AB = — M

L'équation (i) peut donc s'écrire

AH + HB + BAi=o.

Noue allons voir que cette relation s'étend à un nombre quelconque de points en ligne droite. En effet, supposons qu'elle soit vraie pour n — i points A, B, C, .... L, H : on aura

AB + BC + CDH hI'M + MA=o.

Soit N un nouveau point ; le système des trois points, A, M, N donne lieu ï l'égalité

AM + HN + NA = o; or, si on ajoute ces deux équations membre à membre, en remarquant que AH ^ — HA, il vient

AB + BC + CDH hLM + MN + NA = o.

Donc, si le théorème est vrai pour n — i points, il l'est aussi pour n points, et comme il a lieu pour le système de trois points, il aura lieu pour le syslime de quatre points, etc.

S. Prenons, sur les droites de la figure, un point fixe 0 et désignons par a, b, X les distances de ce point aux trois autres A, B, H, de telle sorte que a = OA, 6 = OB, x := OH. On aura AB = OB — OA=fc— a,AM=OM — OA=i— a,MB=OB— 0M=6— I, et, en substituant dans la relation (i), il vient

D,gnz.dbvC00gle

Dam le eu de la droite (2) où le poiat H est au-delà du point B, on > AB = AH — MB; mais AH ^ X — a, HB =: OH — OB ^s x ^ b, et par conséquent, l'ëquatien préeëdenle devient

6 — a =x —-a — (x — 6), ou bien

6 — a=x — tt + b — X.

Lorsque le point M se trouve entre le point fixe 0 et le p«)int A, on a IVgaUté

AB = — AM + MB, et comme AH = a — x, HB = b — x, on a

6 — o = — (o — x)+fc — * on

Ainsi, une relation entre tes distances des pointe A, M, B i on poini fixe O ne change pas aussi longtemps que l'un d'eux se déplace pour oecuper une position quelconque ii droite du point fixe.

Enfin, supposons (fig. 6) que le point H soit situé à gauche du point 0; les distances AB, AH et MB sont liées par l'équation

AB = — AH + MB; mais AH = x-^a, HB = x-{'b; en substituant, il vient (a') 6 — 0 = — X — a + b-\-x.

On voit, par la comparaison des équations (i') et (2') que l'on passe do la première à la seconde en changeant ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ X en — ^^^^^^^^^^^^^^^^1

on suppose que le nombre de ^^^^^^H^HJJ^HHI^^I points soit quelconque, on peut énoncer '''*■ *-

cette règle : Une relation entre Us distances d'un système de points d'une droite d un même point fixe de cette droite sera applicable à tme position quelconque de cet points, si on donne le signe + aux distances des point» tiiués d droite du point fixe, tt U signe — aux distances des points situit d gauche.

Les distances OA, OH, OB.... se nomment abdsses des points A, M, &.„. par rapport au point fixe 0 appelé origine. On doit regarder l'ibcisse

D,gnz.dbvC00gle

(fon point comme une grandeur algébrique dont la valeur absolue indique la distance de ce point à l'origine, et dont le signe fait coanaltre de quel cAtë le point se trouve par rapport à la mime origine.

§ 2. DBS PROJECTIONS.

4. La projection orthogonale d'un point sur une droite est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite.

Soient btb une droite indéfinie, et AB une droite de longueur donnée ; abaissons des extrémités A et B des perpendieul aires sur 6i6; la distance afr comprise entre les pieds de ces perpendiculaires est la projection orthogonale de la longueur AB sur l'axe.

Cette projection ab varie en grandeur et en direction suivant l'inclinaison de Fig. ,. la droite AB sur l'axe. Supposons que

la longueur AB tourne autour du point A pour venir se placer en ABi perpendiculairement à l'axe : la projection ab diminue et se réduit ù un point pour la position ABi; mais elle est toujours dirigée vers la droite par rapport au pointa. Si la droite continue de tourner autour du point A, la projection tombe k gauche de a, et, dans la position ABi, elle a pour longueur abs. Afin de généraliser les formules, nous regarderons la projection d'une droite AB sur un axe comme une grandeur algébrique positive, si, en parcourant la droite de A vers B, la projection est dirigée i droite du point a, et négative, si elle tombe à gauche du même point.

S. La projection orthogonale d'une droite sur un axe rat égale en grandeur et en signe au produit de la longueur de cette droite par le coêinus de l'angle qu'elle fait avec la partie positive de l'axe.

Considéi'ODS la droite AB (fig. c) ; menons par le point A une parallèle h l'axe, et soient AB ^ a, ab='p, angle BAC =: a. Le triangle BAC donne

AC = a6 = AB cos BAC, ou bien

(i) p = acosa.

Aussi longtemps que la droite AB fait un angle aigu avec l'axO) la

D,gnz.dbvC00gle

projection est positive et ^|{;al à acosa. Supposons que la droite AB occupe la position ABj , et que l'angle BiAC soit égal à l'angle BAC ; la valeur absolue de la projection est encore acosa; mais ici on doit prendre pour a l'angle obtus BiAC que bit la droite avec la partie positive de l'axe, et, par suite, le produit a nos a sera négatif; donc, dans tous les cas, la formule (i) donnera la projection d'une droite en grandeur et en signe. L'angle a est toujours compris entre o et iSo*; pour le déterminer, il faut mener une parallèle i l'axe par l'extrémité k partir de laquelle on parcoure la droite AB.

4. La tomme algébrique det pn^ection» ùrthogoniUea dei côtés (ftm polygone fermé sur un axe est égale à zéro.

Considérons le polygone ABCDEP. et abaissons des sommets A. B..,. des perpendiculaires sur l'axe de projection. Supposons que l'on parcoure le polygone dans le sens des lettres A, B, C, D, E, F : il est visible que les c4tés AB, BC, DE sont projetés positivement suivaDt ah, bc et de, tandis que les autres càtés CD, SF, FA ont pour projections — cd, vi|. *.

— ef, — fa; il en résulte que la somme algébrique des projections sera a6 -f- 6c — cd-\'de — tf— fa.

Hais ab + be = ac, — cd + de = — ce, ef+fa = ea; l'expression précédente devient

ac — ce — ea ou ac — ae, et par conséquent, elle est nulle.

Un raisonnement analogue peut s'appliquer à un polygone d'un nombre quelconque de c6tés ; le théorème est donc démontré.

Afin d'exprimer le théorème précédent par une équation, désignons par a, b, e.... Mes n cdtés d'un polygone, et par a, ^, ■/....). les angles de ces cAtés avec l'axe de projection. On aura

(2) acos » -^ b cas ^ -\~ c cas y -\- ■— /cosA = o, ou bien

£a coB a = o,

D,gnz.dbvC00gle

où le signe 2 indique une somme. La relation (2) exprime le théorème général des projections orthogonales dans un plail. De l'équation (2) on tire

(3) a cos a -]- 6 ces j3 -I — • = — / cos ï. On appelle résultante d'un contour polygonal, la droite qui ferme ce contour; ainsi, dans la fig. (d), AF parcourue de A vers F est la résultante du contour ABCDEP. et sa projection est — I ces A, puisque l cos A est la projection de AF parcourue dans le sens opposé, comme faisant partie du polygone. On peut encore énoncer le théorème précédent comme suit : La somme algébrique de» projections des côtés d'un contour pob/gonal est égal à la projection de la résultante. Pour deux contours ayant même résultante, cette somme algébrique sera la même.

S 3. DBS FRACTIONS ÉGALES.

1 , Étant donnéet des fractions égales a a' a"

et m, m', m".... étant des quatUités quelconques, on a : a a' a" a-\-a' ~{-a" -\-- ■ ma^-m'a' -i-m"a" -^••

b~V~W ~~ b+ b' + b" -]-■■■ ~mb+ m'b' + m"b" + ■ •

^|/a* + a'* + fl"' + -- ""^/6' + 6'» + 6"«4--' Pour le démontrer, posons

D'où

(«) o = it6, a' = Afr', a" = kb",...

On en déduit, en multipliant respeclivement ces égalités par m, m', m"...,

(p) ma==kmh, m'a' = km'b', m"a" = km"b",... et, en les élevant au carré,

D,gnz.dbvC00gle

Si OD ajoute les équations (a), [^), (y) respectiTcment membre k membre, on obtient

(ma + mV + m"a" -\ ) = («16 + m'I/ -\- m"b" + .. .)Jt

a» + a'» + a"» + ...) = (6' + 6'» + 6"' + ...)i». On en tire

a-\-a'-\-a"-\-- • ma+wiV+in"a"H ^/a'+a'*4-o''-| l''

b+b'+b"-^...- mb + m'b'+m-b"+-~ ^:^f-^b"'i..- b~

ce qui démonlre le tbëorème énoncé.

S. Étaia données k» Iroù fractioM égale»

Hx,^,y étant]tToù angUt gudeonquea, on aura

p q r K'p*+ ^'H"*^ — 2yeogg — arp cos P — ipq coa y

' *" " l^t' +">*+'»* — amneos a — 2n/ cos ^ — 2tm cos y En effet, en désignant par k la valeur de cbacone des iiractionB, il vient, eo élevant au carré,

Si on moltiplie les fractions données deux à deux, on a aussi

iL=T? = W = jti ffln ni ml et par suite,

2^ cos a 2rp cos |3 2pq c*

2mn cos a: znl cos p 2/m cos }> En vertu du tbéorème précédent, les égalités (i})et{ï) conduisent & l'équation

p' -f* 9' 4" '^ — ^9^ c** * — ^rP "^o* P — *PÎ '^'** 7 ti i* + m' + «* — 2mn coa a — 2«i cos ^ — 2lm cos y

et, par conséquent,

yp*-\- q'-\-r* — ïtjr cos « — zrp cos (3 — 2py cos y , p 9..'".

\/l*-\-m'-i-n* — amn cos a— znl cos |S — alm cos y ' "• "

c'est ce qu'il fallait démontrer.

D,gnz.dbvC00gle

Cea propriétés des fractions égales nous seront souvent utiles dans les calculs de la géométrie analytique.

§ 4. N0TI0H8 8UB LBS nfiTEMunANTS.

•. Considérons un système de deux équations du premier degré de la forme

aa ■+■ fc,y == Cl

Les valeurs de x et de y qui satisfont à la fois h ces équations sont données par les formules

Ci6i — Cibi atCt — otCi

oi6, — a.6i' ai6i — otbt

Toute expression algébrique de la forme du dénominateur se nomme le dilerminanl du second ordre des quantités ai, d, ot, 6«. Pour représenter ce déterminant, on emploie la notation

On dispose donc les coefficients sous la forme d'un carré entre deux traits verticaux.

Les numérateurs des inconnnues x et y sont aussi deux déterminants du second ordre; avec la notation précédente, on peut écrire j Cl, b, I I oi. Cl I

I Ol} ^1 { I «1» bi I

I <it, 6i I j oi, A* I

Semarque t. Dans le déterminant des quantités a,, bi, Oi, 6t, les éléments ai, 6| forment la diagoiuUe du carré. Dans le développement, il faut donner le signe positif au produit des éléments de cette diagonale. Remarque 3. Pour obtenir les termes du déterminant I a» b, I \ tu, bt \ on forme d'abord toutes les permutations du produit des lettres différontes qu'il renferme sans les indices ; il rient ainsi : afr, ba;

D,gnz.dbvC00gle

OD donoe ensuite l'iadice t & la première lettre de chaque groupe, l'indice 2 à la seconde, et on affecte le dernier produit du signe négatir.

!•. Considérons, maintenant, le système de trois équations du premier degré

aiX-\-b,y + c,x = d,,

a»a: + 6,y + c,z = dt,

OîX + 6iy + CiZ = df

Le dénominatenr commun des valeurs générales desiacoonoes z, y et z,

c'est-à-dire l'expression

aibtCi — aibjCt -\- (it6)Ci — aj>ict + aibiCt — OsbtCi se nomme le détemântmt du troùtém* ordre des quantités a*, b*, et, etc. ; on le désigne par la notation

I l>i, Cl .

Of, K c»

Le détenninant du troisième ordre s'exprime au moyen de déterminants du second ordre ; car sa valeur peut s'écrire de six manières différentes, savoir:

a, (6, c, — 6, c) -)- ai (6j c, — 6i c,) + % {5i c» — 61 Ci) fri (di Ci — (H c) -|- bi (ai Ci — ai Ci) -|- 6. {«i Ci — ai Ci} C) (a* 6i — o» 6») + c» (a. 61 — ai bt) + «t (ai fti — a» 61) Si {61 et — frg Cj) + bi (ai Cl — ai c,) + ci (o» A» — «i 6») ot (&j c, — 6, c) 4- 6t (at c, — a, c) + e, (o» 6, — a, 6.) Oi (b, c. — 61 Cl) -i- 61 (a« Cl — Oi Cl) + Cl {ai 6. — «161). Posons

Ai =

b„ Cl

bi, c, i

il, ».

c, Of

ti, ». 1

c„ Ht

Ci, a,

Cl, a,

Ot, 61 1

D,„„.db,Coogle

On aura

Oi, bi. Cl Oi. bt, e»

Bemarqut

=aiAi-|-aiAt-{-a,A,=6tB,-{-A.BH-btBt=^,Ci4-c.CT-H;,C, =a,A,-t4,B,+<,C,=atA,+6,BH-<;.C,=a,AH-6.B,+c,C,

. On fait usage des expressions précédentes pour calculer la valeur d'un déterminant donné du troisième ordre.

11 est bon d'obscrrer que Ai est le détermioant du second ordre obtenu en supprimant la ligne horizontale et la ligne verticale qui renferment le coefficient ot ; il en est de même des autres déterminants A), Ai, B|.... Si l'on demandait, par exemple, la valeur du déterminant

et le déterminant proposé a pour valeur — lo.

Remarque 3. On peut encore obtenir les différents termes du déterminant du troisième ordre de la manière suivante : on forme d'abord toutes les permutations du produit <Utc j ce sont :

abc, acb, cab, bac, bca, cba; on donne ensuite l'indice i i la première lettre, l'iodice 2 i la seconde lettre, l'indice 3 ii Ih troisième lettre de chaque groupe ; il vient ainsi :

Oi6iC], aiCi6i, cidjôi, btUtC!, biCta,, C|6tai ; enfin, on donne le signe + au premier terme qui est le produit des éléments de la diagonale du carré, et on aSecte les autres termes du signe + ou du signe — suivant qu'ils proviennent du premier par un nombre pair ou impair de permutations des indices. Ainsi, le terme aiCtfri sera négatif, puisqu'il vient du premier en permutant les indices des lettres 6 et c, le troisième terme provient du second en permutant les indices des lettres a et e, et, par conséquent, pour passer du premier au troisième il hut deui permutations d'indices ; donc ce terme aura le signe + j «t *ii>sî de suite.

D,gnz.db,C00gle

t1. Soient enfin n ^uations da premier degré de la formé a,x + b,y + c,e + -..-+a,v = oti + 6iy + Ciï •+• • ■■+»»« = »;

, qui satisfont h

<i-x + 6.y + c^H hs,r =

Le dénominateur comman des valeurs de x, y, z.. ces équations, s'appelle le détenninsnt de l'ordre n des coefficients oi 6i...; il se désigne par la notation

, fr(, ^>

Ôl, frt, Ct,

, 6ii «I,

La loi de formation indiquée dans la seconde remarque du numéro précédent pour le dénominateur des inconnues x, y, z, lorsqu'on a an système de trois équations du premier degrd, s'applique à un système de n équations du premier dep?é it n inconnues. 11 s'en suit que pour obtenir le déterminant de l'ordre n, on forme toutes les permutations du produit abed....» qui renferme n lettres

abcd..,.f acbd...., ele. ; on donne l'indice i li la première lettre, l'indice 2 Ji la seconde..., l'indice n i la dernière lettre dans chaque groupe ; enfin, après avoir donné le signe -l-au produit

BifriCi •■■• s, qui renferme les coefBeients de la diagonale du carré, on affecte un terme quelconque du signe -f- ou du signe — suivant qu'il provient du premier par un nombre pair ou impair de permutations des indices. La somme algébrique de tous les termes ainsi obtenus sera le déterminant de l'ordre n.

Remarque 1 . Nous avons vu qu'un déterminant du troisième ordre est égal à Oik, -l-a,A,-j-OjA„ A., A,, A, étant des délerminanU du second ordre qui ne contiennent pas la lettre a. Celte propriété s'applique aux déteruiinauls des différents ordres. Ainsi, en désignant par Ai, A A.

D,gnz.dbvC00gle

des déterminants de l'ordre (n — i) qui ne reafcrmant pas, le premier te coefficient ffi, le second le coefTicienl a^, etc., le déterminant de l'ordre n . p«iit s'tfcrire

aiAi +ajAi+ ■-■■a,A..

De mâme, Ai, Bi, Ci, .... Si étant des déterminants de l'ordre (n — i), le premier ne renfermant pas le coefficient a, le second le coefficient 6| etc., le déterminant de l'ordre n sera encore ëgal k a,A| + 6iBi + c,C. + ■■■ «iSi.

Reinarque 2. (1 n'est pas indispensable pour la définition d'un déterminant de considérer un système d'équations du premier degré en x, y,...

On peut dire : Etant données n* quantités ai, 6|, ....s,, ot, bt st, etc.

disposées en carré ayant » lignes horizontales et n lignes verticales, si, dans le produit

des éléments delà diagonale où les indices se suivent dans l'ordre i, 2, 3 jusqu'à n, on permute ces indices de toutes les manières possibles en donnant Ji chaque terme le signe -f- au le signe — suivant qu'il dérive du premier par un nombre pair ou impair de permutations des indices, la somme algébrique des termes ainsi obtenus est le déterminant l'ordre n des n* quantités ai, bt, ....

It. PnoPRiÉtds DES DdtBBinKANTS. — o) Un déterminant ne change pas non écrit korizoniatetaent les lignes verticates, et réciproquement.

ai, 61,

Oi) b,. Cl 6|, bt, bt

as, bt, Ci

Cette propriété résulte de la loi de formation d'un déterminant ; dans les deux cas les différents termes proviennent du même terme 4~ o< ^ Ci. 6} Un délerminatU change de Hgne, lorsqu'on y échange entre elles deux lignes parallèles (vertictdeg ou horizontales). Ainsi, on a

Si, bt,

ot, bt,

bt, a„

bi, Ot,

bt, a,.

Ot, b,, Ot, bt.

D,gnz.dbvC00gle

— Kin —

En effet, pour trouver les diffi!ren(s termes des deux derniers dëterminants, il Faut effectuer toutes les permutations possibles sur les indiees dans le produit-]- 6, ot c, des éléments de la diagonale ; mais ce terme b, oi Ci étant négatif dans le premier déterminant, il est évident que tous les termes qui en dérivent, d'après la loi précédente, auront les mêmes valeurs numériques et seront affectés d'un signe différent aux. termes du premier ; donc le déterminant a changé de signe.

e) Un délermxTumt egt nul, quand deux lignet parallèttë iont identiqut».

ai, bt,

O), bt,

car, d'un eAté, si on échange deux lignes identiques, le déterminant ne sera évidemment pas altéré ; mais d'un autre côté, un tel échange revient & changer te signe du déterminant ; donc, chacun des deux déterminants sera nul, puisqu'il n'est pas altéré par le changement de signe des termes qu'il renferme.

d) Vn déterminant est égal d o, quand tout Us coefficients tfune ligne soni nuit; car, dans chaque terme, il entre un élément de chaque ligne. Il en résulte que, si tous les éléments d'une ligne sont nuls, un seul étant excepté, le déterminant d'un certain ordre se réduira au produit de ce coefficient différent de léro par un déterminant d'un ordre inférieur d'une unité. Ainsi

bt, c.

bt, 6»

ait &i, ct

e) Quand les éléments d'une ligne se composent ^une somme de plusieurs coefficients, le déterminant est égal à une somme de plusieurs déterminants.

Ainsi

ai-f-tti, bi, Cl ^ ai, bt, Cl

Ot+ai, bt, et Ot, ht, et

01+ «I, b,. Ci (h, 6»,

Ol, bt, c.

D,„„.db,Coogle

^^ Xxiv ^—

En effet, où peut écrire

= (a,+c.)A'4-(a. + «.)A, + (o. + a,}A, = (a,A, + otAi 4- a,A,) + (a, A, + «.Ai + «^,).

a, + a„ fc,, cj

«t + ai, 6„

Ai, Ai, â,, étant des déterminants du second ordre ; or, les trinômes des parenthèses sont les deux déterminants du secoud membre de l'équation précédente, donc, ete.

f) Quand on multiptie les éléments d'une l^ne par un même facteur, le déterminant se trouve muU^té par ce facteur.

Car, on a

poi, 6i, Cl poi, ht. Cl

= poiAi-4-patA» + pa»A» =»p

a*9 ht, ct

at 11,

I) en résulte que si deux lignes ne diffèrent que par an focteur constant, le déterminant sera égal i sëro ; ainsi pa., po.,

, Ht, Ci

jr) Si chaque élément d'une ligne est égal d la somme des coefficients correspondants des autres lignes, multipliés respectivement par des facteurs constants, le déterminant est égal à zéro. En effet, on a

)i4'»ci, 6i, Ct = Ibi, bi, Cl >i-]-nGi, 61, ft Ibt, tii Cl

■t + nci, bt, C) Ibi, bt, Ct

et les deux déterminants du second membre de cette équation étant nuls, la propriété est démontrée.

Il s'en suit qu'an déterminant ne change pas, si on ajoute aux coefiBcients d'une ligne, les coefficients des autres lignes après les avoir multipliés respectivement par des lacteurs constants; car on a

ne,.

net.

<h-]-lf>t-^mct, b,. Cl

0» + fti + »lCi, bu C|

Oi -H tt» + mc), ht, ci

d), 6t, Ci

Ibi -\- mci, 61, Cl tbt -{- mct, bt, Cl /61 -\- mci, b„ Ci

et, en vertu de la propriété démontrée, le dernier déterminant est nul.

D,gnz.dbvC00gle

Les coefficients t, m sont quelconques; ils peuvent être égaux b l'unité, positifs ou négatif; on profite de leur indétermination pour arriver k introduire plusieurs zéros dans une ligne; ce qui abrège le calcul de la valeur du déterminant.

A) Le produit de deux dilermxnafUs de même ordre est lui-même un déterminant dont Us éléments sont formés des sommet des produits des éléments de chaque ligne de l'un par les éléments de toiUee Us lignes de Cmitre.

si on fait la somme des produits des éléments de chaque ligne horizontale du premier par les éléments des trois lignes horizontales du second, il Tiendra le déterminant du troisième ordre

C= a,a, + b,^,+c,yi, a,at + h,^ + cyt, o.ai + *.(5. + Ciy»

atai-|-6t^i +Ct-/i, Oia(-|-6tPi+ Ciy«, ata,-\-b^i-\-Ctyt

Oïdi + bs^i + Cty„ Usai -\- bs^t + c^yt, a^as -\- 6i(3i •+■ Ctyi

Je dis que C ^ A . B. On le démontre en décomposant C en déter*

minants à éléments simples par la propriété (t). D'abord, sans toucher

aux deux dernières lignes verticales, C est égal aux trois déterminants

Otai, ai-xt+bi^+Ciyt, Oia, +6,(31+07»

BtOli,

Dans chacun de ceux-ci, on opère sur la seconde ligne verticale de la même manière; ce qui donnera g déterminants dont les deux premières lignes auront des éléments simples, tandis que la dernière ligne verticale est restée la même. Enfin, chacun de ces derniers se décomposera également en trois déterminants à «Eléments simples en opérant sur la deis nière ligne verticale. On obtient ainsi vingt-sept déterminants ; ceux où une même lettre a, b, c se trouve répétée au moins deux fois tels que u, 6.|3t, b,^t

lA, ...