SS

Mais l'ëquatioD (a) renferme trois paramètres arbitraires; il ftut trois conditions distinctes pour déterminer la courbe qu'elle représente; or celle-ci, étant conjuguée au quadrilatère, divise harmoniqueineat citaqne diagonale; par suite, la division harmonique de U troisième diagonik doit être une conséquence de la division harmonique des deux intr»; car, dans le cas contraire, ou ne pourrait plus assujettir une (elle coniqDe à satisfaire à trois autres conditions, comme l'exige l'équation («).

En se rappelant la définition de deux points coqjugués par rapport à une conique, on peut encore énoncer le théorème précèdent comme suit : Quand devx couples de sommets opposés d'an quadrilatère ctnHpUt êOtU conjugués par rapport à um conique, U en est de même des daa autres sommets.

lorsque P| = o. Pi = o, Pi =^ o, P* =^ o soot les équations en coordonnées tangentielles des sommets d'uu quadrilatère, l'équation (a) représente une conique cotguguie aux cdtés de ce polygone, G'est4-dire une conique telle que le pdle d'un cdté se trouve sur le càté opposé. Si ou appelle conjuguées par rapport k une conique deux droites dont le pile de l'unesetrouvesurraulre, on aura pourtetbéorémecorréUUrdu précédait: Quand deux couples de droites opposées qui joignent qwOre points d» plan sont conjuguées par rapport à une conique, il en est de mém des deux autres droites.

181. Si, autour de deux points fixes tTune conique, on faU tourner deux droites qui se coupent sur la courbe, ces droites considérées dont leurs diorrses positions forment deux faisceaux homographitfues (CaiSLEs). En effit, soient 0 et 0' deux pointe fixes d'une conique; inscrivons le quadrilatère P| Pi Pi Pt= o,de manière à ce que 0 et 0' soient deux sommets opposés. L'équation de la courbe sera de la forme

(P) PiPï — AiPtP* = o,

où jti est une constante déterminée. On en déduit Pi 9^ Va ^*,P. ' Si on représente par X chacun de ces rapports, les droites (y) P, — iPi = o (5) P, — i,iP* = o

jouiront de la propriété de passer par les points 0 et 0' et de se couper lur la courbe quel que soit X ; car l'élimination de ce paramètre entre (^)

D,gnz.dbvC00gle

et (^eoDdnit à l'équation de !■ conique donnée. Or, les équations (y) et (S) soat celles qui déterminent (N* 9S) les rayons homolt^ues de deux faisceaux homograpbiques ayant pour centres les points 0 et 0'; donc le théorème est démontré.

TstoBÂMB coRRÉLiTiF. Une tangente mobile rencontre deux tangente» fixes d'une conique en des points qui forment deux divisions homographiques.

Car, si les équations précédentes renrerment les coordonnées taagentielles, la droite des points

P, ip, = o, Ps — A,>P< = o, est une tangente variable h la conique représentée par l'équation PiPi — fciP,Pt=o; la forme de ces équations indique que les rii. w.

points qu'elles représentent sont situés sur deux cdtés opposés du quadrilatère circonscrit à la courbe, et qu'ils forment deux divisions bomo> graphiques (N" 95).

MS. Le lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques est une section conique qui passe par les ceO' très des deux faisceaux.

Soient 0 et (V (fiq. 92) les points d'iutersectioo des droites Pi et P*, Pi et P«. Les rayons homologues de deux faisceaux homographiques ayant pour eentres les points 0 et 0' sont donnés par les équations p, __ AP, = o, P, — k,}.?t = o.

Si on élimine X pour trouver l'équation du lieu des points d'intersection des rayons homologues, on trouve

P.P, — *,PiP4 = o; le lieu cherché est donc une courbe du second ordre qui passe par les points 6xes, car l'équation précédente est satisfaite pour Pi = o. Pi =3 o; P, = o,P, = o.

Théorème coBnéLATiF. L'enveloppe des droites qui joignent deux à deux les points homologues de deux droites divisées homograpfnquement est une section conique tangente à ces droites.

Car, si on considère les deux droites fixes qui passent respectivement par les points Pi = o et Pi = o, P» = o et P4 = o, les points homologues

D,gnz.dbvC00gle

de deux divisions homographiques faite sur les droites sont donnés pir les éqnatioDB

p, >p, = o, P, — É.XP, = o.

Ed éliminant A, on trouve l'équation

PiPi — fc,P,p4 = o qui représente une conique tangente aux droites fixes, car elle est sitis- Taite en posant Pj = o, Pi = o ; Ps = o, P» = o.

Remarque. Le tliëorème du N" 381 est très-remarquable : il doooe

une relation entre six points appartenant à une conique ; car, étant doaaés

six points 0 et 0', a, b, c, d d'une courbe du aecond ordre, si on aicae

les différents rayons Oa, O'a, 06, 0'6, etc., les deux faisceaux 0 (a, (■,(,(!]

et 0' (a', 6', c', d') sont faomographiques. Il en résuite que ce tbéorènie

donne le moyen de trouver lin point quelconque d'une conique assujettie

à passer par cinq points donnés 0, 0', a, 6, c : on joint deux de ce$ points

0 et 0' aux trois autres et on regarde 1m

rayons Oa,06,OccoHime étant homologues

aux rayons O'o, 0'6, 0'f ; on mène eosuile

par le point 0 une droite quelconque Od,

et on construit son homologue O'd; ces

deux rayons se couperont en un point qui

appartient & la conique.

De même, le théorème corrélatif penuet de construire une sixième tangente quel- ''(- ^ conque d'une conique assujettie b toucher

cinq droites données; car on en déduit que quatre tangentes A, B, Ci D à une conique rencontrent deux tangentes 0 et 0' en deux systèmes de points bomograpbiques a,b,eyd et a', 6', c', d'. Donc, si on cooniit a, h, e, a', 6', c', on prendra sur la tangente 0 un point quelconque d, et on construira son homologue d" sur la tangente O* : la droite df un une sixième tangente de la courbe.

Ces deux théorèmes sont la base du Traité des stclùms eoniquei par CusLES. Paris, 1865.

D,gnz.dbvC00gle

s 3. THftORàlIBS DE PASCAL ET DK BHIANCHON.

989. Lts eàté» oppoêéi <fun hexagone inêcrit dans une conique m rencontrent en trois poinU situéi en ligne drotte. (Pascal.)

On a déjà prouvé (N* 193) l'exactitude de cette proposition; eu voici une autre démonstration basée sur une idenUté.

Soient

A=.o, B = o, C = o, Jes équations des côtés i?, 23, 34 d'un hexagone inscrit dans une conique (fig. 94), et

A' = o, B' = o, C' = o celles des côtés opposés 45, 56, 61. Menons parles points i et 4 la diagonale 1^0 qui partage l'hexagone en deux quadrilatères lABC, lA'B'C inscrits dans la courbe. Les équations

Me + mBI = o, /'A'C + m'B'I = o représentant la même conique, doivent ôtre satisfaites par les mêmes valeurs de x et de y, et, par suite, on peut toujours déterminer les paramètres qu'elles renferment, de manière h ce que les premiers membres soient identiques. Il en résulte que la relation

/AC+mBI — /'A'C — m'B'I = o 1

sera satisfaite qu'elles que soient '

les valeurs de x et de y. Le

signe = est celui dont on se sert Fi(. ».

pour indiquer une identité. Les équations équivalentes

lAC — l'A'C =0 I {mB — m'W) = o représentent donc la même coufbe : la seconde donne deux droites I=>o, mB — m'B'=o, et il en doit être de même de la première; or, l'une des droites représentées par celle-ci renferme les points d'intersection des droites A = o et C =: o, C ^ o. A' = o; c'est la droite I; l'autre passe par les points de concours des côtés opposés A ^ o et A' = o, C = o et

D,gnz.dbvC00gle

C ^ o, et comme elle doit coïncider btcc la droite mB — m'B' ^ o, od on coDclnt que les points (AA')f (BB'), CC') sont sur une même droite.

La démonstration précédente est indépendante delà nature de l'hexagone inscrit; par conséquent, le théorème de Pascal est général et s'applîqaei -tout hexagone inscrit dans une conique, qu'il soit convexe ou non convexe.

VS4. La droite qui passe par les points de concours des cAtcs opposés peut être représentée par l'une des équations suivantes :

/A — l'A'=o mB — m'B' = o, nC — tj'C = o,

et, avec des valeurs convenables des paramétres, on aura les identités

fA — /'A' = mB — m'B' = «C — n'C.

Posons a = l\, a' = l'K', b = mB, 6' = m'B', e = nC, c' = n'C : les

équations des côtés de t'hexagone seront

(') • Il ,

^ a' = 0, Il ^= o, c= o,

et en vertu des identités

(2) a — a! — h — b' =.e — if,

la droite des points de concours des cdtés opposés aura pour équations

Des relations (2) on tire a + c' = e -|- a', et les équations

représentent la même droite ; c'est la diagonale 14. On trouvera de même

pour les équations des autres diagonales

{25) a — 6 = 0, ou a' — 6' = o;

Afin d'abréger, nous écrirons i'^o.^'^OiA^ïo pour les équations ()cs

diagonales, t, ^, A étant les premiers membres des équations (i4),(25),(36)>

Les trois diagonales forment avec les côtés six hexagones différeots

inscrits dans la courbe et ayant les mêmes sommets ; ce sont : ABCA'B'C,

C'HBGA'I, ICHB'GA et C'UCA'GA, ICBGB'C, ABBB'A'l. Noos aUons voir

que les droites qui renferment les points de concours des côtés opposés

d£s trois premiers concourent en un même point 0, et que celles qui p>s-

D,gnz.dbvC00gle

sent pir les points d'intersection des cAtjs opposés des trois autres coaeonrent en un second point O*.

Les droites du tbéorème de Pascal dans le second et le troisième hexagone du premier groupe ont des équations de la forme

a' — fxA = o, A — va = o, on

a' — fi(b' — c') ^ o, b^e —va = o;

ear les cAtés A' et H, A et H sont opposés dans chacun d'eux ; en exprimant que la première doit passer par te point d'intersection des cités opposés (/so, g^a' — l/'=o, et la secoude par le point de rencontre des droites e^o,g=^a — b = o, on trouve fi = v = i. Les équations des lignes de Pascal pour les trois premiers hexagones seront donc

a — a' = o, a' — A = o, A — a = o; et, par conséquent, ces droites se coupent en un même point.

De même, les droites qui passent par les points de concours des côtés opposés des trois autres hexagODCs ont des (équations de la Torme

g — ih = o, i~fxg^o, h — w'^o, on a 6 i(6 e)=o, a+i^ —f).{a—b)=o, i'— c'— v(a+c')=o.

Comme ces équations doireat étro satisfeites par les points d'interscc* don des antres aitéa opposés de chacun des hexagones, il faut que l'on ait A = — If fj.^i^v = — I ; les droites de Pascal pour les hexagones du second groupe seront

j + A = o, » — g = o, A-l-i = o. et elles se coupent aussi en un même point. On a donc ce théorème :

Quand un hexagone est inscrit d une conique, les six calés et les mil diag<males forment un système de neuf droites donnant lieu d six hexagones inscrits; tes droites de Pascal de trois d'entre eux concourent m un certain point O, et celle» des trois autres en un certain point 0'.

Les points où viennent aboutir trois lignes de Pascal s'appellent points de Steineb : c'est ce géomètre qui, le premier, les a fait connaitre.

WS. Le théorème de Pascal établit une relation entre six points d'une conique, un de plus qu'il n'en faut pour définir la courbe; il permet donc

D,gnz.dbvC00gle

comme celui de Chasles, de déterminer autant de points que l'on vent d'une conique assujettie h passer p&r cinq points donnés t, 2, 3, 4, 5. Ob joint ces points par des droites, et, après avoir tiré par le point i (fig. 94) une droite quelconque 16, on détermine les points d'intersection t et m des lignes 16 et 34, 12 et 45; on prolonge ensuite le câté 23 jusqn'l SB rencontre en n avec la droite Im : la le qui joint le point n avec le dernier point donné 5 rencontrera la droite 16 en un point x appartenant à la conique dcGnie par tes points donnés.

Supposons (fig. 9S) que le sommet j de l'hexagone inscrit vienne se confondre avec le point i, le côté ix devient tangent à la courbe au point i ; le théorème de Pascnl est encore applicable, en regardant celte tangenle comme étant un coté de l'hexagone. 11 en résulte la construction suivante de la tangente en un certain point i de la conique : on détermine les points de rencontre des côtés 12 et 45, 23 et 15, ainsi que le point l où le côté 34 rencontre la druite mn; la ligne 1/ sera la tangente à la conique au point i.

98*. Les diagonales d'un hexagone circonscrit à une conique se coupent en un même point (BaiàncHON).

Soient

les équations des sommets d'un hexagone circonscrit à une conique, A el A' étant deux sommets opposés et ainsi des autres. Prolongeons les côl/s opposés AC, CA', et soit I =^ o l'équation de leur point d'intersection. Les deux quadrilatères lABC, lA'B'C étant circonscrits k la conique, si les équations en coordonnées tangentiellea

iAC + mBl = o, l'A'C -f m'B'I == o représentent la même courbe, on peut écrire l'identité /AC + mBI — i'A'C — m'B'I = o.

n en résulte que les équations équivalentes

lAC — l'A'C = 0, I (mB ~ m'B') = o,

D,gnz.dbvC00gle

représentent le même lieu. La première devra donc donner deux points comme la seconde; l'un est le point comman aux droites qui joignent les points A = oetC' => o A' = o et C = o; il coïncide avec le point I;

l'autre provient de rintersectJon des droites qui réunissent tes sommets opposés A ="0, A'=^o;B=^o, B'=: o; comme il doit être le même que le point mB — m'B' = o, les droites {AA'), (BB'J, (CC) se rencontrent en un oiéme point.

Le théorème de Brianchon est aussi général que celui de Pascal et s'applique & tout hexagone circonscrit à une conique.

SS7. Puisque le point de concours des diagonales se trouvent à la fois sur les droites qui joignent les points A et A', B et B', C et C, on peut écrire les identités

Ik — l'k' = mB — m'B' = nC — «'C, on bien, en posant

a = Ik, a' = l'k', b = mB, b' '= m'B', c = nC, c' = n'C,

Les équations des sommets de l'hexagone deviennent a = Of 6 = 0, c. = o a'^Q, fe'^o, c'^o;

D,gnz.dbvC00gle

— 36* — celles des points de concours des cAtéa opposée serout :

o-l-c' = o, ou a' + c = o,

a — 6^0, ou a' — b'=o,

b — c = o, ou 6' — c' ^ o.

Les points de concours 1, G, H et les sommets de l'hexagone format six hexagones différents circonscrits à la courbe, savoir : ABCA'B'C, C'HBGA'I, ICHB'GA et C'HCA'GA, ICBGB'C, ABHB'A'1. 11 est facile de vérifier que les points du théorème de Briaochon poar ces différeols hexagones sont réprésentés par les équations

a — a' =» o, a' — k^o, h — a^o, g-\- h = Oy i — j==o, A4-' = Oï t, g, A étant les premiers membres des équations des points I, G, H; elles donnent deux systèmes de trois points en ligne droite, et on a ce théorème ; Quand un hexagone est circonscrit d une section conique, les poûili de concours des cdîés opposés et les six sommets forment un ty^étiu de neuf points donnant lieu à six hexagones différents drconserils à la courbe; les points de Brianchon pour trois d'entre eux se trouvent sur une certaine droUe l, et ceux des trois autres sur une certaine droite l'.

SSS. Le théorème de Brianchon donne une relation entre six taa-

gCDtes à une conique, une de plus qu'il n'en faut pour déterminer li

courbe; il permet donc de construire udc

tangente quelconque d'une conique définie

par cinq tangentes données. Soient {fig. 96)

AB, BC, CA', A'B', B'C ces Ungenics qui

se rencontrent aux points B, C, A', B'. On

prend sur AB un point quelconque A; on

joint A et A', B et B' par des droites qui se

coupent en 0; la ligne qui passe par les

points C et 0 rencontrera la tangente B'C

^'t "■ en un point C : il suffit de joindre A et C

pour avoir la sixième tangente qui complète l'hexagone circonscrit.

Supposons que, dans l'hexagone circonscrit, l'une des tangentes, par exemple B'C, vienne se confondre avec la tangente voisine C'A; à li limite, le point C vient coïncider {fig. 97) avec le point de contact

D,gnz.dbvC00gle

de AB', et le théorème de Briaachon est encore applicable en prcBaot ce poïDt de contact pour un sommet de l'besagone. On en déduit la construction du point de contact d'une tangente AB' ; on mène les droites AA% BB' qui se coupent au point 0 : la ligne CO rencontrera la droite AB' en un point C qui sera le point de contact de cette tangente avec la conique.

Remarqnt. Consulter, poar les propriétés de rbeiagone de Pascal et de BrianchoD, !«• ouvrages snivuts : 0. Rtui, Vorletmnga» tau der analylùcAen GiotMtrie. — J. Srinu, Die Théorie der KegtUcAiulte. Étant donnés six points d'une cooiqae a, b, c, d, e, f, le aomtwe d'hexagones, que l'on pent obtenir en joignant ces points de tontes les manières possibles, est égal au nombre de pennutations des sii lettres s, b, r., d, e, f, c'est-ldire an produit i • z ■ 3 ■ 4 • S • 6. Hais il est facile de vérifier qu'un méiue hexagone se répète 12 Ims dans ee nombre. En effet, en partant d'un sommet n, et enjoignant les punis dans le sens a, h, e..., ou dans le sens opposé a, f, e,.., on a deux hexagones abcdef, aftdth qui ont les mêmes cAtës opposés. De plus, quand on passe d'un sommet à UQ antre, on obtient les mimes bexagones, ahedef, bedefa, edefah, defabe, efabed, fabcde; il en résulte que pour avoir le nombre d'hexagones différents ayant pour sommets a. A, c, d, », f, il hut diviser le produit l • 2 ■ 3 • 4 - 5 ■ 6 par 12 ; ce nombre sera done égal k 60. Ces hexagones étant groupés trois k trois donnent 30 pomCs de Sttmer; on démontre qae quatre de ces points se trouvent sur une mime droite appelée droite de Slenur, etc.

Tliéoràmea et exeroioea.

Ex. a. L'équation d'noe eontqne qui paue par les sommets A=o, C^ojB^Oi C ^ o du triangle de réfeTenca peut s'écrire

K,BC ■+■ (S,AC + Ï.AB + iiP = o.

Cela étant, chercher les équations des sécante* communes de trois coniques menées

par ces points et montrer qu'elles concourent en nu même point.

£x. >. Le* cAtés d'un quadrilatère ayant pour équations

P. = A ■*• pB -t- gC,

P. = A-pB-h9C,

P, = A+pB — $C,

P, = A — pB— 7C,

montrer qu'une conique inscrite dans ee quadrilatère est déSnie par une équation de

où /=; + A; A, B, c sont les diagonales.

Que représenterait cette équation, si A = 0, B=0, C = 0 étaient celles des points de rencontre des diagonales et des calés opposés?

D,gnz.dbvC00gle

Ex. >. Les polaires d'un point ptr rapport inx coniqoe» conjogaée* i on tiia^le et puuut par un point donn^ concourent en on m^me point.

Les piles d'une droite relttivemeot lux coniques conjuguées i un tiiui^ et tooebant nne droite donnée se trouTent sur une droite Exe.

Ex. 4. Le lieu des centres des coniques circonscrites a un qoidrilalère est mut coniqne qui renferme les points de rencontre des côtés opposés, les milieui des eiléi et des diagonales.

Le< cinq cozùqnes analogaes, pour les quadrilatères aaïquets donnent lien tinq poinb quelconques associés quatre k quatre, passent par un même ptnnt.

Ex. k. Les droites qui joignent deux i deux les points d'intersection de denx tangentes à une conique avec une autre cenique sont tangentes i une même tnoAt da second ordre passant par les points communs aux deux premières.

Si, par deux pmnts d'une conique, on mène deux couples de tangentes à une autre conique, le^pointa d'intersection de ces tangentes prises deux i deux appartiennent * une conique inscrite dans le quadrilatère des tangentes communes des denx prouièRS.

Ex, a. Lorsque deux angles sont circonscrits i une conique, leurs sommets et ks points de contact des eâtéa sont sur nne mSme courbe du second ordre; de pins, les quatre edtés et les cordes de contact sont tangents à une mbne coniqne.

Exé t. Si, de deux points quelconques, on mène des droites aux sommet* d'un triangle, les six points où ces droites rencontrent les cAtés opposés appartiennent à me conique.

S on joint les sommets d'un triangle aux points ou deux droites quelconques coupent les edtés opposés, on obtient six droites tangentes i nne même coniqne.

Ex. s. Le Heu des centres des coniques inscrites dsns le quadrilatère P|PaP|p4^0 est la droite que définit l'équation

I.P.* + iJi* -t- IjP.' + liP. '= o abaissée au premier degré en k et y par un choix convenable des coefficients ^u )■, !>, V

El. •■ Le lien des centres des coniquei inscritesdans le triaDglePiPiPi:=o etdMt (a somme des carrés des axes principaux demeure constante est le eerde défini par l'équation

),P,' -4- J,P.* -f- ) J»," = a* + i" =f: const

ramenée à la forme de l'équation du cercle par un choix convenable des e i,, i,, ii.

Ex. flV. Le lien des centres des coniques coi^ugnées à quatre couples de dnitH PiPi', PfPi'i PiPi', PtP/ est la droite de l'équation.

Ï.PlPi' + JiPfP.' + JJPJ*.' + )lP<P4' = 0, abaissée au premier degré par un choix conTenahle des coefficients.

Ex. ifl. Le lieu des centres des coniques conjuguées à trois couples d« droites P,Pi', P|P|', PiPi'i et dont la somme des carrés des axes reste eonstanle, eat le cercle défini par l'équation

JiP.P.' + )iP.P.' + J.P.P.' = n' -I- h* = const. ramenée i la forme de l'équation du cercle par un choix conrenable des eoefficteBts.

D,gnz.dbvC00gle