CENTRE ET DIAHÉTRES ; TANGENTE, POLAIRES ET ASYMPTOTES
SIS. Le centre d'une courbe est un point tel que toute droite qui le traverte rencontre la courbe en des points situés deux à deux d égale distance de ce point.
Nous avons fait la détermination du centre dans les courbes du second ordre en partant de ce principe, qu'en y plaçant l'origine, l'équation doit rester invariable en remplaçant a: et y par — i, — y. D'après la définition précédente, la même propriété doit exister par rapport à l'équation f(x, y) = o d'une courbe de l'ordre m rapportée à son centre ; ce qui exige que les termes qu'elle renferme soient tous de degré pair ou tous de degré impair ; dans le premier cas, la substitution indiquée ne changera rien ; dans le second, tous les termes changeront de signe mais l'équation reste encore la même pourvu que le terme constant soit nul ;
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elle est alors vërifiëe par se = o, y = o; par suite le centre d'uoe conrbe d'ordre impair doit appartenir k la courbe.
Une courbe algébrique rapportée !i son centre est donc définie par l'aoe des équations suivantes :
'p. + 9> + 'P«+ — = o- Pour déterminer le centre (x*, t/') d'une courbe de l'ordre m reprcsentce par f{x, y) = o, il faudrait transporter l'orig^ine en ce point et déterminer ensuite x', y' de manière que l'équation nouvelle prenne l'une des deux formes précédentes ; quand la courbe n'est pas du second ordre, le nombre de conditions que l'on obtient ainsi est supérieur ■ deux ; on en conclut, qu'en général, une eourbe algébrique n'a pis de centre.
Si, dans certaines circonstances spéciales, la courbe admet un centre, elle ne peut en avoir qu'un seul h moins qu'elle ne se réduise à un système de droites parallèles. En effet, supposons, par exemple, qu'uae courbe du quatrième ordre ait deux centres 0 et (X ; prenons le point 0 pour origine et la droite 00' pour axe des x. Soit, dans ces conditioas, ox'y le terme qui renferme x à la plus haute puissance dans l'équation ; en transportant l'origine en 0', il deviendra a(x-{-d}^y ou ax*y-\-jax' Ht/ -\-..., d étant la distance des points fixes. Or le terme iax*ibf ne peut se réduire avec aucun autre provenant du changement de x en x+d dans les termes d'un degré moins élevé en x; donc, l'équation ne renfermant plus des termes de même parité, le point 0' ne peut être un centre de la courbe a moins que la variable x ne soit absente de l'équation ; mais alors la courbe se réduirait à un système de droites parallèles.
• S0. Diamètres. Nous avons défini le diamètre d'une courbe le Heu des milieux des cordes parailètet à une direction donnée.
Dans les coniques, ce lieu est une droite ; mais il n'en est plus ainsi, en général, dans les courbes d'un ordre plus élevé. En effet, une droite rencontre une ligne de l'ordre m en m points ; la combinaison de ces
points deux Jt deux donne un nombre de cordes égal à — ^dontles
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milieux appartienneat h la ligne diamëtrale ; cclle-ct sera une courbe de
l'ordre — -^ puis qu'une droite peut la rencoDtrer en ce nombre de
points. Pour m ^3, le diamètre est unq courbe du troisième ordre; pour m ^4, une courbe du sixième ordre, et ainsi de suite. On voit ainsi que la détermination de ces diamètres ne peut être fort utile dans la construction d'une courbe.
Il existe quelquefois des diamètres rectilignes; par exemple, si l'équation f{i, y) = o d'une courbe reste invariable lorsqu'on remplace y par — y, l'axe des x sera un diamètre rectilignej car, pour chaque valeur de X, on a des couples de valeurs égales et de signes contraires pour l'ordonnée. De même l'axe des y est un diamètre rectiligne quand l'équation ne change pas en remplaçant x par — x.
Un diamètre rectiligne perpendiculaire aux cordes s'appelle axe de la courbe. Dans le système de coordonnées rectangulaires, t'axe des x est un axe de symétrie de la courbe, quand l'équation ne renferme que des puissances paires de y; la même chose a lieu pour t'axe des y, si l'équation ne renferme que des puissances paires de t. Enfin, quand une équation est symétrique par rapport â x et y, c'est-à-dire qu'elle reste invariable par la permutation de ces lettres, ta bissectrice des axes coordonnés est un axe de la courbe; car, en admettant que les valeurs X ^ a, y ^ |3 vérifient l'équation, il en sera de même de x c=a p, y = a ; ces points se trouvent sur une perpendiculaire à la bissectrice et h égale distance de cette droite.
Avant de terminer ce sujet, nous ferons remarquer que Newton a défini un diamètre d'une courbe en partant de la notion du centre des moyennes distances d'un système de points en ligne droite. Supposons que l'on mène une série de droites parallèles, chacune d'elles rencontrant la courbe en m points; nous allons voir que le lieu du centre des moyennes distances de ces points considéré sur toutes les transversales est une ligoe droite. Soit
l'équation de la courbe et y = mx + b celle d'une droite où m est constant et b variable. Par l'élimination de y, il vient :
>fm(x, mx -(- 6) + ¥--* {'^ï *"^ "i" ^) "t =o.
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et, en développaot,
9„(i, mx)-\-<f)'m{x, wix)6 + --- + Œi»({x, fftx)-{ ^o.
Les fonctions 9 étant homogènes, on peut écrire
ç, (i , m) X- + [9;, (i , m) 6 + <p», (i, m)] se—* H =0.
Cette équation donne les m obcisses Xi, Xi,... x« des points de rencontre de la droite avec la courbe. D'après les relations existant eulre les coefficients et les racines, on a
,. + ., + ...+x, = -^ti.».)fr + 9--.(..W.
Or, si X et 3/ sont les coordonnées du centre des moyennes distinces, il vient la relation
Ji + J^i H h X, ^ f'm{i,m)b+ (fm-, (i , Bi)
en y ajoutant y = ffix-]-6 pour éliminer b, on trouve pour le lieu des centres
C'est une ligne droite appelée par Newton diamètre de la courbe correspondant à la direction y = mx.
S97. Tangente el normale. Soient (x', y', z') un point de la courbe représentée par /(x, y, a) = o. Prenons
X ^ x' + iû, y = y' + f*p. JE = a' + vù
pour les équations d'une droite quelconque passant par ce point. En substituant ces valeurs dans f pour développer ensuite, il vient :
les termes qui manquent renrermeat les diverses pui-sances de e. depuis la deuxième jusqu'à la m'*". Or, f{x', y', z') = o, puisque le point donné est sur la courbe et l'équation admet une racine nulle; supprimant le facteur p, il reste une équation du degré m — i donnant les autres points communs de la droite avec la courbe. Comme la tangente rencontre celle-ci en deux points coïncidents, t'ëquation précédente doit admettre
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deux racines aulles; pour uoe telle droite les constantes )., fj., v vérifient la relation
En ëliminant i., u, v, on trouve eafin pour l'dquation de la tangente au point (x', y', z')
ou bien
Avec les coordonnées cartésiennes, il faudrait prendre
pour l'équation de la tangente; on en déduit celle de la normale qui aura la forme
Supposons maintenant que le point (x' y', z') ne soit plus situé sur la
courbe et cberchons les points de contact des tangentes issues de ce
point. Soient x", y", z" les coordonnées de l'un d'eux; la tangente
correspondante est représentée par
Comme elle passe par le point (x*, y', z'), on a en même temps la condition
par suite, les coordonnées du point de contact de l'une quelconque des tangentes passant par (x', y', z') vérifient l'équation
'•r.+vr.+'r.-'
qui est du degré m — i ; en y ajoutant f\x, y, z) ^ o, il faudrait résoudre ces deux équations pour obtenir tous les points de contact. Le nombre de solutions communes étant m {m — i), on voit que, pixr un point quelconque, on peut, en général, mener m (m — i) tangente» à une courbe de Vordre m, c'est-i-dire, qu'une cmtrbe de Vordre m ett, en général, de la claiie m (m — i).
Si le point (x', y', z') s'éloigne à l'infini dans une direction déterminée, toutes les tangentes deviennent parallèles et le nombre m (m — i) représente aussi celui des tangentes parallèles !i une droite donnée.
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BnfîD, si on exprime qoe la normale
passe par un point du plan («, ^), il vient
avec la condition fix', y') = o. Ces deux équations du degré m admettent m* solutions communes; donc, en général, on peut, par un point donné, mener m* normales à une courfie de l'ordre m. Nous indiquerons plus tard la réduction que subissent les nombres m (m — i)et m* dans le cas des points mulUplee. Remartfve. Lorsque l'équation d'une courbe est de la forme
?i 4- ?i + "pî H h ç- = o,
l'origine est un point de U courbe; la tangente \ l'origine est alors f I = o ; car si on élimine y entre ces deux équations, la fonction 91 disparaissant, il resterait une équation en x renfermant x* en facteur : elle admet donc deux racines nulles et la droite 91 = o rencontre la courbe en deux points coïncidents à l'origine,
S9§. Potnl de contact. Soient u', v', «/ les coordonnées d'une tangeote k la courbe /"(u, v, te) = o ; par un point d de celte tangente menons une droite quelconque u", v", w" ; toute autre droite passant par le même point est définie par
"' + ^'*" g' + Ap" k/ + \w"
"~ i+i ' *■"" i + A ' *" T+T" En substituant dans f^ o et en déTeloppant, on trouve
cette équation donne les m \aleurs de A relatives aux tangentes de U courbe passant par d. Puisque f{v,', v', v>') ^ o, elle admet une racine nulle qui correspond & la tangente (»', v', w'). Supposons maintenant que le point d se rapproche de plus en plus du point de contact de cetle dernière ; au moment où d vient coïncider avec lui, deux des m tangentes coïncideront avec la droite (u', v', u>') ; l'équation ayant alors deux racines nulles, il vient la relation
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qui sera satisfaite par les coordonnées u", o", u>" d'une droite quelconque passant par le point de contact de (u', v', w'). En remplaçant' «", v", to" par w, Vf w, on a, pour l'équation de ce point
Supposons maintenant que la droite (u', v', u/) soit quelconque et désignons par u", v", tu", les coordonni^ de la tangente en l'un de ses points d'intersection avec la courbe. L'équatioD du point de contact sera
comme il se trouve sur la droite (u', v', w') on a la condition
u'fl, + v-f^. + w'f^f = o ; par suite les coordonnées u", v", w" satisfont k l'équation u'fl + v'fl + v/fl^'O
qui est du degré m — i. En la eombinant avec /"(u, v, 10) = o, il en résultera m(m — i) solutions communes ; donc, en général, une droile quelconque renconire une courbe de laelatse m en m (m — i)pom(*,'cc nombre iodique l'ordre de la courbe.
Renutrque. L'équation
ir« (w, v) + Tt^i (w, w)w + -- + 771 (m, v)W^' = o est satisfaite par u ^ o, v ^ o ; en admettant que les coordonnées u et v se rapportent aux sommets a et p du triangle de référence, elle suppose que le cAté a ^ est tangent à la courbe qu'elle représente.
Le point de contact de a j3 sera donné par 7C| (u, t>) ^ o; car en éliminant V, la fonction ni disparaissant, l'équation renfermera u* en facteur et admettra deux racines nulles ; donc, par le point ni ^ o passent deux tangentes consécutives.
SS9. Polaire* ^un point. Menons par un point p (x', y', t') du plan une droite quelconque, et soit ft' (x", y", z") un second point de cette droite ; les formules
x' + hc" y' + Xy" z'-fAz"
déterminent sur la même droite un point m tel que le rapport des distan-
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ces pm et mu' est égal i h Substituoni ces valenrs dans l'ëqualion d'une courbe de l'ordre m : f[x, y, x) = o. Il viendra
f{x'+ïx",y'-+-^i/'\z'-+-l!i") = o ou /■(ir"+a-'. Ày"-|-y', Jz"+2')=o. et, en dëreloppaDt,
on
Les flt racines Ai, Ai correspondent aux points d'inlersectim
ffli, nh de la sécante avec la courbe. Si l'on choisit )e point
(x",y", x") de manière à sstisbire à l'cquatioD
le coefficient de A"-' étant nul, la somnie des rapports représentés par i.t, Aï etc., c'està-dire
m,fi' Biiu' m^'
considérée sur toutes les sécantes issues du point (x', y', t') sera égale i zéro. L'équation (P,) définit une courbe de l'ordre m — i appelée la pnmière polaire du point {x', y', i') par rapport h la courbe donnée.
On sait que le coefficient de A**'* s'obtient en multipliant les termes du développement (x' 4-y' + «')' P" '^* dérivées secondes correspondantes. En égalant ce coefficient ï léro, on trouve
(P.) '^•n.+s"K,+'" n. + Jï»' /■;. +«■''/;'.+ «y a; - ».
après avoir supprimé les accents des coordonnées x",y'\z", Cestl'équation d'une courbe de l'ordre m — 2 qui est le lieu des points sur les sécantes tels que la somme des produits deux à deux des rapports À est égale & zéro. Cette nouvelle courbe s'nppelle la deuxième polaire du pdie (x*, y', je') par rapport à la courbe primitive.
En coHtinuant ainsi on obtient un système de (m — i) courbes dont les degrés vont en diminuant d'une unité et qui constituent les polaires successives du point (x', y', z') par rapport !i la courbe /*(x, y, z) = o ; la (m — -if" polaire sera une ccnique, et la (m — i)""", une ligne droite.
En eomparaat les deux développements, on voit que les coefficients
de 1*~' et de 1 se déduisent I'ud de l'tutre par l'éehioge des lettres accentuées; en général il en est ainsi des coefScients de l"-' et de X^; par suite, les équations de la polaire conique et linéaire peuvent s'écrire
='rj^+ n'nv+ '*r.'''+ ^' C'.-+ 2x1/:;^+ 2x5, c,, = o,
En identifiant cette dernière avec celle d'une droite tx -\- my -{- nx = o, on a :
/ m n ou deux équations du degré m — i pour déterminer les pAles de la droite; celle^i admet donc (m — i)' pôles.
Si te pôle {x', y', x') est sur la courbe, la polaire linéaire coîneide avec la tangente en ce point.
Bemoa-que. Lorsqu'une courbe est rapportée ii l'un de ses points pris pour origine, son équation est de la forme
Pour l'origine on a : a/ => o, y' = □, et dans les équations précédentes il ne restera que les dérivées prises par rapport k z. Les diverses polaires de l'origine s'obtiennent donc en i^^alant à zéro les dérivées successives du premier membre relativement A la variable x. Puisque tpi multiplie la plus haut£ puissance de z, on retrouvera cette fonction dans toutes les dérivées, et
représentera une droite tangente h toutes les polaires de l'origine; car <pi est la fonetiOD du premier degré en x et y dans leurs équations. On en conclut que Ub diverses polaires d'un point de la courbe Umehent eeUe-à en ce point.
SS9. Polaires d'une droite. Soient d(u', v', w') une droite fixe; par l'un de ses points menons une seconde droite d'(u", v", tu"); l«ute autre droite S passant par le même point est définie par
u'+Àu" u' + Xf" w>' + /to"
où À représente le rapport des sinus des angles de S avec les droites d
et a. SobstituonB ces valeurs dans l'ëquation f{u, v, w)^o d'une courbe de la elasse m ; en développant ensuite, il viendra
Ai*',v,w')+i(i."/;;,+t,"/:,+w'r-')+...=o,
ou
Cette équation fail connaître les m valeurs du paramètre relatives lui tangentes passant par l'intersection des droites d et d'. Les équations des polaires successives de la droite fixe s'obtiennent en égalant à tëro les coefficients des puissances de A, et en remplaçant ensuite u", v", lo" par u, V et vs. Ainsi la première polaire est définie par
et le point polaire par
il coïncide avec le point de contact si la droite (w', v', wf) est tangente à la courbe.
Pour la courbe
ir« -f" ^m-tW -\ \- ITrtP"^ + JTiW"-' = o,
le câté (x|3 du triangle de référence est une tangente; les équations de ses diverses polaires seront les dérivées du premier membre prises pir rapport à w; elles renferment toutes la fonction du premier degré iti, de telle sorte que iit ^ o est le point de contact du cAté o^ pour tontes les polaires.
■SI. AtympioleB. On appelle asymptote d'une branche infinie de courbe la potUion limite d'une tangente lorujve U point de contact t'&mgm indéfiniment. Considérons l'équation du degré m
