CHAPITRE XII

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES

Méthode dM Idmitltéi.

SoHiuiit. — Prepriili* d* triangle «l du quadrilalère iiucriU, rtreonteriu ou tonjupU* A une e»ttiq*«. — Rtlatitm imaiytiq»t enlrt *ix point* ou n'x tangmtti d'une ainigtit; «ntrw fia cmtplt* de poi'nlt ou d» droilti eotyugMéet à uiu eatirbe At teeond ordre. TMorèmtê de Bat» et de Detargueë.

999. Étant donnée une section conique avec un polygone inscrit, circonscrit ou conjugué, on peut géDëralement écrire son équation sous différentes formes en coordonnées triangulaires ou polygonales, et arriver ensuite à une équation identique, c'est-à-dire tt une équation qui est satisfaite, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables qu'elle renferme. L'interprétation des équations équivalentes obtenues en décomposant cette identité de diverses manières, conduit à plusieurs théorèmes sur les sections coniques avec une facilité qu'il serait difficile de surpasser. C'est ainsi que nous avons démontré le théorème de Pascal et de Brianchon; nous allons suivre le même procédé pour mettre en évidence plusieurs propriétés da triangle et du quadrilatère inscrits, circonscrits ou conjugués à une conique. Nous terminerons ensuite en considérant une identité remarquable, qui exprime que six points apparliemient k une courbe da second ordre, ou que six droites sont tangentes à une même conique.

D,gnz.dbvC00gle

§ 1 . DU TRI&nCLB ET DU QUADRILATËHE IHSCBITS, GIRCONSCBITS OU CONJUGUÉS A UNE SECTION CONIQUE.

%90. Quand un triangle est ittierit dont une conique, les càté$ rencontrent les tangente» aux sommets opposés en trois points en ligne droite. Soient

P, = o, P, = o, Pi = o,

les équations des cAtés du triangle inserit et des tangentes aux sommets.

Lt conique sera représentée par l'une des équations suivantes

fr.T. + mP,' = o, f P,P. + m'P.T, = o.

En supposant les paramètres déterminés eonvenablemcnt, on aura

l'identité

fr.T, + mPj" + /'P.P, + m'P.T, = o

et, par suite, les équations équivalentes

/T,T. + /'P,P, = o, P,{mP« + tM'T,) = o, représentent la même ligne. La première donne la droite Pi qui passe par les points (T,P,), (TtP,), et la ligne qui joint les points (T|P,), (T,P,) ; comme celle-ci doit coin* cider avec mPi +«t'Ti= o, les trois poinU (T,P,), (T.P,), (T,P,) sont situés sur une même droite; ce qui démontre le théorème.

TflËoBÉHE connéLAiiF. Quimd

un triangle e»t dreonscrit i une

conique les droites qui joignent

Us sommet» aux point» de ton-

un même point.

On le démontre comme le précédent, en supposant que les équations renferment les coordonnées tangeotielleB.

p%.sv.

tact de» càtés opposés se coupent

>9I. lorsqu'un quadrilatère est inscrit dans une conique. Us points de concours des tangentes aux sommets opposés sont sur la droite de* points d'intersection des côtés opposés.

D,gnz.dbvC00gle

Si p, =o, Pi=:o, Pi = o, Pt = o sont les cAlés du quadrilatère inscrit, T, = o, Tï = o les tangentes à deux sommets opposés, et D = o la droite qui réonit ces derniers, les équations de la conique /PiT,+mP,D=o, /'P4TH-"»'PiI>=o, donnent l' identité

fPiT.+mPtD+CPX + m'PiD^o.

et les équations équivalentes fP.T,+/'P4T. = o, D{mP,+tn'P3)=o montrent que les points lT,li), (P1P4), (PiPs) sont en ligne droite. Fi,. ».

De même, si D| = o est la seconde diagonale, et si T] = o, T* = o sont les tangentes aux deux autres sommets opposes du quadrilatère, les équations de la conique

fr,P4 + mP,D, = o, /'T4P, + m'P,D, = o entraînent l'identité

fTsP* + «iPiDi + ''T«Pï + m'P.Di ^ o, et les équations équivalentes

rr,P4 + l'T^i = o, D, (mPi + m'P,) = o prouvent que le point (T,T.) appartient aussi i la droite des points de eoncours des côtés opposés.

Théobèhe cobbélatif. Dant un qaadrilatère circonscrit à une amiqut, la diagonale et les cordes de contact des côtés opposés se coupent en un mime point. t

Mt. Quand un quadrilatère est inscrit dans une conique, tes poinU d'intersection des tangentes aux sommeU adjacents avec deux càtés opposés «tu point de concours des deux autres càtés opposés sont sur une même

drode. ,„ ,

Des équations de la conique fT.T* + mP** = o, / T.T. + m P. - o, i"P,p, j- «i"PiP4 = O, résultent les identités

n-.T* + mP,'=/'T,T, + ni'P.»=^'P,P, + m'T.P*. On en tire les équations

/T,T.-/"P,P. = o, P4(mP»-m"P,)=o

D,gnz.dbvC00gle

qui représentent les mêmes droites; lu première est satisfaite en posant T, = o, P, = 0, T4 = o, P, = o; les points (T,P,), (T«P,) sont sur ou même droite avec le point (PiP4)- De même les équations équivalentes

prouvent que les points (T|Pi), (TsP,), (PiP«) sont en ligne droite.

■ Enfin les équations de la conique lT,Ti+mPi*^o, /'TtTt-{-m'Pt*=o,

("PiPs + ni"PjP. = o entraînent les identités

fr.Tt + mP,' = /'T,T* + m'P,» = /"P,P, + m"P,P4 qui conduiront aussi à deux systèmes de trois points en li^e droite, savoir : {T,P,), (T.P.), (P.Pi) et (T.P*), (T.P,), (P,P,).

TnËOHÈHB coRRÉLATir. Dans un quoA-ilatère circonscrù d une coniqw, les droites gui joignent deux sommets opposés aux points de contact ies tat^entes issues de l'un des deux autres sommets te coupent sur la diagonale qui joint les deux autres sommets opposés.

9M. Si on considère le quadrilatère inscrit et le quadrâtUire ckconscrit correspondant. Us diagonales des deux quadr^iOères se eot^ent en un même point et formetU un faisceau harmonique.

Le quadrilatère circonscrit correspondant à un quadrilatère inscrit est celui dont les càtés ont pour points de contact avec la conique les sommets du quadrilatère inscrit. Cela étant, d'après la fig. 99, on peut écnre l'identité

• fTiT, + mD» = /'TiT* + m'D,' yi résulte des équations de la courbcfr,Ti-f'^D*<=>o,^TiTt-4-m'D,'=o; par suit£, les équations

/T,T, ~ /'T,T« = o, mD' — m'D,' =■ o représentent le même lieu ; la seconde donne deux droites qui passeat par le point d'intersection des diagonales du quadrilatère inscrit, et qui forment un faisceau harmonique avec D et Di ; en vertu de la premièit, CCS droites coïncident avec les diagonales du quadrilatère circonscrit.

Tbëobëiie connÉLitTiF. Les points de concours des côtés opposés fTua quadrilatère inscrit dans une conique et tes points de concours des tuagentes aux sommets opposés sont en rapport harmonique.

D,gnz.dbvC00gle

994. Qvand une conique est conjuguée à un triangle V, Pt Pi = o, deux tangentes d la courbe diinsent harmoniquement les diagonalei du quadrilatère formé par la côtés du triatigle et la corde de contact de ces tangentes.

En effet, soient T = o, T' =^ o les tangentes et P« ^ o la corde des contacts. Les équations de la conique

Ï.Pi* + ItPt^ + /.Pi' = o, et TT' + /J».' = o, donnent l'identité

/.P.» + /«Pt' + /iP,' 4- ^P." + TT' = 0, et, par suite, les équations équivaleoles

/.P," + i,P,' 4-/,P,* + /,P4» = o, TT' = o expriment que les droites T et T' forment nnc conique conjuguée au quadrilatère PiPiPjP^; donc ces tangentes divisent harmoniquement les diagonales.

Théorëm cohbéutif. Quand un triangle dont les sommets sont P( = o, P, ^: o, Pi i^ o est conjugué à une conique, les colis opposés du quadrilalère formé par les points P|, Pt, P» et un point quelconque P* du plan avisent harmoniquement la droite des contacts des tangentes d la courbe issues du point Pt.

90B. Un triangle P.PiPi = o étant conjugué d une partAole, si on mène un diamé^e quelconque, la tangente, d l'extrémité de ce diamètre est la médiane du quadrilatère formé des côtés du triangle et du diamMre.

Soit P4 ^ o un diamètre d'une parabole, et X = o la tangente k l'extrémité; la courbe étant représentée par l'une des équations

p,i — apX = o, iiP,* + i,P.» + /»P.' = o, on a identiquemeat

/,P,i + /.p,» + /,?,» -i- p.» = ajjX et, par suite, la droite X = o étant conjuguée au quadrilatère P.PiPiP* doit passer par les milieux des diagonales de ce polygone; ce qui démontre le théorème.

%9€. Les couples de droites conjuguées d une conique donnée et menées par un point fixe sont dirigées suivant les diamètres conjugués d'une seconde conique.

Ga effet, soit C <= o une droite fixe située dans le plan de la eoniquE doanée S; par le pôle de cette droite, menons les couples de droites canjuguées à S, A = o et B = o, A' = o et B' = o, etc. La courbe S «un pour équations

/A' 4- mB' + C = o, l'A'* + m'B" + C* = o, etc. car les triangles ABC, A'B'C. . sont évidemment conjugués à la conique,

On en déduit les identités

U* + mB* = l'A'* + m'B" = ..., et les équations équivalentes

(A' + mB» = i. i'A'« + m'B'» = 1

représentent la même courbe du second ordre; leur forme indique que A et B, A' et B'...., sont les diamètres conjugués d'une même conique, et le théorème est démontré.

Dans le cas particulier où le point fixe coïncide avec le fo^er ie^ conique donnée, les droites conjuguées étant perpendiculaires, la seconde courbe se réduit b un cercle.

§ 3. BELATION LINËAIRB BT HOMOGÈNE ENTRE LES CARiliS DBS MSTARCtS

DE SIX poinTS d'une codique a une droite quelconque; entre lis

PRODUITS DES DISTANCES DE SIX COUPLES DE POINTS, CONJDGDËS A DUE CONIQUE, A DHB DROITE QUBLCOHQDB.