MF,+Ï
De même la distance du point H A la directrice DL {/ig. 77) est
par suite
MF
mk""'
D,„„.db,Coogle
D'où ce théorème ; Dana la parabole chaque point est d égale distanet du foyer a de la directrice.
RempUçoDS, dans l'équalioD de la courbe, Jc par x + - ; il viendra
x*+y' = {x+pY ou
y» = p« + 3pa:.
C'est l'équation au foyer de la parabole. La quantité e considérée dans l'ellipse et l'byperbole est ici égale k l'uDité.
Enfin, par la subsUtutioD x = p cos u, y ^ p sin O), on trouve pour l'équation polaire
I — cos w
Au lieu de compter (fig. 77) l'angle a h partir de FX en allant vers OY,
on pourrait mesurer cet angle à partir de la direction opposée FO; ce qui
revient b changer le signe de cos u ; l'équation serait alors
+ COS w
94V. Construire une parabole connaiuant le paramèlrc 2p.
L'équation y* =^ 2px exprime que l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre le paramétre et l'abcisse ; de là découle une première construction de la parabole. On porte sur une droite à partir d'un point 0 une longueur OQ = 2p', on décrit ensuite des circonférences passant par le point Q et dont les centres se trouvent sur la droite OQ; elles déterminent, sur une perpendiculaire élevée en 0, les longueurs ON, ON'..., moyennes proportionnelles entre OQ et OP, OQ et OP'....; ce sont les longueurs des ordonnées des points de la parabole qui ont pourabcisses OP, OP'.... Il suffit d'élever en P, P'.... t's '"■
les perpendiculaires PM, PM'.... égales à ON, ON'.... pour obtenir les , points correspondants de U courbe,
La propriété du foyer et de la directrice donne une construction facile
de la parabole. On prend {fig. 79), sur une droite, OP =~ OD = -, et on
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élève la perpendiculaire DL; le pitintP sera le foyer, DL la directrice, et le milieu 0 de la distance FD le sommet de la courbe ; on mène eosiiite, par un point quelconque P, une parallile h DL; la circonférence décrite du foyer comme centre avec un rayon égal à PD rencontre cette droite en deux poinl& H et H' qui appartiennent à la parabole; car cei points sont également distants du foyer et de la directrice.
On peut aussi décrire la parabole d'un mouvement continu, au moyen d'une règle *"'' ^^- ABG à angle droit et dont la partie AB est
couchée sur la directrice. On fixe, au foyer F et en G, les extrémités d'un fi] d'une longueur égale k BG. Le crayon qui glisse le long de BG en tenant le 61 tendu, tandis que la règle monte ou descend sur la directrice, décrit une partie de la parabole; car on a toujours MF = MB.
TANGENTS ET NORHALE.
S4S. La tangente en un point U (x', y') de la courbe y* — tpx = o a pour équation
ou bien, en multipliant et en remarquant que y'' ■= zpx',
yy'=p{x + x').
. Pour y = 0, on trouve x =i OT = — x', et, par suite, PT = — ai* : la sous-tangentt, dans la parabole, vaut U double de l'iAcisie du point de contact. On trouve immédiatement la direction de ta tangente au point H d'une parabole, en portant sur l'axe et ii gauche du sommet une longueur OT égale i l'abcrssc Aa point donné; enjoignant MT, on a la tangente au point M.
Lorsque x', y' sont les coordonnées I d'un point quelconque du plan, l'éqoa- '"*' ""■ tion précédente représente la polaire de
ce point; il en résulte cette propriété : qut Ui polaires de deux point*
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ijutlconques H' (x', y'). H" (x", y") déterminent, êur t'axe de ta parabote, un segment égal àx' — x", c^est'à-dà-e égal à ta dislance entre tee pied» dn perpendiculaires abaissées de cis points svr eef dxe. Si le point (x' y*) apparlieol h l'axe, y' ^ o et In polaire correspond a d te est x ^ — x',
c'est-à-dire une droite perpendiculaire à l'axe; quand 3!'= — , iis= — " ; la directrice est donc la polaire du foyer.
Pour trouver les coordonnées des points de contact des tangentes issues d'un point extérieur {x', y'), il faut combiner l'équation de ta polaire de ce point avec l'équation de la courbe. On obtient ainsi pour x et y des valeurs qui sont réelles ou imaginaires suivant que le point est en dehors ou à l'intérieur de la parabole.
L'équation de la normale au point M (x', y') aéra
Si on pose y =" o, on aura, pour l'abcisse ON du point où la normale rencontre l'axe, x = i' +;); on en déduit PN ^p : dans la parabole^ la tous-normale est constante et égale à fa moitié du paramètre.
La distance du point N au foyer est égale au rayon vecteur du point de contact; car,
NF = NP + PF = D-)-x'— ^ = x'+^:
le foyer est le centre du cercle qui passe par les points N, T, H.
Rx. a. Quelle est l'inclintiion de II Itngeole 1 reitremilé de l'ordonnée qui puse ptr le foyer ? H. 45°.
£1. •. Trourer tei coordonnëei du point de coDCOun des Ungenlea aui poinU (x", g'),
El. s. Chercher la condition pour qu'une droite y^mc + t touche II pirabole ï' = 2WB. R, 6 = —.
El. 4. Lt perpendicut*ire ihiiMée du foyer Eur li tangente est la niDjenne géomë- Irique entre les rayons vecteurs du point de contact et du Bommet de la courbe.
Soit P la perpendiculaire abaissée du foyer F sur 11 tangente en H, on •
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Ex. •■ Lien du point iTintcneclion de It perpendienliire ibaiu^e do fajtr sur U UDgente avec le rajon qui joint le Mmaiet «n point de eontacl.
Ex. •■ Lien du pied de la perpeadiculaii-e tbaistée du loyer sur la nornitle. La perpendiculaire abaiuëe du foyer surli normale a pour longueur -X/2r'{'2m' -t-p). Soit u l'angle de 1* perpendiculaire avec l'axe de 1» parabole; ou a
l«,S»=Si
En prenant le foyer pour pjle, et en désignant par p la perpendiculaire abùMfe sur U normale, on peut écrire
r*quaIi<Hi du lieu, en coordannéei polaires, sera
p.CO»M^
et, en coordoQDéef
944. La tangenU fait de» atiglei égaux avec t'axe et le rayon reriewr du point de contact.
Daas le triangle TUF ifig. 80), on a
TF=0T + 0F = a;'+2=FM;
d'oA Insulte VéfiMié des angles FTH et THF.
Corollaire. La normale est bisKctrice de l'angle formé par U rayon vecteur et une parallèle à l'axe passant par le point de contact; car l'anfEle SMH est dgal A l'angle MTX ou TMF, et les angles de la normale arec FM et HH sont les compléments de deux angles égaux.
945. Le lieu des projections du foyer sur les tangentes d la paraboU nt la tangente au sommet de cette courbe.
Soit DL la directrice (/îjf. 80); prolongeons UMjusqu'i sa rencootre
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en K avec cette droite. Le triangle FHK est isocèle el la tangente est perpendiculaire au milieu I de la base PK. Le point I est la projection do foyer sur la tangente; il se trouve nécessairement sur la tangente OY qui passe par le milieu de FD, et qui est parallèle k la directrice.
<4C Les propriété!» qui prt^cèdent permettent de construire la tangente à la parabole. Si on donne le point de contact H (fig. 80) sur la courbe, on tire par ce point une parallèle ii l'axe. Suit K le point où elle rencontre la directrice; si on joint K et F, la perpendiculaire abaissée du point H sur FK sera la tangente h la courbe au point M.
Pour trouver les tangentes issues d'un point cxtt'ricur S, on décrit de ce point comme centre avec un rayon SF une circonférence qui rencontrera In directrice en deux points K et K'; les tangentes cherchées seront les perpendiculaires abaissées du point S sur les droites FK et FK.'.
947. L'angle de deux tangentes est égiU à la moitié de l'angle des rayona vecteurs de» points de contact. f>i. si.
En effet, soit {fig. 81) HT et M"T" deux tangentes; puisque chacune d'elles est également inclinée sur le rayon vecteur et sur l'ase, on a
MFX = 2MTX, M"FX = 2M"T"X ; en retranchant membre à membre, il vient
MPM" = 2 (BITX — M"T"X) = 2TPT".
Corollaire. Les tangentes menées d'un point de la directrice à la parabole sont perpendiculaires; car si le point de concours P des tangentes est sur la directrice, la corde des contacts H"M passe par le foyer qui est le pdlc de celte droite; les rayons vecteurs FM et FM" font entre eux un angle égal à 180' et, par suite, les tangentes sont perpendiculaires.
S4S. La droite qui joint le foyer au point de concours de deux bmgentes est bissectrice des rayons vecteurs des pointx de contact.
Nous avons vu (N" 207) que cette propriété existe dans l'ellipse; elle ne cessera pas d'avoir lieu i la limite, lorsque le grand axe de cette courbe devient infini, c'est-à-dire lorsque l'ellipse se change en une parabole.
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Corollaire i . L'angU formé par Ua rayons wtleurt des pomU it mcontre d'une tangente nariahU avec deux tatigetiUi fixes ttt égal à tan^ de ces tangentes.
Suit M'T' (fig. 81) une tangente variable qui rencontre les deux langentes fixes eu Net Q; l'angle NFQ se compose de deux angles dont l'ua
MPH' est égal à ' MPM', et l'autre H'FQ est la moitié de l'angle H'FM" ; il
en résulte que
NFQ = i(MFM' + H'FM") = l MFM" ;
or, la moitié de l'angle HFM" est égal h l'angle des tangentes fines; donc la proposition est démontrée.
Corollaire 2. Le cercle guipasse par les sommets d'un Irianglf drtonscrit à une parabole renferma le foyer de la courbe; car, dans le qaadrilatèrc NPQF, les angles opposés en P et en F sont supplémentaires, et le cercle qui passe par les sommets N, P, Q, passera nccessairemcDl par le foyer.
DIAMËTItES.
S49. L'équation d'un diamètre, dans la parabole y* — spx = o, tsl
de la forme
p my — p =0, ou J ^ - I
m étant le cocflicient angulaire des cordes correspondantes : tous les diamètres sont donc parallèles à l'axe de la courbe.
Soit y' l'ordonnée du point li'intersection du diamètre aver la parabole; on a la relation
c'est le coefficient angulaire de la tangente, el, par conséqirent, les cordes qu'un diamètre divise en deux parties égales sont parallèles h la tangente à l'extrémité de ce diamètre.
Nous avons vu (W H2) que la parabole, rapportée à deux axes dont l'un est un diamètre et l'autre la Ungenle à l'cxtrëmilé de ce diamètre, est représentée par une équation de la forme y*=2/>'x; ap* est le paramétre de la courbe pour les axes nouveaux. On peut exprimer le
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paramètre sp' ea roncUoD de la quantité 2p, appelée paramètre principat. Soient a et 6 les coonJonaëes de la nouvelle origine 0' ; ce dernier appartenant i la parabole, on a la relation b* ■=■ 2pa. Menons, par te sommet, une corde paraDèle à la tangente (Vy; elle sera divisée au point P par le diamètre en deux parties égales. Les coordonnées du point H pour les axes O'x, O'y sont
I = O'P = OT = OQ = a, y = MP = PO = O'T = [/h* ■+■ 40* ; en substituant ces valeurs dans l'équation y' = 2p'x, on trouve, en remplaçant fc* par
d'où
c'esb-ii-dire qve le quart du îiouveau paramètre e$t égal au rayon vecteur de l'origtJie, *"'t- ^■ Hais, si S est l'angle des axes, d'après l'équation de la tangente, on a
tang 6 =r i P"r suite,
et l'équation de la parabole pour les nouveaux axes peut s'écrire
... ît .
Rekihqoe. L'équatiob de la polaire d'un point (x*, y'), relativement i la parabole rapportée ii l'un de ses diamètres y' := 2p'x, sera de la forme
yy'=p'(x + l')-
Lorsque le point se trouve sur le diamètre, on a y' ^ o, et, par conséquent, X ^ — x' : ainsi, la polaire est parallèle d la tangente à l'exlrimité du diamètre qui patte par le pôle, et rencontre ce diamètre d la même àittanee du point de contact que le pôle.
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Théorémei «t exeroloM tor Is pai«boI».
Ex. fl. Ptr un point fiie (n, h) on mène dea tangentci k UDg série même ixe; (roaver le lieu de» poiDU de conUct. Par l'éliminatiun du paramctre p entre les équttioa*
6y— /i(a-t-c) et y* = 3p«, on trouve
ay -f- oy — 2ba :^ O.
El. •, Par un point Tixe (a, b), on mène des nomalei aux ptralwles de mèioK aie; quel eit le lieu dea points où ces droites rencontrent normalement la courbe ? Si OD élimine p entre les équations
Pl* — V') = -y'(n — T*) et s'* = apK% U vient, pour le lieo demandé,
y' + 2!c' ~by — 2av^o.
Ex. S. Lieu des milieux des sécantes 1 la parabole passant par un point Gie (a, 6). Il raut éliminer X entre l'équation de la sécante
et celle du diamètre correspondant : y =:~ • On trouve ainsi
yt— Ay— fKB-|-ap = o.
Ex. 4. Trouver le lieu des sommets et des foyers de la parabole
ou h est une constante el a nn angle variable.
Les coordonnées du somme! sont a = A sin sa, y ^ A sin'a ; on en déduit, pour le lien des sommets,
** -*- 4y' — 4/iy = Q,
L'équation de la courbe rapportée a son sommet étant
la distance du foyer lu sommet sera A eas< s, c'est4-dire le quart du paramMre. Pour
obtenir l'ordonnée tlu foyer, il faut retrancher h coi* i de l'ordonnée du sommet ; ce
qui donne
y = Asin'x — Acos*a^ — Acosss; d'ailleurs l'ibcissedu foyer est la même que celle du sommet, c'est-i-direc=:A tûaza. Le lieu des loyers aura pour équation
Ex. S. Lieu du sommet d'un angle constant dont les côtés touchent la parabole. Soient m, m' les coefficients angulaires des côtés de l'angle; on a la condition
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„?., Bi'=i, u' y" ctanl les ordonnée* de» points de conlict dM cdtfs,
relslion préccdinte devient
Pl!l"-)f') = l'{v'y"+P')-
y' •+ v" , li z et y wnl le» coordonnéei d'un point du beu, on uit que y — —^ — '
S-y'=' '-> y"y~3px, et l'éqtMtion precëdenle peut s'écrire
De plus, en vertu de l'équitioD de la Uagcnte yy• = p^x-^ — y on ■ y'=:y±Vy' — api, et y - y' =y y' — 2px; en suLstitumt, il vient pour l'équ»- Lion du lieu.
C'est une hyperbole dwit l'aie trensverso est dirigé suivant Taxe de la pirabole. Lorsque l'angle des tangentes est droit, i = oc. , et le lieu se réduit «
a!'-«-)>ai + — = o, ou x = — --
ëqualîoD qui représente la direetnce.
£i, «. Lieu des points d'où l'on peut mener à la parabole des normales perpendieulaires.
Ce problème revient à éliminer x' , y', «", y" entre les équations
(3) ^' =- t, (4) y" = ■ip'f, (5) y'" = ■^"• p'
L'éliminalion de x' entre (i) et (4) donne
(6)/» — gitp-«)ï" -2p'y = o.
L'élimination de x" entre (2) et (5( conduit 4 la même équaUon où y" est remplacé
pary"3 les quantités y*, y" sont donc deux racines de l'équation du iroisièmc degré
Y'-ap(p-«)Y'-2p'ï = o.
Or, si y'" est la troisième racine, on a s'y"y"' = ap'»' «'1 "" *■*"" ^* l'équation (3),
cette relation devient y"' =: — ay.
En substituant cette valeur dans t'ê4]uation (6) on trouve, après quelques simplifi-
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Ex. >. Les perpradicvItirM ibtitsëu du aorninets d'un trîtDgle putbole sur kt eàUs $t toupent sur Ié directrice.
Soient («', y'), {m", y"), (>"', y'") l<'s points de contact des eâtris; le point de eaaeours des Ungcntei en (»". y"), («'", y"') > pour coordonnées: y = ?— itJL-,
* = • L'une des trois perpendiculaires est représentée p«r l'ëquttioD
eetle eipression est «pnétrique el aura li même valeur pour les Irais perpendiculaires.
E*. «. L'aire du triangle des points de contact de trois tangentes à la parabole est double de l'aire do Iriangîo formé par ces tangentes.
On sait que la surface du triangle inscrit dans II parabole a pour expression
-[y'ly"'-l'"-)+y'V"'-!'") + /"l!,"-ï"»)]=±ty'-y"Ky"-y"')(,"'y',.
Si on cherche l'aire du triangle dont les sonmiets sont les points ( ^ ■'*'— , ^-^ ),
fv"-*-y" y"s"'\ fr' + y' v'y"'\ , ^ ..- - -
I 2 /• 1 — ~ • Il on retrouve la Diéme expression diTisee
El. ». Les cAtds d'un tiangle inscrit à la parabole étant o, h, c, et t, f, V Iw angles de ces côtés avec l'aie, montrer que la surtàce du triangle est exprimée pw
sin9>in9'8in6".
Il &ul remarquer que y* — y" =e sîn S etc., et substituer dans l'expression
^0-' - yo (y" - 0<y"' - y')-
Ex. ■•. Trouver le rayon du cercle circonscrit au triangle inscrit dans une
On sait que le rayon dn cercle circonscrit ï un triangle dont les cités sont a, 6,
sinaiiuS'sinS" Ex. II. Trouver le rayon du cercle qui passe par les si conscrit i la parabole.
4 sin fl sin S' sin 8" ' B, e', e" sont les angles des c^tés avec l'axe.
Bi. <•. Trouver IVipresUDii de l'aire comprise entre l'irc OB d'une parabole, PordoiiDie BA et un diunitre OX.
InaeriTons du polygone dans la courbe; aaieul T^HH'PP' el l^HM'QQ' deux tnpèiet correapondinb à un dlé du paljgane, l'on fonué par les parallèles HP, H'F à OT, l'atiire. par les droiles MQ, M'Q' parallèlea à l'axe. On a
T=|(i,+j,')(j,-,'))ioe.
l = -{x -t- m') (y -ï')siDO;
Pif. S.
(*> su (*'> v') sont les coordonnées des points H et M' el 4 ran);ie des axes. On en
mais, de l'équalion de la parabole y'=:2p'<t on liro y* — y'* = 2p' (x — x'); d'au
- — ;— ^ ; ■ Bd substituant el prenant la limite de» deux membres, il vient
t » -H»' ap
car, lorsque les points U et H' se confondent, n^tc', y^j/'.
Celte relation est vraie pour deux tnpiies quelconques, l'un intérieur et l'autre «térieur et, à la limite, en faisant la somme des trapèies, on arrive â ce résultat que l'aire OAB est double de l'aire eilërieure OBC. Donc, l'aire parabolique OAB vaut kt deux tiers du parallélogramme OABC coostruit sur l'ordonnée et l'abcisse du point B.
El. a>. Trouver le lieu du milieu d'une corde focale dans la parabole.
El. 14. Trouver le lieu d'un point qui se meut de manière à ce que sa dialance i une droite douoée soit dans no rapport constant avec te carré de sa distance i une autre droite fixe.
Ex. IS. Par un point fixe de l'axa d'une parabole, on mène une parallile h une tangente quelconque ; quel est le lieu du point de rencontre de cette droite avec le rajoa vecteur du point de contact?
Ex. ■■. On mène, par le foyer d'une parabole, des droites faisant nu angle constant avec les tangentes i cette courbe ; déterminer le lieu du point d'intersection de chaque droite avec la tangente correspondante.
Ex. I f . Déterminfï le lieu du point de renconlre des tangentes ï une parabole dont la diOérence des colangentes des angles qu'elles font ovec l'axe est constante.
Ex. 19. Trouver le lieu du point d'interseelion des normales menées aux extrémités d'une corde qui passe par un point fixe.
Ex. <•. Trouver le lieudes foyers des paraboles inscritesdans un triangle.
Bs. ?•• Sur les câtés AB, BC, CD, DA d'un quadrilatère, on prend des points P, Q,
D,gnz.dbvC00gle
BP BQ AS CH BA~BC~AD~CD' 00 demande le lieu du point d'iDlertection de* droites PR et QS.
Ex. »t. On e deui droite* déierminéea Afi el AC, diviajct cd on niéine nombre de parties ^alesj l'une AC, dans l'ordre A, i, 2, 3, 4, 5, 6; l'autre AB, dans Tordre B, !'• 2', 3', 4', 5', A ; trouver le lieu des points de rencontre des droites (2'3)i (3*4); (3'4). (4'5)iele-
Ex. «•. Étaut dooDG un trapèze ABCD, on fait varier la direction dn eété CD de manioc à ce que la surface du trapèze reste conslaute; quel sera le tien du point de rencontre des diagonales?
Ex. as. D'un point P, on mène une sécante PBA à une parabole, et on prend une longueur PM moyenne proportionnelle entre PA cl PBj trouver le lieu du point H.
Ex. t4. Quel est le lieu des centres des cercles tangents è une droite et ortbaganaoi i un cercle fixe;
Ex. St. Chercher le lien du sommet d'un angle circonscrit â la parabole et tel qne le triangle forme par les côlcs de l'angle et l'arc de la parakde ail une aire constante.
Ex. t«. Trouver le lieu du centre d'un triangle équiUlértl formé nar trois ttngentcs ou par trois normales i une parabole.
