SIS

Ex. S. On bit toorner anionr d'un point fîi« 0, pris dans on eerdo dooné, nn iDgle droit; soient A et B les points de rencontre des c&tés de l'angle avec la courbe j trourer le lieu du pied de Ea perpeadi cul aire abaissée du point 0 sur AB.

Ex. S. Trouver le lieu dea pieds des perpeadleulaires abaissées des eitrémJtës du grand axe d'une ellipse sur deux cordes snpplëmentaircs.

Ex. c On fsil touraer un angle autour du sommet A d'une ellipse; désignons par B et C les points de rencontre des cAtés avec la courbe; trouver le lieu du point d'intersecUon de la droite qui joint le centre au point B avec la côté AC de l'angle.

Ex. S. Etant donné un point P pris sur le grand aie de l'ellipie, on mène un diamètre quelconque DD', et, par le point P, nue sécante qui rencontre le diamètre en H et la courbe en Q de telle sorte que l'on ait PH=:1IQ; trouver le lieu du

Ex. •. Etant données une ellipse et une droite D, on mène, par le centre 0, le diamètre OE conjugué de la droite et qui la rencontre en P; on prolonge DP d'une longneur PU telle que P0-0H^=OE ; on demande le lieu du point H quand la droite D se meui en restant tangente à une courbe donnéej examiner le cas où celle-ci est une conique (Concours général, iStë).

El. X. Une corde est vue du Toyer d'une conique sous un angle constantj chercher le lieu géométrique des points d'intersection des tangentes menées aux extrémités de ta corde (Ecole polytechnique, [HU).

Ex. S. Quel est le lieu décrit par le milieu d'une corde de longueur constante dont les extrémités glissent sar l'ellipse ?

Ex. •. Quel eil le lieu des projections du foyer d'une parabole sur ses normales ?

Ex. !•. Quel est le lieu des |rojcetions du sommet d'une parabole sur les normales?

£x. K. On mène une corde MH' perpendiculaire au grand axe AA' d'une ellipse, ainsi que les droites AH' et HA' qui se coupent en N ; on projette N sur le grand aie en P. Déntonlrer que HP sera la tangente en H, et chercher le lieu du point N quand le point H décrit l'ellipse.

Ex. la. Par un point fixe P, on tire une sécante quelconque qui rencontre la courbe en M et U' ; EE' étant le diamètre parallèle à la sécante, ou prend sur celle-ci un point N tel que PN X MU' = EE'* ; on demande le lieu du point H (École polytechnique, (1842).

Ex. «s. Sur une tangente fixe t une conique, on prend deux points variables P et Q tels que la dislance PQ reste conslantej trouver le lieu des interwclions des tangentes à la conique issues des points P et Q.

Ex. ««. Quel est le lieu dn point de rencontre des normales aux extrémités d'une corde pissant par le foyer d'une conique!

Ex. is. Etant donnés un point fixe P et deux droites D et D*, on mène une sécante quelconque par ce point; Soient d et d' tes points d'intersection da la sécante avec les droites; trouver le lieu du point M de la sécante tels que PU = dif.

Ex. ■•. Etant données deux cii conférences, on mène une tangente quelconque à

D,gnz.dbvC00gle

Il première qui reneontre It «econde en A et B; lroQ*«r le lien du point d*iDlnMciîoa de> Ungeales men^t en A en B i la teconde circontérenee.

El. 1*. blaDt donne! un eugle de lommet 0 et deux pointa C et D en SgM droite avec le point 0, on mèue, par un point fixe P, une wcanta queleonqne ^ rencontre le) cAiëi de l'angle en K et K'; tronrer le lieu du point d'inierecction du droitea DE, CK'.

Ex. >•. Cta diviie les petits cAl^s d'un triangle ABC, rectangle en B, par les poioU C et B' de nunièr« i ce que l'on ait : AC X BB' = OB' X BC' j chercher le lira ih point d'intenection des droites CC', AB".

Bx. *•. TrouTer l'enveloppe des droites inscrites dans un angle dmt el qni Mt leurs milieux sur une droite fixe.

Ex. ••. Trouver le lieu des projections du centre d'une conique sur la drMte qui réunit les exlrànitës de deux diamètres conjugués.

Ex. •!. Par un point Bxe P, on mène une sécante qnelconqne qui rencontre mt conique en A et B ; qnel est le lieu des points H tels que PH* = FA X PB-

Ex. S«. On mène, par les sommets A et A' d'une conique, des cordes snpplémefttaires; chercher le lieu de l'intersection des perpendiculaires élevées en A et A'inrca

El. ta. On mine, en un point quelconque A d'un cercle donné, une tangente qie Ton termine en T i un diamètre fixe ; on élève ensaite, au point T, une ptfpeitdicBlaire au diamètre, et on prend TH = TA ; quel sera le lien du point H?

El. »4. On mène des cercles tangents en 0 à une droite donnée ; par deux paintt fixes de la même droite, on mène des tangentes ; trouver le lieu des points d'intcrtMtxa des tangentes.

Ex. S*. On donne une ellipse dont AB est le ^tand axa et F un fojer. Par k sommet A, le plus voisin de ce foyer, on mène une droite qui rencontre la courbe en C,

AD et on la prolonge d'une quantité CD tels que le rapport — soit constant j puis on art

les droites BC et FD qui se rencontrent en H^ trouver le lieu du point M, quand k sécante tourne autonrdu point A (Ecole normale, I84S).

Ex. a«. On prend deux points fixes P et Q sur la base d'un triangle ABC; on miK. par ces points, deux droites rencontrant CA et CB en deux points a et £ tels que Ca CA

|i et 9 étant des constantes; trouver le lien des intersections de Va et Qb (Ecole pclftecfa nique, ISfS).

Ex. »fl. AT et AS sont deux droites qui touchent une section conique quelesDqiit POQ aux points B et C; on mène une troisième tangente quelconque DB et, pir In points D et E où elle rencontre les deux premières, on tire des parallèles aux mèoin tangentes. On propose : I* De déterminer le lieu géométrique des points d'intersedioi H de ces piralièiet; 2* De reconnaître que l'angle EFD, sous lequel on voit de Pnn i** foyers F la langenle mobile ED, conserve une valeur constante; 3* On examinva \t cas où la section conique est une parabole, et on fera voir que, dans ce eu, les segDMiili

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interceplés sur les portions AB, AC àes tangentes fixes par la langente mobile sont réciproquement proportiounels (£uole nomiile, ISit).

Ex. 9». Etant donnée une ellipse et ud point A sur l'ellipse, on décrit un cercle tiDgent à la conrbe en ce point ; on demande ie lieu des tangentes communes qui ns passent pas par le point A, lorsqu'on fait varier le rayon du cercle (Caneours générai, iSU).

Ex. ■■. XOY est un angle droit, A un point de OX, B nn point de OY ; on m^e les droites AH, BH telles qne l'angle MBY = 2HAX, Ou demande le lieu du point H (Ecole polytechnique, 16^.

£1. am, TOX est un angle quelconque, A un point fixe; de ce point, on mine une sécante quelconque qui coupe les calés de l'angle en B et Cj on prend, sur chaque

BH m sécante, un point H tel que — = — ; on demande Je lieu des points H {Ecole poly-

lecbniqoe, 1819).

Ex. SI. D'un point R, pris sur le cdté OX d'un angle TOX donné et quelconque, on mine une tangente aux cercles inscrits dans cet angle; on demande le lien des points de contact de ces tangentes (Ec<de polylechniqjie, iSiS).

Ex. as. IVouTer le lieu des milieux des cordes égales d'une ellipse donnée (Ecole polytechnique, ISiS],

Ex. sa. Lieu des points tels que leurs polaires relatives à trois cercles concourent en on même point (Ecole polytechnique, I8M).

Ex. S4. Lieu des points de division en moyenne et extrême raison des cordes d'tme ellipse issues d'un même point (Ecole polytechnique, ISiffj.

Ex. Sft. Une ellipse et une hyperbole ont un axe commun; on mène une suite de sécantes parallèles; trouver le lieu des milieux des segments compris entre l'ellipse et l'byperbole (Ecole polytechnique, 1846).

Ex. SS. Du sommet A de l'angle droit BAC, on mène une droite quelconque; des points B et C, on abaisse sur celte droite les perpendiculaires BP, CQ ; trouver le lieu des points H de ces droites pour lesquels AH' ;= AP X AQ (École polytechnique, 1847).

Ex. SI. On donne une droite, un point 0 sur cette droite, et deux points A et B bors cette droite; on mine une suite de couples de sécantes AU, BM, qui la coupent en des points C et D tels qne le produit OC X OD est constant; trouver le heu des points H (Ecole polytechnique, 1848).

Ex. SB. Lieu des projections du sommet d'ane ellipse sur ses tangentes (Ecole polytechnique, 1848).

Ex. ■•. Soient, dans un plan, une ellipse et une droite située hors de cette ellipse. On prend sur la droite deux points N eFN'conjnguéspar rapport à l'ellipse; cela posé: 1* Prouver qu'il existe, dans le plan de l'ellipse, deux points 0 et 0' desquels on voit chaque segment NN' sous un angle droit; 2° On demande ie lieu des points 0 et O*, quand la droite se meut parallèlement à elle-même (Ecole polytechnique, 1849).

Ex. 4*. Une ellipse tourne autour de son centre ; trouver le lieu des intersections de son axe focal avec une tangente è celte ellipse qui reste constanunent parallèle à une droite donnée (Ecole polytechnique, 1849).

Ex. «1. Soit un angle ABC; AetCdeux points prissur ses e£lés; par son sommetB,

on mène anr droite quelconque Bjr ; des points A et C, on abaisse, sur ceuc droite, b perpendieulurea AD, CE. Trouver le liea du point 0 milieu du segment DE de la dnita B^i compris entre les pieds des perpendicubires (Ecole polytechnique, IStiP).

Ex. ta. Etant donnée une droite L, on mène de chacun de ses pointa H deui droiltf i deui points fixes P et F. Deux autres points fixes O et (K sont tes soounets de dm angles AOB A'O'B', de grandeurs données et coiistanles, que l'on fait tourner ■■loar dé leurs sommets respectifs, de manière que leurs cotés OA, O'A' soient respediTemeDl perpendiculaires aux deux droites Mf et H'P'. On demande quelle est la courbe decriLr par le point d'intersection N des deux droites OA, O'A', et la courbe qui est déoilc par le point d'iuleraeclion des deux autres côtés OB, O'B', quand le point H glisse sv la droite L (Concours général, ISSl).

Ex. 4S. On donne une cooique et deux axes fixes qui passent par un rojer dqiii font entre eux un angle de grandeur drlerniiuée; on felt rouler sur !a courbe dm tangente, et, par les points où elle rencontre dans cbacune de ses positions In ue fixes, on mène deux autres tangentesfji la courbe; ces deux dernières taDgeolei le coupent eu an point dont on demande le lieu géométrique (Ecole normale, iSSS).

Ex. M. Trouver Taire du segment compris entre un arc de parabole et sa conle; chercher le lien géométrique des milieux des cordes qui déterminent dans la parabole des segments équivalents (Ecole nurmale, ISBfi).

Ex. M. Etant donnée une parabole CAB, la sécante UAB se meut sous la condition que les normales anx points A et B se coupent en un point C de cette courbe. Par le point C, on mène la tangente CM qui coupe la sécante en M. Cela posé, on demande de tronver l'équation de la courbe décrite par le point M, quand la sécante prend taotei les positions compatibles avec la condition h laquelle elle est sasujctlie (Ecole pdjtechoique, 1860).

Ex. éM. On donne une conique et un point P dans son plan; par ce point, oo nèiie une sécante PAB ; puis, par les points A el B on elle rencontre la conique, des tangentes qai se coupent en H; on abaisse HK perpendiculaire sur PAB; trouver : 1* Le lien des points Kj il est le m^ne pour toutes les coniques homofocales ; 3* L'enveloppe de li droite HK (Ecole normale, 1861).

Ex. 4t. Deux paraboles de même paramètre ont leurs axes à angle droit) l'one d'elles «st fixe el ['autre mobile. Une corde commune AB passe constamment par le pied D de la direetrice de la parabole fixe; on demande le lieu décrit par le sommet de la parabole mobile (Concours général, iStS).

Ex. «•. Par les extrémités A et B d'une corde Afi d'une longueur constante et inscrite dans un cercle donné 0, on mène des droites AM, BM respectivement parallèles i deux droites fixes; trouver le lieu du point H (École normale, 1863).

Ex. «•. On donne, sur un plan, deux circonférences G et V; d'un point A de 0, on mène des tangentes i 0' ; on joint les points de contact de ces tangentes ; cette droite coupe la tangente en A à la circonférence 0 en nn point H; on demande le lien da point H, lorsque A parcourt la circonférence 0 (École polytechnique, 1863),

Ex. ■•. On donne une courbe du second ordre S, et une circonférence décrite de l'un de ses foyers F comme centre ; en chaque point H de la coniqne S, on tnce la normale à cette courbe ; on mène ensuite les tangentes au cercle (F) par les pwnts m

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eelte nomMle le rincontre ; on demande le lieu du point d'intersection de ces tuigeDtM< lorsque le point H décrit la conique S (Ecole polytechnique, 1865).

Bi. Kl. On donne deux coniques ayant un même foyer et leurs txes proportionnels; soient FA, FA' leurs nyons recteurs minimum^ on feit tourner ces rtyons veetenrs latonr de F, en conservant leur distance angulaire; soient FC, FC une position; en C et C'on mène les tangentes i chacune des coniques; trooTer le lien de leur point de rencontre (Concours géuénil, 186X}.

El, S*. Soient deui paraboles P,, P| ayant toutes deux pour Toyer le point fixe 0, et pour axes les droites OX, OY perpendiculaires l'une sur l'autre ; menons i ces courbes une tangente commune qui loncbe Pi en Hi , et Pi en X,; prenonsle milieu M delà portion H, M). On demande le lieu du point H, lorsque'les paramètres des puft* boles varient de manière que la tangente commune H, H| passe toujours par un point fixe A (Ecole polytechnique, 1SS8).

Ex. U. Etant donné un rectangle et un point P dans le plan de ce rectangle, par le point P, on mène une droite quelconque PQ et l'on imagine les denx coniqnes qui passent par les sommets du rectangle et qui sont tangentes à la droite PQ. Soient E, E' les deux points de contact, et H le point milieu de EE'. Chercher l'équatioD du lieu décrit par le point M, qnand on fait tourner la droite PQ autour du point P (Ecole normale, tS69).

Ex. mt. On donne un triangle rectangle isocèle AOB et on demande : t* L'éqnation générale des paraboles P tangentes anx trois cAtés du triangle ; 3* L'équation de t'axe de l'une quelconque de ces paraboles; 3" L'éqaatioD et ta forme du tien des projeetions dn point 0, sommet de l'angle droit, sur les axes des paraboles P (Ecole polytechnique, 1869).

Ex. ttK. Étant donnés une ellipse A et un point P, on mène, par ce pointi des normales A l'ellipse A et l'on considère la conique B qui passe par le point P et le pied des quatres normales : 1° Trouver les coordonnées du centre de cette conique B et celles de ses royers ; S* Trouver le lieu C du centre et le lieu D des foyers de la conique B, lorsque l'ellipse A varie de manière b ce que ses Toyers restent Gxes; 3* Trouver le lieu des points d'intersection du Heu D et de ta droite OP, lorsque le point P décrit an cercle de rayon donné et ayant pour centre le centre 0 de l'ellipse A (Ecole normale, 1S73).

Ex. ftS. Étant donnés un triangle et un point H, on sait qne l'on peut généralement faire passer par ce point deux paraboles circonscrites au triangle. On demande de construire et de discuter le lieu des points H |)onr lesquels les axes des denx paraltoles correspondantes font un angle donné (Ecole polytechnique, 1874).

Ex. S«. Trouver te lieu des pieds des normales menées d'un point donné P à une série d'ellipses qui ont un sommet commun B, la même tangente en ce point, et telles ijue, pour chacune d'elles, le rapport de l'axe parallèle i la tangente commune au second axe soit égal à une constante donnée jI (Ecole normale, 187S).

Ex. BB. Trouver le lieu géométrique de l'intersection des deux normales, menées à la parabole aux denx extrémités de toutes les cordes dont les projections orthogonales sur une perpendicnlaire à l'axe ont même valeur. Que dire du cas où l'on fait tendre vers o celte valeur de la projection. Revenant au cas général, on se propose

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de meaer, par un point quelconque du lieu, trois normiles à le panbole (Emit poljteehnique, iffTS).

Bz. m». On donne deni aiei rectaDgalaires On «t Oy irec une psnilèle Àx i Tut des y qui intercepte sur Os un segment OA c^ o. M étant un point quelconque du fiât, OD leprqette en D sur Az, et l'on mène OH qui coupe Az en fi; enfin on tire, pif le poÏDt B, aoe pirallàle i Ox qui coupe OD en H'. Trouver le lieu décrit par le peint V, quand le point H décrit un cercle donné ayant sou centre sur l'aie des x.

Ex. ••. TrooTer te lieu iee sommets des angles droits dont les cfiés sont nonaaai i l'ellipse. Eiaminer le eu de la parabole et de l'hyperbolB.

Ez.Sl. Etant donnée une ellipse fiie et un cercle dont le centre eal fixe elle nj«ii variable, trouver le lien du point milieu de la corde commune.

Ex. •>, Par un point H d'une ellipse, on mène les rayons vecteurs HF, MF' ànà que la normale HP ; trouver le lieu des pointe P tels que HP* = HF X MF'.

Ex. •■. Une droite de longueur constante s'appuie sur ud cercle et une droite fiia; chercher te lien du milieu de cette droite.

Ex. •<. Déterminer le lieu des points pour lesquels la somme des carrés des noivabt meoécs i une conique fixe soit égale à une eonstanle donnée.

Ez. ••. On donne une ellipse et une droite fixes j quel sara le lieu des points tels que les tangentes menées à l'ellipse de chacun d'eux interceptent sur la droite fiieniK longueur constante ?

Ex. ••. Trouver le lien des centres de gravité des triungtes équiletéraux fbnnés par trois normales à la parabole.

Ez. St. Etant donnés un cercle et une droite fixes, on décrit un second cerde lynit son centre eu un point quelconque de la droite, et coupant orthogonalement le cetdc donsé; déterminer le lieu des poinli qui ont même polaire par rapport lax deai

Ex. ••. Un triangle* pour sommets les deux foyers d'une elhpse et un point qaelcMique de la courbe; trouver les lieux géométriques du centre de gravité du triangle, <b centre du cercle circooscrit, du point de concours des hauteurs, ainsi que renTelq>|K de ta droite qui renferment ces trois points.

Ex. ■•. Sur les tangentes à une ellipse, on porte, i partir de leur pcnnt de cooUct, une longueur égale à celle du diamètre parallèle ; quel sera le lieu des eitrémîléi di tel droites f

Ex. «•. Une ellipse donnée se meut à l'intérieur d'une parabole fixe de maniire • toucher cette parabole en deux points. Trouver le lieu décrit par le centre de l'ellipte (t l'enveloppe de la droite qui passe par les points de contact.

Ex. 91. Trouver le lieu des pieds des normales menées d'un point fixe : 1° A lautes les paraboles qui passent par trois pointe donnés; 3* A toutes les coniques qui pssKiit par quatre points donnés.

Ex. ••. Lorsque les médianes d'un triangle inscrit dans une ellipse se coupent ni centre de la conrbe, le lien du point de concours des hauteurs est une ellipse tangtoie > U développée.

Ex. «S, On donne une ellipse ; trouver : (" Le lieu des milieux des cordes nonoilcsi 2* Le lieu des pôles de ces normales.

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Ex. 94. EUnt donitëM dani an plan deni panboles, on les bit tourner antonr de lenn Mmroets ni^iosét fixes de nuDière que, dins chteune de leurs partions, leurs qnatre pwnU d'inleriectiDii mieni sur une drcouEérence ; trooTer le lien drx centre de Mtte drcoliHreiKe.

Ex. ts. On an^e ■ son Momtet en un point A d'une conique et ses cât^s AB et AC sont également inclinés aur la tangente en A; la droite BC, qui joint les points d'intersectioD des eot^ arec la conique, coupe la tangente en A au point M indépendant de ta valiar da l'angle; tronver le lieu du point H, quand le point A décrit la conique.

£k. 9fl. Une eBipse de grandeur constante est mobile auloar de son centre C, tandis qu'une droite passant par un point Gxe O demeure constamment parallèle au grand aiej trooTcr le lien des points d'intersection de la droite et de l'ellipse.

Lorsqu'une équation définit ane conique à centre assujettie à quatre conditions géométriques simples, on une parsbole assujettie à trois ' conditions, elle doit encore renfermer un paramétre arbitraire; en faisant varier ce dernier, on obtient an système de courbes du second ordre qui satisfont aux conditions données. On peut se proposer, dans ce cas, de déterminer le lieu géométrique des centres, des foyers, des sommets de toutes les coniques de la série, ainsi que des points de contact des tangentes menées par un point fixe, etc. On conçoit, sans peine, que de là dérivent un grand nombre de lieux géométriques à déterminer, parmi lesquels nous indiquerons ceux qui suivent.

El. t«. Lieu des sommets des hyperboles qui ont une asymptote et on foyer eommans (Ecole polytechnique, iSi»).

Ex. ta. LieudesfoyersdesnanbolesquiontlemêmesommetAetlamémetangente HT.

Ex. 9*. Lieu des centres des hyperboles équilatères ayant un point commun P, une tangente coramane avec le point de contact donné sar la tangente; discuter le lieu soirant la position du point P. {Ecole normale, 166S).

Ex. ••. Lieu des foyers des coniques qui ont une directrice et un point communs-

Ei. •!. Lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux cercles tangents à une droite

Et. «a. Etant donnés un cercle et un point dans son intérieur, on imagine que, sur chacun des diamètres de ce cercle, on décrive une ellipse qui ail ce diamètre pour grand ■le et qui passe par le point donné; on demande : 1' L'équation générale de ces ellipses; 1* Le lieu géométrique de leurs foyers ; 3> Le lieu des extrémités de leurs petits axes (Concours général, IM9).

Ex. ma. Lien des foyers des hyperboles qui ont une asymptote et un sonimel communs (Eccde polytechnique, 18W).

Ex.M. Annesnitad'ellipses ayant leurs lbyerseonununs,onmènedestaikgentes parallèles t une droite donnée; trouver le lieu des points de contBet(EcoIe polytechnique, 18J S).

Ex. SS. Lieu des loyers des paraboles égales inscrites dans te même angle droit (Ecole polytechnique, <8<8).

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