P QE I
Cela étant, trouver la condition pour qu'il soit conjugué an diamètre ayatil poor équation
I ) V -^ I Si on représente par p, q, r les déterminants
et pir p', f', r' les mêmes quantités on i, p, v sont remplaces par i', /, J, la condition demandée est :
Dw' + Vîî' -h Wrr' + U' (îr- + rj') + V (tl^ -H pr') -»- W (M* -*- sïi') = o, dans laquelle
ll=»»i — I", V=riiJ — m", W = /m — II"; U' = «.'»' — H', V'=n'i'— mm', W' = rm'— nn'. El. ■«. Trouver les équations des aies de la conique r{A, B, C) =o. Si on eiprime que la Ungente : A/'.'-h B/'■'-^C/'c'EO est perpendicnlaire «d diamètre
on obtient la relation
pi A' B' C j-*-/-.'! A' B' C \^rA A' B' C' |=o.
PQ R PQR P QB
I, — cosC, — cosB I I — GosC, I, — cosA { | — eoiB, — eosC, i |
D,gnz.dbvC00gle
Elle eti MtishitE, 5i on remplaça A', If, C ptr Ifs CMrdoniiéet do centre; U en réjnlIequ'eDSupprimiDt les(CEeDt9, on aor* rëquatioodcsixes de la conique. El. IS. Déterminer le» loDgueimdej nés de la eoniqoeffA, B, C]^o. Laiongaeurd'nndemi-diaiDitrfleït doDDée par
Il &udrâ déterminer le maiïmam et le minimum de f(X,/i,v), iM quantitéil,/i, > dcTHit Htisfiire lui relations.
i.' iia ta -t- /i* ain 2^ -t- v' sin ay ^ 3 sin a an fi lia y,
l'a CM n -t- ii*b coafi-*-y*eeoa-/=aaKap aiay.
On troDTe ■ l'cqaaliM]
Ti, pour déterminer lea carré* d«* aieSi l'équation
Ex. flS. L'aire de Tellipse ((A, B, C) = o a pour expretsion : ^ ■
Ex. «s. La plus grande ellipse InserilB dans le triante de référence eat repréunlêe par
et 11 pins petite ellipte inscrite par
BC+CA + AB = o.
Ex. St. L'origine étant au foyer P d'une conique, si ou désigne par u,, «, les eooi^ données de la directrice correspandaDle, l'équation tangenlielle peut se ramener il la forme
Bi. ta. Étant donnés nn point 0, une droite D et une conique S, on mine, par le point O, une sécante qui rencontre 0 en >, et la courbe S en a et a' ; soit { le conjugué de « par rapport i a et a'; le lieu dn point i, qaand la sécante tourne autour dn pmnt 0, sera une coniqae qui passera par ce point, par te pAle de la droite D, par les points d'intersection de D arec S, et par les points de contact des tangentes à la conique issues du point 0.
Ex. «s. £ttat donnés nn point 0, une droite D et une conique S, par chaque point m de D, on tire la droite aO ainsi que sa conjuguée tf dans la conique; la
D,gnz.dbvC00gle
droite 99n envelopper! une coniqae tangente i D et à la polaire da pcnot 0, au dm Ungeotes menée* da point 0 à S, el aux tangenles à S menées aux point) d'inten» tioD de D avec cette conique (Chaïlis.)
Ex. •<- Étant donnée* une eoniqae S et deux droites fixes, on prend, sur tu droites, les points a et x' conjugués par rapport iS; la droite ms' enveloppen dk conique taJigenle aux doux droites et aux langenlea à S menées par les points d'int» section des droites avec S. (Chibles.)
Ex. a». Lorsque deui droites conjuguées à une conique S touracDl autour de deu points fixes, leur point d'intersection décrit une conique qui passe par les points Gin, et tes points de contact des tangentes menées à S par les points fixes.
Ex. «s. Si tons les calés d'un polygone sont assujettis k pivoter sur autant de poials fixes, tandis que set sommets, lin seul excepte, parcoureat respectivement des drnles données, le sommet libre décrira une section conique passant par les deux points £tti qni appartiennent a ses cMés, (Hic-Liuaiii.)
Ex. Vf. Si tous les sommets d'un polj'gone sont assujettis à se mouvoir sur anluil de droites fixej, tandis que ses côtés, un seul excepté, pivotent sur des points Bits, It câtë libre et les diverses diagonales envelopperont des sections conique* distinctes, tangentes aux deux droites fixes qui dirigent le mouvement de ce côté en de m* diagonales respectives.
Ex. as. Un polygone étant inscrit a une coniqne de manière à ce que Ions us câtés, un seul excepté, pivotent sur autant de points fixes, le côté libre et les diagODiki envelopperont des seclions coniques ayant un double contact avec la proposée.
Ex. s*. Si tous le* sommets d'un polygone toujours circonscrit à une conique sont, an seul excepté, assujettis à parcourir des droites données, le sommet libre et Ici différents points de rencontre des côtés décriront des seclions coniques ayant un double contact avec la proposée.
% 3. UBUX GËOHÉTItlQVES.
SSl. La plupart des questions qui suivent se déduisent des seetioiis coniques. En les résolvant, on arrivera, tantôt h une équation du second degré, tantdtà uDe équation d'un degré plus élevé. Il faudra étudier arct soin la ligne qu'elle représente et indiquer les rapports qui existent entre cette ligne et celles qui font partie des données de la question. On doit se servir des coordonnées cartésiennes ou tangentielles suivant la nilnre du problème.
Ex. a. Par le centre O d'une conique, on mène des rayons OH 1 tons les points de la courbe et des perpendiculaires OP à ehacan d'eux; trouver le lieu des points Ft^ que l'on ait
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