COURBES ALGÉBRIQUES
SoMiuiu. — £;iulH»i générait du degré m. Ctnire, diamètre, axa, taiigentt,p«laini tt atjfmpletti. Singuiarilét ordinairet; pmpriitdi du palairtt tl dt l» ktmntt rtlaavttnent%v3spomUtmttiptti; formvleM dePlûther, Théerime» générmt* mr Iti eini7^< algébriqvti ,' faÙBtnu et rieeaa de emirbei ; eowbee unieuriulei ; (rMl/ïrtnatiant ttnifàmee. Afplieatiaju diverte*.
SS4. L'équation générale du degré m peut s'écrire »ous la forme
Elle renferme un terme du degré zéro par rapport à x et y, den termes du i^remier degré; trois termes du second degré ■••et m-j-i termes du degré m; le nombre total des termes est donc
par suite, celui des paramètres arbitraires est donné par (m + ■)(»> + 2) ^ m{m + 3)
Nous désignerons ce nombre par a. Il faut en général s points pour déterminer complètement une courbe du m""' ordre. Il y a avantage d'écrire l'équation précédente sous la forme abrégée
ou encore
Çj désignant une fonction homogène du degré i par rapport i jc et y. Si
D,gnz.dbvC00gle
OD la rend homo|;ène par l'introduction d'une nouvelle variable z, elle devient
Dans cette équation, en posant z = i, les variables x et y représentent les coordonnées cartésiennes. Nous pouvons aussi admettre que z, y, z sont les coordonnées triangulaires ou les distances d'un point aux cdtés d'un triangle. On est maintenant familier avec ces quantités et il est inutile de leur conserver uoe notation spéciale.
De même, on prend pour l'équation d'une conrbe de la classe m
ir. (u, «) + n, (m, v) 4- îT, {«, v) H \- ir. (ii, v) = o
ou
JT» + ir, + xt -1 h T* = o ;
Tti représente une fonelion homogène du degré t par rapport à u et «. Sous la forme homogène, on a
JT. +wn«i + «''J^■t^ — • + «i"iro = o, et ici encore, pour u>=i, ce sera l'équation par rapport aux coordonnées tangentielles ordinaires u et v; dans beaucoup de questious nous regarderons u, v et w comme les coordoonées taDgenlielles triangulaires ou les distances d'une droite aux sommets d'un triangle.
Avant d'entrer dans la théorie générale des courbes algébriques, il faut d'abord exposer les notions préliminaires indispensables.
