MN' — NM' ^ NL' — LN' "" LM' — ML
et l'ëquation d'une tangente ux-^-vy-^wz^ohli courbe peut s'écrire
(MN' — NM') X + (NL' — LN') y + (LM' — ML') z = o.
S'il n'existe aucun Tacteur commun entre les coefficients de cette
équation, le paramètre A s'y trouve au degré 2 (m — i), et2(ffi — i)
est la classe de la courbe ou le nombre de Ungentes qui passent par un
point quelconque {x,y,z) du plan. Si les coefficients ont un facteur
commun R (X) du degré r par rapport à X, les racines de R (A) = o
annulent les coordonnées de la tangente; ce qui est l'indice d'un point
double. En supprimant ce facteur, l'équation de la tangente ne renferme
plus A qu'au degré 2 (m — i) — r; par suite, la classe est diminuée de r
D,gnz.dbvC00gle
unit^. Les poiots doubles doiiDës par R (A) = o sont des poiats de
rebronssement puisqu'à une valeur de A correspond une seule tangeate.
Ou démontre de la même manière, en partant de l'équation 0), qu'une
courbe de la classe k avec ^ — tangentes doubles est de l'ordre
2 (i — i) — t, t étant le nombre des points d'inflexion.
Pour une courbe unicursale de l'ordre m, nous venons de démontrer que : i ^ 2 (m — i) — r; par suite, on a la relation m = 2[2(m— i)— r — i]— i ou bien
3{ni — a) = 2r + t.
Due courbe unicursale d'ordre m sans poiats de rebronssement possède donc 3 (m — 2) points d'inflexion ; la présence de r points de rebroussements diminue ce nombre de 2 r unités.
La détermination des points d'inflexion se fait en exprimant la coïncidence de trois points consécutifs donnés par l'équation (a); celle-ci admettant une racine triple, on doit avoir en même temps P(i) = o, P'(A) = o, P"(i) = o.
La dernière équation est de la forme
2 Al + 6 Al X -} m (m — i) A. J"-' = o
et les deux autres sont (y) et {S) ; au moyen de la précédente multipliée par A on pourra faire disparaître de {y) et de {3) le terme renfermant X~~', et l'on aura ensuite trois équations du degré m — 2 dont on éliminera les quantités «, v et 10. Le résultat sera du degré 3 (m — 2) par rapport à >. Ce nombre comprend les points d'inflexion et aussi les points de rebronssement où trois points de la courbe coïncident. En vertu de la relation
3(m — 2) = 2i- + i tes racines simples du résultant correspondent aux points d'inflexion et les racines doubles aux points de rebronssement.
S47. Transformations uniformes. Dans In transformation homograpbique, les figures se correspondent point par point, les coordonnées des points correspond au ts ayant entre elles une relation linéaire ; les poiots simples ou multiples te reproduisent fidèlement sur la transformée et le
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genre de la courbe reste invarinble. La transformation corrélative jouit de la même propriété. En gëoëral, il en est ainsi dans toutes les transformations uniformes, c'est-i-dire, dans les transformations telles qu'à un point d'une figure correspond un seul point dans l'autre, et réciproquement. Nous allons voir qu'une telle transformation est possible en établissant entre les coordonnées x, y, z, d'un point et les coordonnées S) Tlf Z de son correspondant les relations
7ii ?*> ?it étant des fonctions de l'ordre m par rapport i l, tt, C> et en choisissant les fonctions <p de manière i avoir les fomules inverses
ijj„ i|;t, i|fi étant des fonctions de l'ordre m par rapport à x, y, z.
Supposons d'abord que les fonctions ip soient du second degré. Si le point (x, y, z) décrit la droite
(d) (w -|- 6y + M = o, son correspondant (^, 17, Ç) décrira la conique
(e) a !p) -)- 6 (p, + c 9, = o ; de même, une seconde droite
(rf') a'x -4- h'y -)- e'z = o, aura pour ligne correspondante
(e') a'çi -+- b'ft + c'fi =■ o.
Au point commua des droites (d) et {d') correspondent les quatre points communs des coniques (c) et (c'). Ainsi, sans conditions préalables, l'application des formules (i) conduit à ce résultat qu'il un point de la première figure correspondent quatre points dans la seconde. Voyons maintenant comment on peut déterminer les courbes 9 de manière b rendre la transformation uniforme. Afin de mieux fiser les idées, nous regarderons x, y, z comme les coordonnées d'un point par rapport ii un triangle aj3y, et l, )], Z comme celles du point correspondant rapporté k un autre triangle a'^y situé dans le même plan ou encore dans un second plan diftéreat du premier. Si, maintenant, oD clioisit <fn, 91, 9s
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de manière que les coniques ipi == o, q^ =3 o, 91 = o passent par trois pointa fixes, pu exemple par les sommets du triangle <t'^'y', les courbes (c) et ((/) passeront par les mâmes points ; par suite, le quatrième point d'inlersectioQ, qui est seul mobile, devient l'unique correspondant du point de la première figure. Conformément & ces conditions, il faut prendre pour les fonctions 9 des expressions de la forme : a,fïX,-\-hiXX-\-C\'(;i\y on, plus simplement, poser :
On en déduit immédiatement les formules inverses
yz n: xtj
de même forme que les premières, et la relation mutuelle des deux figures est identique; aux droites de la seconde figure correspondent anssî des coniques qui passent par trois points fixes de la première, les sommets du triangle a|3y.
Les points fixes inhérents & la transformation s'appellent points fondamentaux. Cootrairement à la règle, il y a, pour chacun d'eux une infinité de points correspondants. Ainsi le point y{x = o, t/ = o) a pour correspondant un point quelconque de la droite a'p' (Ç ^ o) qui fait partie des coniques yjÇ et 'C,\- H faut en conclure inversement que tous les pmnts de a'{5' auront le même correspondant y. Cette particularité se reproduit pour chaque point fondamental.
Supposons qu'on applique la transformation à une courbe S de l'ordre m représentée par f(x,y, z) = o; ta ti-ansformée ayant pour équation fif^, ZKt E^)=o sera une courbe du degré zm; comme les m points de S sur chaque cAté du triangle fondamental apy ont pour correspondant un même sommet du triangle a'^'y', la transformée S' passe m fois par les points a', P', y qui sont ainsi pour elle des points multiples d'ordre m. Si la courbe S passe par un point fondamental, il y a des modifiealtOBS dont il fout tenir compte; par exemple, si elle passe par a, la droite correspondante ^'y' fait partie de la transformée; en la séparant de celle-ci, son ordre diminue d'une unité ; de plus, elle passe une fois de moins par les sommets P', y. Donc, en général, une courbe S de l'ordre m qtdjMuee P* 9t >* fo** por fu point» fondamentaia a,^,y a pour traniformée tuu
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— itë —
courbe S' de l'ordre im — p — q — r et passant respectivement m — q — r, m — p — r, m — p — q fois par tes points fondamentaux a', |3', /,
TcUe est la méthode de transformation rationnelle quadratique; elle a une importance toute spéciale attendu qu'il est démontré anjourd'hoi que toute transformation d'un ordre plus élevé peut s'effectuer par une série de transformations de cette nature.
Nons allons maintenant exposer en quelques mots la transformation générale rationnelle appelée transformation Cremona. Supposons, dans les formules
Çi 91 "Pi
qne ipi, 91, 91 soient des fonctions de l'ordre m en Ç, rt K- A chaque point (Ç, v, Zl) de la seconde figure correspond un seul point (x, y, z) de la première. Aux droites
(rf) ax-\-btf-^ez = o, {d') a'x -j- b'y + c'z^o
répondent les lignes de l'ordre nt
(g) (Kpi -t- 6(pi -i-cçj=o, {*') o'9i + 5' (pi + (/«» = 0; elles se rencontrent, en général, en m* points qui sont les correspondants du point commun des droites (d) et {d'). Pour rendre la transformation uniforme, il fout choisir les fonctions 9 de manière que les conrbes <f, =0, 91 =" o, 91 '^ o aient en commun m* — i points fixes; les courbes (s) et (s') n'auront plus alors qu'un seul point d'intersection variable; par suite, A un point de la première figure correspondra un seul point de la seconde de telle sorte que l'on peut poser les formules inverses
Les fonctions tj' doivent aussi être du degré m par rapport b x, y, z. En effet, à une droite quelconque Ix-i-my -h nz correspond la courbe /9) + mft + «91 = o, et, â la droite i^-{- fir, -{- v^ =^ o, la courbe X<ji, -|-^4'<~f'W'*^°' ^^'^} Q"^ points d'intersection des lignes
Ix -{- my ■\- nz ^ o, ).'^i + fi^t 4- x^*' = O) répondent les points communs des lignes correspondantes
^91 + m9i + «91 = 0, iÇ 4- f"H- vÇ = o.
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Le nombre de ces deraîers étant m, il en doit être de même pour les premiers; les fonctions ip sont donc du même degré que les foDCtions <ç.
Il y a encore une condition à remplir pour que la transformation soit possible. Les courbes <ft, <f,, tp, en passant par m* — i points ne peuvent pas satisfeire ii < — i couditions; car, on sait qu'alors le dernier point commun serait fixe. Il faut donc encore que les courbes ip ne satis&ssent qu'à * — 2 conditions. Ce qui montre que la transformation générale est impossible avec des courbes passant par m* — i points fixes simples, puisqu'on ne peut avoir
» ^ Mf*» + 3)
si m est plus grand que 2. On doit donc adopter pour les points fondamentaux une combinaison de points simples et de points multiples. Nous supposerons que les courbes cpi, ipi, i^i ont en commun pt points simples,
pt points doubles p, points multiples d'ordre r. En se rappelant que
deux courbes se traversant en un point multiple d'ordre r pour chacune d'elles y possèdent r* points commuas, on a, comme première condition,
{«) pL + 4P» + 9Pî H h r*Pr = m' — r .
En second lieu, un point multiple d'ordre r équivaut &—^ conditions, puisqu'en en y plaçant l'origine, l'équation générale perd i -)- 2 + 3 + "• + *■ ^ termes; par suite, on doit aussi avoir
En retrancbant la première égalité de la seconde multipliée par 2, on trouve l'équation
(a'} Pi + 2p, + 3p,-\ i~rpr = 3{m—i)
que l'on peut prendre pour remplacer (p). La transformation rationnelle générale pourra s'effectuer d'autant de manières que les équations (a) et (ce') admettent de solutions entières pour p„ pt, p^, etc.
Une courbe du troisième ordre ne peut avoir d'autre point multiple qu'un point double, et, pour la transformation cubique, les relations (a) et (a') deviennent
p,+^t = 8, p, + ap. = 6;
d'où p, ±= 4, pi = I . La traDsformatîon aura lieu d'une seule manièn avec des cubiques ayant en commun un point double et quatre point» simples.
Une courbe du quatrième ordre n'a pas de point multiple d'ordre plus élevé que le troisième, et les équations de condition seront :
Oa y satisfait par les deux systèmes
p, =6, pi = o, pi = I
pi=3. Pi = 3. /»■ = <>; et ainsi de suite, pour les transformations d'ordre plus élevé.
Dans la transformation Cremonn, les points fondamentaux font aussi exception à la règle ; ils ont une infinité de points correspondants formant une courbe unicursale. Supposons, par exemple, que le point fondamental [i, Yi, Ç) soit multiple d'ordre r dans la transformation; les coordonnées d'un point quelconque sur une direction (A, p., v) issue de ce point ont pour expressions
Ç|Xp, »i + fip, Ç + vp
avec la relation a'À -1- ^V -|~ ^'^ =^ °- Nous admettrons que p est infiniment petit pour ne considérer qu'un point infiniment voisin du point multiple, tandis que A, ^, v se rapportent a toutes les directions autour de ce point. En substituant ces valeurs dans (pi, ft, fi, toutes les dérivées d'ordre inférieur à r seront nulles dans le développement; par suite, si on néglige les puissances de p supérieures à r, on a, par approximation, les relations suivantes pour calculer les coordonnées X, y, z du point cor3respondaDt
^''?iï+/?rt+-- A>rf+f^'''*?i,^+— ^''9'.E+p>ri+--
En remplaçant v par sa valeur tirée de o'î. + *V + <'''' = O' 1** dénominateurs deviennent des fonctions homogènes en X et fi ; les coordonnées X, y, z sont donc exprimables par des fonctions rationnelles d'un seul paramètre et le lieu du point (x, y, z).est une courbe unicorsale du degré r. Réciproquement à tous les points de cette courbe correspondra un même point fixe.
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Si l'on transforme une courbe S de l'ordre ft : /*(x, y, z) = o, la transformée S' sera une courbe de l'ordre ntfi reprësenlée par fift, <Pii 93) = o; h UD point fondamental tt multiple d'ordre rsur les courbes Çi, tft, 71 correspond une courbe unicursale d'ordre r qui rencontre S en rjj. points; comme tous ces points ont le même point n pour correspondant, la courbe S' passera rfx fois par n : ce sera un point multiple d'ordre tjjl sur S'. En supposant que la courbe S n'a pas de points multiples, la transformée S' n'en aura pas non plus en dehors des points fondamentaux puisque les courbes se correspondent point par point. Pour déterminer le genre de S', il suflBt donc de retrancber de son
maximum de points doubles — -^- — le nombre total de
points doubles équivalents aux points multiples réunis aux points fondamentaux, c'est-à-dire
L)+... + ,/Ji<
ou
bien
C'ip.+iP
en vertu des équations de la transformation, ce nombre se réduit ii (m'— i)f^' — 3(ot — 1)^
On en déduit pour le genre de la transformée S' (mu— 1} («tfi — a) (m*— i)ff' — 3 {m— i)ft^(ft— i) (^ — 2) 2 22
Cest précisément le genre de la courbe S puisqu'elle n'a pas de points multiples. Lorsque S possède des points multiples, ils se reproduisait exactement sur S' en dehors des points fondamentaux, et le genre de la courbe reste encore le même.
Enfin, quand la courbe donnée S passe par un point fondamental, la transformée se compose d'une courbe unicursale et d'une autre courbe dont le degré sera diminué de celui de la première. On constate encore, dans ce cas, l'invariabilité du genre et U en est toujours ainsi quand denx lignes sont liées entre elles par une relation uniforme.
Ces considérations montrent bien l'importance du genre dans la
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— U9 — théorie des courbes ; c'est une quantité qui peut rester fixe ftlors (]ue l'ordre change. On pourrait classer les lignes d'après leur genre comme on le fait d'après leur ordre et étudier les propriétés communes aux courbes du même genre. Ce point de vue devient de plus en plus nécessaire à mesure que l'on pénètre plus profondément dans la nature des lignes géométriques.
Applloatioiu et ezaraloea.
