SM

Ex. ■•. Lieu d«s Mnuneti des hyperboles ayuit uns ujmptota wmnuuw et aie directrice eommune (Ecole polytechnique, 18i9].

El. •«. Trouver le lieu gëométriqae des sommets des coniques qui puseni jar deu poJDlg donnés et dont les aies aont parallèles et proportioDDeU à ceux d'une MOÎqK donnée (Ecole normale, 1863).

Ex. sa. On donne trois points A, B, C fixes ; par A, on mine une dioile AA'; 1* Trouver le lieu des points de contact des tangentes parallèles i AA' tonchaat les coniques passant par B et C, et tangentes en A à la droite AA'; ce lien est une cniqM; 2> Trouver le lieu des foyers de ces coniques, lorsque li drtnie AA' tourne antoor du point A (Ecole Dormaie, 18H).

Ex. ••. Démontrer qoe les quatre points d'intersection de denx coniques qoelaaqiKS inscrites dans un rectangle donné sont les sommets d'un panlIélogranuDe dont les e6lcl sont parallèles i deux directions Gies; X* Trouver le lieu des points de contact det tangentes menées d'un point du plan à tontes les coniques inscrites dans un rectaagle donné, on bien des tangentes parallèles i une direction donnée; 3* Trouver le lien des points de toutes ces coniques où U tangente bit un angle donné avec le diamètre pi aboutit au point de contact (Concours général, 1866).

Ex. S*. Etant données deux droites rectangulaires AB et CD, on considên k* hyperboles asymptotes i la droite AB et tangentes à CD en un point P. Trouver ; !■ U lieu des foyers des hyperboles j 2* Le lieu du point d'intersection de la deniicBe asymptote et de la perpendiculaire abaissée du pointP sur la directrice; 3* Le Iteoda point de rencontre de cette deuxième assymptote et de la droite qui joint le foy w m poiM d'intersection 0 des deux droites données (Ecole normale, 1867).

Ex.aa. Etant donnés no triangle BOA rectangle en 0 et une droite D,anpn>pMe: f* De former Téquation générale des hyperboles éqnilatères circonscrites an triangle BOA; i* De calculer l'équation du lien L des points où ces différentes byperiwles Mt pour tangentes des parallèles à D; 3* D'examiner les différentes formes du lien L correspondantes aux diSérentes directions de la droite D (Ecole polytechnique, 1867).

Ex. M. On donne un cercle et un point A, et l'on demande le lieu des centra de* hyperboles équiUtères assujetties à passer par le point donné A et i toucber endrai points le cercle donné. On discutera la conrbe obtenue pour les différentes positionsdi point A, et l'on démontrera que, dans le cas général, les points de contact des tangentes qu'on peut mener an lieu par le point A sont situés snr une circonférence de cerde (Ecole polytechnique, 1873).

Ex. ••■ Par les trois sommets d'un triangle rectangle, on hit passer des pandnlt*; on mène, i ces paraboles, des tangentes parallèles k l'hypothénuse du triangle danoéi 1* On demande le lieu des points de contact; S* Le lieu cherché est nne conique qui coupe chacune des paraboles en quatre points; on demande le lieu décrit par le centre de gravité du triangle formé par les sécantes communes qui ne passent pas par Pvigiiie (Ecole normale, 1874).

Ex. »é. Trouver le lieu du centre d'une dlipse d'une grandeur constante dont k périmètre paue par un point fixe, et dont l'axe focal passe par un autre point fixe.

Ex. ••. Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point P rai eonîqw passant par quatre points.

D,gnz.dbvC00gle

Ex. ••. Trouver te lien du centre d'une ellipse d'aire cwuUnte circonscrite è un

El. M. Trouver : 1° L'équation du lieu des sommets des paraboles inscrites à un triangle rectangle ; S* L'équation du lieu des pieds des normales issues du sommet de i'iDgle droit j 3° L'équation du lieu des seconds points de rencontre de ces normales avec las paraboles.

Ex. ffs. Lien des pieds des normales menées d'an point fiie à une série d'ellipses tomothétiques et concentriques.

El. M. On donne un triangle ABC et une ellipse qui a pour foyers les points B et C ; trouver le lieu des seconds foyers des ellipses inscrites au triangle ABC et dont un foyer est SDT l'ellipse donnée.

Ex. !••. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point fixe au hyperboles équilatères tangentes aux trois côtés d'un triangle donné.

Ex. «•■. On donne deux points 0, A, el l'on considère toutes les paraboles qui ont le point 0 pour sommet et qui passent par !e peint A. On demande: 1° Le lieu du point de concours de la normale au sommet 0 et de la tangente en A ; S* Le lieu du ptHut de concours des tangentes au sommet 0 et au point A ; 3° Le lieu du jwint de concours de la tangente au sommet 0 et de la normale en A; i" Le lieu du point de concours des normales au somme! 0 et au point A. (Ecole centrale, 1876).

Ex. fl«a. On considère toutes les coniques circonscrites à un triangle ABC rectangle en A, et telles que tes tangentes en Bel C à ces eoniques aillent se cooper sur la hauteur dn Iriangle : On demande : l' Le lieu du point de concours des normales en B et C & ces coniques; S* Le lien des centres de ces coniques; ou distinguera les points du lieu qui sont des centres des ellipses de ceux qui sont des centres des hyperboles; 3° Le lieu des pôles d'une droite quelconque D; ce lieu est une conique; on considère toutes les droites D pour lesquelles cette conique est une parabole et l'on demande le lieu des projections du point A sur ces droites. (Ecole normale supérieure, 1877).

Ex. «•>. 1° Ecrire l'équation générale des paraboles passant par deux points donnés A et B et dont les diamètres ont une direction donnée ; 2° Donner l'expression des coordonnées du sommet et du foyer de ces paraboles ; 3° On mène k chaque par«bcle tme tangente perdendiculaire i la droite AB ; trouver le lieu des points de contact et construire le lieu. Notation : AB étant prise pour axe des y et une perpendiculaire pour axe de* b, 00 fera AB^aa, en appelant m le coefficient angtdaire de la direction donnée d«s diamètres. (Ecole centrale 1880).

Ex. <•«, Soient H et N les pointa oii l'axe des x rencontre le cercle x' + y*^**; considérons une quelconque des hyperboles équilatères qui passent par les points H et N ; menons par un point Q pris arbitrairement sur le cercle des tangentes 1 l'hyperbole. Soient A et B les points ou le cercle ccupe la droite des points de contact. Démontrer que, des deux droites QA et QB l'une est parallèle à une direction fixe et l'autre passe par un point fixe P. Le point P étant donné, l'hyperbole eorrespondanle qui passe par les points H et r< est déterminée; on construira géométriquement son centre, ses asymptotes, ses sommets. Si le point P décrit une droite y := z, quel est le lieu décrit par le foyer de l'hyperbole ? On déterminera son équation et on le construira. (Ecole polylechuiqne, 1880).