'abeisse x varie d'une manière
continue depuis o jusqu'à co ;
d'ailleurs, elle est imaginaire
pour toute valeur négative
de X : la courbe passe par
l'origine et s'éloigne à l'ioSni
dans le sens des x positirs.
Quand le paramètre 3j> est
nêgatir, l'ordonnée y de li
*'<■ "■ parabole est seulement réelle
pour les valeurs négatives de x comprises entre o et — oo : la courbe
s'étend alors du câté des x négatifs.
Afin de mieux définir la forme de la parabole, nous allons voir qu'on
peut considérer cette courbe comme étant la limite vers laquelle tend noe
ellipse dont le grand aie croit indéfiniment. Soient 2a et z6 les aies
d'une ellipse, et F le foyer voisin du sommet 0 : si on prend ce dernier
pour l'origine des coordonnées rectangulaires, cette ellipse est repré-
sentée par l'équation
. 26' 6» , y* = — X jx*.
Nous supposons que OP reste constant lorsque le grand aie augmente. Posons OF = 2 ; on sait que OF = o — c, et, par suite,
Oo en tire
D,gnz.dbvC00gle
Si on fait la sabstilution de ces TiJeors dans l'équation Ac l'ellipse, on trooTe
Lorsque a devient infini, cette équation se réduit à
aiasi, à la limite, l'ellipse se change en parabole.
n existe donc une différence sensible entre cette dernière courbe et une branche d'hyperbole ; dans celle-ci, les deux parties symétriques sont divergeotes et s'éloignent de plus en plus de l'axe; dans In parabole, au contraire, elles ont une tendance à se rejoindre à l'infini sur l'axe de la courbe.
El. 1. Quelle est It vtleur de l'ordannée du ptnol de It ptrabole qui ge trouve sur libisteetrice dei *iei? K, ap.
Ex. S. Cilculer les ctwrdonn^ei du sommet de la parabole
"4* cas* «
Les faiata oii It courbe rencontre les ues sont Torigiiie et le point (<V'a3AsiD2cc,o). Les coordonna du sommet sont : ir = Asinan, y^Asin'a. Ijt courbe rspport^e à son MBmel ■ pour équation «■^4Aca»'a -y : c'est une parabole dont l'ixe est dirigé laivaut les p.
El. S. La parabole ji'=:3pm peut être considérée comme le lieu du point d'inlef^ section des droites
(OM)i, = ', {MH)y = 2pJ,
Hontrer qu'une perpendiculaire à OM élevée en 0 rencontre NR sur nne droite fixe perpendiculaire i l'axe et i une distance — ^ du sommet.
Ex. 4. On mine dans une paraboie deux cordes perpeadîcnlaires AB, A'B'; les distances de leara milieux k l'axe ont pour moyenne géométrique la moitié du paramètre. Soient (a', y"], (a", y") les coordonnées des extrémités de la corde AB, n son coefficient angulaire, el I l'ordonnée du milieu de celte corde. On a
On trouverait également pour la corde A'B', m'i' := p. En multipliant, il vient flim'Ji' = p* ou — Ji'^ t>*j car le* cordes étant perpendiculaires, on a mm' ^ — i.
D,gnz.dbvC00gle
£x, m. Par le wmmct d'anc pirsbole, on mine oiib corde queleonque OH, «t, par le point H Dne perpendicDiaire i cette corde; li distance comprise entre le pied de l'ordonnée àa point H et le point d'interaection A de li perpendicolure iTee l'aie est ëgile au paramètre.
Soient (c', y') les coordonnéet du point H; la perpendicnliire MA t pour Ration
et, siy :=0, ona : « — te' ^^ ^^-^^2p,
Ex. •■ Trouver l'expreuion de l'aire d'un triangle inscrit à la parabole. En représentant par («', y'), {a", y"), (s'", y'") les sommets du triangle, on Mit que la surface a pour expression
l ly' («" - *'") + y" {"'" -<!') + y'" («' - e"l] ;
mais y'* = Ipw', y"" = 2px", y'"' = ap*'" ; l'expression précédente peut w metbe sous la forme
^[y'{y"*~s"")-*-s"(y""-y")+y"'Cy"-0] = ^C/-v")(ï"-y")(»"'-r).
S4fl . Foyer et directrice. L'équation de la parabole y' — zpx = o peut se mettre sous la rorme
Par conséquent la courbe admet un foyer réel situé sur l'aie à une disUace du sommet égale au quart du paramètre, et la directrice est représentée par
x+C = o'ou x = — £■
Le rayon vecteur a pour expression
