HP . NF MF' . HF
Ex *9. En deux pointe d'une ellipse, on mène les uoniutesj It perpendienliin élevée sur le milien de la corde piste par les mitieui des segments interceptés entreles noriMles par cbacan des axes.
Ex. sa. Mener, dans l'ellipse, une Dormale telle que la portion comprise entre les axes soit miximam.
Ex. t*. Soient a et /S les coordonnées d'un point ; on mène à une ellipse les normales aux pointe où ta polaire du point (x, ^) rencontre la courbe; prouver que les coordonnées du point d'intersection des normales sont :
Ex. ••. Etant données deux paraboles égales ayant le même axe et dirigées dans le même sens, on abaisse d'un point quelconque de la parabole extérieure une sécante perpendiculaire i l'axe; montrer que le produit de la sécante entière par la partie extérieure est constent.
Ex. St. Si un cercle coupe une parabole, les lignes qui forment un couple de cordes communes sont également inclinées sur l'axe.
Ex. •«. Un cercle variable, assiyetti à passer par un point fixe P, coupe une conique
- . . ., ... .„. ^. .. ■ PA ■ PA' ■ PA" ■ PA'" aux pointe A, A , A , A" ; démontrer que I expression gj est constante, B étant le rayon du cercle.
Ex. ••. Un triangle est circonscrit k une parabole de foyer F; par les sommets A, B, C, on mèue des ligues respectivement perpendiculaires i FA, FB, PC ; démontrer qu'elles concourent en un même point.
Ex. •«. Si trois pointe A, B, C d'une parabole sont tels, que le triangle ABC ait son centre de gravité sur l'axe de la courbe, les normales en A, B, C se coupent en un même point.
Ex, ••, On donne une parabole et nn point extérieur à cette courbe; faire passer, par le point donné, une circonférence doublement tangente à la parabole.
Ex. •«. Etant donnés deux points fixes A et B sur l'ellipse, si on joint un point quelconque H de cette courbe aux pointe fixes, les perpendiculaires élevées sur les milieux des cardes MA et MB interceptent sur chacun des axes nn segment dont la longueur est constante, quelle que soit la position du point sur la courbe.
Ex. sv. Deux droites, qui divisent barmoniquemenl les trois diagonales d'un quadrilatère, rencontrent en quatre pointe harmoniques toute eoniqne inscrite dans le quadrilatère.
Ex. •■. Si, par un point 0, on mène trois lignes respectivement parallèles aux cotés d'un triangle, le* six pointe de rencontre de ces lignes avec les côtés sont sur une conique. Trouver son équation.
D,gnz.dbvC00gle
bx. B9. b'an poinl P d'une ellipse de centre 0, au (baisse aoe perpendiCDlaiR tv le grand ne et an la prolonge jaiqii'à m rencontre eu Q arec le cercle dêerit SDr ttt aie; le diamètre qui passe par le point P sera égal k la corde menée dam le cercle pv le poinl F parsllilement à OQ.
Ex. ••. Lorsqu'une conique Ml inscrite t un triangle, son paramétre est épi au diamètre du cercle inscrit, multiplié par le produit des sinus des angles qne lut, aTM le cercle, les droites qoi joignent un des foyers aux sommets du triangle.
Ex. •■■ Pour qu'un triangle inscrit dans une ellipse ait une snrbee maiimnai, il faut et il suffit que le centre de gr**ilê du triangle coïncide avec le cenire de la courbe. Tons les triangles inscrits dont le centre de gravité coïncide avec le centre de l'elEpe
El. 99, Pour qu'un triangle circoDScril à l'ellipse, et renfermant l'ellipse, ait ont aire minimum, il hui et il suffit que son centre de grarilé cmocide avec le centre de la courbe. L'aire du triangle minimum circonscrit est égale à quatre fbia l'aire da triangle maximum inieril.
Ex. ■!. Lorsque trois tangentes touchent une mime branche d'hyperbole, il y a mt triangle circonscrit d'aire maximum^ c'est celui dans lequel deux côtés sont les asjBptotes, et le troisième ciU une tangente quelconque.
Ex. VA. Si, de chaque point d'une conique k centre et sur une direction eenstaih ment inclinée du même angle sur la normale, on porte une longueur proportioandle â la moyenne géométrique des deux rayons focaux relatifs à ce point, l'extiânité de cette longueur décrira une conique concentnque k la première et du màne genre
Ex. ••• Si, de chaque point d'une parabole et sur une direction constamment inclinée du même angle sur la normale, on porte une longueur proportionnel te â 11 moyenne géométrique du rayon recteur et d'une longueur constante, l'exlrémilé de celte longueur aura pour lieu une autre parabole dont l'aie sera dirigé sniTinl cdoi de la première.
Ex. ••. Trouver, sur l'ellipse, le point le plus éloigné de l'extrémité du petit aie.
Ex. •*. Parmi les coniques circonscrites k un quadrilatère, déterminer celle dont k
Ex. ••. II existe toujours sur un quadrant de l'ellipse deui points où les naim^ sont équidistantes du centre.
Ex, mm. Inscrire, dans l'ellipse, une corde telle que la somme de sa longueur et de la distance de son milieu au centre soit maximum.
Ex. ■•■. Étant données deux conique* homotbétiques cl cencentriqnes, une tangente quelconque de la conique iulérieure détache une aire eonstante de la conique extérieure.
El. ■•!■ Trouver, sur une circonférence donnée, un point tel que la Mnimeile >e> distances k deux points donnés soit nn maximum ou un minimum.
Ex. !•■. Dans une ellipse donnée inscrire un triangle équilatéral tel que le côté
I. Trouver, parmi les triangles de plus grande aire insoits t nos eHipie donnée, celui dont le périmètre est un maximum oi
D,gnz.dbvC00gle
Ex. «•«. Une coniqne puse pv trms poiaU A|, A|. Ai et Uvcbe lue droite A. Dësignoiu pv i±, }«, Is lu disUncM des points i t* droite A, par pi, p,, p> leurs distances lu foyer F, et pu- a,, oi, ai leurs distances mntuelles. On • ]■ reUtioD
î.* [(p. - cl' - ".•]» -*■ Js' [Ip. — pO' - <ta1* -^ i'* [(Pt - p.1' - ».']* = O. Es. ■••. Li somme a* -i- A* des carres des demi-axes principaiu d'une coniijae est inesnrée par la puissance dn centre de U courbe pir rapport au cercle circooierit i l'un quelconque de ses triangles conjugués.
S 2. THÉORÈMES BT BSBRUCES SUR LBS COURBBS DU SECOND ORDRE.
(Coordonna IriamguUUret tt tOHgmtlellei,)
Ex. *. Tronver les éqaations réduites des coniques en coordonnées tangentiellei. Soit d'abord Féquation de l'eilipse
rer directement sans appliquer l'équation du N* 1S3. On a, pour les e tangente
En élovant an carré et aJoDlaul, on trouve
On obtient de la même manière ponr l'hyperbole et la parabole „•«■ — &■«*=!, p»' — au^O.
Ex. •. Que représente l'équation
{..m-^c-t- I) {a.u + ?i* -I- 1) = i («• + •»)? c'est l'éguofion ove foyeri det eaurbtt d» («ronds cImss ; car les droites qui joignent IM pmnla i l'infini : u* .J- v* ^ o aux points
«,» -I- jSiu -M = o, «»» -H jS,u + 1 = o sont tangentes i la courbe ; ces derniers sont donc les Toyers. Elle renferme cinq pira- Diètres corame l'équation générale. Si on fait seulement varier 1, on obtient un système de coniques con focal es.
Au point de vne géométriqne, l'équation précédente exprime qne le proijut 4ki jwrpmâiaUair^t abaiuitt dei foyen nir uns (anyants qtulcotuiii* eit Bonsfant.
Ex. 1. Trouver les coordonnées de la Dormale correspondante i) la tangente (h', v") delà conic|nea*i(*+ b*v*^= i.
D,gnz.dbvC00gle
Les coardaimëes cberchées doivent satisfaire aux équa n'ira' -t-fi'uc'^ I,
e* eus p ' I» sic T
Ex. «. TroQTer te lieu des points d'inteneciioD des narmales i une conique. Pour l'ellipse, il Taui ëliminer f entre les relations
e* cos p ' c* sin 5>
Od trouvera ainsi
a*v' ■*- Vu' ^e'it'v*.
Pour l'hyperbole et la parabole, on aurait
O*!)' — fi'u' ^ C'u'tl', pu' + 2pUV* 4- ZU' = O,
Ces lignes se noronent les développées des coniques.
Ex. *. Trouver la longueur de la perpendicnlûre abaissée du centre sur la tangenle
Ex. •. Chercher l'expression de la distance entre le point de contact et le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente (■<', t>') à la conique Aw*-i-2Buu + Cii*=H.
Soil D la distance cherchée; on a
D' = *'»-«-y'' — P' = at"-(-y'"- -^-' 7,- Hais l'équation du point de contact étant
2H ' » " aH
s on remplace les dërivées par Ienr9 valeara, il Tiendra ,j|C-AinV-i-B(u--i.") H (.■■ + .■■)■
; (B* ^ jr , y' ^ — -=- ■ En substituant, on iroavera
Ex. V. TroDver lesdirectioiu et lesIoDgueiiHdestxes dalieonique
A»' -•- sBhv + Cti* = fl.
Li UDgCDte ■ l'eitrémiU d'nD aie étant perpeodiculiire 1 cet axe, on doit avoir D^ o ! il en résulte qu'en résolvanl les éqnationi
OD obtiendra \tt tangentes perpendiculaires aui aies, et, par suite, ces derniers «eront détermiDës en direction.
p h tonJikieur de l'un des axes, ) son inclioaison sur l'axe des >:on
■ura : p;= j~i «'^pcosi^ — p^' ; par suite,
f^ = — zfly = zUu'p*) /*■' = aHo'p'. Si on remplace les dérivées par leurs valenrt, il viendra les équations (A — p*H) «' + Bo' = o, Bu'-t-{C-p'H)c' = o, et, en éliminant h', v',
H'p' — H (A + Q p" -I- AC — B« = o j
c'est l'équation qui détcrminen les carrés des longueurs des axes. Ex. S. Quelle est la condition pour que l'équatioD JA* + mB* + ttC*:=o représente
Bx. •. Ecrire les équations qui déterminent le centre de li conique IA*+«B*-t-nC*=o. M mB «C -aS
Ex. t«. L'équation JBC + mCA -i-tiAB^o représente une parabole, si on a relation: l/âï-»-V^6ln + l/w» = 0.
Ex. 11. Quelles sont les coordonnées du centre de la conique IBC-«- tnCA 't-RAB=
((lu— mi — nr) M(mi— n« — la) n(«e-(o — m6) (*a'-*-m'J'+n'e* — vnnbe — atdett—tlmab Ex. 1*. Si (A',B',C'), (A"vB",C") sont deux poinU de la courbe f8C+niCA-i-iiAB=0, la corde qui les réunit a pour équation
Ex, «s. TrouTer le centre de la conique V^ + ^'^-vl/ÂCs
El. 14. Qaelle est la toDdiiion pour que l'équstion grn^rile r{A, B, C) = MDle deui droites?
R. 8=0, c'est-à-dire M n' m' |=o.
Il' m r \ m' e n I El. IK. Cfaerdier la condition pour que f(A, B, C) ^ □ représente une équilalire.
En poMOt ;
E= /-t-nn-n — 2^* ce» A — w»* coj B — M' eoj C,
la condition cberchëe sert : E = a
El. <•. L'équBlion du diamètre qui ptsie par le pdnt (A', R', C) peut s'é la forme
