FD - AO)' -I- (FE — AO)'— ÔF
Ex. IS. Parmi tous les systèmes de diamètres conjugués de l'eîlipse, les ixs forment une somme minimum et les diamèlrea conjugués égaux une somme aaiiai».
Ex. ■•. Dans l'ellipia et l'hyperbole, le rapport anharmoniqoe de quatr* di(«èlr«S est égal à eelui de leurs conjugués.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. *•. Dans une ellipse \e »rré d'un rifon central est ^1 ik t* somma des ani» des demi-*xet diminuée da produit dos riyoDi vecteurs qui aboutissent * «on eilrëmltil.
Ex. ai. Li somme des earrés des demi-iies d'une ellipse est égile à la somme de* produits des rayons recteurs qui aboutissent aux exlr^mitëa de deux diamètres coDJugués quelconques.
El. aa. Dans l'ellipse la somme des carrés des diSérencei des rayons rectears ineDêi aux exlrëmilés de deux demi-diamitres eonjugués est eonitante égale au carré de la distance focale.
El. «s. Dans l'ellipse, le produit des rajons vecteurs, qui aboutissent i l'extrémité de l'un des diamètres égaax, est égal k la demi-somme des carrés des demi-aies.
Kx. »4. Dans l'hyperbole, le carré d'un rayon central est égal à la dilTéreuce des carrés des demi-axes augmentée du produit des rayons vecteurs qui aboutissent à son eiirémilé.
Ex. as. Dans rhyperbole, lont demi-diamètre est moyen proportionnel entre les rayons vecteurs menés à l'extrémilé de son conjugué.
Ex. a«. La diOérence des carrés des demi-axes d'une hyperbole est égale à la différence des produits des rayons vecteurs menés aux extrémités de deux diamètres conjugnés quelconques.
Ex. as. Dans deux hyperboles conjuguées, les sommes des rayons vecteurs, menés aux extrémités de deux diamètres conjugués, sont égales entre elles.
Ex. as. Dans l'hyperbole équilatère, tout rayon central est moyen proportiaonel tntrc les deux rayons vecteurs menés à son extrémité.
Ex. as. Si on mène, par les extrémités D et E de deux demi-diamètres conjugués, des cordes parallèles quelconques DD*, ££', leurs extrémités D' et E' appartiendront à deux diamètres conjugués.
Ex. as. La eotde de contact de deux tangentes quelconques 1 une conique est parallèle à la corde comprise entre les diamètres parallèles à ces tangentes.
Ex, mt. Les cordes menées aux extrémités d'un diamètre k un point d'une conique, délemiinenl, sur le diamètre conjugué à partir du centre, deux segments dont le produit est égal au carré du demi-diamètre conjugué.
Ex. as. Deux diamètres eonjugués délermineni sur deux tangentes parallèles d'une conique, à partir des points de contact, deux segments dont le produit est égal au carré du demi-diamètre parallèle aux tangentes.
Ex. «s. Si on fait tourner autour des extrémités D cl D' d'un diemèlrc deux cordes qui se coupent sur la conique, ces cordes déterminent sur les tangentes parallèles en D ei D', k partir de ces points, deux segnients dont le produit est constant et égal au carré du diamètre conjugué.
Ex. Mê- Quand deux tangentes parallèles sont rencontrées par une troisième, les droites menées du centre aux points àv renroulre sont deux diamètres conjugués.
Ex. S». Une tangente quelconque à une eoniqne détermine sur deux tangentes fixai parallèle* i partir des points de cootaet, deux segments dont le produit ut eonslant et égal au carré du demi diamètre parallèle aux tangentes fixes.
Ex. SS. Deux tangentes parallèles quelconques déterminenl sur une tangente fixa
D,gnz.dbvC00gle
à pirtir de son point de conttct, detu segments dont le produit est ^1 et de lipe contraire au carré du demi -diamètre parallèle à la tangente fixe.
El. ■•. Od coDttruit d*Dji ellipses S et S* telles que les demi-axes de la premiètt coÏDcidenl en direction avec ceux de la seconde, mais soient respectÎTement propMtioDnels a lenrs carrés :
i» Le parallélogramme, construit sur deux demi-diamètres quelconques D„ D, ie l'ellipse S, vaut le par«llélogramme conslruil sur les deioi-axes de cette ellipse aswmblës sons l'angle K que forment entre eux les conjugués respectif de D, et D| dans l'ellipse S';
2* Lorsque les diamètres Di, Di sont conjugnéa dans l'ellipse S, leon conjagaéi respecUfs dans l'ellipse S' se coupent a angle droit;
3> Les perpendiculaires abaissées des eitrémltés de deux diamètres qoeleonqoet Di, Di de l'ellipse S sur les directions qui leur sont respectivement conjuguées dans l'ellipse S' sont égales entres elles.
Ex. SS. Si on désigne par /i l'angle de la normale en H à l'ellipse avec le n^sit focal qui passe par ce point, par b le diamètre OH, par h' son conjugué, on aoia :
Ex. »m. Dans l'ellipse et Phyperbole, la tangente et la normale en un point fonnenl un faisceau harmonique avec les rayons vecteurs de ce point.
Ex. 4». Dans la parabole, ta tangente et la normale en un point forment un biscean harmonique avec le rayon focal et le diamètre qui passe par ce point. Donc la tangente et la normale rencontrent Taxe en deux poinlï équidistanls du foyer.
Ex. «I. Dans la parabole, la polaire d'un point et la perpendiculaire abaissée da pôle sur la polaire rencontrent l'axe en deux points équidistants du foyer.
Ex. 4*. Dans l'ellipse et l'hyperbole, il y a toujours deux normales parallèletà bm direction donnée; elles sont toujours réelles dans l'ellipse mais, dans rhyperiwle, ellis peuvent être imaginaires; dans la parabole, l'une de ces deux normales est àrioâni.
Ex. 4S. La tangente en un point quelconque de le parabole coupe la dirednce et l'ordonnée focale prolongée, en deux points également distants du foyer.
Ex. «4. Si deux paraboles égales ont un axe commun, une droite tangente ■ b parabole intérieure et terminée ii l'autre courbe sera divisée par le point de coniael es deux parties égales.
Ex. 4*. Dans une conique à centre, les lignes menées de chaque foyer au pied it la perpendiculaire abaissée de l'autre sur la tangente se coupent sur la normale et la partagent en deux parties rgnleg.
Ex. 4*. Si, par les diUérenls points d'une tangente à une parabole, on ment nne tangente et une droite au foyer, l'angle de ces droites est toujours égal à lianf^e que fiul la première tangente avec le rayon vecteur de son point de contact.
Ex. 4f . Si, par deux points quelconques de la corde des conlacts de deux tangralat, 00 mèue deux parallèles i celles-ci, on forme un parallélogramme dont la leenle diagonale est toujours tangente s la parabole.
Ex. 4a. Si une corde PP' passe par un point fixe O, le produit lang i PPO ■ Mg} fFO Ht constant.
D,gnz.dbvC00gle
El. 4». Si on mèae des norroal^^s aux eitréroités d'une corde Saetk, une par*llèle à l'axe majear, tirée par leur point d'bterseclion, coupent la corde en deux parties «{•les.
£i. ••. Soit e l'angle de« tangentesàrellîpMiuuesd'uDpoinlSipetp' les distance*
de S auifojrers: on aura: cosfl^^ ~ •
2pp £z. ■<. Si, par un point quelconque S, on mène deux droites passant par les foyei's et rencontrant la conique aui points R, B', r, K, on a :
Ex. «a. L'angle formé par les droites menées du foyer aux points d'intersection d'une tangente quelconque arec deux lingeriles fixes est constant dans l'ellipse et l'hyperbolej dans h parabole, cet angle est supplémentaire de celui des tangentes.
Ex ••. Si OD lui tourner une corde HU' autour d'un point fixe P, la somme algébrique des rayons focaux PU, FM', divisées respectivement par les distances HP, , H'Pi des pointa H et H' i la polaire du point, est constante ; c'est-à-dire que l'on a : FM FM' MP.'*'M'P,~ '*'*'*■
Ex. S4. La moitié d'une corde focale, dans l'ellipse et l'hyperbole, est troisiime proporUoonelle entre le demi-diamètre parallèle et le demi-axe focal.
Ex. BS. La somme de deux cordes focales de l'ellipse parallèle a deux diamètres conjugués est constante.
Ex. »■. Dans l'hyperbole, la différence de deux cordes focales respectivement |Kirallèles à deux diamètres conjugués est constante.
Ex. BS. Si on désigne par ui, U| les paramètres angulaires des cxlrcmitcs M,, Mi d'une corde quelconque de l'ellipse, on a, pour la longueur D de cette corde,
D=2a'sin^^^^,
a' étant le demi-diamètre parallèle à la corde.
Ex. »S. Trouver l'expreation de l'aire du triante dontles sommets sont tTMspoints de l'ellipss u,, «■, uj.
a. iob lin i{t^ - «.) sin i (». — Us) sin J (x, - «,).
Ex. «s. Trouver le rayon du cercle circonscrit au triangle des trois points Ui, U|, u^
d'une ellipse. R. — > b', b'', h'" étant les demi-diamètres parallèles aux celés.
Ex. ••. On mène, dans une parabole, une corde quelconque HH' qui rencontre l'axe enO; si A est le' sommet de la courbe, N et N' les projections des extrémités de la corde sur l'axe, on aura : ÂÔ' = AN . AN'.
£i, •!. Si l'on mène deux cordes focales dans la parabole, les rectangles des segments d'une même corde sont entre eux comme les cordes entières.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. «t. Si denx cordes rectnngultiire) pirteDt du «oinmel de ]■ parabole, le ptnmètre est moyen proportionoel eotre Ira abeisses des extrémiiéi de ce* eordea.
El. «s. Si, par le sommet d'une parabole, on mène une corde AB, et, ptrie point B, une perpendiculaire à AB qui rencontre l'axe en C, la sous-corde AC eslépk à quatre fois la distance du foyer à rextrëmilé du diamètre conjugué de la corde.
El. «4. Si, par le foyer commun F de deux coniques, on mène nne droite qgcleonqne, el, qu'aux points où elle coupe les courbes, od mène les tangentes en m points, ces quatre tangentes formeront un quadrilatère dont les diagonales sennt In cordes coDunuoes aui deux cooiqnes.
£x. •». Des exlrémilës d'une corde focale HFH' d'une parabole, dd abaisse b perpendiculaires HP, M'P' sur une droite fixe ; prouver que
MF ■*" WP- ~ ""*'■ '^'* •'"'y'*'*'''''!''" *8(ÏJ.
Ex. ••. Une ellipse al une parabole nnt un foyer commun et sont telles que l'ue de l'ellipse est dirigé suivant l'axe de la parabole, el que les directrices cornsfeodantes au foyer commun sont placées de part et d'autre de ce pointj démonlrer qut, si l'on mène du foyer commun F les rayons Tecleurs FH, TU' anx eilrëmilés d'us diamètre de l'ellipse et qui rencoulrent la parabole eu N et N', on a la relation FM FM'3{«-4-e) FN'*'Fir~ p
Ex. «t. La projeelioD d'un foyer sur une asjmftote est sur la directrice coirapondante.
Ex. ■■. Si on construit, sur une corde de l'hyperbole, un parallélogramme diat les eâtés sont parallèles aux asymptotes, la diagonale passe par le centre.
Ex, ••. Les aéeanies, menées d'un point quelconque de l'hyperbole i deux poiaU fixes pris sur la courbe, interceptent sur une asymptote une longueur constante.
Ex. f •. Dan* l'hyperbole équilatère, le produit des rayons vecteurs d'un poiiH de la courbe est égal au carré du demi-diamclre qui passe par ce point.
Ex. >l. Dans une hyperbole cqullatère, les droites menées des extrémités d'as diamètre k un point de la courbe font des angles égaux avee une asymptote.
Ex. s«. Si on inscrit un triangle rectangle daus une hyperbole équilalère, Thypeténu*e est parallèle à la normale au sommet de l'angle droit.
E\. fa. Les droite* qui réunissent un foyer aux points de rencontre d'une lai^le avec les asymptotes, forment un ongle constant.
Ex. t4. Etant données deux hyperboles ayant les mêmes asymptotes, on nt^, f" le centre 0, une sécante qui rencontre la première en A, la seconde en B; pea'"
OA que Qg = =onst.
Ex. t«. Étant menées à une hyperbole deux tangentes A el fl avec la eorde des contacts C, on tire, d'un autre point quelconque m de la courbe, une parallèle a une asymptote et l'on désigne par a, 6, r les poinis de rencontre de cette parallèle avec l« droites A, B, C. Démontrer que me est moyenne proportionnelle entre »ia K s«(- CoDItruire une hyperbole, connaissant une asymptote, deux tangente* et un pùnl.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. «•. Od donae une ellipse et se» foyer* P et F' ; deux droîUs touchent II tourbe :n H et Net» coupealeo T; démontrer ta relatioD
