ç-ix H 1- ip.x--' + ip.e- = o

En posant z = o, ce qui correspond h la droite de l*infini, il reste

ip-(x,y) = o:

équation qui définit un système de m lignes droites passant par l'oripuc.

D,gnz.dbvC00gle

DësigDoas par itti,nii,m»... les racines de f. = o résolue par rapport à - ; on peut poser :

<fm(x,y) = {y — ma) (y — mii) ■■■(!/ — tiux).

Si l'on combine l'équation de l'une de ces droites, par exemple If = m,x, avec celle de la courbe pour éliminer y, la fonction ip s'annule, et l'équation Ënale en x ne sera plus que du degré m — i ; chaque droite rencontre donc la courbe en (m — i) points à dislance finie et en an pointa l'infini. On les appelle direcUons aiymptotiqves. Les asymptotes de la courbe passent par les mêmes points i l'infini et leurs coefficients angulaires wrbat les racines de l'équation ç (x, y) = o, ou, en posant x=i, les racines de i|i(i, y) = o résolue par rapport i y.

n faut maintenant déterminer l'ordonuiie i l'origine de chacune d'elles. Posons

y=mix-\-A;

c'est l'équation d'une droite parallèle h l'asymptote de direction m,. En substituant cette valeur de y dans la première équation de la courbe et en développant, il vient

{«) i-if,(i,»«,) + a:— '[lq4{r,m,) + (p..,(i,m,)] + 'f— '[j^T- (!.«».) + ^?:-.(r, m.) + f—.(i.«.)] 4 o-

On représente ici d'une manière générale par q:<,'""(i, nii) la dérivée* de l'ordre p de 91 par rapport i y dans laquelle x est remplacé par i té y par mi. Or, ç..(i,mi) = o, et l'équation admet une racine infinie; ce qui veut dire que toute droite parallèle k l'asymptote rencontre seulement la eourbe en m — i points à distance finie. Pour l'asymptote elle-même, l'équation doit avoir une seconde racine infinie; ou a donc la condition

iipi (ï, m.)+ p^i (1, m,) = o, d'où réaulle l'ordonnée h l'origine. Si ipmt^t (i, m,)^ o, on a A = o et l'asymptote passe par l'origine; si ipâ(i» t>>i) ^ 0| on a X = ao, et l'asymptote est une droite i l'infini parallèle i la direction nii; enfin, si l'on a en même temps <f^ (i, nii) = □, «„■ (i, mi) = o, / est indéterminé; ce qui est l'indice d'une singularité au point de la courbe A l'infini. Dans ce dernier cas, nti est une racine double de l'équation <fm(i, y)^o;

D,gnz.dbvC0bgle

pour détermiaer i, il faut ilors égaler à zëro le coeffieienl de x--* : ce qui doDne

— <P- (i, Ml) + ^"P--! (i. "•')+?—« (i. "t.) = o;

par suite, il existe deux asymptotes de direction m, et cliBeune d'elles rencontre la courbe en trois poiats h l'infini. Noua laissons pour le moment la discussion de ces valeurs de X; leur significatioa sera donnée dans la théorie des singularités de la courbe.

Lorsque l'équation d'uoe ligne de l'ordre m renferme t/**, la résolution de tf^ (i, y) ^ o montre qu'il y a m asymptotes réelles ou imagioaires; les racines nulles correspondent aux asymptotes parallèles k l'axe des x. Si la plus haute puissance de y est p, l'équation f (i, t/) ^ o ne dmine plus que p directions asymptotiques; mais il peut exister alors des asymptotes parallèles k Taxe des y. En effet, admettons, pour un instant, que l'équation de la courbe soit ordoauée par rapport à y et de la forme

yY{i) + y^'/-.(3:) + - = o, /"étant une fonction du degré m — p en x, /'■ une fonction dn d^ré m — p 4" I etc. Posons

et soient ai, ot ••• les m — p racines de cette équation. En remplaçant dans l'équation de la courbe x par l'une de ces quantités, le coefficient de y s'annule et l'on aura une racine infinie pour l'ordonnée; comme cette eirconstance ne peut se présenter que dans ce cas, on voit que les seules valeurs de x auxquelles correspondent une valeur infinie de y sont les racines du coefficient de la plus baute puissance dey égalé à séro; i ces Taleurs peuvent répondre des asymptotes de la courbe parallèles à l'axe des y. Afin de s'assurer s'il existe une branche réelle de la courbe ayant pour asymptote la droite x ^ a,, il faut étudier la variation de l'ordonnée dans l'intervalle de x = Oi — A à x = nt -(- A, A étant une quantité très-petite; la même discussion fera connaître la position de la courbe par rapport i cette droite.

D'après ce qui précède, lorsque la courbe peut avoir m — p asymptotes parallèles à l'axe des y, elle n'en a plus quep non parallèles à cet axe; donc, une courbe algébrique de l'ordre m admet au plus m atyfi^UHes.

Remarque. Assujettir une courbe à avoir pour asymptote une droit*

D,gnz.dbvC00gle

donnée équivaut à deux conditions; car, ta cherchAnt les intersections de la droite btcc la courbe, il faut exprimer que l'équation correspondante doit BToir deux racines infinies; ce qui conduit à deux relations entre les coefficients. Vue courbe ayant pour asymptotes m droites données satisfait à 2m conditions et elle sera complètement déterminée par (m+i)(m + 2) ^ ^(m—i)m 2 2

conditions simples. Soient

(i = o, d = o, ... tm^O les équations de m droites ; l'équation

t,i,h ...lm + <f',^i[x, y) = o où ^i est du degré m — 2 représente une courbe ayant pour asymptotes ces droites. La fonction <ti renferme coefficients arbitraires

et chaque droite t rencontre seulement la courbe en m — 2 points à distance finie.

§ ^. SINGULARITÉS ORDINAIRES d'uNB COURBE.

SSS. Définitions. Imaginons un point se déplaçant d'une manière continue sur une courbe et accompagné de sa tangente. En général, cette tangente tourne régulièrement autour de la courbe et dans le même sens; il est des points, cependant, où elle s'arrête un instant pendant que son point de contact continue sa marche; elle reprend ensuite son mouvement de rotation mais en sens opposé ; ces points particuliers constituent les inflexions de la courbe. Une circonstance semblable se présente chaque fois qu'une tangente rencontre une même branche 1 de courbe en trois poinls consécutifs 0 b, c; le point allant de aen 6, la tangente prend U position ol ; de b en c la tangente I est la même droite et sa rotation est "*" '""

nulle; elle stationne un instant pour reprendre ensuite son mouvement en sens opposé de telle sorte qu'elle traverse la courbe en ce point. Une tangente de cette espèce s'appelle tangente stalionnaire ou tangenU ^inflexion, et, son point de contact, point d'inflexion.

D,gnz.dbvC00gle

RëciproquemeDt, lorsqu'une Ungenle lourae autour d'une courbe, sm point de contact avance dans une direction déterminée ; il est dei poûtions eiceptionnelles où ce point s'arrête un insUnt pendant que li tangente continue sa rotation ; il reprend ensuite sa marche mais en wu opposé ; ces points constituent les rebrouuemeiUa de la courbe. On rencontre cette particularité en un point on passent trois tangentes consécutives de la courbe a, b, c; la tangente allant de a en b, le point corres- I pondant de la courbe est m ; de fr en e, c'est encore le même point ; le point stationne un instant et continue ensuite son mouvement en sens apposé. Un tel point s'appelle point stut'on notre ou poùit de rebroussement. D'après ces déCnitiuns la r'<f «X' tangente d'inflexion et le point de rebrous-

se ment se correspondent dualistiquement.

Un point doublé d'une courbe est un point tel que toute droite qui le traverse ne rencontre plus la courbe qu'en m — 2 autres points ; tel serait, par exemple, le point d'intersection de deux braaebes d'une courbe. Lorsque les tangentes sont réelles et distinctes, on a le poùti double proprement dit; si les tangentes sont imaginaires, le point double s'appelle point iiolé; il se distingue de tout autre point du plan par cette propriété que toute droite qui le renferme ne rencontre plus la courbe qu'en m — 2 points; enfin, quand les deux branches ont une tangente unique, il y a, relativement a chaque branche, une tangente voisine qui coïncide avec elle et le point double devient un point de rebrousse ment, puisque trois tangentes consécutives se coupent en ce point. Une tangente en un point double doit être regardée comme ayant trois points communs avec la courbe, un de plus que toute autre droite passant par le même point; cependant c'est une tangente simple ordinaire, le troisième point commun est son intersection avec l'autre branche; si elle tourne autour de la courbe, il ne se présente au point double rieo d'anormal. Ainsi, bien qu'ayant trois points communs avec la courbe, la tangente au point double ne jouit pas de la propriété earactéristiqne de la tangente d'inflexion.

D,gnz.dbvC00gle

Va point est muttipte tordre p sur une courbe lorsque toute droite passant par ce point ne la rencontre plus qu'en m — p points ; c'est ce qui a lieu quand p branches de la courbe se coupent en un même point. Si l'on considère les p branches immédiatenient avant leur rencontre en

dans le roisinage de ce point ; dès que le point multiple prend naissance, tous ces points viennent s'y réunir. On voit ainsi que tout point multiple

pip—i) d'ordre p doit être équivalent à points doubles; c'est ce qui

sera démontré plus tard d'une manière rigoureuse.

Une tangente double d'une courbe est une droite telle que par l'un quelconque de ses points on ne peut plus mener que (m — 3) autres tangentes, m étant la classe de la courbe. Il en est ainsi pour une droite qui touche la courbe en deux points a et 6; lorsque ces points sont réels et différents, c'est une tangente double proprement dite; si les points de contact sont imaginaires, c'est une tangente isolée : elle se distingue de nt- ii".

toute autre droite par la propriété qu'on vient d'indiquer; enhn, lorsqu'il n'y a plus qu'un seul contact, la tangente double a trois points communs avec la courbe et elle devient une tangente d'inflexion.

Une droite est tangente multiple d'ordre p, si, par l'un de ses points on ne peut plus mener que tn — p tangentes à une courbe de la classe m.

Les points doubles et les tangentes doubles sont des singularités

corrélatives. Si un point multiple d'ordre p équivaut à^—^- points

doubles, une tangente multiple d'ordre p doit être équivalente au même □ombre de tangentes doubles.

■SS. Singularité» ordinaires. On appelle ainsi les singularités que peut présenter la courbe la plus générale de l'ordre m ou la courbe la plus générale de la classe m ; elles ne supposent donc aucune relation entre tes coefficients de l'équation générale ponctuelle d'une part, ou

D,gnz.dbvC00gle

entre les coefficients de l'équation générale Ungentielle d'autre ptK. La courbe de l'ordre m dëlîaie par l'équation complète

/■=<p-{a;,y) + (p^, (x,y)H h-Pi (j;.y) + <p.{a:,y) = o

peut avoir des tangentes doubles et des points d'inflexion. Soit, en effet, y=mx+À

une droite ; par l'ëUmination de y, on arrive â une équation du degré m en X

cp (i) = o

qui est satisfaite par les abcisses des points d'intersection de la droite avec la courbe ; pour que la droite soit une tangente double, elle doitadmettic deux couples de racines égales ; ce qui s'esprime par deux relgtioDS distinct«a entre les coeiGcients de tp : en général, il y aura des valeurs réelles ou imaginaires de m et de À propres à y satisfaire ; de la résulte l'existence d'un certain nombre de tangentes doubles et, en même temps, l'impossibilité d'une tangente multiple d'ordre plus élevé, puisque n'ayant que deux inconnues k déterminer on ne pourrait satisfaire à plus de deux ralations entre les coefGcienta de tp [x) =^ o.

En second lieu, la marne droite sera une tangente d'inflexion, si elle rencontre la courbe en trois points coïncidents ; or si (ç (x) = o admet une racine triple, on a co même temps : <p' (x) = o, f" (x) ^ o ; en éliminant m et A entre ces trois équations on obtient une'relation qui sera, en général, satisfaite par un certain nombre de valeurs de x ; elles correspondent aux points d'inflexion de la courbe.

D'un autre cAté nous allons démontrer que la courbe /n'a pas de points doubles. En eSet, si elle possédait un tel point, en y plaçant l'origine son équation serait de la forme

Toute droite y ^ /x rencontre la courbe en deux points coïncidents, de l^e sorte que l'élimination de y doit conduire à une équation en x renfermant x* en facteur afin d'avoir deux racines nulles; ee qui n'est possd>)e qu'à la condition que <pi ne se trouve pas dans l'équation ; les deux constantes que cette fonction renferme doivent être nulles et les coefficieots de l'équation ne sont plus tous arbitraires. Donc, la covrbt défiiuepar l'équation généraU ponetuelU où Us roefficienlt tonl arbitraira n'admit

D,gnz.dbvC00gle

pas de pointt doubles nt de point» multiple»; mais elle peut avoir un eerUtin nombre de tangentes doubles et de points d'inflexion. Soit, maintenant, l'équation générale tangentielle du degré m

en la cumbinant avec celle d'un point u ^ tn v -(- A pour éliminer u, on ob^ent une équation du degré m en v : 9 (v) = o ; elle est satisfaite par les coordonnées v des tangentes aboutissant en ce point. Quand Je point donné est sur U courbe, deux tangentes coïncident et ip (d) = o admet un couple de racines égales ; si ce même point est double, on doit avoir deux couples de racines égales ; les deux relations qui expriment ce fait pourront, en général, être satisfaites par un certain nombre de valeurs de m et de X ; la courbe est donc susceptible d'avoir des points doubles, mais aucun point multiple d'ordre plus élevé puisqu'il y aurait trop de conditions à remplir.

En second lieu, pour un point de rcbronssement, l'équation çi(ti) = o doit admettre une racine triple; d'où les conditions (p'(v)^o, ç"(d)=o; par l'élimination de m et de /., il viendra une dernière équation qui sera satisfaite par les coordonnées udcs tangentes de rebroussemcnt.

Enfin, admettons que la ligne des sommets « et ^ du triangle de référence touche la courbe ; son équation est alors

Jt„{«, ») + ir7t*t(w, «)H t-Ti(«, f>)te'^* = o.

Soit u^mv un point quelconque de izf3; si la droite ap est une tangente double, après l'élimination de u on doit avoir une équation en v admettant deux racines nulles ; ec qui exige que la fonction du premier degré ir, ne se trouve pas dans l'équation, afin que v' soit facteur du premier membre ; mais alors les coefficients de l'équation de la courbe ne sont plus quelconques. Donc, la courbe définie par Véqvation générale tangentielle où les coefficients sont arbitraires n'admet pas de tangentes doubles ni de tangentes multiples d'ordre plus élevé, mais elle peut avoir un certain nombre de points doubles et de points de rebroustemenl.

D'après cela, on prend, pour les singularités ordinaires d'une courbe, l'ordre, les tangentes doubles, les points ou les tangentes d'inflexion, ainsi que leurs corrélatives, la classe, les points doubles, les tangentes ou les points de rebroussement. Nous allons voir comment on peut les déterminer.

D,gnz.dbvC00g[e

S>4. Points <rinlîexion et tangmUl de rebrotusemeni. Les formules

donnent les coordonnées d'un point quelconque de la droite des points (x'j y', z'), (x", y", z"). Afin d'obtenir les valeurs de X relatives idi points d'intersection avec la courbe f(i, y, z) = o, remplaçons x, y, z par les expressions précédentes ; il vient ainsi, en développant,

Supposons que le point {x', y', z') soit sur la courbe; on aura f(x', y', z") = o, et l'équation admet une racine nulle pour 7.. Si la droite rencontre la courbe en deux points coïncidents en x', y', z', oa doit avoir deux racines nulles; par suite les coordonnées x", y", :" doivent vérifier l'équation

c'est celle de la tangente au point (x', y', z'). Enfin si la droite rencontre la courbe en trois points coïncidents, les relations

doivent être satisfaites en même temps par les coordonnées x", y", z" d'un point quelconque de la droite ; ce qui exige que la conique représentée par la seconde se compose de deux lignes droites dont l'une est la tangente représentée par la premièi'e ; par conséquent, le discriminant doit être nul et les coordonnées x', y', z' du point de contact d'une tangente d'inflexion satisfont à l'équation

Ce déterminant forme par les dérivées secondes est le hetsien de f. Cette équation représente une courbe de l'ordre 3 (m — 2) passant par les points d'inflexion de f^o. La combinaison des deux équations

D,gnz.dbvC00gle

donne, en gënéral, $m{m — 2) solutions eommunesj donc, /e nombre des point» d'inflexion d'une courbe d'ordre m est, en général, égal à 3«i (m — 2).

Les coordonnées d'un point d'in&exioo satisfont dëjs à deux ëquations f= o et H = o. Si on exprimait que la droite rencontre la courbe en quatre points coïDcidents, on obtiendrait trop de conditions pour être satisfaites en même temps sans relations entre les coefficients; une droite qui toucbe la courbe en plus de trois points consécutifs constitue une singularité extraordinaire.

En second lieu, prenons l'équation générale f{u, v,w)^o d'une courbe de la classe m ainsi que les expressions

u' -|- ht" v' -\- ).v" uj' -\- )iw"

" r+T' "" i + A ' ^ T+I" qui donnent les coordonnées d'une droite quelconque passant par le point d'intersection des droites {«', «', m'), (u", v", «>")■ Après la substitution de ces valeurs dans f, on supposera que (u', v', 10') est une tangente à la courbe; si trois tangentes consécutives coïncident avec elle, on arrive de la même manière à ce résultat que les coordonnées d'une tangente de rebroussemeot vérifient la relation H ^^ o, H étant le hessien de /■{il, V, lo). Le tiombre des tangentes ou des points de rebroussement d'une courbe de la classe m est égal, en général, à 3nt (m — 2].

MES. Points multiples, tangentes multiples. Soit toujours f(x,y, x)^o l'équation d'une courbe de l'ordre m; si elle possède un point double (x', y', z'), on pourra y transporter l'origine et son équation est alors

f{x-i-x',if-{-y',z + z-) = o, ou bien,

(^) fix; y; Z-) + xf:. + y/-;, + zf,, + (x*/::., + y%^, + zr:.,.

+ 2y2/;'-., + 2«x/;,',, 4- 2xy/";;,,) + — = O.

L'origine étant un point de la courbe, on a d'abord f{x',y',z') = (i; de plus, si elle est un point double, la fonction du premier degré doit disparaître de l'équation; par suite

r.,=o, r,.-o, ft=o.

Les coordonnées d'un point double annulent donc les dérivées premières de f. Ces équations admettent des solutions communes si leur

D,gnz.dbvC00gle

élimmaDt est égal à léra. Comme elles sont du àe^ré m — i, l'élïminant sera du degré 3(m — i)* par rapport aux coefficients de f. Ainsi, la fonction de» coeffieienlt de l'équation d'une courbe de l'ordre m qui, égalée d zéro, exprime qu'elle potsède un point double est du degré 3 («.-.)•.

Les conditions d'un point triple à l'origine s'obtiennent en observant que la fonction du premier et du second degré ne doivent pas se trouver dans l'équation (7), afin que toute droite y^^lxy rencontre la courbe en trois points coïncidents; car alors seulement l'élimination dey donnera une équation en X ayant x' en Tacteur, On continue de cette manière pour écrire les diverses conditions d'un point multiple d'ordre quelconque.

En coordonnées cartésiennes, une courbe rapportée à un point double est représentée par une équation de la forme

((5) <9* (ï. y) -H "pj (*. y) H 1- ?- {^. y) = o»

et les tangentes au point double Ji l'origine seront données par

En effet, si y = mx est une des deux droites de cette équation, en remplaçant y par mx dans ((3), 91 s'annule et il reste un polynAme en x où X* sera facteur; la droite rencontre donc la courbe en trois points coïncidents à l'origine. Quand les droites <^^o sont réelles et différentes, l'origine est un point double proprement dit; si elles sont imaginaires, un point isolé; enfin, si elles coïncident, un point de rebrousse m en t. Dans le premier cas, en prenant les tangentes pour axes des coordonnées, l'équation de la courbe peut s'écrire

xy + 9, 4- 9* H 1- 9- = o>

et, pour on point de rebrou ssem en t,

la droite x = o ou l'ase des y étant la tangente de rebroussemenl.

En général, lorsque l'origine est un point multiple d'ordre ;*, l'équation de la courbe est de la forme

il est clair, en effet, que toute droite y =; Ax rencontre la courbe en p

points Goïacidents Ji l'origine ; de plus les p tangentes du point multiple seront données par

parce que toute droite de cette équation rounontre la courbe eDp+ i points à l'origne.

Pour un point multiple d'ordre m à l'origine, l'équation se réduirait b

(p.{x,y) = o qui donne un système de m lignes droites. Ainsi une courbe de l'ordre m proprement dite ne peut avoir un point multiple d'un ordre plus élevé que

m — I ; un tel point équivaut h ^ ■ points doubles ; par

conséquent, une courbe de l'ordre m qui ne te décompose pas ne peut

Il n'est pas nécessaire que la courbe de l'ordro m se réduise h un système de m droites pour que cette limite puisse être dépassée. Si elle se compose de deux courbes d'ordre p et q, les pq points d'intersection de ees lignes sont d'abord des points doubles de la ligne de l'ordro m ; en attribuant ensuite à chacune d'elles le maximum de points doubles^ on obtient une somme égale à

'''-y~"+"-''"~''+M-|[(r+tf-3(f+,)+4],

c'est-à-dire,

(wi — I) (m -

puisque p + q!=m; donc la limite se trouve dépassée d'une unité.

Avec les coordonnées tangentielles triangulaires, une courbe qui admet pour tangente double le côté «^ est représentée par

ir« (w, V) -\- ff«i {m, v)w-\ 1- ITi (u, 1î) w"~* = o,

et les deux points de contact sont donnés par

jr»(t», c) = o; car, si u = mv est un des points de cette équation, en éliminant u, on arrivera it une équation renfermant v* en facteur et admettant trois

D,gnz.dbvC00gle

racines nulles ; c'est bien l'intersection de la tangente double avec la tangente cont^cutive.

En général, l'équation

ir» (w, t>) + n^, [u,d)w + - ■ + Jt, (m, v) W^ = o déGoit une courbe de la classe m ajrant la droite (c|3 pour tangente multiple d'ordre p dont lesp points de contact sont donnés par

Pour une tangente multiple d'ordre m, l'équation se réduirait k

qui représente un système de m points; donc une courbe de la classe m

proprement dite n'a pas de tangente multiple d'ordre plus élevé que

m — I } on en conclut qu'une courbe de la classe m qui ne se dèeompoêe

, (m — i)(ni — 2) , ,,

pat ne peut avov plus de — bxngentet doublet.

SSS. Propriétés des polaires par rapport aux points multiples. Nous avons déjà constaté que les diverses polaires d'un point de la courbe passent par ce point et y admettent la même tangente que la courbe. Ce point étant pris pour origine, leurs équations s'obtiennent en égalant & léro les dérivées de/* prises par rapporta z. Quand l'origine est un point multiple d'ordrep, on a

/■=lv(a'.s)*""''+î'p+i(a;,y)2"-'^'H l-<f-(*.y)=°»

et ces dérivées renferment eu premier terme la fonction fp(x, y); par suite l'origine est aussi un poinl multiple d'ordre p sur chaque polaire dont les tangentes, comme pour la courbe elle-même, sont représentées par 7r(^9ï)^°- La polaire d'ordre m — p se réduit au système des p droites de l'équation précédente ; toutes les polaires d'un ordre plus élevé n'existent pas.

Soit, maintenant, (x', y', z') un point quelconque du plan ; sa première polaire relativement à f= o est définie par

La dérivée f^ prise sur l'équation de la courbe précédente renferme au premier terme (p^ (a:, y) ; les dérivées f^, f renferment les variables x et ^ à une puissance inférieure seulement d'une unité, de telle sorte que les

D,gnz.dbvC00gle

termes de d^ré moicdre ea x et y dans l'équation de la polaire seront du degré p — i ; cette courbe possède doDC à l'origine uq poiat multiple d'ordre p — i. Ainsi, un point multiple if ordre p de la courbe est un point multiple d'ordre p — i sur la première polaire d'unpoint quelconque.

Pour la r^'"' polaire, les termes de degré moindre étant du degré p — r, le point multiple d'ordre p de la courbe sera poui' elle un point multiple d'ordre p — r.

CoQsidëroDs plus spécialement le cas d'un point double sur f; ce dernier sera un point simple pour la première polaire. Nous avons tu qu'eu prenant pour ases tes tangentes au point double, on a

/•= xyz"-* + (p,i--» -1 1- ip. = o.

Dans l'eipression is'^ + y'^ + z'^ les termes de degré moindre en z et y étant x y' -(- y x\ *' vient pour la tangente de la polaire k l'ortgiae

xij'-{.yx' = o:

c'est la conjuguée harmonique de la droite ly' — yx' ^ o qui joint le pèle au point double relativement aux tangentes z et y de la courbe. Quand l'origine est un point de rebrousse ment, on a

et l'on trouve alors que le terme de degré moindre dans l'équation de la polaire est x' x ; donc la tangente de rebroussement est aussi la tangente de la première polaire en ce point.

SST. Propriétés de la hesgxenne auxpoints multiples. Cette courbe est déânie par l'équation

La forme du déterminant H conduit à plusieurs définitions de cette courbe. D'abord si on forme l'équation de la (m — 3)''~° polaire ou de ta conique polaire

=fT/'.' -f-y'/V',' + 'Viv + 2yî /;',., -f- zzxf;,,, + zxyf%, = o on voit immédiatement qu'elle définit deux droites, si le pôle (x', y', z') appartient à la bessienne puisque son discriminant s'annule; cette cir-

D,gnz.dbvC00gle

constaoce ne pouvant se présenter que daus ce cas, oa en conclut que ^a kessienne est te lieu des pointa du plan dont les coniques polœret se déconqiosent en deux lignes ih-oàes.

Bq second lieu, on retrouve le même déterminant lorsqu'on veut exprimer que la première polaire

«r.+jr.+'T.-o

est douée d'un point double; tes dérivées du premier membre étant nulles, les équations

doivent être satisfoites en même temps par un système de vateors de x,i),z; en regardant x' y' z' comme variables, le lieu des points doubles des premières polaires correspondantes s'obtient en égalant à céro le déterminant de ces équations : ce qui donne H = o. Donc, la hesstenne peut aussi être considérée comme le lieu des points doubles des première* polaires d'un point quelconque.

Nous allons voir maintenant que cette courbe interessante jouit de la propriété de passer par les points multiples. Considérons d'abord la courbe

/■= xyz--* + (sa;» + ^hxh/ + 3*0:1/» + (i/")z--» + (p,2— * + . . . = o ayant un point double à l'origine dont les tangentes sont dirigées suivant les axes. Afin de simplifier, nous négligerons tous les termes qui sont d'un ordre plus élevé en x et y que le premier, excepté le terme ^*; il vient ainsi

(a) a:yz"-« + fj'î--» = Oî

ce qui consiste â remplacer â l'origine l'élément d'une branche de la courbe par celui de la tangente y = o, et l'élément de l'autre branche par celui de la parabole x-\~lif*^o. On doit nécessairement conserver le terme en y', afin que l'équation exprime ce fait caractéristique du point double que la droite x = o la rencontre en trois points coïncidents. On pourrait également prendre

(«') xyz~-'+gx'' = o.

Dans l'une ou l'autre de ces équations le facteur y ou x n'est lï que pour rappeler qu'il y a deux branches distinctes de la courbe traversant

D,gnz.dbvC00gle

l'origine, et aotre hypothèse consiste à remplacer l'ëlcment de la courbe de l'ordre m à l'origine par celui d'une parabole. Le hesaien de la courbe (a) a pour valeur

o, a""", («» — a)sf»''-'

.— «, 6lyi— •, (m-a)ii-*"+3{m-3)V*'^

-2)y«— •, (m— 2)«— »+3(i«— ajfy'a— •, (m— aH»*— 3)«y»^*+(«— aX^— 4)'ï*2^* et, en développant,

«y«»— • [2(ra — 2)' — (m — a) (m — 3)] + /y'z»-^ [6(m — 3)(m — 2) - (m - 3) (m - 4) - 6 (m - 2)1.

Après les réductions, on trouve pour l'équation de la hessienne (A) {m — 2) xyx'"'' — mtt/^z*--* = o.

Cette équation renferme comme premier terme le produit xy; on peut vérifier qu'il en est encore ainsi lorsqu'on forme le hessien sans négliger de termes. Donc la hessienne possède aussi un point double à l'origine avec les mêmes tangentes que la courbe. Cette dernière étant remplacée par («), la bessienne est représentée par (A) : une branche touche l'axe y c= o et l'autre est dirigée suivant l'élément de la parabole

(m — 2) X — mly* = o

dont la courbure est opposée & celle de la parabole se -f- /y* = o. On arriverait h une conclusion semblable pour ta position de la seconde branche de la hessienne par rapport h l'autre branche de la courbe en parlant de l'équation (a'}.

Supposons maintenant que l'origine soit un point de rebroussement et l'axe des y dirigé suivant la tangente en ce point; on a

f= a;'z— ' + {gx* + ^hx^y + ^kxy* + /t/')z--> + -. = o. Pour les pointt infiniment voisins de l'origine, on peut prendre

Ou trouve alors que le hessien de ^ a pour valeur

12 fx^yz*- • [{m - a)(m . 3) 2 {m — 2)*] + 2 /'(/•«•—"» [6(m - 3)(m — 4) — 9 (m - 3)']

D,gnz.dbvC00gle

et, après les réductiODS, la faessienne est représentée par

^ "^ 2 {m — 2) ^ Le premier terme étant du troisième de^, la bessienne possède un point triple à l'origine; une branche toucbe l'axe des x : y='o; les deux autres sont données par l'équation

de même forme que ((3); elles présentent aussi un rebroussement ji l'origine avec la même tangente que la courbe. On peut encore obserrer qu'avec une même valeur de y la démise équation donne pour x des valeurs plus petites que l'équation (fi) ; les branches de la hessieone sont plus rapprochées de la tangente commune de rebroussement que celles de la courbe.

Enfin, considérons la courbe

/■= 9r {^> y)^"* + 'Pf+i (=c. y)«-'^ H h <p-{ï, y) = o

ayant un point multiple d'ordre p k l'origine. Si on développe le détei^ minant H, on trouve

" - r:.r;,c+^afx - rx- r:,r.:-u:7-

Il est évident que les termes de degré moindre en x et 1/ dans H proviennent des dérivées secondes prises sur le premier terme de f. En ne considérant que ces dérivées, le premier et le dernier terme de H ont pour valeurs

(m— ;))(m— p— i)ç;'„ip;;,(ppji— *-», (m—p){m—f—i)'f,<^l,x-'-^*i chacun d'eux renferme x et t/ à la puissance 3 p — 4. On constate sans peine que les autres termes de H renferment ces variables à un d^ré plus élevé. L'ensemble des termes du hessicn de degré moindre est donc

{m—p) (m — p — i) (p,[ip;,'„ (p;;, — ip^'^j.

Donc la hessienne a un point multiple d'ordre 3 p — 4 a l'origine ; la présence de 9, indique que les p tangentes de la courbe en ce point sont aussi des tangentes delà hessienne.

■tft. Formules de Plûcker. Elles consistent en quatre équations donnant trois relations distinctes entre les singularités ordinaires d'une

D,gnz.dbvC00gle

courbe. Soient m et k l'ordre et la classe, d et 1 les nombres de points doubles et de tangentes doubles, r et îles nombres de points ou tangentes de rebroussemeot et d'inSexioa. Cberchons d'abord l'ëquation qui donne la classe d'une courbe ayant des points doubles et des points de rebroussement. On sait que les points de contact des tangentes menées d'un point quelconque à la courbe appartiennent h la première polaire de ce point ; pour les obtenir, il faut résoudre deux équations l'une du degré m, celle de la courbe, l'autre du degré m — i, celle de la première polaire ; le □ombre de solutions communes est m(m — i), de sorte qu'en général, A ^ fit (m — i). Ce nombre doit subir une réduction pour cbaque point double et chaque point de rebroussement de la courbe. En effet, la premièi-e polaire passe par le point double qui est un point simple pour elle ; deux points d'intersection des courbes sont réunies en ce point et, comme la droite qui joint le pôle au point double n'est pas une tangente bien que passant par deux points consécutifs de la courbe, il faut diminuer le nombre m{m — i) d'autant de fois deui unités qu'il y a de points doubles. £n un point de rebroussement, la première polaire toucbe la tangente et, par suite, elle a un point de plus en commun avec la courbe au point double; chaque point de rebroussement réduit le nombre m (m — i) de trois unités. On aura donc

(j) k = m{m — i) — id — 3r.

Va point multiple d'ordre p n'est pas une singularité ordinaire et la formule n'en fait pas menUon. Si une courbe possède un tel point, il faut

le remplacer par le nombre équivalent de points doubles ^--=- • Une

teUe substitution résulte également de ce qu'un tel point est multiple d'ordre p — i sur la polaire ; or, s'il n'était que simple pour wlle-ci, les deux courbes se rencontreraient au point multiple en p points coïncidents; s'il était double, en 2p points, et s'il est multiple d'ordre p — i , il y a piy — i) intersections des deux lignes confondues au point multiple. Un

tel point réduit donc la classe de p(p — i) = ï.-' ^naités, c'est-i-

Les points d'inflexion sont aussi déterminés par les intersections de deux courbes, l'une H = o du degré 3 (m — 2), et l'autre f=o du

D,gnz.dbvC00gle

dcgr^ m ; leur nombre est, en général, 3m (m — 2) ; mais il est moins grand pour une courbe qui possède des points doubles et des points de rebrousse ment. Bd eSel, en uu point double d'une courbe, la faessienne a aussi un point double et quatre points d'intersection s'y trouvent confondus ; de plus, les deux courbes ont les mêmes tangentes en ce point, de sorte qu'il faut encore ajouter deux unités aux quatre points communs. Le point double n'étant pas un point d'iafleiioa, U faudra diminuer le nombre 3m(m — 3) d'autant de fois six unités qu'il 7 ■ de points doubles. En un point de rebroussement, la bessienne possède un point triple et six points d'intersection des deux lignes y sont réunis; de plus, deux branches de la bessieaoe toucbent la langeale de rebroussement, ce qui augmente leurs points communs de deux unités; donc, pour chaque point de rebroussement, le nombre 3m(m — 2) doit être diminué de huit unités; il vient ainsi

Si une courbe possède un point multiple d'ordre p, on lui substitue ~ points doubles ; ce qui se justifie encore en remarquant que le

même point est multiple d'ordre $p — 4 sur la bessieaae dont p tangentes sont communes avec la courbe ; le nombre des points d'intersection confondus est donc

Les deux premières équations étant démontrées, on en déduit immédiatement tes deux autres par le principe de dualité ; ce sont :

(3) m = k{k-i)-2t-ii,

(4) r = 3k(k~2) — 6t — Si.

Elles se démontrent aussi directement par l'emploi des coordonnées tin*

Si on élimine d entre (i) et (2) et t entre (3) et (4), on trouve le même résultat, savoir :

3(fc — m) = t — r;

eette relation ne change pas en remplaçant m par k et t par r. Donc les quatre équations ne forment que trois relations distinctes entre les singularités ordinaires; trois d'entre elles étant connues, elles donnent immédiatement les trois autres.

D,gnz.dbvC00gle

Si on exprime I au moyen de d, r, m, on trouve

( = im [m—7.){m*~g)~(m''~m—6)(2dr^y)-\-3d(d—i}+6dr-\-^ r(r— i)

donl la formule corrélative est

rf=iit{i-2)(it'-9)-(t'~i-6)(2l+3iH-2((l-i)+6lt+|.-(i-i).

n en résulte que, pour la courbe générale de l'ordre m qui n'a pas de points doubles, on a

( = — »i(ni — 2) (m* — 9);

et pour la courbe générale de la classe k,

rf=.li(fc 2)(t>9).

Les formules de Plucker permettent de vérifier l'exactitude de la relation suivante :

On y parvient en remplaçant dans le second membre ( par sa valeur tirée de (3) pour éliminer ensuite t et k au moyen des équations (i) et (z) Posons :

Cette quantité y jouira de la propriété de se correspondre dualistiquement ù elle-même; on l'appelle genre de la courbe. L'expression

i ■ représente le maximum des points doubles en y comprenant les points doubles proprement dits et les points de rebrousseraent. D'oA il résulte que le genre d'une courbe est la différence entre le nombre maximum de points doubles qu'elle peut avoir et celui des points doubles qu'elle possède réellement. La courbe la plus générale de son

espèce est du genre — ; celle qui a son maximum de points

doubles, du genre zéro. La quantité g peut prendre une valeur entière quelconque entre ces limites. C'est Clebsch qui a fait ressortir les avantages qui résultent de l'introduction de cette quantité dans la théorie des courbes. Nous y reviendrons plus loin.