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HâUiodM de la trwufbmutloii dea figura ; théorla dM poUlret rMluroquea; fiffores taomogrftplilq,a«i et bomologIqaMi; txuuflonutiai pu lajmu TooteiOT réolproquM.

Souiiii.— Canêlmetion da dnu figurti eorritalivt* ave mu MnJftuau ailimlrt. É^mtiOH de la polaire riniprogite d'une courbe par rapport on cercle x^ + y* — r*=0 AppliaitUnu. Formulée qui tUfinitient la Iraïuformaliim komograpki^ue et iamelogique, UUHti de cet tranifonHatiOHt pour giuértUieer un théorème. Priuc^et it le Iraïufertuatûm par raj/oni vecteure rie^oquee,

M99. Étant donnée une figure dans un plau, on peut concevoir qn'oB en dtïduiee, au moyen de certaines règles, une seconde figure dontU nature dépend du mode de transformation que l'on a employé pour passer de la première à la seconde. Dans tous les cas, il est visible <(u'uDe propriété de la figure donnée va se transformer en uae propriété concs* pondante dans la figure dérivée- Ainsi, par exemple, si un cercle devicot, après la transformation, une section conique, plusieurs propriétés da cercle pourront s'appliquer aux courbes du second ordre. Il est donc possible de cette manière, soit de généraliser un théorème ou de ftciliter sa démonstration, soit d'augmenter le nombre des propriétés d'une ligne. Nous allons indiquer brièvement, dans ce chapitre, quelques modes de transformation très remarquables employés par Cbasles et Poncdet, les deux graads oudlres de la géométrie moderne.

D,gnz.dbvC00gle

§ 1. THÉORIE I>BS MLAIRBS AÉCIPROQUES.

S#S. Deux figures sont dites corrilativa, lorsqu'à un point de la première correspond une droite dans la seconde, et k toute droite de la première, uu point dans la seconde.

Les principes de la théorie des pAles et des polaires dans les courbes du second ordre, permettent de construire une figure corrélative d'une figure donnée.

Considérons d'abord une figure composée de droites et de points. Après avoir tracé dans le plan une conique auxiliaire S, on détermine les polaires des points et les pâles des droites par rapport à cette courbe : ces pôles et ces polaires forment une nouvelle figure, telle que les points et les droites dont elle se compose correspondent respectivement aux droites et aux points de la première. En vertu de la propriété de la polaire d'un point relativement it une conique, i un système de points en ligne droite dans la figure donnée, correspond dans l'autre un système de droites passant par un même point, tandis qu'un système de droites, passant par un même point dans ta première, donnera lieu & un système de points en ligne droite dans la figure corrélative; de plus, ces figures seront réciproques, c'est-à-dire qu'en appliquant le même procédé à la seconde figure on retrouverait la première.

Supposons que la figure donnée renferme une courbe quelconque C, et imaginons une droite qui se meut dans le plan en restant tangente Ji cette courbe. Le pôle de cette droite va décrire, dans la seconde figure, une courbe correspondante C qui sera le lieu géométrique des pâles des tangentes \ la première. Réciproquement, la courbe primitive C est aussi le lieu des pèles des tangentes à la courbe C. En efTet, le point d'iuterseetiOD de deux tangentes à C a pour polaire la droite qui joint les pâles de ces tangentes, et, par conséquent, une sécante de la courbe C; mais, si l'une des tangentes se rapproche indéfiniment de l'autre, leur point commun, à la limite, est le point de contact des tangentes qui coïncident, tandis que la sécante correspondante devient tangente à la courbe C. Done, une tangente quelconque de C a son pâle sur la ligne C, et celle-ci peut se déduire de l'autre de la même manière : de là le nom de polaire» réciproques donné aux courbes C et C. Les deux figures qui renferment ces lignes sont appelées figures polaires réciproques.

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SM. Une courbe du degré m a pour polaire réciproque une courbe de la >»'*" classe, c'est-à-dire une courbe d laquelle on peut merur m tangentes par un point donné.

Car, uac droite meDée dans la première figure peut reacoutrer une courbe C du degré m en m points; a ces points en ligne droite correspondent, dans la figure corrélative, un même nombre de tangentes i la courbe C issues d'un même point.

H résulte de ce théorème qu'une courbe du second ordre a pour polaire réciproque une courbe du même degré. Cette circonstance permet de doubler le nombre des propriétés descriptives des coniques ; car en cherchant la figure réciproque de celle oà se vérifie une propriété d'une conique, on aura une nouvelle figure qui renfermera une propriété correspondante et différente de la première. Pour énoncer la propriété réciproque, il faut tenir compte des changements apportés par la transformation. Comme un polygone inscrit dans une conique donnée se change, dans la figure réciproque, en un polygone circonscrit à la conique transformée, il en résulte que toute propriété relative à un polygone inscrit dans une conique se transforme eu une propriété relative & un polygone circonscrit. Ainsi, par exemple, on sait que, dans un hexagone inscrit i une conique, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite. Dans ta figure transformée, l'hexagone est circonscrit à laconique; déplus, les points d'intersection des càtés opposés ont évidemment pour polaires, par rapport à la conique auxiliaire, les droites qui passent par les sommets opposés de l'hexagone circonscrit. On a donc pour le théorème réôproque ou corrélatif .■ un hexagone étant circonscrit i une conique, les diagonales passent par un même poiot. En général, pour énoncer lethéorème corrélatif, il suffit de remplacer i droite par point, > > point par droite, > ( inscrit par circonscrit, ■ * lieu par enveloppe, ■ etc.

SOS. La conique employée pour la transformation est qoeleonque, et, pour simplifier, on peut prendre un cercle. Soit 0 (fig. 101) le centre d'un cercle de rayon r ; supposons qu'il s'agisse de construire la courbe réciproque d'une courbe donnée C par rapport à ce cercle. On sait que la droite qui joint le centre O à un point 1 est perpendiculaire k la polaire T de ce point ; de plus, si s est le point de rencontre de 0( avec T, on a la relation

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Cela étant, abaissons du point O des perpendiculaires sur les tangentes à la courbe C et prenons les longueurs tO, l'O .... telles que l'on ait

(0 • «0 = r% l'O ■ s'O = r»...., les points t, t',.... appartiendront n la courbe réciproque. Cette construction est indépendante de la circonférence du cercle auxiliaire; elle suppose seulement un point 6xe O Fi|. u».

et la relation (a) dans laquelle r est une constante quelconque.

SM. Trouver l'équation de la polaire réciproque iP'ine eoxtrbe donnée par rapport au cercle a:' + y' — r' = o.

Soit F (x, y) = o l'équation de la courbe donnée, et (or,, yi) l'un tie ses points dont la polaire par rapport au cercle auxiliaire aura pour équation

xx,+yy,—r* = o.

Hais, si u et t) sont les coordonnées d'une tangente à In courbe réciproque, on peut prendre pour l'équation de cette tangente ux + tjy-f I =o.

En comparant, il vient les relations

par suite, Xt^ — r*i», yt = — r*v, et l'équation de la polaire réciproque seraF( — rHi, — r*v)'=o. Si la ligne proposée était définie par 7(tf,v)='0,

la courbe réciproque le serait par ipi j» — i^l=:o. Dans le cas

particulier où le rayon du cercle auxiliaire est l'unité, on a cette règle : Une courbe étant représentée par F (i, y) ^ o ou ip (k, v) ^ o, l'équation de la polaire réciproque lera F { — u, — c)^o ou <p( — x, — y)^o. Considérons, par exemple, la conique représentée par l'équation Ay« + 2Bxy + Cx* + aDy -j- aEx + F = o; elle est définie en coordonnées tangcntielles par

(CF — E») u» + 2 (DE ~ BF) uv + {AF — D") «• + 2 (BE — CD) v + 2(BD — AE)ii-f AC — B' = o,

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où les roefficients (N» 183) sont les dérirëes du discrimioaDt :

ACP + îBDE — AE» — CD* — FB" prises par rapport à A, B, C, D, E, F. On en déduit pour les équations de la polaire réciproque

r' (Ar' + îBw» + C«*) — r' (aDw -i- 2Eu) + F = o

(CF - E') y' + 2{DE BF)3:y + (AF - D»)x' - r* [2(BE - CD) y +

2(BD — AE)a:] 4- r* (AC — B») = o.

Comme eas particulier, considérons uncellipse représentée pari'équaliun

et cherchons sa polaire réciproque par rapport h un point O, situé sur k grand axe, à une disUnce a du centre de l'ellipse. Si on transporte l'origine des axes coordonnés au point O, l'équation de l'ellipse derieot

OnaiciA^— , B=o, €■=— , D=o, Fii. (ui. 6' a'

E=:— , F^~j — i;en appliquant la dernière équation, on troure

que la polaire réciproque de l'ellipse donnée est représoitée par

La polaire réciproque est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suiyant que «c <^ a, « ]> a, a ^ a, c'est-ï-dirc suivant que le point 0 est à l'intérieur, à l'extérieur ou sur la courbe donnée. 11 est facile de montrer qu'il en doit être ainsi : car, si le centre 0 du cercle auxiliaire est en dehors de l'ellipse, on peut mener par ce point deux tangentes réelles à la courbe, et comme les droites qui passent par le centre du cercle ont leurs p6les situés h l'infini, la courbe réciproque aura deux points à l'infini et sera une hyperbole; quand le point 0 est sur l'ellipse, il n'y a plus qu'une tangente qui passe par ce point, et la polaire réciproque n'ayant qu'un point à l'infioi sera une parabole ; enfin, si l'origine O est à l'intérieur de l'ellipse, aucune tangente réelle à cette courbe ne passe par ce point, et la polaire réciproque sera une ellipse, puisqu'elle ne peut avoir aacaa point situé i l'infini.

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Ix>rsque le point 0 est au foyer de l'ellipse, a* = a' — b* et les coefficients de X* et de y* ëtaat égaux dans l'équation (i), la polaire réciproque est uQ cercle.

Enfin, si a = o, l'équation (4) se réduit i

^4-r; = -jt;) OU b*t/* -\- a*3d' == r* ; la courbe réciproque est une ellipse concentrique i la proposée.

■•T. La polaire réciproque d'une eireonférenee, par rapport à un txrele de centre 0, »l une section conique ayant pour foyer U point 0 el pour directrice la polaire dv centre de cette circonférence.

En effet, menons la droite des centres et prenons cette droite pour ase des X. Si l'origine est au point 0, le cercle donné est représenté en coordonnées rectangulaires par une équation de la lorme

(ac + a)'-|-y*-»' = o, a étant la distance des centres et R le rayon du cercle; par suite, l'équation de la polaire réciproque sera

(H' — a») X* -\- Ry — v*ax — r* = o, ou bien,

RV + y')-(«x + r')»=o.

Cette équation exprime que le rapport des distances d'un point de la eourbe i l'origine et i la droite ox 4- r* = o est constant, el, par conséquent, elle représente une conique qui a pour foyer le point 0 et pour directrice la droite ox +r* = 0 ou la polaire du point (— a, o) par rapport au cercle auxiliaire; ce qui démontre le théorème,

S#8. Puisque le cercle peut se transformer en une section conique, les propriétés descriptives du cercle s'appliquent aux courbes du second ordre. De plus, comme l'angle de deux droites est égal à celui des rayons qui joignent le centre 0 du cercle auxiliaire aux pôles de ces droites, toute relation métrique entre les angles des droites d'une figure qui renferme UD cercle se changera en une relation pareille entre les angles autour do point 0 foyer de la section conique. Nous allons donner ici quelques exemples du passage d'une propriété métrique du cercle i la propriété correspondante de la conique, en priant le lecteur de suivre avec atten-

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tîoD les changements qui résultent de la transformation du cercle en une eonique dont le foyer est le centre du cercle auxiliaire, et dont la directrice est la polaire du centre du cercle donné.

Dans UDC cooiqne, la droite qui joint le fojer au point d'Intenectton de dem laogenles est bissectrice de l'angle desnjMn Teeteun des points de ceotaeL

Du» un cercle, les tangentes sont également inclinées sur la corde des conticti.

Dans un cercle, lei rayons mené!

eilrémites d'une corde foDI des ai éftnx ITM celte droite.

Dans nn cercle, la tangente est pei^ pcDdicnlaire au rayon mené au point de

Dans un cercle, la droite qui joint le centre au point de concours des tangentes est bissectrice de l'angle de ces droites.

Dans nn cercle, la ligne qui joint le pdle d'une droite quelconque au centre est perpendiculaire! celle droite.

Dans un cercle, les tangentes menées aux Bitrémilés d'nn diamètre sont parai-

Le lieu du sommet d'un

ngle consUnt

n cercle eon-

Si un angle constant ACB se meut dans unpian, lesc^léB ACelBC étant assujettis à tourner autour des deux points fixes A et B, le gommel C décrit un cercle.

Dans une conique, la droite qnijeiglle Toyer au point d'inlerseclicHi de deux tangentes est bissectrice de l'angle des droites qui vont du Toyer aux points d'interteelion des tangentes et de la dirccthee.

Dans une conique, le rayon redenr da point de contact d'une tangente, est perpendiculaire à la droite qui JMDt le foya an point d'intersection de la tai^ente et de la directrice.

Dam une conique, la droite qui joint le foyer au point d'intersection d'une s4eaatc avec la directrice dinse en deni partie* égales l'angle des rayons vectenn te points de recontre de la sécante et de la

Dans une conîqne, un point quelconque et l'intersection de sa polaire avec la directrice sont vus du foyer sous nn angledroit.

Dans une conique, si on nifaie deui tangentes d'un point de la diredriee, h twde des contacts passe par le (aytr.

Une corde vue du foyer d'une couîqae sous un angle constant enveloppe nne see- [ion conique ayant même foyer et ment directrice que la première.

Si un angle constant tourne autotu- d'un point fixe 0, la droite qui joint les points d'intersection de ses côlàs avec deux dni- Us lîxes enveloppe une section conique.

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SM. Dana la transformation avec un cercle auxiliaire, le rapport anfaarmonique de quatre pftints en ligne droite de la première figure est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre droites correspondantes dans la figure dérivée ; car les droites qui joignent le centre 0 aux quatre points sontrespecti veinent perpendiculaires auxdroitesdufaisceau. 11 en résulte qu'on peut étendre les propriétés harmoniques du cercle aux sections coniques.

Dus OD cercle lei extrémités d'un diamètre soDt deux points barmoniquemcat conjugaëa p«r rapport id centre et ■n point i l'iD6ni de ce diamètre.

Les points de cooconn comaïQnes à deux cercles se trouvent sur la ligne des centres et la diviaent harmo- Biquement.

Si on joint nn point H d'un cercle ■ quatre points fixes de cette courbe, le rapport tnbarmoniqne du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la position du point H sur le cercle.

Ces quelques exemples suffisent pour montrer l'utilité et l'avantage de la théorie des polaires réciproques comme méthode d'invention. Elle s'applique aussi aux courbes d'un degré supérieur ; le lecteur qui voudrait étendre ses connaissances sur cette partie peut consulter les ouvrages suivants :

Dans une conique, les taogentes menées d'un point de la directrice forment avec cellS'ci et la droite qui joiat le foyer à ce point un biscetu de quatre driHtes harmoniques.

Les sécantes cominnnet de deux coniques qui ont un fofer commun vont coucourir au point d'ioterseclion des directrices, et fonnent avec celles-ci un faisceau de quatre droites harmoniques.

Une tangente Tariable est rencontrée par quatre tangentes fixes d'une conique en quatre points dont le rapport uiharmonique est constant.

it ce géomètre qai est e gëoérale

Traité des proprUléi pr^eetwei dei /Iguru par Pokciut. C'ei l'autenr de la théorie des polaires réciproques; il l'expose d'u lome U, page 1^, pour les courbes et les surlaces.

Traïuformalùm âttprepriitii mitrigua du figurei à l'aide de la tUorie du palaira rie^^rojtut par A. Hàhhikih. Paris, 1807.

Mitnoirt ntr la tramfoniialien parabolique dei ratafiotu mitrigvt* ie* figure» par Cbaslib. L'auteur prend pour courbe auxiliaire une parabole et s'appuie sur le tbëorème suivant : Les polaires de deux poinls quelconques prises par rapport è une parabole, ÎDlareepleut sur l'axe un segment qui est égal en longueur i la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points.

Mémaire de g^miitri» tur il printipe de dualité f»r Cbim.'u, lome XI des méaiaires couronnes de l'Académie de Belgique. L'auteur expose la théorie générale des figure* CMTélatives, et en déduit, comme cas particulier, U théorie des polaires réciproques.

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% 2. FIGDRE3 HOHOGRAPHIQUBS.

S19. Si, après avoir forme la figure corrélative d'une figure doDaêe, on lui applique le même mode de transformation k l'aide d'une noovdle conique, on obtient une troisième figure composée de points et de droites qui correspondent aux points et aux droites de la figure donnée; k des points en ligne droite, à des droites concourantes dans la première figure, correspondent des points en ligne droite et des droites passant par m même point dans la troisième; en un mot, ces deux figures jouissent des mêmes propriétés descriptives; on les appelle figures homograplaqua.

Stl . 11 est facile de construire une figure homographique d'une figure donnée. Considérons une figure rapportée k deux axes OX, OY. Soil H (X, Y) un point de cette figure, et m (x, y) un autre point du plan qui doit correspondre au premier dans la figure homographique. Posons

oix + 6.y-J-ct' otx + 6iy4-et'

a, 6, e, ai sont des coefficients constants.

Une droite de la figure donnée représentée par (D) pX + <,Y + r = o,

aura pour droite correspondante dans la seconde celle de l'équation (rf) p(ax + by + e) + q{a,x-{-b,y + c,) + r{a^ + bty + Ct} = o.

Il est évident que si trois points de la première figure (X|, Y|), (Xt, Vt), (Xj, Yi) sont sur une même droite D, les points correspondants dans b seconde (xi, t/i). (x±, y%), {x%, yt) seront aussi sur une même droite d. De plus, si trois droites

. pX + 9Y + r = o p'X-\-q'Y + r' = o, p"X + q^'Y + r" = o de la figure donnée passent par un même point, oo peut trouver trois constantes k, k', k" de manière à avoir l'identité

k(pX + qy + r) + k' {p'X + q'Y + r') + k" {p"X + ^"Y + r") = o, et, en remplaçant X, Y par leurs valeurs tirées des relations (B), cette identité exprime que les droites correspondantes dans la figure dérivée passent aussi par uo même point. Il en résulte que toute figure consbuite

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^l'aide des formules (H) est homographique avec la proposée: sa position et sa forme dépendent des valeurs que l'on attribue aux constaoles a, 6... Réciproquement, quand deux figures sont hamographiques, il existe, entre les coordonnées X, Y d'un poiat de l'une et les coordonnées jr, y du point homologue dans l'autre, des relations de la forme (H); car, pour qu'à une droite de l'une des figures corresponde une droite dans l'autre, il faut nécessairement que les deux termes de chaque fraction soient des polynAmes du premier degré ea x et y et que le dénominateur soit le même.

31S. Les formules (H) qui définissent l'homographie d'une manière générale renferment huit constantes, après avoir divisé les deux termes de chaque fraction par c*, et à quatre points quelconques de l'une des figures, on peut faire correspondre quatre points quelconques de l'autre; car, en suhstituant les coordonnées de ces points, on aura huit équations pour déterminer les constantes arbitraires.

Les points situés à l'infini dans la première figure ont, pour homologues dans la seconde, les points de la droite représentée par l'équation (I) tnx + 6,t/ + Cl = o,

de sorte que les droites de la figure dérivée qui correspondent aux droites parallèles de la figure donnée vont se rencontrer sur la droite (I).

Enfin, il est utile de vérifier, si deux figures homographiques peuvent avoir des points qui se correspondent k eux-mêmes.

Pour qu'il en soit ainsi, on doit avoir X ^ x, Y =' y et les équations (H) devienaent

x(o,a; + 6iy + Cl) = ox + 6y + c y(o,x 4- h,y + c) = «,i + 6^ + c.

Ces équations sont du second degré et représentent deux hyperboles qui ont chacune une asymptote parallèle à la droite(I)aix4-^t/-(-ci=o; car il est visible que la droite I ne rencontre chaque courhe qu'en un point.

Il en résulte que les deux hyperboles ne peuvent se rencontrer qu'eu trois points situés h une distance finie, et il n'existe que trois points qui coïncident avec leurs homologues dans les deux figures ; ces trois points s'appellent ;join(g doubles.

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SIS. Considérons deux figures homograpMques ; soient A = o, B = o, C = o les équations de trois points de la première figure, et

celles des points correspoadants de la seconde. En rapportant les figures respectivement aux triangles ABC et a.^, les formules de la transformation bomographique eu coordonnées tangentielles seront ,. ABC

puisque les points «c = o, ^=>o, ^^o doivent correspondre respectivement aux points A ^ o, B ^ o, C = o. Les deux constantes m et n se déterminent «[i faisant correspondre deux autres points dans les figures. Si les équations précédentes représentent des droites correspondantes, les formules (A) seront celles de la transformation bomographique en coordonnées triangulaires. Les coefficients m et n permettent de faire correspondre une quatrième droite de la seconde figure à une quatrième droite de la première.

S14. liant deux figure» homographiquet, te rapport anharmoniqut 4t quatre points en ligne droilt est égal à celui des quatre point» corretpoHdantê.

Soient

A = o, B = o, A — tB = o, A — A'B = o les équations de quatre points en ligne droite de ]» première figure.

Les points correspondants, dans la seconde, sont représentes par

a = o, p = o, ma — nkp = o, ma — nf (3 = o. Les rapports anharmoniques de ces deux systèmes de points sont ni

m ces rapports sont donn égaux ■

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SIS. Danê deux figures homogn^thiqua, te rapport anharmoniqut de quatre droites iasues d'utt même point est igtU d edui des quatre droites eorreapondimteê.

Même raisonnemeat que dans le Quméro précédent, en supposant que les équations représeoteol des droites.

SIC n résulte des formules (H) et (A) que la transformation homographique ue change pas le degré d'une ligue; la courbe homographique d'un cercle sera, en général, une section conique. Toutes les propriétés descriptÎTes du cercle et les propriétés métriques qui ne dépendent que des rapports aoharmoniques s'étendent aux sections coniques. L'homographie sert k généraliser les propriétés de l'étendue, en passant d'un cas particulier d'une proposition à la proposition générale.

Ez. I. MeDOQS dans un cercle diff^raots diamitrei; le point btrmoniqae conjugué du eeatre, p«r rapport «ux eitrêmîléi de chican d'eux, se troUTc à l'infini. Si on «pplique II IraDBfbrmilïon homographique, le cercle se cbauga en nne section conique; aui diamètres correspondent des sécantes qui passent par on point fixe, et le point conjugué bamonîqae de ce dernier, par rapport lui points où chaque sécante rencontre la courbe, doit se trouver sur nne droite I qnî eorrespond i l'infini de la première figure. De li ce Ihéorème : Si, par an potnl fime, on mène dt* téenitteM à une ecnigue, U lieu du eenjugMi harmoniqttt du point fime, par rappel aux pomtt d'inUriection dt chapM licaate aveela courbe, tel Mnt ligna droite,

Ex. M, luscrivou), dans un cercle, un hexagone tel que les celés opposés 1 et i, i et S soient reipeetiTement parallèles; les deux autres cAtés opposés 3 et 6 seront aussi parallèles, de sorte qne les points de concours des eAtés apposés se trourentl l'inGni. Par la transformation homographique, on aura un hexagone quelconque inscrit dans ooe conique et dont les cités opposés se rencontrent sur une droite I qui correapond à Tinâni de la première figure ; ce qui démontre le Ihëorème de Pascal,

Ex. S. t/ntriangtevariabtiitimlinicrildanemeciniiqve, *idtug de tucilii pauml par deux poiali fixée, U Iroieième enveloppe une eettùm amique donhiemeni langtnU à la propoeie nifuanl la Ugni dei pointe fixée.

Pour démontrer ce théorème, considéroni un triangle inscrit dans un cercle dont deux cités se meuvent parallèlement à deux ligues fixes, le troisième cété conserve ëvidemment la même longueur, et, pnr suite, il enveloppe nn cercle coneeolriqae an premier.

Par la transformation bomographique, on «nra un triangle inscrit dans une conique dont deux cdtés tournent autour de deux pointa fiies, situés sur la drùte qui correspond à l'infini de la première figure, et le troisième cAté enveloppera nne Mction

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Muiqua ()ui (oachari la première sDiTint la droite des poiati ftie*ï cwr od sait qnt deu cercle* concentriques doiTeal ^Ira eoaiiiérii cemiue ayant du double conltct à

Le théorème corHIatif du précédent peut l'énoncer aÎDii :

Un IHattgU ilmt nb^OHtcril à une cotùque, ti deux dé iti fommed glùitnl tar 4m« tignu fixei, la troinènu fommel déerit une conigue doublement îangente à la pntpoëir MtiDunl lapokûre dupoinl d'interêtction de* droitei fixe*.

Ex. 4, Soient deux angles coDittnti a et ^ qui tournant antour de lenn gammcti ■ et H' de manière h ce qae lei celés HA et HA' le coupent sur ou cercle ; le point d'intenection a dei deux aulrea c&tis décrira un cercle qni passe par le* point! H et M'.

En fldiel, l'angle MaH' est ravsuré par - (HH' + A'B) ; mail l'arc HH' est eonclMt, et

il est facile de Tairqnel'irc A'B est aussi constant, lorsque les côtés HA' et H'B tonrtMnl autour dei points H et H' ; car, d'après la natare du mourement, ces edtés toornenti la fois d'en méae angle. Donc, l'angle HaU' étant conslaAl, le sommets décrit une circonrérence qui passe parles points H etM'. Par la transformation homograpbique, on arrîrean ibéorênie suivant: Sideum ançtei emulmtoff^lrarnent auloui" delenrë eeminiUK <IH' de manièreg»* le point itiHler*teiiim de deua eôti* Mwteuvenrnne coaiquepattanlparlei pointe H (1 H',l«t>«^' d'mientelion det attirée eitét dierira nasf un» ettlion eni^nt

Fi|. i(

Dans le eu particulier oii la première cooiqne

réduit k deux droites, l'nna d'elles étant HH' et l'autre une droite quelconque sur laquelle sa coupent deux cAtés des angles mobiles, on iirive i la coDitraclioo soÏTaBie d'nne coniqui :

SidnimangUêei>netaaték}SK':=a,kWS=^^ tonmenl antour de teiereetmmeUU il W de telle torle que dtum eâlée ee toupent enr une droite fita, lepaiml d'inleritititm dee devx autreeedlredirril une eeeUoneamqite qui patte par UeÈOnmelM dee m»flet mobilet.

Cette construction a été donnée par Niwtoh.

§ 3. FIGtlRES HOHOLOGIQUES.

SIT. Deux figures sont appelées homologùjues, lorsque les points correspondants §e trouvent sur des droites qui concourent en uaméme point, tandis que les droites correspondantes se coupent sur une même droite.

PoHCELRT a exposé le premier la théorie des figures homologiqoes; il ■ donné le nom d'homologues «ux points et aux droites qui se correspondent dans les deux figures. Le point oîi concourent les droites qui ren-

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feraient deux points homologues est le centre d'homologie, et In droite fixe où se rencontreat les droites homologues, l'axe d'homologie des deux figures.

ConsidéroDS uoe figure quelconque rapportée ii deux axes OX, OY; soient X, Y les coordonnées de l'un de ses points, et Xo. y« celles d'un point fixe du plan. Si on représente par x, y tes coordonnées du point homologue du premier, tnule figure construite au moyen des formules

/Kl ^Li^=ï.:ry?= l

^ X — x» y— yt £r + my + B

sera homologique avec la proposée. En effet, on en déduit

X Xg X Xo

et deux points homologues quelconques (X, Y), (x, y) sont en ligne droite avec le point (z«, yt). De plus, à toute droite de la figure donnée représentée par pX + 9Y 4- r = o, ou jj(X — Xo) 4-ç(Y — yo) -\-fXa + çy» + r = O, correspond une droite ayant pour équation

p(x — Xo) + g(y — yo) + (îiXo + îy<, + r)[Ix4-fny + H) = o, et il est visible que le point d'inlersectioa de ces droites se trouve sur la droite fixe

(P) /i + my + n— i =0.

La seconde figure est donc homologique avec la proposée : le point (xd, yà) est le centre, et la droite (P) l'axe d'homologie.

Réciproquement, étant données deux figures homolt^iques, les coordonnées de deux points homologues (X, Y), (x, y) sont liées par des relations de la fosrme (K). En effet, puisque ces points se trouvent en ligne droite avec le centre d'homologie (x*, yo) on doit avoir

î=»'»;i»-, d'où ^-iz^J'—y-:

A — Xt X — Xo X — Xo y — yo

et, comme à une droite de l'une des figures correspond une droite dans la seconde, chacun de ces rapports doit être égal â une fraction dont le numérateur est une constante ou l'unité, et le dénominateur une fonction du premier degré en x et y.

D,gnz.dbvC00gle

Lorsque le centre d'homologie coïacide avec l'origine des coordonnées, lea formules (K) deviennent

X y Ix + my+n

SIS. Les figures homologiques rentrent dans la «âitégorie des figures homographiques, car les formules {k) dérivent des formules (H) (N* 311) en posant a = bi^ i, 6 = c = ai ^c< =o, ot = /, b, = m, et c= n; mais elles renferment une infinité de points doubles déterminés p*r les équations

x(tx + my + n)=x, y (Ix + my + n) = y, ou

1 (fi + my + n — i) = o, y (ix + my + » — i) = o obtenues en posant X ^^x, Y =y. Il en résulte que le centre d'homologie (jr=y^o), et les points de l'axe d'homologie fx+my + n — i=o sont des points qui se correspondent k eux-mêmes dans les deux figures; par suite, toutes les droites qui passent par le centre sont des droites doubles.

StS. Soient

deux droites qui passent par le centre d'homologie de deux figures, et

A — *B = o une droite quelconque issue du même point; la droite homographique correspondante sera (N* 5151

ma — «É;5 = o.

Mais, dans deux figures homologiques. cette droite doit coïncider arec

ta première qui passe par le centre d'homologie; donc m =^ n : les (oi^

mules de la transformation bomologique en coordonnées trianguliires

ne renfermeront qu'un seul paramètre et seront de la forme

C ^ o, étant l'équation de l'axe d'homologie ; A, B, C et a, 3, y sont les coordonnées de deux poiols homologues des figures rapportées il un même tritngle de référence ABC ^ o.

D,gnz.dbvC00gle

On voit immédiatement que deux droites homologues

XA + fiB + wC = O et ia + f^P + vmy = o se coupent sur l'axe.

SS*. Od peut éteadrc aux %ures homologiques les propriétés des figures homographiques. Ainsi, le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite ou de quatre droites qui passent par un même point de la première figure est égal h celui des quatre points ou des quatre droites homologues. La transformation homologique ne change pas le degré d'une courbe, et, en général, un cercle se change en une section conique. On peut ainsi, comme par l'homographie, généraliser une propriété d'une figure et déduire plusieurs propriétés des sections coniques de celles du cercle.

El. 1. Deux eoniquei dmu itn ptm umt loi^'ouri honu^ogiqitet.

ConiidJroDs deux cooiques qui se coupent en quttre points réels, et menoiu lei Udgentes eommanei A et B. Soient C et D les sëcint^s communes conjuguées qui p*sscnt p*r le point d'intersection des cardes de conlict des tangentes communes. Rapportons les deiu courbes au triangle ABC ; les équations des cordes de contMt seront île la

lA + /iB + .C = o, U -I- /iB + .'C = o

puisque la seconde passe par le point d'Inlerscclion du cdté C avec la première. Cela

étant, les deux coniques sont représentées par les équations

AB — {U-t-juB + -*)■ = o,

AB — (lA -t- /<B -K /C)' = o,

et, comme on peut pisser de la première à la seconde avec les relations

les deux coniques sont homologiques. Le point de concours S des tingent« est le centre, et la sécante commune C l'aie d'homalogie. On arriverait évidemment an même résultai, en prenant pour le troisième cAté du triangle de rérérence l'autre sécante commune Dj doDc les sécantes conjuguées C et D sont deux axas d'homologie qui correspondent an centre S. On verrait, de la même manière, que le poînl de concours S' des deux autres tangentes communes est aussi un centre d'bomologie dont les axes sont encore les mêmes séunles communes C et D. Les autres points d'intersection des tangentes communes saul également des centres d'homologie aj'ant pour axes les antres sécantes communes conjuguées.

D,gnz.dbvC00gle

Puisque denx coniquei siloëei d'une mtaière qnsleoiiqne dus on plan ont (atljwm dans ijeante* eonuniiDe» et deni ombilics r^els, il existera donc loujoura deux centra d'homologie et deai uet qui leur correspondent.

Ex. *. Si deum MHugtiet tt toiàelunl, U poiiU dâ eoH4ael rai n» eaitre d'komelagit ia dtum BimrbtM,

Eneffet, si deui points d'intersection de deui coniques se confondeat, les deu Iidgenles eommanei eolneideat, et leur poiiit d'intersection, i la tiniile, est le point de contact de* courbes. L'aie d'homologie sera, dans se us, la droite qui pane par kl deux autres points d'inlersectJon dei conique*.

CoraUaire, Si deux coniquesont un double contact aux points i et «', les tai^entes en ces points se coupent en un point S qui sera un centre d'homologie dont l'aie correspondant est la corde des eoulact*. Les points t el f' sont aussi des centres d'h<»>logie dont [es axes sont les tangentes qui aboatissent an point S.

El. S. Si aHttmr d'tui point d'une amtfite on fait dmnwr «n attgU de yuwdnr etmttaitta, lu cord» inlaretptét iaiu la Mmrb» tnveleppr mu «ecliom csiufw qn a tm dimbU eentatt aoee ta propetie.

Imaginons un cercle qui louche la coniq ne- donnée au sommet de l'angle ; le point de contact étant un centre d'homologîe, la corde interceptée dans le cercle est bomologoe i celle qui est interceptée dans laconique; mais la première euTcloppe un cercle eancentrique; donc la seconde euTeloppera une conique qui aura un double contact arec la proposée, puisque deux cercles concentriques ont un double eonlacl sur une droite il l'infini.

Df ns le cas particulier où l'angle est droit, la corde interceptée dans le code elt une droite qui passe constamment par le centre du cercle j or, le cerde et la eoniqw ont m£me normale au point de contiet, et celle^ est dirigée suivant le diamètre du cercle qui passe par le sommet de l'angle ; de 11 ce théorime : Un angU init, qm toitnu oiifour d'un peint d'une eoniqut, initretpte mr celle courbe une tarde qui p*ut par un point fixe de ia «ormale on umuiut de l'angtt.

Ex. 4. Deum conique* qui ont un foyer eoeunim lonl hotnùiogique*.

Quand l'origine des coordonnées est au foyer, une conique est représentée par une équation de la brme

Or, si on pose

im ■*- my -t- n Im-t-my-^-n

on trouve on* équatiou de la même forme, qui sera celle d'une nouvelle conique lynt pour foyer l'origine. Le foyer commun est donc un centre d'homologîe des deui courbes.

Il résulte de ce théorème, qu'un cercle de rayon quelconque décrit du foyer d'une conique, comme centre, sera homologique k cette conique ; car, dans un cercle, les hjtn aoni confondus au centre.

On ponrrtit démontrer les propriétés focales d'une conique en partant de ce tfaéerèaie.

Es. S. l* fMIilttde de rf«M figvtet «i( im cm partkuUir dt t'homotofie.

D,gnz.dbvC00gle

D effet, sil=±m^O, duu les formule* (i), il vient

Dans ce eu, les droites horaolognes sont pinllèles, et l'iie d'bomologie est i l'infiiii : deux polygooes doDt les sommets sont sar des droites qni passent par on même point ayant leurs cAtëa parallèles seront semblablea; car il est évident que les angles sont égaux chacun i chacun et qtis leurs eAtës sont proportionnels.

§ i. TKAHSFORIUTION PAR R&VONS VBCTEURS RÉaPROQUBS.

SM. Supposons que I'oq ait une courbe S et un point fixe 0; menons, par ce point, le rayon OH qui aboutit en un point H de la courbe donnée, et prenons, sur cette ligne, une longueur Om telle que l'on ait :

OmOH = lt%

k étant une constante. En répétant cette eonstruetioo sur les différents rayons menés & S, le lieu du point m sera une courbe dérivée de la première, Ji laquelle on a donné le nom de cottrbe inverse de la proposée. Le procédé employé pour construire une figure inverse s'appelle îransformalion par rayonê veeteun rédproi/ues ; le point 0 est le pôle, et la constante k le module de la transformation.

Afin d'établir les formules de transformation, supposons, en premier lieu, que la courbe proposée soit définie en coordonnées polaires par l'équation

F(p,«) = o, le point fixe 0 étant le pAle. Désignons par r le rayon vecteur de la courbe inverse ; on aura, par définition,

r-p^ft'j don p= — ;

par suite, le courbe inverse aura pour équation

Soit, en second lieu, <p (x, y) = o l'équation de la courbe proposée rapportée à un système d'axes rectangulaires issus du point 0. Appe-

D,gnz.dbvC00gle

Ions ^, n les coordonnées du point m qui correspond au poit H {s, y) de la courbe donnée ; on aura les égalités

On en déduit

" hH^

mais on a : r' =

+ y*; par suite,

il viendra

pour

tes

formules de transformation,

11 en résulte que la courbe inverse de la proposée

sera représentée

psr

l'équation

SVS. Comme application des formules précédentes, eberchoos d'abord la courbe inverse d'une droite ayaat pour équation Ay-\-Bx + C = o.

Par la substitution des valeurs de x et de y, il vient C(Ç» + >i') + A»(Al + B5) = <'; par conséquent, /'inverse d'utte droite est tin cercle qui passe par k pék. Si on fait une substitution analogue dans l'équation x*-{-y*-\- 2ax -\- îby + c = o, on trouve pour l'équation transformée

c(i' + ri') + 2k*[ai + br,) + k* = o; elle s'abaisse au premier degré si c =^ o. Donc, l'inverse ifune eircenfirence est une circonférence; dans le cas où elle passe par le pôle, l'iorerte se réduite une droite.

999. Les propositions qui précèdent se démontrent facilement pu la géométrie élémentaire ainsi que les deux propriétés suivautes :

D,gnz.dbvC00gle

Les tangentes aux points m el H qui se correspondent dans une courbe et son inverse sont également inclinées sur le rayon OH;

L'angle de deux lignes quelconques qui se coupent est égtU d l'angle des deux lignes inverses.

La transformation par rayons vecteurs réciproques est moins impor* tante que la transformation psr polaires réciproques; cependant elle est quelquefois très utile pour simplifier les démonstrations; de plus, elle a ^té employée avec succès, comme méthode d'investigation, pour obtenir des propriétés nouvelles d'une ligne qui varient suivant le choix que l'on fait du p6Ie de Iransformation. Nous ne pouvons insister davantage sur ce sujet, et nous terminerons en proposant aux élèves de démontrer les propriétés suivantes :

1 ■■ Deux cercles, situés d'une manière quelconque dans un plan, peuvent toujours être regardén comme inverses fun de l'autre;

2° Les tangentes aux points correspondants de deux cercles inverses te coupent sur Caxe radical des deux eereleti

3° Deux figures inverses Fi, Fi dune même figure F, correspondant à deux videurs différentes du module, sont homotkéliques;

4* L'inverse de la polaire du centre d'une conique est une conique;

S* L'inverse d'une conique ayant pour foyer le pâle, est une eonekiiide circulaire;

6° L'inverse d'une parabole ayant pour sommet le pAle est une citiolde; 7* L'inverse d'une hyperbole équilatère est une Umniscate.

D,gnz.dbvC00gle