THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES

SI9. Nous avons tu qu'en général une courbe de l'ordre m est déterminée par un nombre de conditions

tel serait le cas d'une courbe assujettie à passer par g points du plm; cependant il arrive souvent que s points ne suffisent pas pour la déterminer; on dit alors que les points ne sont pas distincts. Il est inutile de faire remarquer que a conditions données peuvent définir plusieurs courbes de l'ordre m; le nombre des solutions dépendra du degré des relations correspondantes entre les coefficients de l'équation.

Une courbe de l'ordre m est rencontrée par une courbe de l'ordre n en mn points réels ou imaginaires; c'est le nombre de solutions communes du système simultané de leurs équations. Si, parmi les s points qui déBnisscnt une courbe de l'ordre m, il y en avait mn -^ i sur une ligne du degré n, le lieu se composerait de cette courbe de l'ordre n et d'une autre courbe de l'ordre m — n. Ainsi un système de neuf points déterminent une courbe du troisième ordre ; lorsque sept d'entre eux appartiennent à une conique, la cubique se compose de cette conique et d'une droite qui passe par les deux autres points.

9ÂQ. Toutes les courbes du degré m qui passent par s — i points du

(m— r){m — 2) . ^ plan passent par ! pomts fixes.

En effet, soient

Si = o, S, = o

les équations de deux lignes de l'ordre m renfermant les s — i points et A: un paramètre variable; l'équation

S. + AS, = o représentera une courbe quelconque du même ordre passant par les points donnés et par les autres points communs de Si et St- Le nombre total des points d'intersection étant m', il en résulte que chaque courbe passe par

ffl{m + 3)'| , (m — i)(m — 2)

points fixes. Ainsi les eourbes du troisième ordre qui passent par huit points, passent par un neuvième point fixe; les courbes du quatrième degré, qui passent par treiie points donnés, passent par trois points fixes; et aiasi de suite.

Si l'on ajoute l'un des points fixes aux s — i points donnés, la courbe n'en est pas mieux définie. C'est un exemple de s points qui ne suffisent pas pour déterminer la courbe. Il résulte encore de ce qui précède que les m* points d'intersection de deux courbes de l'ordre m ne forment

que — ^ I points distincts; il faudrait un autre point du plan

pour compléter la détermination d'une courbe passant par l'intersection des deux autres.

S41. Si, parmi les m' point» ^inUrBeetùm de deux lignes de l'ordre m, il y en a mn situés sur une courbe de l'ordre n, les avtres points restants au nom6re de m {m — n) appartiendront à une eotirbe de l'ordre m — ».

Pour la détermination des points d'intersection des lignes S.=o Si = o, on peut remplacer l'une de ces équations par la suivante :

qui définit une courbe du même degré passant par tous les points communs des deux premières quel que soit k. Hais, si mn points d'intersection sont situés sur une courbe de l'ordre n, ces points peuvent être déterminés par la combinaison de l'une des équations S| ^ o, St = o avec une équation du degré n; il doit exister une valeur de it telle que le premier membre de l'équation (a) se décompose en un produit de deux facteurs N et N' dont l'un du degré r et l'autre du degré m — n, et pour laquelle cette équation se réduit à

N.W'^o; par conséquent, les m (m — n) points communs restants se trouvent sur la courbe N' = o du degré m — n.

Ainsi, lorsque parmi les neuf points d'intersection de deux cubiques, il y en a six sur une conique, les trois autres sont en ligne droite ; de même, si parmi les seize points communs de deux quartiques, il y en a

D,gnz.dbvC00gle

huit sur une conique, les huit points restants appartiennent aussi à une conique.

Corollaire 1 . Si mn points d'intersection de deux systèmes de m droilet appartiennent à une œurbe de l'ordre n, les autres points (Fintersectîon au nombre de m (m — n) sont swr une courbe de l'ordre m — n.

Corollaire 3. Deux systèmes de m droites étant tracés dans un plan, st, parmi les points d'intersection des droites du premier système avec celles du second, il y en a zm sur une conique, les m {m — 2) points ratants appartiendront d une ligne de l'ordre m — 2.

Corollaire 3. Un polygone de 2m c6tés étant inscrit d une conique, les m{m — 2) points d'intersection des càtés tordre pair avec les côtés non adjacents ctordre impair sont situés sur une courbe de l'ordre m — 2.

Car les côtés d'ordre pair et ceux d'ordre impair forment deux systèmes de ffi droites qui ont 2m points d'intersection sur une ligne du second ordre ; tous les autres points communs doiventse trouver sur une courhe de l'ordre m — 2. En posant m ^ 3 on retrouve le théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit dans une conique.

Corollaire 4. Si, par les m points d'intersection d'une sécante quelconque avec une courbe de l'ordre m, o» mène des tangentes à cette courbe. Us m {m — a) points d'intersection de ces tangentes avec la courbe appartiennent à une même ligne de l'ordre m ^2.

Il faut regarder la transversale passant par les points de contact comme une conique formée de deux droites confondues ; alors le système des m tangentes et la courbe de l'ordre m ont 2m points communs situés sur une conique, et tous les autres doivent se trouver sur une courbe de l'ordre m — 2.

949. Etant données trois courbes de l'ordre m St, S,, St, si on considère deux courbes S et S' du même ordre, l'une passant par Ut points d'intersection de Si et de St, l'autre par ceux de 5| et de St, Us m.* points d'intersection des courbes S et S' ainsi que les m* points d'intersection de St et de Sf appartiennent d une même ligne de Cordre m. En effet, si

Si=o, S, = o, Sj = o

sont les équations des lignes données, celles de S et de S' peuvent s'écrire

(S) S, + AS, = o, (S') S, + k'S, = o.

D,gnz.dbvC00gle

Ed les retranchant membre à membre, il vient

et celle-ci représente une ligne de l'ordre m qui passe par les points communs de S et de S' ainsi que par les points d'intersection de Si et de S,.

34S. Parmi les mnpoinU d'intersection de deux lignes tTordres m et n, un certain nombre de points sont déterminés par Us autres ; ce nombre est i

.•f,wn>^-3,''"-''J"~'';

2» Pour M < m — 2, «in •

Soient

les équations de deux courbes l'une du degré m, l'autre du degré n. ^rmi les mn points communs, il en faut — ~

mière courbe et, si n < m, en prenant -

complètement déterminée ainsi que ses autres points d'intersection avec S ; le nombre de ceux-ci sera

M „„»Jl±i).

Si n > m, on peut remplacer R par l'une des courbes de l'équation («) R + M.S = o,

H étant un polynAme du degré n — m ; car elle rencontre S aux mêmes points que R quel que sojt d'ailleurs le polynôme H. Les coefficients de ce dernier étant arbitraires et au nombre de

(n — m + 1) (m — fit + 2) on peut, sans changer les points communs de R et de S, les déterminer de manière à faire disparaître le même nombre de coefficients de l'équation {a). La courbe Spéciale correspondante sera ainsi déterminée par »(» + 3) («-m+i)(n-*n + 2) ^„ (m - i) (m - 2)

D,gnz.dbvC00gle

points ; en retranch ant ce nombre des mn points communs de R et de S, on trouve

pour le nombre des points restants qui découlent néceSBairement des premiers.

Les deux nombres (ft) et (v) sont les mêmes pour n = m — i vA n = m — 2, de sorte que, pour n > m — 3, il faut adopter le nombre

^ — . Lorsque la courbe R passe par un point double de S, ce

dernier est compté pour deux dans les mn intersections et pour un dans la détermination de R ; il faut alors diminuer les nombres qui procèdent d'une unihi. Dans le cas d'une courbe R traversant d points doubles de S, on aura :

si n > m — 3.' Ce théorème est le poiut de départ d'une théorie de systèmes de points sur une courbe. On a surtout considéré les systèmes provenant de l'intersection d'une courbe adjointe avec une courbe donnée. On appelle ainsi une courbe qui passe une fois par chaque point double, deux fois par chaque point triple et, en général, r — i fois par chaque point multiple d'ordre r de la courbe fixe. Il faut, dans l'expression

regarder d comme représentant les points doubles eut-mémes ainsi que les points doubles équivalents aux points multiples. Ce nombre représente alors le genre de la courbe fixe de l'ordre m. On peut prévoir que le genre aura une importance particulière dans cette théorie que nous ne voulons pas exposer ici. Nous allons maintenant nous occuper de quelques systèmes de courbes les plus simples.

S44. Faiêceau de courbes. Considérons le système de courbes de l'ordre m défini par l'équation

S, + AS, = o ofi k est un paramètre arbitraire, S| et St deux courbes du degré m.

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L'easemble de toutes ces lignes passant par les m' points d' intersection de Si et de St s'appelle un faisceau linéaire, le paramètre entrant au premier degré dans l'équation. Chacune d'elles satisfait as — i conditions et elle serait coraplétemeot définie en l'assujettissant ii une condition nouvelle; par exemple, en exprimant qu'elle passe par un point (ii,yi,Zi), on trouve une valeur unique et déterminée pour k : ainsi, par chaque point du plan, U passe en général une courbe du faisceau et une seule.

Dans un faisceau de coniques nous avons constaté l'exislence de trois couples de droites que l'on doit regarder comme des coniques à point double. On peut se proposer ici de déterminer les courbes du faisceau qui sont aussi douées d'un point double ; elles correspondent aux valeurs de k qui annulent le discriminant de S, -1- &S,; or celui-ci est du degré 3 (m — t)* par rapport à k ; donc, il existe, en général, dans un faisceau linéaire, 3 (m — i)' courbes à point double. Désignons maintenant par

P, = o, P» = 0 les premières polaires d'un point (xi, y,, z,) par rapport à S,, Si; la première polaire du même point par rapport a une courbe du faisceau sera définie par

P,-|-fcP, = o:

équation qui est satisfaite par les (m ~ i)* points d'intersection des courbes Pi etP,, quelle que soit la valeur de k; par suite, toutes les premières polaires d'un point pour un faisceau linéaire passent par (m — i)* points fixes.

On verrait de même que les deuxièmes polaires se rencontrent en (m — 3)* points fixes etc. ; enfin toutes les droites polaires concourent en un même point.

Supposons que le pôle (3'i,t/i, Zi) parcoure une ligne de l'ordre k 9 {x, y, Ji) = o. Les (m — i)' points fixes des premières polaires vont se déplacer et décrire une certaine ligne dont l'équation s'obtiendra en éliminant ^<,yt, Zi entre les relations

<p{x,,yi,z,)=^o, P, =0, Pi = o,

L'éliminant de ce système est du degré 2k (m — t) par rapport à

X, y,z; ainsi, les points fixes des premières polaires décrivent une

courbe de l'ordre 2k (m — i). Il en est de même du point d'iut«rsection

des polaires linéaires.

D,gnz.dbvC00gle

Un fflisceau linéaire s'appelle quelquefois faiseeav en involution, parce qu« les courbes qu'il renferme déterminent sur une droite qaelconqae une involution du n"™" ordre. Posons z= xet y^o dans l'équation Si + '^Si = o; en désirant par si {x), $t {x) ce que deriennent alors Si et Si, on obtient l'équation

s, (x) + kst {x) = o qui donne, sur l'axe des x ou sur une droite quelconque, un groupe de n points, pour chaque valeur de k, en involution avec les groupes S| (x) ^= o, 5, (x) ^ o. Dans cette involution il peat arriver que deux points d'an groupe coïncident, ce qui donne un point double. Les diverses valeurs de k qui annulent le discriminant de Si (x)-\-kst (x) répondent aux gronpes à point double ; comme il est du degré 2 (m — i) par rapport au paramètre, on en conclut qu'il existe 2 (m — 1) points doubles. Considérons maintenant deux faisceaux linéaires

S, + 1 S, =. o, R, + A R, = o, le premier de l'ordre m et le second de l'ordre n. Etablissons entre les paramètres ketk une relation projective ; posons, par exemple, h = lk, l étant une constante. Les faisceaux

S, + A S, = o, R, + U Ri = o

sont tels qu'^ une courbe de l'un correspond une courbe unique dans l'autre ; on peut les appeler faisceaux projeetifs. En posant y =^ o, on obtiendrait, sur l'axe des x, deux involutions projectives d'ordres m et n définies par

«I (x) + A st (x) = o, r, (x) 4- Ik r» (x) = o.

On peut remarquer que, dans un tel système, il arrive m -f- n fois qu'un point de la première involution coïncide avec son correspondant dans la seconde ; car, en éliminant k, on arrive à une équation du degré m -f- n satisfaite en même temps que les précédentes, c'est-à-dire, parles abcisses des points de coïncidence.

Nous avons vu qu'on peut engendrer une conique par deux faisceaux de droites homographiques. La considération des deux faisceaux de courbes qui précèdent donnent lieu à un mode de génération analogue d'une courbe de l'ordre m -{- n- Eu éliminante entre les deux équations, il vient R,S, — fS,R, = o:

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^qaatian du degré m + n. Ainsi od voit la possibilité d'engendrer noe courbe d'un certain ordre par deux raiseeaux projectile de courbes d'ordre moins élevé.

34ft. Réteau dt eourhet. On appelle ainsi le système de courbes de l'ordre m défini par l'équation

S,+JiS,+AS. = o S|, Si, Si étant trois courbes de même ordre, kvXh deux paramétres arbitraires. Chacune d'elles satisfait ii « — 2 conditions et exige encore deux conditions nouvelles pour être complètement déterminée. Il y a une infinité de courbes du réseau qui passent par un point quelconque du plan ; la substitution des coordonnées de ce point dans l'équation permettra d'exprimer k linéairement au moyen de A ; un seul paramètre restera arbitraire pour toutes les courbes du réseau qui passent par ce point et leur ensemble constitue un faisceau. L'étude d'un réseau conduit h. quelques lignes intéressantes que nous allons foire connaître.

Dans un réseau il y a une infinité de courbes à point double ; car le discriminant du premier membre de l'équation renfermant les deux coe£Scients indéterminés A et A peut s'an uler peur une infinité de valeurs de ces paramètres. Le lieu de tous les points doubles est une ligne qui s'appelle la hesrimne du réteau. On arrive immédiatement à son équation en remarquant que les coordonnées d'un point double vérifient les relations

S,;-ffcSi;+AS.i = o,

s,;+its,;+As,;=o, s,;-i-fcs.;+ASi; = o.

n suffit d'éliminer k et h, et il vient, pour l'équation de la hessienne

Elle est du degré 3(m — i); ainsi la Aesstenne (fun ré<eaii Mt une tovrbt dt l'ordre 3 (m — i).

On peut aussi définir cette courbe comme le lieu des points du plan dont les polaires linéaires concourent en on même point. En effet, la

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droite polaire d'uD point (x', y\ z') par rapport à une conrbe du naseau est représentée par

xs.i, +ys,;, + iS,:, + A{xs,;, +ys.;, + zs,;,) + i(xs,;, -t-

Si le pAle appartient à la hessienne, les droites

xs.;, + y S.;, 4- « S,;, = o,

xSii, 4-ySii, -+- tSÙ, = o,

iï s,L, H- (/ Sij, + ï Si;, = o

concourent en un même point puisque leur déterminant est nul, et, par conséquent, Is droite polaire passera par ce point quelles que soient les valeurs de h et de k.

Quand le piMe (x', y', z') décrit la bessienne, le point de concoars des polaires linéaires se meut dans le plan et décrit aussi une certaine courbe ; l'élimination de x', y', z' entre les trois dernières relations donnera l'équation de cette ligne; on l'appelle la Utinéritnne du réseau. Le résultant étant du degré 3(m — i)' en x^y, z, on en conclut que la tteinérienne (Tun réêeau est une courbe de l'ordre 3(m — i)*. La bessienae et la steioérienne jouissent de la propriété de se correspondre point par point.

Une dernière courbe k considérer est celle qui est l'enveloppe des

droites joignant les points correspondants des deux courbes précédentes;

on l'appelle la cayteyenne du réseau. Sa classe est égale k la somme des

ordres de la bessienne et de la steinérienne, c'est-à-dire,

3(m r)4.3(„iy=3m(m— i).

On peut s'en convaincre de la manière suivante. Soient C^ et C* deux courbes d'ordres fi et v qui se correspondent point par point. Menons, par un point quelconque 0, un faisceau de droites ri, ri, etc.; l'une d'elles, ri par exemple, rencontre C^ en [i points qui ont leurs correspondants sur Cv ; joignons ceux-ci nu point 0 par les droites r', , rj etc. On obtient ainsi deux faisceaux de même centre et tels qu'à un rayon du premier correspondent ^ rayons du second, et, ù un rayon du second, V rayons du premier. Cette dépendance est la même que celle qui lie deux involutions projectives d'ordres p et v; il arrivera donc fx + v fois que deux rayon; vorrespondantg coîDcideront; ceux-ci forment un

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système de u+ v tangentes & la courbe enveloppe passant par un point quelconque du plan.

94M. Courbet unicurtales. On appelle ainsi les courbes du genre zéro, c'est-à-dire les courbes qui ont leur masimum de points doubles

. Biles jouissent de cette propriété exceptionnelle que

les coordonnées du point qui les décrit sont des fonctions algébriques rationnelles d'un méoie paramètre. Sa efièt, soit S = o

nne courbe de I ordre m avec ' ' points doubles ; en ajoutant h ceux>Gi 2m — 3 autres points quelconques de la courbe, on arrive k une somme égale à

Prenons ces points pour base d'un faisceau de courbes d'ordre m — i qui aura une équation de la forme

où A est an paramètre variable et Hi, Ri deux courbes de l'ordre m — i passant par tes points choisis. Chaque courbe du faisceau rencontre S en un seul point mobile ; car on a

m(m— i) ^ i — (am — 3)=i.

Pour le déterminer, représentons par

ux ■^- vy -i- ioz = o l'un des points d'intersection des courbes

S = o, R, + XR, = o.

Par l'élimination de x, y, z entre ces trois relations, nous arriverons k une équation en w, «, w dont le premier membre sera le produit des facteurs qui, égalés li zéro, donnent les points d'intersection des deux courbes; mais tous ces points sont connus et fixés excepté le dernier; done, ito seul facteur renfermera le paramètre A, celui qui correspond

an point d'intersection mobile; comme l'éliminsnt du système contient i k la m"™ puissance, il sera de la formç.

(a»u+6oti-t-eow)H-(aiw+6|tJ+eiK»)itH f-(<uti+*«o+e«io)i-.

Posons : Ai ^ Oi-u-f-tiV + eito; l'éijtiation du point qui décrit li courbe S sera :

par conséquent, si l'on réunit les termes qui multiplient u, v et lo, il Tient pour las coordonaées ponctuelles homogènes de ce point,

Oi+<»<^H h<»-^" 6«+6,A+ — 1-6 J" co+ciA-| |-c-^"'

ce qui démontre la propriété énoncée. Tous les points de la courbe résultent de l'équation (a.) en faisant varier le paramètre A entre — oo et -{- », On démontre de la même manière qu'une courbe de la classe k avec

— tangentes doubles est déterminée par une équation de la

forme

(p) Bo-fB,X-|-B,A'-| hB|A» = o,

les coefficients B étant des fonctions linéaires de x, y, z et A un paramètre variable ; en foisant varier X entre — âe et -(- oe, on obtient toutes les tangentes de la courbe.

Une courbe unicursale étant définie par l'équation (a), on peut en déduire son équation en coordonnées lignes u, v, v. Une tangente rencontre la courbe en deux points coïacidents pour lesquels deux racines de l'équation (a) sont égales; ainsi, on doit avoir en même temps,

P(X) = o et P'(A) = o,

Ab -f. A.X -i 1- Ajr = o,

Ai -}-2AiÀ+'" -f-'«A«A"-*=o.

Multiplions la première par m, la seconde par X, et retranchons ensuite membre à membre; on trouve

mAo 4- (m — i) A,X -j- (m — 2) A,X' -| 1- A«,X--" = o.

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Les coordoDDées d'une tangente Ji la courbe satisfont donc aux équations

(y) mA, + (m— i)A,AH |-A— iX— '=o,

{S) A, + 2A,>+ +mA.i--* = o.

L'ëlimination de A donne l'équation de la coorbe en coordonnées tangentielles ; elle sera du degré 2 (m — i); par suite, /a classe d'une courbe unietasaU if ordre m est, en général, 2 (m — i).

Ce nombre peut cependant se réduire, si la courbe possède des points de rebroussements. On sait que la classe k est donnée par k = m{m — 1) — ad— 3r.

Or, pour une courbe unicursale, on a :

En éliminant d, on trouve

Cette réduction se justifie par les équations [y) et (S) ; en les ordonnant par rapport à u, v, to, elles deviennent

Lu-\-Mv-\- Nw = o,

L'u 4- M'u + N'tc = o,

où les coefficients sont des polyndmes du degré tn — i en A. On en tire