CHAPITRE X
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES
Méthode de la notatloii abrégée.
SoNNAïu. — Dit tirantt* communiM a«z ueliont tontquei. Signi/ieatioit det èfwfini S — JlS' = 0, S — iAV =o. S— iA*=a Théorémei divgri qui iéeoulrnt de en équation», ~ Dr* poinU ds emuonrl da langenlti commun'i m pointi MiMiWu. Propriélù de eu poinU gui ritullml dtt ^qauliout S — iS' ^ o, S — *AA' = o, S — k\* := O, torique S, A «1 A' $oni dri fonction* de* coordonnée* h ri e.
tS9. Après HvoirdémoQtré les propriétés principales dccbaque courbe du second ordre au moyen de son équation pour une origine et un système d'axes particuliers, nous allons reprendre l'équation générale dn second degré qui renferme ces trois lignes et en déduire des propriétés communes aux seelions coniques. Nous ferons connaître successiTcmeal les méthodes analytiques les plus importantes qui ont ëtc employées iv« suecès dans l'étude de ces courbes, en insistant spécialement sur le bol et l'utilité de chacune d'elles, sans vouloir accumuler k plaisir les théorèmes nombreux qui peuvent s'en déduire.
Nous e^iposeroDS, dans ce chapitre, la méthode des notations abrègm. Elle consiste à représenter par une seule lettre le premier membre <ic l'éqtiation du premier et du second degré, de sorte que les sections cooiqaes et les droites qui entrent dans une figure ont des équations de U forme
S— JtS' = o, S — kAB = o....,
D,gnz.dbvC00gle
dans lesquelles
S = Ay» + zBxy + Ca:' + îDy + aEi + F, S' = A'y* + iB'xy + Ci» + 20"^ + aE'a: + F', A = OiX + bii) + Cj, B = BiX 4~ 6iy + c», et i un paramètre arbitraire. On peut aussi prendre ces mêmes fonctions rendues liomogènes par rapport & x, y, z. Mous allons employer ces équations abrégées pour étudier les propriétés des sécantes et des tangentes communes à deux sections coniques, et en déduire avec fecililé plusieurs théorèmes remarquables.
S 1. SËUNTBS COHIIUIIBS DES COHIQtlBS.
9SS. Considérons d'abord le système de deux coniques S = o. S' = o.
On sait que l'élimination de y entre ces équations du second degré conduit, en général, h une équation du quatrième degré en x dont les racines seront les abcisses des points communs aux deux courbes; en admettant que ces points peuvent être réels, imaginaires ou coïncidents en même temps que les racines, on a cette proposition générale : Deux coniques âtuéei d'une manière quelconque dans unplan te rencontrent en quatre point».
En réunissant ces points deux k deux, on obtient trois couples de droites passant par leurs points communs, c'esl-ii-dire, trois couples de sécantes communes. On donne quelquefois le nom de sécantes communes conjuguées aux droites de chaque couple et celui de centre à leur point d'intersection.
Lorsque l'équation en z admet quatre racines réelles, on a aussi {fy. 84) trois couples A et A', B et B', C et C de sécantes communes réelles; si toutes les racines sont imaginaires, elles forment deux groupes de quantités imaginaires conjuguées, et les droites qui réunissent les points de chaque groupe sont encore réelles; les autres sécantes sont imaginaires parce qu'elles proviennent de la jonction de points imaginaires non conjugués; enfin, dans le cas de deux racines réelles et de deux racines imaginaires conjuguées, on a encore deux droites réelles qui leur correspondent. Par conséquent, quelle que soit la potition de deux coniques, if existe toi^ourt un couple de sécantes communes que l'on peut construà-e.
D,gnz.dbvC00gle
4K4. La détermiaation des couples de sécantes communes et, pu suite, celle des points d'intersection de deux coniques dépend d'une équation du traisïème degré que nous allons faire connaître. L'équition
S — fcS' = o, où k eti arbitraire, définit un faùeeau de coniques passant par les prantt d'intersection de 5 et de S' ; car les coordonnées de ces points anaDlant à la fois S et S' satisfont h l'équation quel que soit k. Or, chaque couple de sécantes communes passant par ces mêmes points constitue une cooiqae du système correspondant & une valeur de it pour laquelle S — iS' se décompose en deux facteurs linéaires : ce qui exi^e que le discriminanl de cette fonction soit nul. Prenons pour S et S' les équations bomogèaes S = (n i»' + a^y' + ai,2* + 2aitxy + zaïtxz 4- 2attyz = o, S' = o'ni* 4" tt'iiy' + o'nii* + aa'iiiy + za'nxz + la'uyt = o, il viendra
S— ftS'=(a„— fta't.)x'+(a„— fca'«)y*+(o„— fto'iOi'+2(a..-t«i'it)iS +2{aii — ka\t)xz-\-2(an — ka'n)yz=o.
Cette équation définira deux droites avec la condition — ka'ii, Oit — Ao'ii, ott — fca'ii
Désignons par e déterminants
- ha't,, o» — ia'tt, On — ka'u -ka'ai, att — ka'it, a» — io'ji x' les discriminants de S et de S',
oii an ait o» oii au Oit ail «Il
s'il (
L'équation (A) provient de a = o en remplaçant chaque élément sînpk Ori par 0,1 — ka'„ ; si on développe par une formule connue, elle preodn la forme
(k) «-pJt + |3'A'-«'it» = o,
où le coefficient Ci est l'expression
a'nai I + a'ttan + a'iia.i + a'uai, + o'jiai» + a\tan i «Ml '<ii etc. désignent les dérivées premières de a par rapport i an,
D,gnz.dSvC00gle
0(1 etc. Le eoefficiait ^ se déduit de a' par le même ptocédi; il a peur valeur
Cette équation étant résolue, on aura trois valeurs de k pour lesquelles on peut poser
S — it,S' = AA',
-lt,S' = CC',
les facteurs des seconds membres étant linéaires; par suite A et A', fi et B', C etC seront les trois couples de sécantes communes. La position respective des coniques dépend de ces droites, et, par conséquent, de la nature des racines de l'équation du troisième degré, il faudrait maintenant discuter tous les cas qui peuvent se présenter. Or, l'équation en k jouit de cette propriété que les cceflBcients qu'elle renferme sont des invariants; elle ne change pas et 'elle admet les mêmes racines quels que soient les axes auxquels on rapporte les coniques. Nous pouvons donc, afin de simplifier la discussion, prendre pour axes des coordonnées les deux sécantes réelles qui existent toujours. Les équations des coniques sont alors de la forme
S =■ btix' -+- 6iiy' + 6„i' + zbulfz + aftiix^ + a^toiy ^ o, S' == i(6tii' + fruy* + 6i»*'+ 26t,yi + zbitxz) -}- 2c,txy = o, ou bien, en posant t = i, Cn = A6'ii,
S^b,,x* + btty' + 2bitxy -{- 2bijX + *6ijy + 6m^o,
S'=»6iii* + 6*i5* + 2b',txy +2611x4- 26»iy + 6ii = o;
car, les courbes reucontreut les axes aux mêmes points et les équations
qui correspondent & y ^i o, x = o dans cliacune d'elles doivent être les
mêmes ; ce sont :
(fx) 61 ,x* + 46„x + 6(1 = o, 6.^' + afcity + 6» = o. La première donne les points communs des coniques sur l'axe des x, la seconde leurs points d'intersection sur l'axe des y. L'équation en k est alors
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Ole renferme nu facteur i — A et admet pour première racine i = i. Si on pose
i-jt '
elle devient, après la suppression du facteur
bu k- 6»
it' 6.. 6„
ou bien, en développant,
{k') b„k'* ~ 7b,tb»k' + bi,b*„ + 6„6'„ — b„b„b» = o : équation du second degré qui admet des racines réelles avec la eondilion
6'..6*« — 6«(6n6*« + b»b*,i — b„b„bit) > o e'est-ù-dire
Elle est vérifiée dans les deuK hypothèses suivantes : 6*1. —6,16,, >o, 6*,, — 6„6„>o; 6*11 — 6n6aj < o, 6»,s— 6„63, <o. Dans le premier cas les racines des équations (jj.) sont réelles et, dus le second, imaginaires. Donc, torique l'équation en k admet trou roatut réelles, tes coniquet se rencontrent en quatre pointé réels ou tn-qtutrt points imaginaires; ce sera ce dernier cas, si l'un des couples des sécantes communes est imaginaire.
Avec la condition
(6»,3 6„5„) (6«„ — 6«6„) < o l'équation (k') a des racines imaginaires ; pour qu'elle soit vérifiée il salSt que l'une des équations (ji) ait des racines imaginaires et l'aotre des racines réelles. Donc, lorsque f équation en k n'a qu'une racine réelle U* coniques se rencontrent en deux points réels et en deux points imaginairtt. Les racines de l'équation (k') sont égales avec la relation (6i„ 6, .6„) (6i„ 6„6„) = o ; elle est satisfaite si l'une des équations (u) admet une racine double ou encore si elles ont simultanément une racine double. On aurait eocore une racine double pour l'inconnue k, si la valeur k= i était racine de l'équation {k'); mais alors celle-ci admettant une racine infinie, le cocS-
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dent bst doit être nul; les deux courbes passent par l'origine et leur tangente commune en ce point est S,' =^ o ou bnx 4- ^n !/ ^ o. Ainsi, lorsque l'équation en k a deux racines égales les coniques sont doublement tangentes ou simplement tatyenles en un point avec deux autres points ^intersection réels ou imaginaires; c'est par l'examen des couples de sécantes communes qu'on peut juger de l'une ou de l'autre situation des courbes.
Enfin, dans le cas d'une racine triple qui est nécessairement réelle, l'équation (k') devant avoir deux racines infinies, on aurait k la fois : bn = o, bii6ii ^ o; ce qui a lieu dans les hypothèses suivantes : bu ^ o et 6ii = o ou 6ij := o et 6ii ^ o.
D'après les équations (fi) les coniques ont alors trois points d'intersety tion confondus avec l'origine; leur tangente commune est l'axe des xou l'axe des y. On peut encore satisfaire aux conditions d'une racine tnple en posant simultanément
611^0, 6(3 = 0, 6« = o; dans ce cas, les équations (p) indiquent que les quatre points communs coïncident avec l'origine. Donc, lorsque l'équation en k admet une racine triple, les coniqu&t ont trois ou quatre points d'intersection réels cmneidents; dans le premier cas, on dit que les coniques ont un contact du second ordre et, dans le deuxième, un contact du troisième ordre.
Comme point de départ de cette discussion, nous avons admis que les sécantes communes prises pouraxos des coordonnées se rencontrent; les résnltats énoncés étant vrais quelle que soit la position de leur point d'intersection, on peut admettre qu'il en est encore ainsi lorsque ce point est k l'infini et que les deux sécantes sont parallèles. Cette remarque est nécessaire pour légitimer la dernière conclusion relative aux coniques ayant bu contact du troisième ordre; il n'y a plus, dans ce cas, qu'une séesnte commune double, la tangente commune aux courbes.
Remirqoe. On retrouve la même équation du troisième degré en cherchant les points du plan qui ont même polaire par rapport à toutes les coniques du système S — kS' = o; car, si on désigne par S,, S,, S,, S',, S'„ S', les dérivées de S et de S' par rapport aux variables, la polaire d'un point (x*, y', z') est représentée par l'équation
HS„ - *S'„) +y(S„ - ASV) + «(S^ — AS'.,) = o ;
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ce sera une droite fixe, si l'oa a :
S„ = te',„ S„ = BV. 8,,=. te'.,.
Or, en remplaçant les dérivées par leurs valeurs pour éliminer ensnite x', y', z' on trouve que I doit satisfoire i l'équation du Iroisième degré en k. Les points qui coirespondeut aux racines seront les sominets d'un triangle conjugué au faisceau de coniques; il doit coïncider (N* 188) avet le triangle des points d'intersection des couples de sécantes communes.
%a. Supposons, maintenant, que les sections coniques S et S' se coupent en quatre points réels, et soient
A = o, B = o, C = o, A' = o, B' = o, C' = o, les équations des cordes communes réelles. Les équations S — AAA' = o, (3) S — *BB' = o,
S — JtCC'=o,
rig. M.
représentent une infinité de coniques qui passent par les mêmes pobts d'intersection que les coniques données S et S'.
En effet, l'une d'elles, par exemple S — kkA' = o, est satîshite en posant A =: o et S =' o. A' = o et S =: o ; donc une coniqae quelomque de cette équation passe par les points d'intersection des droites A et A' avec S, c'est-à-dire par les points d'intersection de S et de S'. Les deui autres ont évidemment la même signification.
Supposons que les cordes A et A' coïncident ; alors les points d*inte^ section se confondent deux à deux et l'équation S — t AA' = o devienl
(4) S — JtA' = o,
qui représentera ane conique quelconque doublement tangente 1 li conique S, A = o étant la droite des contacts. Dans le cas particulier où la courbe S se réduit & l'ensemble de deux droites P-Q = o, l'équatîoa
PQ — AA' = o représenterait une conique tangente aux droites P et Q aux points ti àia sont rencontrées par la droite A.
Enfin, posons A' ^ 1 ; l'équation
(5) S — ltA = o
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représentera une conique quelconque homothëtique k la proposée ; car les coefiGcienta des termes du second degrë sont les mêmes que dans l'équation S = o, et, par suite, toute conique. donnée par (5) est semblable !i S et semblablement placée (N° 170). Or, cette équation peut se mettre sous la forme
S(o.x+o.y + ft)A = o; en l'interprétant comme l'équation S — kKA' = o, la conique qu'elle représente doit passer par les points où les droites o-x-\-o-y + k'=o, et A = o rencontrent la courbe S; comme la première est une droite située à l'infini, il en résulte que deux coniques homothéUques quelconques ont deux points communs h l'infini.
CoroUcùre 1. Deux coniques homolhétiquei et wncentriquei ont un double coRlacl êur la droiu située d l'infini. En eiïet, considérons l'équation
les termes du second et du premier degré sont les mêmes que dans l'équation S = o; donc, quel que soit le paramètre k, toute conique de l'équation (6) est homothétique et concentrique avec la proposée S. Hais, si on écrit
S — jt(o .a; + o-y-4-i)' = o, Q est visible que cette équation est un cas particulier de S — kK* ^= o, et qu'elle représente des coniques doublement tangentes à S suivant la droite située & l'infini.
Corollaire 3. Tous les cercles étant des courbes semblables, on doit regarder deux cercles quelconques comme ayant une sécante commune à l'infini; s'ils sont concentriqueê, ils ont un double contact sur la droite àl'iiifini.
të9. L'équation S — AAA' ^ o conduit à quelques théorèmes remarquables. Supposons que la conique donnée S soit le cercle de l'équation (x — o)' + (y — 6)* — 7 r' = o ; S représente le carré de la tangente menée d'un point (x, y) au cercle S = q; d'un autre côté A et A' sont proportionnels aux perpendiculaires abaissées d'un point [x, y) du plan sur les droites A = o, A' = o. On a donc ce théorème :
Le carré de la tangentu menée tfim point i^une conique à un cercle qudeonque eat au produit des distances de ce point â deux aéeanteg commune* dans un ra^ort constata.
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Réciproquement, le lieu d'un point tel que le earri de la tonale iiiw de ce point à un cercle fixe est dont un rapport constant avec le pndul de ses diêtancet à deux droites fixe», est une section corâque tiuipautfv le» point» d'intersection des droites acec le cercle ; car S = o et A = o, A' = o étant les équations du cercle et des droites fixes, le lieu ■ nu équation de la forme S — AAA' = o.
Ce théorème est indépendant de la grandeur du cercle et de la luluie de ses points d'intersection avec les droites; dans le cas particulier où le cercle se réduit à un point, on peut l'énoncer aiasi : Le lieu (fm poml tel que le carré de sa distance à un point fixe est dans un ri^aport comtont avec le produit de ses dislances d deux droites fixes est une section eomqvt.
957. Dans l'hypothèse où la conique donnée S est un cercle, l'équt- UoD S — *A' = o représente une conique doublement tangente au cerde suivant la droite A. On en déduit ce théorème : Lorsqu'une conique ■ trn double contact avec un cercle fixe, la tangente menée d'un point it h conique au cercle est dans un rapport constant avec la distance de et point d la corde des contacts.
Réciproquement, le lieu d'un point, tel que la tangente menée de ce point à un cercle fixe est dans un rt^tport constant avec sa distance à «M droite fixe, est une section conique aj/ant tin double contact avec le cerde
mrôant cède r/f-oite,- car l'équation du lien est de la forme— = it,(n
S — ltA» = o.
Le théorème est vrai, si le cercle se réduit à uo point; supposons que ce point soit le foyer d'une section conique ; on retrouve cette notion importante que le foyer d'une courbe du second ordre peut être conàdéri comme un cercle de rayon nul qui touche la courbe en deux points wugiiuares situés sur la directrice.
%iH. Lorsque deux sections coniques sont doublanent tangentes d vm troisième, deux sécantes communes passent par le point dinterseetion an cordes de contact et forment avec ceUes-d un faisceau harmonique.
Deux coniques, qui ont un double contact avec la conique S = o, soat définies par les équations
(Si) S — *,A» = o, (*,) S — A,B«^o,
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A^=:o el B = o ëtant les cordes de contact. On en déduit par la sousstraction
fc.A* — AiB» = o, ou A = ±B\/ïî.
Cette éqnation est du premier degré et représente deux cordes communes aux coniques Ai et Si; sa fonne indique que ces droites passent par le point d'intersection des cordes de contact A et B, et qu'elles forment avec celles-ci un faisceau de quatre droites barmoniqucs.
9i9. Quand trot» secUona coniques ont une même sécante commune, Ut droites qui passent par les points (Tinlerseclion des courbes prises deux d deux passent par un même point.
Soit S^o l'une des coniques; les équations des deux autres sont de la forme
S — AAA' == o, S — it'AB' = o, et les cordes communes différentes de A des coniques prises deux à deux sont évidemment
A' = o, B' = o. AA' — A'B' = o.
Ce sont trois droites qui se coupent en un même point.
Corollaire i . Si, par deux points communs à deux coniques, on lire deux droites qui rencontrent la première aux poùits a, 6, et la seconde aux points c, d, les droites ab et cd se coupent sur une corde commune des deux courtes; car ces deux droites forment une conique qui a une même sécante commune avec les deux autres.
Corollaire S. Par les points a, 6, pris sur une conique S{fig. 8S), on mène deux systèmes de droites oc et bd,af et be; la conique S et ces systèmes de droites doivent être considérés comme trois sections coniques qui ont une même sécante commune abjCt, par suite, les autres cordes communes cd, ef et hk se coupent en un même point. Or, si on considère l'hexagone aedbefa inscrit dans la courbe, on voit que les points k, o, h, sont les points de concours des cdtes opposés ac et 6e, cd et ef, db et fa; on a donc ce théorème : Les points de rencontre des côtés opposés d'un kexa- *"''■ *"■
gone inscrit dans une conique sont en ligne droite.
- su -
949. Étant donnée» trots coniques S, s,, Si, si A et A', B <( ff tout respectivement deux sécantes commune* conjuguées de S et ii, S «I *i, les points d'intersection des coniques s, et Si et les sommets du quadriiatère AA'BB' sont huit points d'une mime conique.
Ed effet, les équations des trois coniques sont de la forme
S = o, (s,) S " t,AA' = o, (st) S — MB' = o.
En retranchant les deux dernières membre à membre, on trouve ft.AA' — it,BB' = 0.
Cette équation est du second degré; comme elle provient de [s,) et de (si), elle représente une courbe du second ordre qui passe par les points d'intersection des coniques s, et st ; de plus, la forme de l'équation indique que cette même courbe est circonscrite au quadrilatère AA'BB'.
Corollaire. St l'une des coniques si ou St, par exemple si, est doublement tangente d S suivant ta droite A, leurs points d'intersection appartiennent à une conique tangente aux cordes B e< B' aux points où Ut sécantes sont rencontrées par ta droite A } car, dans cette hypothèse, les équations des coiiiques s, et <t sont
S — A,A' = o, S — AiBB' = o, et, par la soustraction, il vient
ft.BB' — A|A' = o :
équation qui représente une courbe du second degré qui passe par 1» points d'intersection de S| et s, et qui est tangente à B et B' suivant la droite A.
9S1. Onatrois coniques S,St,S); si on mèTie une conique ^ par les points d'intersection de S et Si , une conique st par les points d'intersection de S et Si, les points communs à s, et à si sont sur une conique qui passe par les points d'intersection de S| et St.
Les équations des coniques «■ et St sont de la forme
(gi) S — Jt,S, =o, («,) S — A,Si = o; on en déduit, par soustraction,
AiS, — itiS, = o.
Cette équation représente une courbe du second ordre; elle est satisfaite par les coordonnées des points d'intersection de Si et st, ainsi que
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par cdles des points d'intersection des coniques Si et St ; ce qui démontre le théorème .
ISS. ^lanl données troit coniques S ^ o, S| = o, S — JbSi = o qui ont Us mêmes sécantes communes et une conique quelconque s = o, on mène deux coniques s, et S| dotU la première passe par les points d'intersection de sets, h seconde par les points iTintersection de s et S,: les quatre points d'intersection de Si et st et ceux de s et S — ASi «ont huit points d'une m^me conique.
En effet, les équations des deux coniques >■ et St peuvent s'écrire (Si) S — A,« = o, {»») S( — ktB = o.
Si on les retranche membre à membre après avoir multiplié la seconde par it, il vient
S-kS, — (k,—kkt)s = o:
équation qui représente une courbe du second de^ qui passe à la Toia par les points communs de s, et de si , et par les points d'intersection des coniques S — kSt et s ; donc le théorème est démontré.
Les trois derniers théorèmes offrent une grande généralité; on peut en déduire une foule d'autres en supposant que l'une des coniques se réduise, soit à deux droites, soit à un cercle, etc.O). Nous engageons les élèves h s'exercer en cherchant les énoncés de ces différents théorèmes.
%99, Étant donnés cinq points d'une conique, on en prend quatre pour les sommet» d'un quadriialére el l'on mène par le cinquième deux droites quelconques, la première rencontrant deux côtés opposés en deux points, la seconde rencontrant les autres calés aussi en deux points i ks droites qui joignent ces points combinés deux à deux forment avec chaque groupe de côtés opposés deux quadrilatères tels que leurs diagonales se rencontrent sur la conique. (Càenoy).
Nous avons donné ailleurs ce théorème avec les nombreuses conséquences qui en découlent {Annales de la Société scientifique de Bruxelles 1879-80). Depuis, nous avons trouvé qu'on peut le démontrer en suivant la même marche qu'au N" 261. Soient D et E, F et G les côtés opposés d'un quadrilatère et A, Bdeux droites quelconques; les équations {Si) AB — /DE==o, («,) AB — AFG = o,
(1) Traiti du wetwM wniqtiti, pir Cbàilu, Psrii, ISOH.
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mmets des quadrililém
— 33fi —
représentent deux coniques passant par les i ABDE, ABFG.
On en tire, par soustraction,
/DE— itFG = o;' par suite, les points d'intersection des courbes («<), (s,) appartienneot à une conique circonscrite au quadrilatère DEFG, quelles que soieut les valeurs de / et de k. Nous appellerons diagonales de chaque qnadriUtère les deux droites qui le complètent; la propriété précédente aara encoie lieu si les coniques (s,), («>) se réduisent aux diagonales des quadrilatères ABDE, ABFG.
Supposons, maintenant, que les sommets do quadrilatère DEFG soleol situés sur une conique dfterminéc ; menons, par un diiquième point H de la courbe, deux droites quelconques (fig. 86), l'une rencontrant les câtés opposés D et E en I A^, l'autre les côtés F et G en i' et 4', Prenons pour les droites A et B les lignes 11' et 44'; elles forment respect! vemeal avec D et E, F et G les quadrilatères 1234, tV3'4'*y^' pour diagonales 14 et 23, iV et 2'3'; or, les deux premières 14, 1*4' se coupent en un point H de la conique ciri„. w. conscrite k DEPG; comme il
n'existe qu'une courbe du second ordre passant par cinq points, In autres points d'intersection a,, a,, «3 des diagonales appartiendront i li même courbe. Il est facile de vériGer que l'on peut encore prendre pour A et B les droites 14' et 1*4; doue le théorème est démontré.
Lorsqu'une conique est déterminée par cinq points, te théorème précédent permet de construire chaque fois trois points de la courbe, en variant la direction des droites préalables menées par le cinquièoK point.
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Il conduit aussi i une relation entre six points d'une conique en fiiisant abstraction, dsns la figure, des points «i et «> pour ne conserver que les points H, a, et les sommets du quadrilatère. La corde H«ci rencontrant les cdtés opposes F et G aux (Kiints i' et 4', on prend sur les autres cdl^s D et E les points 2 et 4 en ligne droite avec 4'; on voit que les droites zeci, et 4H rencontrent les mêmes cAtés en deux points 3 et r en ligne droite avec i'. De même, si, par le point i', on mène une droite A qui rencontre les câtès D et E en I et 3, les lignes ^cn et iH, qui réunissent ces points aux extrémités de la corde, rencontrent les mêmes côtés aux points 2 et 4 en ligne droite avec 4'. Il en résulte le théorème suivant : Étant donnés SUE pointé (fune ronique^ on en prend quatre pour Us sommets d'un quadrUalire et on déttrmine les points où la cordf des points restants rencontre deux côtés oppotét ; les droites menées par devx poirOs pris sur les auh-et côtés en ligne droite avec tun d'eux et par les extrémités de la corde rencontrent ces mêmes côtés en deux points en ligne droite avec Cautre.
Ce théorème est différent de celui de Ptiscal, car il n'y a pas d'hexagone inscrit dans la figure; il est général et donne aussi une construc-
tion très simple du sixième point d'une conique. Supposons, en edct, qu'il s'agisse de construire la conique définie par les points i, 2, 3, +> 5 (fis- 87). On prendra le quadrilatère 1234 et l'on mènera d'abord par le point 5 une droite rencontrant les côtés opposés F et G aux points fet g. On tire ensuite par / une droite quelconque rencontrant les côtés
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opposJsDetEauT points*/ et e; on joint 65 pour déterminer le point t; la droite kg déterminera sur G le point h; enfin la droite dh ira coaper li ligne menée préalablement par 5 en un point 6 tgti appartiendra à la courbe.
ThéorèmM et «xendoM.
Ex. a. Lorsque trois coniques sont donblemeat (ingénies à une qnitrième, lu lit cordes eommiines, qui se coupent sur les cwdcs de contact, passent trois 1 trois pu m même point,
Ttoû coniques donblemenl tangentes à une coniqae S = o ont des équIioDl de b
S-*à*=o, S — i'B'so. S — *"(? = o. On «n dJdait pour tes sécantes et
y/F, A=±cy/ï:, « = ±cy^.
En prenant trois signes + on deux signes — et un signe -|-, on obtient .qnatKSfitima* de trois droites passant par un même point.
Ex. a. Si plusieurs coniques passent pv deux points Gies et sont doublement Uagentes i aue conique donnée, les cordes ds conticl concourent en un point de la ligH des points fixes.
El. M. Si trois coniques sont tangentes k une droite au même point, les iniut qui pissent par leurs points d'intersection se coupent en nn même point.
CeUe droite peut être considérée comme une sécante eommune ins seclioDI etniques (N*aig}.
El. a. On a deux coniques i|, *■, qui touchent une droite T au même point etqni se conpent en deux autrei points i et 2 ; par ces derniers ou lire deux droites qui reOMiitrentvien a, fi, et it en s', fi'; les droites, afi et s'^' concourent sar la droite T.
C'est une conséquence dn N* 2tf9.
Ex. S. Quand deux coniques sont inscrites dans an angle, deux sécantes codubums passent par le pnnl d'intersection des cordes de contact.
Soient A ^Oj B =£0, les cétês de l'angle; les deux coniques inscrites ont pour équations
AB 4C» = o, AB-*'C"=o C =s 0 et C ^ o étant les cordes de contact. Il vient, par la soostnctioB,
kC* — k'C'* = o, équation qui représente deux droites passant par les points d'inlersectîoa de C et C.
Ex. ■. Le produit des distances d'un point quelconque d'une conique à deux ttngentes Gies est au carré de la distance de ce point à la corde de* coniaets dans lu rapport constant.
D,gnz.dbvC00gle
Ce tMorème est II tndnction de l'ëqiutioii AB — iC = o.
Sx. *. Deux droites A et A' reneontreot une conique S »xa points i, 2, 3i 4, et aae eoniqae S' im points i', 3', 3',4'i on mine une coniqneipu les quatre premiers ' points; une conique t* pu- les quilre intres; montrer qoe les points d'intersection de f et 1' sont sur une eoniqne pusint pir lei points d'intersectioii de S et S'.
Les coniques ( et ■' sont représentées par des éqnttions de la forme (t) AA' — *S=0, (»^ AA'~*'S' = 0.
Bd ralnUKhant membre i membre, il vient
Saneetc
Ex. •. On eoupe denx coniques S et S' pu- nne droite A ; les coniques 1 et ■', doublement Ungantes «ux premières suivant la droite A, se rencontrent en quatre points qni ■ppattiennent à une conique passant par les points communs de S et de S*.
Bn retranchent les équations des courbes a et «'qui sont delà forme *S— A»=o, t'S'-A* = o,
Donc elr.
Ex. •■ On mène une droite A qui rencontre les eouiques S et S', la première aux points K, fi, la seconde aux points ■', fi'; les tangentes T et T* à la conique S ani points K, fi rencontrent les tangenles ( et (' à la conique S' au points «', fi' en quatre points qni se ImuTent sur une même conique avec les point) d'intersection de S et 8'.
Car les coniques S et S' ont des équations de la forme
ITT — A'=;o, Jt'il' — A* = o;
Ex. !•. &ant donnes deux cercles C|, Ct et une conique quelconque S, on mène une eoniqae t,' qni passe par les points d'intersection de S arec C , une conique «■ qni passe par les points d'intersection de S avec Ci; montrer que les points d'iuter- MCtion des coniques *i etti se trouvent sur nn cercle passant par les points communs ■tu cercles donnés.
En elfet, les équations des coniques ii ei ii sont de la forme S — 4,C, = 0, S — ktC, = o, ett par ta sovsiraction, il vient
*iC,-irf,=o, équetioD qui représente un cercle.
Ce théorème pst général; il iera facile d'en modifier renoncé lorsque la conique S se rédailt deux droites différentes ou i deux droites qui coïncident,
Ex. ■ I. Quand une droite est nue corde commune à deux coniques, les polaires
D,gnz.dbvC00gle
- SiO —
1 point de cette corde se rencontrent sur Ii drnte infan. La réciproque est vnie.
El. 4 t. ËlanI doDDéei Irais coniques pasMQt par quatre points, si od mcDt,ie cfaïque poînl /i de l'une à deux points fixes 0 et 0', des droites qui rencontrent le deux antres coniques en a et a', b et A', on a la relation (Cuilu),
Ex. flS. ËttQt données quatre coniques ajtnt Tes mêmes points d'inti»seclîaa, eo mine aoe transversale qui rencontre les deux premières en ael a', fiet 6'; si >iel>M«l deux des points où elle rencontre I* troisième et la quatrième, montrer qae l'an ■ :
jâA • pjOÎ M ' **'
,116 ■ /iV nb ■ vf qoelle que soit la transversale (Cbuus).
Ex. 14. Les polaires d'an point Bie par rapport aux coniques PQ — kA*=0 concourent en un même point sur la corde des contacts. Le lien des pAles d'une draile fixe par rapport aux mêmes coniques est une droite.
Ex. K. Le rapport anharmonique de quatre points d'interseetion d'une tBit|enle variable i ane conique avec quatre tangentes Hxes est constant.
Ex. a*. Étant données les coniques S = 0, S'<=0 et II relation identique S — itS'^AB, montrer que l'ëquition
)'A« — ai tS ■»- »,S') + B" = 0, où i est arbitraire, définit un système de coniques doublement tangentes aux coaiqaa données S et S'.
Ex. 19. Que devient l'équation île l'exemple précédent, si les coniques donnéei uni deux cercles? Montrer qu'une conique doublement tangente i ces cercles eit le lien d» points dont la somme des distances aux cercles est constante, ces distances étairt comptées sur les tangentes ; de plus, les cordes de contact sont parallèles ■ Tue radical. Ces cercles sont appelés les cfrcU* fonavx de la conique.
Ex. flS. Lorsque deux coniques ont un double contact, tout point de la conle de contact a la même polaire dans les deux courbes.
Ex. !•. Deux coniques ayant un double contact, si on mène, par les points de contact, une conique quelconque, les cordes qu'elle intercepte dans les deux eonrbcs concourent en un point de la corde des contacts.
Ex. a*. Quand deux coniques ont un double contact, si on tire, par le pAle C de la corde de contact, une transverstla qui rencontre la première en a et •' et la «ecoodt en deux points dont l'un est A, on a lo^joun Co i^ Ca' ' M~
% 3. POINTS DB CONCOURS DBS T&nGBHTBS COMMDNES AUX SBCTIOHS COHISUBS.
M4. Considërons le système de deux sections coniqueB représentées en coordonnées tangeotielles par les équations
Au» + 2Bui> + Cv* -\- 2\iu 4- 2BiT + F = 0, A'it* + zB'uv + C'u* 4- 2D'm + 2E'i) + F' = 0.
Nous désignerons ces coniques par S et S', et, pour abréger, nous écrirons simplement au lieu des équations précédentes, (i) S = o. S' = o.
Si on élimine la variable u entre ces équations du second degré, on arrive en général à une équation du quatrième degré en v qai, résolue par rapport a cette coordonnée, donnera quatre racines réelles ou imaginaires, V|, V|, V), V,. Soient ui, Ui, ui tii les valeurs correspondantes de u; les droites réelles ou imaginaires (ui, V|), (ui, vt), {ut, v,), (u*, v*), sont les tangentes communes aux deux sections coniques. Ainsi, Jeux coni- ' qveê titvéat d'une manière quelconque dans unptan ont en général quatre tangentes commums.
Il en résulte que deux coniques ont en général six point* de concours des tangentes communes.
Afin d'abréger et de simplifier le discours, H. Chabu» emploie le mol ombilic pour désigner l'un quelconque des points de concours des tangentes communes. Nous ferons usage de cette expression à cause de la facilité qu'elle apporte dans l'énoncé des théorèmes.
VCS. L'équation du second degré
(2) S ~ AS' = o
où k est un paramètre variable, représente une conique quelconque inscrite au quadrilatère formé par les tangentes communes à S et S'; car elle est satisfaite par les valeurs de u et de v qnî annulent h la fois S et S'. Parmi toutes les coniques de l'équation (2), il y en a trois qui se réduisent k l'ensemble de deux points j ce sont les sommets opposés du quadrilatère circonscrit qu'on regarde comme étsnt les coniques limUts du système.
Pour les obtenir, il faut égaler k séro le discriminant de S — IcS'. On trouve ainsi Une équation du troisième degré en it qui, étant résolne.
donnera les valeurs ki, kt, kt pour lesquelles on pent poser :
S — k,S' = AA', S — JttS' = BB', S — ktS' = CC', les lacteurB des seconds membres étant du premier degré en n et p; pir suite A et A', B el B', C et G' seront les trois couples d'ombilics des coniques. Parmi ces systèmes, il y en a toujours un qui se compose de deux points r^els, même si les quatre tangentes communes sont imaginaires; car, dans ce cas, elles forment deux couples de droites imaginiim eonjuguëes el les droites de chaque couple se reocontrent en un point réel. La détermination des ombilics et celle des sécantes communes de dm coniques dépend de la même équation du troisième degré. Pour les deui coniques
aux* + o»»y' + ««2* + aoiiay + 2a,sxz + zoi^z = o, o'ita:* 4- a'«.y* + a'az* + ia'itxy + za'tixz -J- 2a'«,yj = o, on a l'équation en k (N* SSi)
a et a.' sont les discriminants et les coefficients ^ et |3' ont pour eipns-
sions
|3 = o'n«M + a' liai. + a'„a,i + 2o',)«,» + 2o',t«., + la'nan, ^' = ai,a'i, + 0!j3'j,+ a[ia'is + ïoiia'ii -(-2a(]«'is + zoiia'ti,
«11, «Il etc., a'it, a'i, etc., étant les premiers mineurs des déterminants
a et a'.
Les mêmes coniques sont représentées en coordonnées tangentielles par
S ^ «u»' + ûTj,»* + «»»«>' + SdCiiUV + 2aiiUW + XCluVK = o,
S' = a'ii«* + a'titï* + ct'MV»* + a«'itl*« + 2a'(iiiW + 3a'iitw = 0. Remplaçons pour un moment le paramétre k par k et égalons le discrîminant de S — AS' à zéro; en développant ensuite on obtient l'éqnalisD du troisième degré en A
a — bk-i-b'k* — o'A* = o; a et a' sont les discriminants de S et S' ou les déterminants rédpmqaes de a et «'; par suite, a = «', a' = et"; le coefficient b s'obtioit « œultip liant les coefficients de la conique S' par les premiers mineurs des; or, ceux-ci ayant pour valeurs a,iOL, ott^ etc., on a 6 = a (oiia'ti -|- <ht«'u + Oiia'u -)- 2aiia'it + 20tï«'ii + Zttnd'n) = «f '
D,gnz.dbvC00gle
de mime, 6' -^i o'^ ; en substituant, l'équatioD en h devient «« a&h + a'jSA' — «'W = o.
Or, en posant
on retrouve l'équation en k. Connaissant les racines k on en déduit immédiatement les racines h d'où dépendent les ombilics.
99%. Si, par deux points du plan A =; o, A' ^= o, on mène des tangentes k une conique S, l'équation
(3) S — AAA'=o
représentera une eoniquc quelconque inscrite dans le quadrilatère formé par ees tangentes. En efFet, elle est satisfaite en posant A =^ o et S ^ o, A'^ oet S :=o; donc, les tangentes à S qui sboutissent aux points A et A' sont aussi des tangentes ii une conique quelconque de l'équation (3).
Lorsque les points A et A' coïncident, il n'y a plus que deux tangentes et l'équation
{4) S — AA' = o
représentera une conique qui a les mêmes tangentes issues du point A que la conique S; c'est une conique doublement tangente à S suivant la polaire du point A.
Supposons que S soit égal à PQ, P et Q étant des facteurs du premier degré en u et V ; l'équation
PQ — AA' = o représentera une conique tangenteaux droitesqui joignent les points A=o et P=o, A=o et Q=:o, la droite des contacta ayant pour pdle le point A.
UT. Deuxieclions eoniquei s et s' doublement tangentes à wneconvive S ont deux ombiliea xitués lur ta droite des pilei dee cordée de contact, et forment avec cet derniers un syslème de quatre points harmoniquee-
En effet, les équations des coniques s et s' sont de la forme (s) S — *A' = o, («') S — A'A" = o, A = o, A' =: o, étant les équations des pôles des cordes de conlaet. On en déduit
D,„„.db,Coogle
Cette équation représente deux ombilics des conîqoes « et j*; on voit qu'ils divisent harmoniquemeot la distance des points A et A'.
tISS. Si troii coniques ont deux tangentes communes, Us poùtU dt eoneour* des autres tangente» communes aux toniques prises deux à deux sont en ligne droUe.
Les équations des trois coniques peuvent s'écrire
S = o, S — *AA' = o, S — A'AB' = o; il en résulte que les trois ombilics
A' = o, B' = 0, fcA' — it'B' = o sont sur une même droite.
Corollaire i . Étant donnés deux points situés sur Us tangentes communes d deux sections coniques S et S', on mène par ces points des tangentes à S qui se coupent en un point c, des tangentes à S' gui se coupent en un point p; la droite a(3 passe par le point de concourt des deux autres tangentes communes de S et de S'.
Car on doit considérer le système des deux points comme une conique ayant deux tangentes communes avec S et S'.
Corollaire 3. Supposons que l'nn prenne deux systèmes de points i et i,
3 ct4 sur deux tangentes ù une caniqueS;
par les points i et 2 on mène des langentes
à la conique qui se rencontrent au pointa;
par les points 3 et 4 des tangentes qui se
coupent au point |S, les points a et ^ aioâ
que le point d'intersection des droites 14,
23 seront en ligne droite. En efTet, les deui
systèmes de points etia conique doivent être
I considérés comme trois coniques ayant deux
l tangentes communes. Hais, si on remarque
'if- 8»- que l'hexagone i«24^3i est circonscrit à U
section conique, on a ce théorème : Les diagonale» d'un hexagone cv-
eonscrit à une conique se wupent en un même point.
>••. Étant données trois coniques S, S», Si, si, A =0 et A'=o u»t deux ombiiies conjugué» de S et S,, Bi=o a B'^o deux ombSiaconjuguét de S et St, Us droite» AB, AB', A'B, A'B' ainsi que te» tmgeitttt communes de S| et Si sonJ huit droîtea tangente» à une mime conique.
D,gnz.dbvC00gle
Les ^uations des coniques Si et Si étant de la forme
S — MA' = o, S — i,BB' = o, on ea tire par la soustraction
it.AA' — MB' = o.
Cette équation qui découle des précédentes représente une conique qui
doit avoir les mêmes tangentes communes que Si et Si; de plus, la forme
de l'équation indique que la même courbe est inscrite dans le quadrilatère
dont les sommets opposés sont A = o, A' = o ; B ^ o, B' = o.
9TO. Étant données troii coniques S, Si, Si, >t on mène une conique Si inêcriU dont le quadrâatère de» tangentes communes de S el Si, une conique st inscrite dans te quadrilatère des tangentes communes de S et S,, Us tangentes communes de Si et St, et celles de Si el Si sont huit tangentes d'une même conique.
Les deux coniques S| et s, sont représentées par les équations (s,) S — i,Si = o, (s,) S — ftiS, = o.
On en déduit
ft.S, — *,S, = o; c'est l'équaUon d'une conique qui touche à la fois les tangentes communes de s, et 4, et celles des coniques Si et S).
971. Étant données trois coniques inscrites dans un quadrilatère S = o. S, =7 o, S — AS| ^ o, el une conique quelconque s = Q, si on mène deux coniques si et s, dont ta première touche tes tangentes communes de s et S, la seconde les tangentes communes de s et S|, les tangentes communes de >t si St et celtes tte s et S — kS, sont huit tangentes d'une même conique.
Car les équations des coniques s, et St étant
S — Al* = o. Si — kiS = o, si on les retranche membre à membre après avoir multiplié la seconde par k, il vient
S — kSi — (k, — kk,)s = o.
Cette équation du second degré représente une conique qui touche les tangentes communes de (« et Si, ainsi que les tangentes communes des eoniques « et S — &S|.
D,gnz.dbvC00gle
9T9. Étant données cui^ tangentes d'une eonù/ue, on en prend fiudre pour former un quadrUatèrt et on choùit à volotUi deux pmnU tvr la cinquième tangente; on joint le premier à deux tommeti oppotéi et k fécond aux deux autres sommets du ^uadrUatère; deux points tintersection des droites ainsi obtenues et combinées deux â deux formemiX avec chaque groupe de sommets opposés deux quadrilatères tels que Us droites réunissant les points de concours des côtés opposés de l'un anc tes points analogues de l'autre seront des tangentes à la conique (Cunot).
Si, D =^ o et E ^ o, F ^ o et G =" o, sont les équations àts sommets opposés d'an quadrilatère, et AB = o deux points quelconques, les équatioas
(«,) AB — /DE = o, (»t) AB — *FG = o
définissent deux coniques inscrites dans les quadrilatères ABDE, ABFG et telles que leurs tangentes communes touchent la courbe de l'équation
/DE — JtFG = o,
quelles que soient les valeurs de / et de k. Lorsque les coniques (S() et(ii) se réduisent aux points de concours des cdtés opposés des quadrilatères ABDE, ABFG, les droites qui joignent ces points combinés deux i deui seront tangentes Ji la conique inscrite dans le quadrilatère DBFG.
Cela étant, supposons (fig. 89) que les côtés de ce dernier quadrilatère soient tangents & une conique déterminée. Menons, par les sommets opposés D et E deux droites qui se coupent en un point i d'une cinquième tangente; par les deux autres sommets, menons également deux droites qui se rencontrent en un point i' de la même tangente : deux points d'intersection A et B de ces droites combinées deux à dem forment avec chaque groupe de sommets opposés deux quadrilatères dout les points de concours des côtés opposés, pour le premier sont i et 2, et pour le second i' et 2'. Parmi les lignes qui les réunissent 11', 11', 21', 2a', le première est, par hypothèse, tangente k la courbe; donc les trois autres le seront aussi et le théorème est démontré. On pourrait encore employer les points d'intersection A' et fi' des droites aboutissant en I et i'; ce qui donnerait les tangentes 13', 31', 33'.
Quand une conique est définie par cinq tangentes, l'application de te théorème conduira chaque fois k trois tangentes nouvelles.
Considérons, pour un moment, les six tangentes composées des dttéi
D,gnz.dbvC00gle
du qnadrilatère et des droites ii', ai' qui se coupent en i'. Après avoir mené par les somoiets opposés G et F les droites Gi' et Fi' au point d'intersection des deux dernières tangentes, ainsi que, par les autres
sommets, les droites DA et EA qui se rencontrent sur Fi', on voit qne les lignes D2 el Ei se rencontrent sur Gi' au point B, i et 2 étant les points d'intersection des droites DA et EA avec les tangentes it' et 21'. D'où résulte le théorème suivant : Etant données six tangenla d'une conique, on en prend quatre pour former un quadrilatère et par deux sommets opposés oit tire deux droites passant par le point fititerseetion des deux autres; «1 on mène par les autres sommets deux droites qui se eoupent sur l'une belles, les lignes qui joignent ces mimes sommels aux points où cet droàes rencontrent les deux tangentes se couperont sur FaMrt,
D,gnz.dbvC00gle
Ce tb^orème, comme celui de Brianchon, permet de construire amplement une sixième tangente. En effet, DEPG étant le quadrilatère formé par quatre tangentes données, on mènera, (6$. 90) par les sommets
opposés F et G deux droites aboutissant en un point quelconque 0 de li cinquième tangente, et, par les autres sommets, deux droites se coupint en I sur FOj l'une de celles-ci, El, rencontre la cinquième tangenteeni; on joindra les points D et i pour déterminer le point K sur GO ; enfin U droite KE rencontrera DI en un point 2 qui appartiendra i la secoode tangente de la courbe passant par 0; car, d'après le théorème les droites Di et E2 doivent se couper sur GO, si les droites DI et El se coupent sur FO.
Théorémos et ezeroioea.
El. s . Loraqae trois coaiques sodI doublement Ungeote» à une qnitriime, lu !■> gCDtei comnitmes «e coupent Iroii i irais sur une même droite.
Ex. S. Si on eoDfidèrc loa les les coniques tangentes à deux droite* Sm et dunUemeot t«iigentes k une cooique donuëe, les points d'intersection de lenn l*iigei>W ' eommunet ■*«« la proposée sont sar une droite qui passe par le point de coaeoon des dnriles fiiet.
Ex. s. Si, de deux point* A et A', on mine des tangentes a deui coniqae* $, nS, pour former deux quadrilatères circonscrits, deux coniques i, et *, inscriles dam (a quadrilatères ont quatre langeiiles communes qui, avec celles des coniques S, ri £«, tont hnit tangentes d'une même courbe du second ordre,
El, 4. Etant donuéea deux coniques S| et Sj avec leurs [ai^eotes issues d'un poiat i,
D,gnz.dbvC00gle
les conïqnet ii el t, donbiement taageiites aai premièns suivant les poliires du pMnt A ont quatre tangentes communea qui, avec celles de Si et Si, touchent une m^me conique.
E\. ■. Lonque les neines de l'équatioD du Iroiiiime degré en h sont toutes nelle*, les tangentes eommaoes aux deux sections coniques sont toutes quatre rielles, <hi toula quatre inu^jnaires.
Lorsqu'il n'y a qu'une radne réelle, deux («Dgentes conunuues sont réellet et Ict deux antres imaginaires.
Ex. •. La droite qui joint deux points ombilicaux de deux coniques a le méiiM pôle dans les deux courbes. Réciproquement, une droite qui jouit de cette propriété par rapport ideux coniques passe par deni de leurs points ombilicaux.
Ex. S. Dans le plan de deux sections coniques, il existe trois droites dont chacune a le mime pâle dans les deux courbeaj une de ces droites est toujours réelle et le* deux autres peuvent être imaginaires. Le pôle de l'une d'elles est le point de coneo«irs des deux autres.
Ex. •. Étant données trois sections coniques f„ i* et S inscrites dans un quadrilatère et deux droitet fixes O el O, si, par les points où UBe tangente T à S rencontre O et (y, on mène les tangentes Ai, A/, An A|' aux coniques <■ et *■, on aura la retation
sin (T, Al) - sin (T, A,') sin (T, A.) - sin (T, A»') sin(0, Ai)-sin(0, A,') ' sin {O', A,) - sin (CK, A,')~
Sx. *. Si quatre coniques «i, d. S,, Si sont inscrites dans un quadrilatère et si d'ira poÎDt OD mène, aux deux premières les couples de tangentes A| et Ai', At et At', à la troisième la tangente Ti, à la quatrième la tangente, Ti, on a la relation sin(T„Ai|-sin(T„ A.') gin jT,. A.) - sin (T.. A/) sin(T„ A,).sin(T„A,') ' sin(T„ A,l ■ sin(T„ A.')~ quel que soit le point par lequel sont menées les tangentes.
El. *■• Quelle est la significaijon géomélrique de l'équalion PQ — k\* =■ o?
Kl. II. Le pdle d'une droite lixr, par rapport aux diverses coniques PQ — ilA' = o, est une droite qui passe par le point A ^ o.
Ex. 1>. Chercber l'équation des coniques doublement tangentes aux coniques S = oetS'=o.
Ex. la. Quand deux coniques ont un double contact, une droite quelconque menée pu- le pèle de Ta corde de contact a le même pôle dans les deux courfoes.
D,gnz.dbvC00gle
GHAPITHE XI.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES-
Héthods dw ooorâonnéM trUncnlKlrM et polmimËlim-
SmntjLHi. — PropriiUt in ijriUnM da attaqua puuont par trait poàUt, par fmtn p«mlt, tangmtu à trou ou qtatrt droila fixe*. ThforèiiKt de lamé, ât lfa€tam,it Bt—e et de Châtia. — Thk^ï'mtt dt Piutal, de BrianfJum; ccnulriMltm imi eomiqite définie par cinq p«iitl< ou emq lanjeiilee.
S7S. L'emploi des coordonnées triangulaires d'un point ou d'mw droite est généralement fort avantageux pour démontrer les propriAà descriptives d'une figure, c'est-à-dire celles qui ne dépendent que da U direction indéfinie des lignes; par exemple, pour constater qoe plusiaus droites passent par un même point ou que plusieurs points sont en ligne droite. Le système des coordonnées de Descartes serait, dans ce cas, aD instrument peu commode, et conduirait inévitablement à des calcnk Iwigs et pénibles. Nous allons faire usage des équations en coordonnées triangulaires et polygonalen, pour démontrer les propriétés si reroarqniblee des polygones inscrits et circonscrits aux sections coniques, en prenant, pour les côtés du triangle de référence, certaines droites qni font partie de la figure que l'on considère.
Nous ferons remarquer une fois pour toutes, au commencement de ce chapitre, qu'un théorème étant démontré au moyen d'équations renfermant les coordonnées A, B, C du point, on arrive de la même miDière il on théorème diOérent du premier, en supposant que, dans ces éqor
D,gnz.dbvC00gle
tions, A, B, C soient les coordonnées tangentielles. Ponr abréger, nous énoncerons chaque fois ce second théorème sons le nom de théorètne eorrétatif, en laissant souvent au lecteur le soin d'approprier le discours à l'interprétation des équations qui ont servi k établir le premier, si A, B, C sont des fonctions du premier degré en u et v. Généralement, Q suffit pour passer de l'un à l'autre de changer les expressions : ■ point de la courbe ■ en ( tangente à la courbe, » * droites concourantes > en c points sitnés sur une droite, > < sécantes communes ■ en c tangentes communes, > € polygone inscrit ■ en ■ polygone circonscrit, ■ etc.
S 1 . COmQUe AAPPORTËE A UN TRIANGLE, A UN QUADAILATÉRB INSCRIT OU aRCOflSCRIT; a DH triangle, A UN QUADRILATÈRE CONJUGUÉS.
S74. Conique rapportée d un triangle inscrit. Nous avons vu précédemment qu'une telle conique est représentée par une équation de la forme
(s) tBC + mCA + nAB = o.
Nous allons en déduire une construction géométrique, en cherchant la condition pour que te point défini par les égalités
(m) XA = (jlB = vC
BpparUenne à la courbe. On trouve facilement que celle condition est (c) fA + mft-|-nv = o,
Or, c'est aussi la relation qui doit être satisfaite pour que la droite (M) XA + fiB + vC=o
passe par le point fixe
ABC
Il s'ensuit que, si la droite M tourne autour du point fixe 0, le point correspondant m décrira ta section conique circonscrite au triangle de référence. Noua avons donné (p. 8S) la construction géométrique du point (m), connaissant la droite H; par conséquent, on pourra construire UD point quelconque de la conique, en cbercbant le point correspondant d'une droite quelconque menée par te point 0.
Quand une conique est définie par cinq points, on peut en prendre trois pour les sommets du triangle fondamental, et construire ensuite
D,gnz.dbvC00gle
les droites H,, H* qui correspondent aux deux autres; celles-ci m couperont en un point qui sera le point 0 relatif à cette conique. Od détimiinera easuite un sixième point quelconque par la construction précédente.
!t7fi. Conique rapportée à un triangle cireotutrit. Une telle conique est définie, en coordonnées tangentielles, par l'équation (a) /BC + mCA + nAB = o.
La droite déterminée par les égalités
(m) lX = (tB = vC
sera tangente à la courbe avec la condition
(c) lX-{-m[Ji-{-nv = o.
Or, celle-ci exprime aussi que le point
(M) U+fiB + i« = o
se trouve sur la droite fixe
ABC («> l=^-n
Donc, quand le point H décrit la droite 0, la droite correspondante m se déplace et enveloppe la section conique inscrite dans le triangle de référence.
On en déduit une construction d'une tangente quelconque à aae conique assujettie à toucher cinq droites données. On prendra trois de ces droites pour les cdtés du triangle de référence, et on déterminera les deux points Mi, Hi qui correspondent aux deux autres; la droite qui réunit ces derniers sera la droite fixe 0 pour la conique qui doit touclier les droites données. Il suffit de construire une droite (tn) correspondiDl à un point quelconque de la droite 0 pour avoir une sixième langenle de la courbe.
S7A. Conique rapporlée i un quadrilatère itueril. Soient {fig. 91)
P, = o, P, = o, Pi = o, P. = o,
les équations des côtés d'un quadrilatère 1254. Une conique quelconque
qui passe par les sommets de ce polygone est représentée par une équi-
tion de la forme
P.P, — fcP,p4 = o, oii k est un paramètre arbitraire.
Cette même équation représente aussi, en coordonaces tangenlieiles, une conique quelconque inscrite dans le quadrilatère dont les sommets
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opposés sont les points Pi = o, Pj = o ; Pi = o, P4 = o. De cette équation découle les théorèmes suivants :
Quand un quadrilaière est insa-U à une oonû/ire, le produit des distances d'un point de la tourbe à deux càtis opposés est au produit des distances du même point aux deux autres côtés dans un rapjiort constant.
ThëObëhb cOHH^LiTiF. Quand un quadrUaière est circonscrit à une conique, le produit des dislances de deux sommets opposés à une tangente queteonque est au produit des distances des deux autres sommets à la mime droite dans un rapport constant.
97T. Désignons par ol le point d'intersection {fig, 91) des diagonales 13, 24) par (3, y les points de concours des côtds opposés, et rapportons toute la figure au triangle ap^ pris pour triangle de référence.
Soient
(P,) /A — mB = o, (P.) M — nC = o, les équations des câtés Pi et Pt qui aboutissent aux sommets y, ^; les deux autres cdtés P^ et P| étant respectivement les droites conjuguées des précédentes, dans les faisceaux harmoniques qui ont pour sommets yetp, seront représentées par
(Pi) /A-fmB = o, (P.) /A + «C = o.
En substituant dans l'équation (i) aux lettres Pi, Pf, P,, P^ les premiers membres de ces équations, il vient
(ÏA + nC) (/A — nC) — k{t\ + mB) (/A — mB) = o, ou bien (2) (I— )t)(»A»+im»B'-n»C*=o.
La forme de cette équation indique qu'une conique quelconque circonscrite au quadrilatère est conjuguée au triangle de référence.
Lorsqu'une conique est inscrite dans le quadrilatère dontles sommets sont les point8p|=o,Pï^o,Ps=o, p4 = o, si on prend pour points de référence les sommets du triangle formé par les diagonales, l'équation- Fig-ui.
de la courbe sera aussi de la forme (2). Il en résulte que le triangle des
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diagonales est conjugué à tontes les coniques inscrites dans I 1^ P< Pi P. Pt.
97S. Lei polaires d'un point fixe, par rapport à foute* U* conijiK) circontaiUs à un qvttdrÛtUére, passent par un même point.
Bo effet, la polaire d'un point (A', B', C) par rapport à une conique représentée par (2) a pour équation
(i — k) PAA' + fcm'BB' — nKC' = o.
A cause de la présence da paramètre k, toutes les polaires «Hicoorait ea un point déterminé par les équations
PAA' — n*CC' = o, f'AA' — m*BB' = o.
Ce dernier point est réciproque du point donné, c'est-à-dire que ses polaires par rapport à toutes les coniques de la série vont converger au point donné.
On sait que la polaire d'un point situé à l'infini sur une droite coînâde avec le diamètre conjugué à cette droite, et, par suite, en snpposanl le point donné & l'infini, on a ce théorème, que tes diamitret conjugué» à une même droite dans les coniques circonscrites d un quadr^atère patsad par un point fixe (Lah^).
TaÉOBËME conRÉLATiF. Les pôks dune droite fixe relativemaU omx coniques inscrites dans un guadrUalère sont sur une même droite.
Lorsque la droite est à l'infini, le pdle coïncide avec le centre de la conique, et, par conséquent, ies centres des coniques inserites dont mm ■ quadrilatère sont sur une même droite (Newton).
Les sommets opposés du quadrilatère étant regardés comme les coniques limites du système, les milieux des diagonales doivent appartenir au lieu; donc, la droite des centres des coniques inscrites d un quadrilatère est celle qui passepar les mUieux des diagonales.
979. Lorsqu'un point se meut sur une droile, le récçirofue de ce point, par rapport aux coniques circonscrites d un quadrilatire, décrit une section conique qui passe par les sommets du triar^le conjugMé à toutes les courbes de la série.
En effet, soit XA + ftB + vC = o la droite que décrit le point(A',B',C'). Le lien du conjugué réciproque s'obtient en éliminant A', B', C entre les équations
XA'+f*B'-f vC' = o, /»AA' — n*CC'=o, («AA' — ««BB' = o.
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On arrÏTe k l'équation
Am»n*BC + fiPn'CA -f vPm*AB = o qui représente nne courbe dn second ordre circonscrite au triangle de référence; ce qui démontre le théorème.
TEÉonJna coRaâLtTiF. Quand une droite tourne autour d'un point fixe, ta droite réciproque, c'est-à-dire le lieu des pôles de cette droite par rapport d toutes les coniques inscrites dans un quadrilatère, enveloppe une section conique inscrite dans le triangle eo^ugué à toutes les courbes du stfstime.
989. 7'oufe conique, qui divise harmoniquement deux diagonales d'un quadrilatère complet, divise harmoniquement la troisième (0. Hessb).
Soient
P, = o, P, = o, P, = o, P* = o, les équations des câtés d'un quadrilatère. On dit qu'une conique et un quadrilatère sont conjugués, lorsque la polaire d'un sommet passe par le sommet opposé, de sorte que les points d'intersection de la courbe avec chaque diagonale et deux sommets opposés forment un système de quatre points harmoniques.
Cela étant, l'équation
représente une conique quelconque conjuguée au quadrilatère proposé.
En efFet, si on chercbe l'équation de la tangente ou de la polaire du point (P,', P,', P.', P4') en posant X, (P,— P,') {P,P/')+ A. (P,P,'){P,P,")-}-J, (P,— P,') (P.— P.")
+X4{P*— P4')(P.-P4")=^tP'*+^P«'+^P»* + W*' pour l'équation de la sécante qui joint les points (Pt', Pi', Pi', V*'), (Pi"» Pj") Pi"» P4"), on trouve, après les réductions, lorsque P/ = Pt", P,' = P,", p.' = p,", p/ = p/',
Or, si le point donné coïncide avec le sommet (P|, Pi) du quadrilatère, on a P(' = o, Pi' = o, et l'équation de la polaire se réduit k
X.p,p,' + ^PJ»/ = o; c'est une droite qui passe par le sommet opposé (Pj, P*). Donc, toute conique de l'équation {a.) est conjuguée au quadrilatère Pi P* Pg P4 = o.
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