Lortque »ix points reprétentiê par Ut équations
P, = o, Pi = o, P, = 0, P4 = o, p. = o, P» =0 appartùnnenl à une même conique, on peut toujours itétenniner ni coefficients A|, Ai, ^, A4, Ag, \ie manière à avoir l'identité 2 A|Pi* = o.
Soient (X|, 1/1), {xi, ^1) ■■-• (x*, ■/■)les coordonnées de six points appu^ tenant k la conique
On a les égalités
(■) ï+li^-- =».
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D'uD antre câté, pour que l'on ait l'identité
2/iP.'^o ou 2'.|{a:,M + i/iti+ i)*^o,
il faut que les coefficients des termes en u*, uv, v*, u, v et la quantité indépendante de ces variables soient nuls séparëmeol, et, par suite, que les coefficients ^i X» satisfassent aux équations
(i') ItX,* 4- ij3ri* -)- /,Xi' + Xa** + XiXt* + ^«*
(a') }.ix,y, + Xtxiift +
(4') iiXi + Àta:,+
La combinaison des équations (1'), (3') et {6'), après avoir divisé la première par a* et la seconde par 6*, conduit h la relation
1 i,x,» 2 >.yi* ,
Hais, si on multiplie les relations (i), (2),.... respectivement par h. Xi, Xi, , et si on ajoute membre à membre, on trouve
l'x.x,* 2°X,yi* ,
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n CD résulte que, si les points sont sur la conique, la relition (it) est une identité, car elle se réduitào>=o; les équations (i'), (3*) et (â*) De forment que deux équations distinctes, qui, ajoutées aux trois autres, donnent un système de cinq équations suffisantes pour déterniiner les rapports >i : Xi : X|.„. de manière i avoir la relation identique £ >iPi* = 0.
Réciproquement, lorsque sir points du plan Pi = o.... P« = o émnent Uett à VidentUé 2 ^i Pt' = o, ces poùilt sont situét sur une amiqm.
Car, dan* cette hypothèse, on a les égalités (i'), (2'), (3').... et aussi la relation (k) déduite des précédentes, a et 6 étant des quantitt's indéterminées. On peut supposer que a et 6 soient les demi-axes de la unique déterminée par les cinq premiers points el ayant pour équation
Or, cette relation (k) étant développée devient
et, comme les cinq premiers termes disparaissent, puisque les points i^it yt)t •■•■ (xg, ys) appartiennent i la conique, on doit avoir
et le sixième point appartient aussi à la même courbe.
THÉOHfiiB LOBBËLATiF. LoTSffut SIX droïUa Pi=^o P(=0 toM
tMigentei à une conique, on peut détertmner des coefficients ><, >., >«,
de maniire à avoir l'identité 2 ^Pi' = o.
Réciproquement, six droites, situées dans un plan el donnant Ueu <■ une identité 2 X<P<* = o, sont tajtgentes à une courbe du second ordre.
En vertu de la signification du premier membre de l'équation d'un point et d'une droite, l'identité 2 A(P<*=o exprime, dans le premier cas, une relation homogène entre les carrés des distances de six points d'une conique i une droite quelconque (u, v), et, dans le second, une reUtioo
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homogène entre les carres des distances de six tangentes d'une conique b UQ point quelconque (x, y) du plan.
S88. Lorsque iix couplea depointi P,P,' = o, ...., PgPe' = o sont conjugué» à une conique, onpeut déterminer des consUaUet ^i, ^i, .... i* qui donnefU la relation identique £ A|P|P|' ^ o.
Soit
l'ëquation d'une conique; la polaire d'un point(xi,j/t) est représentée par
et, pour exprimer que deux peints (zi, yi), (xi', y/) sont conjugués par rappertà la eourbe, on aura ta relation unique
de sorte qu'il Faut cinq couples de points conjugués pour déterminer une conique.
Cela étant, soient (xi, y,), (^l'y/) ■•>. (x«< y»), {xt, y») six couples de points conjugués k la conique (c); on aura les égalités
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Hais, pour qu« l'on ait la relation identique
2*A,P,P.' = o ou 2\{iiu+y.«+i)(x,'«+y,'r + i)=o,
il faut que les coefficients de u*, w, «*, u, v soient nuls séparément aiasi que le terme indépendant des variables et, par suite, les coefficients it, ^t, — •■ A« doivent satisfaire aux relations
>.(«.+«.')+ ■ • ■ '..(>.+ y.') +• • • ». + il +
On en tire, en combinant les égalités (i'), (3') et (6') eetle nouTelk équation
or, en vertu des égalités (i), (2) .... (6), le premier memtire est ual et l'équation (ft) est identique; de sorte que les équations (i'), (2').... (6']se réduisent à cinq, et on peut en tirer des valeurs finies et déterminées pour les coefficients Xi, ^.1... de manière i avoir l'identité 2^.|PiPt'^o.
Réciproquement, lorsque douze points PtPi' = o, . ., PaP'i = o satisfont i une telle identité, ces points forment six couples de points conjugués k une conique ; car il existe toujours une conique conjuguée aux dii premiers points pris deux i deux et ayant pour équation
les égalités (1') ... (6') étant données, on a aussi la relation {k) qui, élisl développée, devient
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et, par hypothèse, les cinq premiers termes étant nuls, on doit avoir la |relation
a* ' o' qui exprime que les points (i*, y»), (3-1', i/g') sont aussi conjuguées i la conique.
Tb^orâme coRR^LiTiF. Pow qiie SIX covpUs de droites P,W = o.... P«Pa' =^ o soient conjuguées d une conique, il faut et il suffit que ton oâ la relation identique 2 ^PlPl' ^ o.
1Ê99. Les thëorèmes qui précèdent sont extrêmement remarquables : le premier établit une relation analogue entre six points d'une conique, et a été donné, pour la première fois, par H. 0. Hesse, dans un petit opuscule sur l'homographie; mais l'illustre géomètre allemand n'a pas indiqué tout le parti qu'on pouvait en tirer pour la théorie des sections coniques. Les autres théorèmes se trouvent dans l'ouvrage de H. P. Seh- KBT, Giom&rie de direction, où ils servent de base à une nouvelle méthode pour la recherche et la démonstration des propriétés descriptives des courbes et des surfaces du second ordre. Afin de mettre en évidence l'utilité des relations précédentes, nous allons démontrer deux théorèmes qui s'en déduisent avec la plus grande facilité.
<••. Les sommets de deux triangles conjugués à une conique sont six points appartenant d une même conique (0. Uesse).
En effet, si on rapporte une conique aux triangles conjugués dont les sommets sont P| ^= o, P| = o. Pi = o, P4 = o. Pi ^=0, Pt = o, on a les équations équivalentes
AjPi* + A»P,' + A,P,' = o, i«P,' + ;i,p,» + i,P,* = o, qui entraînent l'identité
et, en vertu du théorème fondamental, les six sommets appartiennent h une même courbe du second ordre.
Kéeîproquement, six points tfune eorùque, partagé* en deux groupes de trois points, sont les sommets de deux triangles conjugués A une conique.
Car, lorsque six points sont sur une courbe du second ordre, on > l'identité
qui se décompose en deux équations équiyalentes
>iP(' + /iPi* + HiFi" = o, A4P/ + / J».» + hPt* = o; celles-ci représentent une même conique conjuguée aux triangles des points de chaque groupe.
Tbéobëme corrélatif. La côtit de deux triangles conjuguét à une cowbt du second degré sotU bingents à une même conique.
Réciproquement, sûr tangente» d'une conique, partagèet en daa groupes de trois droites, forment deux triangteê conjugués à une mémt conique.
Ml . Quand un quadrilatère est inscrit dans une conique, une Irai» cersiUe quelconque rencontre la coutbe et deux couples de côtés opposa n six points en involution (Desàrgdes).
De l'identité fondamentale A laquelle donne lieu six points pi,ptipt, Pu ps, p^ d'une conique, on tire les équations tangentielles équivalentes i.Pi* 4- ^iPt' = o. A,Pi' + ^P4* + /^.» + ^P.' = o. La première représente deux points fti, Tti situés sur la droite des points pupt de la conique et harmoniquement conjugués avec pi et pi ; en vertu de la seconde, le système des points ni,nt doit être conjugué au quadrilatère pipiptpn ^ sorte que les càtés opposés de ce quadrilatère sont rencontrés par la droite pip»
en des points conjugués à it, et Rt; donc les points jd, p,, et les traces de deux couples de côtés opposés avec h droite pip, font trois couples de points h ar m uniquement conjugués avec ni et m, c'est^-dire six points en involution.
Théorème corrélatif. Quand un quadrilatère est circonscrit d «w conique, les tangentes à la courbe issues d'un point quelconque, et les deux couples de droites qui joignent ce point aux sommets du quadr^ tère forment un faisceau en involution.
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Car si Pi = o...., Pb = o, sont les équations de six tangentes, la première des ëqnatioQs précédentes représente deux droites ni, m qui passent par le point d'intersection des tangentes Pi et ?«, et qui sont bariDoniqueinentcoDJiiguëes par rapport A ces tangentes. Mais, en vertu de la seconde, les droites ^i, tii sont conjuguées par rapport au quadrilatère formé par les tangentes Pi, P4, P|, Pa, de sorte que les sommets opposés de ce quadrilatère sont deux à deux conjugués par rapport à ces droites ; doDc les droites quijoignentle point (Pi P,] avec deux couples de sommets opposés forment avec les tangentes Pi, P* un faisceau en involution.
Le théorème de Desargues permet aussi de construire le sixième point d'une conique définie par cinq points p„ pi, p^, p,, p$; on mène, par le point;),, une transversale qui rencontre deux couples de côtes opposés du quadrilatère piptpipt en quatre points Tti, n„ tci, tcs; si on construit le point j)t qui forme avec pi Hi, n«, nt, n* une involution, ce pointai appartiendra à la conique assujettie à passer par les points donnés.
Nous ne pouvons ici insister plus longtemps sur l'utilité de la relation fondamentale 2, X,P(* = o; nous renvoyons le lecteur à l'ouvrage de H. Sbrbbt d'où nous avons tiré les démonstrations précédentes.
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