CHAPITRE IX
ThéortatM et problèmes Bnr les oouig.iie«; Uenz géométriqnee.
9SO. Nous avoDs rëuni, daaa ce chapitre, une série de propriétés intéressantes des courbes du second ordre, en les proposant comme exercices aux élèves désireux de se familiariser davantage avec les procédés de la géométrie analytique; nous y avons ajouté quelques applications des coordonnées triangulaires et tangcntielles ainsi qu'un ensemble de lieux géométriques à déterminer. Plusieurs de ces questions ont été données dans différents concours en France. L'intérêt qui s'attache à chacune d'elles développera chez les jeunes gens le goût de ces sortes de recherches et l'habitude de la réflexion ; ils y trouveront une ample matière pour appliquer les ressources de l'analyse à la résolution des problèmes de la manière la plus simple et la plus élégante.
S 1 ■ TBÉORÉIUS ET EXERCICES SUR LES COURBES DU SECOHD ORDRB. {CaordtmnieM earUtiemte*).
El. 1. La normale UrmiDée au grand axe dans l'ellipte, nuiltipliëc par la distance du Toyer à la tangeole, et divisée par le rajon vecteur, est une qaaatitc cgnstanle.
Ex. a. On proFonge deux dlamtlres conjugues jusqu'à Jeur reneoutre avec une direelricc, et, de chaque poînl d'inlerseclion, on abaisse une perpendiculaire snr l'iatre; montrer que ces perpendiculaires se rcnconlreal au Tover corrcspoudant.
Ex. a. La somma des carrés des noriuales menées aux extrëmilës de deux demidiamèlres conjugués d'une eilipae est constante.
Ex. «, Dans l'eilipie, il 7 a toujours deux langenles réelles parallèles i une droite
D,gnz.dbvC00gle
doDnée ; dam l'hyperbole, ces Ungrotes peuvent Are iniiginiircf, et. din» )■ ptnMe, on oepenl mener qu'une seule langenle parallèle i nne direction donnée.
Ex. k. On mène une tangente à l'ellipse inclinée d'un angle ce fnr Paze maienr; chercher le produit des perpendiculaires abiisaées des extrémité du pronier ue sur cette tangente.
Ex. •. Par un point H d'une ellipse, on mène les cordes MFN, HFTC patttttpv 1m deux fof ers ; dëmoutrer ta relation
FN '*'rfP ~ '"'"'■ '^'^* Polytechnique ISfS).
Ex. t. Le minintum d'une tangente à l'ellipse comprise entre 1rs axes est ifii i la demi-sotiime a 't- b des axes.
Ex. S. Le maximuM de la distance du point de contact d'une taTigente a l'dHpnà la projection du ei'ntre sur celle tangente est égale à la demi-diff^Dce o — 6 des aiet.
Ex. •. D'un point T, pria sur une tangente i.la parahole, on abaiHcane perpendiculaire sur le rayon veelenr du point de contact; prouver que la distance da liifer au pied de la perpendiculaire est égale à 1* distance du point T è la directrice. En déduire un moyen de mener ii la parabole une tangente p«r un point eilérJear.
Ex. ■•- Dana une parabole, l'ordoDuée focale FB est nuyenne hamonique enli* les deux segments d'une corde focale quelconque HFH', c'eit-i-dire que Ton a : MF MF — FB M'P~FB-M'F'
Ex. 11. La droite qui joint le Ivyer à un point quelconque de la directrice est perpendiculaire i la polaire de ce point.
Ex. <«. Toutes les droites conjuguées qui passent par le foyer sont rrctangulainf, et, réciproquement, un point tel, que les droites conjuguées passent par ee point xot perpendiculaires, est ou foyer.
Ex. IS. Les droites menées au pâle d'une droite et au point où cette droite reacontre U directrice sont perpendiculaires.
Ex. 14. Par chaque point du plan d'une coniqne, on peut mener deux dnilei conjuguées rectangulaires.
Ex. IK. Le rapport anbamiouique des polaires de quatre points en ligne droite (sl égal à celui de ces points.
Ex. IS. Deux demi-diamètres conjugués de l'ellipse qui font les tuglea s et ^ stm le grand axe donnent lieu k la relation
Ex ft. Soient OD, OE deux demi-diamètres conjugués de rdlipse, F le Siyer A l'eiirémité du grand axe; on aura :
