tf

coté 2,a5, c'est-à-dire 0,^5, comme la longueur ab est à la différence de cote entre 6,76 et 2,26, c'est-à-dire 4,5o :

ac 0}x X ^ ab 0,75 - 4^'

Nous connaissons la longueur ab mesurée à l'échelle du dessin ; au moyen de cette proportion, nous déterminons un certain nombre x qui correspond à une longueur mesurée à l'aide de Téchelle du dessin, et nous obtenons le point c en portant cette longueur à partir du point a.

Nous pouvons de même déterminer le point rf, pour lequel la cote est 4) par la proportion

cd o\x X ^ ab 'i "475^*

Cette longueur crf, qui est, sur la projection de la droite, la distance de deux points dont la cote diffère de l'unité, est ce qu'on appelle V intervalle.

L'intervalle étant déterminé, nous pourrions porter cet intervalle successivement sur la droite et nous aurions les points à cotes rondes. Mais, lorsqu'il s'agit d'un tracé graphique, il ne suffit pas de trouver le moyen théorique qui conduit à la solution du pro-*

PROJECTIONS COTEES. I7

blême : il faut encore chercher parmi les constructions celle qui donne le résultat le plus exact.

Dans la pratique, on opère ainsi : on détermine le point à cote ronde le plus voisin de chacune des extrémités de la droite; près du point a, par exemple, on cherche le point coté 3, et près du point b le point coté 6; il ne reste plus alors qu'à partager la distance comprise entre le point coté 3 et le point coté 6 en trois parties égales, ce qui donne les points cotés 4 ^t 5. De cette façon, la droite se trouve graduée.

Le procédé dont nous venons de faire usage pour graduer la droite est celui que Ton désigne sous le nom de procédé arithmétique. Il en existe un autre que l'on désigne sous le nom de procédé graphique.

Considérons {fig* lo) le plan vertical qui projette la droite; il

Fig. 10.

se projette tout entier suivant la droite ab. Supposons que, dans ce plan, on mène une horizontale par le point a : c'est l'horizontale qui a la même cote que le point a, c'est-à-dire l'horizontale 2,25. Faisons tourner ce plan vertical autour de cette horizontale 2,25 pour ramener à être parallèle au plan de comparaison; après le mouvement de rotation, le point qui se projetait en b vient se projeter au point è*, tel que la distance bb^ égale la différence de cote entre le point b et le point a, soit ^y^o mesurés à l'échelle du dessin. On joint alors le point a au point 6| ; puis on ramène sur celte ligne a6< , au moyen de parallèles à aè, les points à cotes rondes rabattus sur bb^ ; ces droites rencontrent ab^ en des points qu'on projette sur ab, et l'on aies points à cotes rondes sur la droite ab.

La hauteur du point b au-dessus du point a étant mesurée par un segment d'une dimension petite relativement à la longueur de ab^ les droites parallèles à ab rencontrent la ligne ab\ sous des angles très aigus. Le point de rencontre graphique de deux lignes qui se coupent ainsi sous un angle aigu n'est pas suffisamment défini, et

ce procédé graphique présente alors l'inconvénient de ne pas donner la graduation de la droite avec assez d'exactitude.

Voici encore comment on peut opérer graphiquement. Du point a on mène une droite auxiliaire. Sur cette droite et à Taide d'une échelle divisée, un double décimètre par exemple, on porte à partir du point a des segments proportionnels aux segments à déterminer sur ab. Ces segments ont ici pour longueurs : 7™°*, 5, lo"", io"°, 10*"", 7""", 5. On joint au point b l'extrémité du dernier segment ainsi obtenu, et l'on mène des parallèles à cette droite par les difTérents points marqués sur la droite auxiliaire. Ces parallèles coupent ab aux points à cotes rondes demandés. Au point de vue graphique, on doit choisir la direction de la droite auxiliaire et l'unité de mesure des segments portés sur cette droite pour que les parallèles employés coupent la droite ab sous un angle convenable.

Au moyen d'une proportion analogue à celle dont nous avons fait usage précédemment, on résout les problèmes suivants :

Trouver la cote d'un point donné sur une droite. Trouver sur une droite la projection dUin point dont la cote est donnée.

Ces deux problèmes se résolvent approximativement quand la droite donnée est graduée.

Distance de deux points, — La distance entre les points a et 6, donnés par leurs projections cotées, est^èi, déterminée comme on vient de le voir; on l'obtient facilement aussi par le calcul.

On appelle pente d'une ligne droite la tangente de l'angle que cette droite fait avec le plan de comparaison. Dans l'exemple précédent, la pente est '^ "Â^'^ ^" encore — ^> cd étant l'intervalle.

Si nous désignons l'intervalle par i et la pente par />, nous voyons que px i=i. On exprime ce résultat en disant que la pente et l'intervalle sont réciproques.

A Taide d'une proportion analogue à celle précédemment employée, on résout encore le problème suivant :

Graduer une droite dont on connaît la projection, la projection cotée d'un de ses points, la pcnte^ et le sens dans lequel on

PROJECTIONS COTÉES. I9

doit marcher sur la droite pour se rapprocher du plan de comparaison.

Par un point donné, mener une parallèle à une droite donnée. — Soit un point coté 8 : on demande de mener par ce point une parallèle à la droite ab, qui est donnée par sa projection cotée.

Il suffit de mener par le point 8 une parallèle à la ligne a6; on a ainsi la projection de la droite demandée. A partir du point coté 8 on porte des segments égaux à rinlervalle de la ligne aby et Ton obtient les points à cotes rondes sur la ligne demandée. Il faut coter ces points de façon que cette ligne se rapproche du plan de comparaison comme la droite donnée.

Représentation d'un plan. — On représente un plan à l'aide d'une de ses lignes de plus grande pente dont on donne la projection cotée. A côté du trait qui représente la projection de cette ligne de plus grande pente on ajoute un trait parallèle et d'égale force : on obtient ainsi ce que l'on appelle V échelle de pente du plan. Cette échelle permet de tracer une horizontale quelconque du plan; en la donnant, on évite donc de faire le tracé des horizontales du plan.

Lorsqu'un plan fait partie d'une construction, on l'indique simplement par son échelle de pente ; mais, si c'est un plan existant, on indique en outre le contour de la portion plane qu'on veut représenter.

Un point d^un plan donné est connu par sa projection : trouver sa cote. — Pour cela, par le point donné on mène une perpendiculaire à Téchelle de pente du plan, c'est-à-dire une horizontale de ce plan. Tous les points de cette droite ayant la même cote, on n'a qu'à prendre la cote du point de l'échelle de pente située sur cette horizontale pour avoir la cote du point donné.

Par trois points donnés faire passer un plan. — Soient {fig. 1 1) le point a coté q, 25, le point b coté 4, 5o et le point c coté 6,70: Joignons par une droite le point a, qui est le plus rapproché du plan de comparaison, au point c, qui en est le plus éloigné ; puis cherchons entre le point a et le point c le point qui a la même cote (4i5o) que le point b\ en joignant ce point au point 6, nous avons l'horizontale du plan demandé. Nous pouvons alors tracer Téchelle de pente de ce plan, perpendiculairement à cette horizon-

ao PREMIÈRE PARTIE. — DEUXIÈME LEÇON.

laie, et rapporter sur celte échelle de pente, au moyen de parallèles à celle liorizonlalcy les points à cotes rondes de la droite ac,

Flp. I,

Reconnaître si deux droites données sont dans le même plan. — Il suffit, pour cela, d'examiner si le point d'intersection des projections de ces droites a la même cote sur chacune des droites, ou encore si, en joignant les points à même cote sur les deux droites, on obtient des droites parallèles entre elles.

Trouver V intersection de deux plans donnés par leurs échelles de pente. — On prend des horizontales à même cote de chacun des plans, par exemple {fig* 1 2) les horizontales 3 ; ces lignes se coupent

Fig. 12.

en un point a qui est coté 3. De même, Thorizontale 5 de l'un des plans est rencontrée par l'horizonlale 5 de l'autre plan au point b qui est coté 5. La droite ab est la projection de la ligne d'intersection des deux plans.

Construire V intersection d^une droite et d'un plan. — Le plan est donné par son échelle de penle, et la droite par sa projection cotée.

Par la droite menons un plan auxiliaire que nous indiquons par deux de ses horizontales. Par le point 3 de la droite donnée {fig' i3) Iraçons une certaine droite que nous prenons pour une horizontale du plan auxiliaire, et par le point 6 menons une droite parallèle à celle horizontale. L'horizonlale 3 du plan auxiliaire

PROJECTIONS COTEES.

rencontre rhorizontale 3 du plan donné en un certain point; Thorizontale 6 du plan auxiliaire rencontre Thorizontale 6 du plan donné en un autre point. En joignant ces deux points^ nous avons la ligne d'intersection du plan donné et du plan auxiliaire mené par la droite; cette ligne rencontre la droite donnée en un point m,

qui est le point demandé.

Fig. i3.

Par un point donné mener un plan parallèle à un plan donné. — Le plan est donné par son échelle de pente ; il suffit alors, par le point donné, de mener une parallèle à cette droite, et l'on a Téchelle de pente du plan demandé.

La pente d'un plan est la pente de son échelle de pente.

Fig. i4.

Par une droite donnée construire un planayant une pente donnée. — Soi\.{ fig. i4) la droite ab cotée 4 au point a et lo au point b. Par le point b nous pouvons mener une infinité de droites ayant pour pente la pente donnée ; ces droites forment un cône de révolu-

tiondonlle sommet est au point 6 et dont Taxe est vertical. Prenons la trace de ce cône de révolution sur le plan horizontal qui passe parle point a et qui est coté 4- H est facile de déterminer le rayon de la circonférence base de ce cône : la hauleur du cône a pour longueur la différence de cole lo — 4? soit 6; le rayon x doit être

tel que - soitla pente donnée. Nous pouvons, sur l'échelle du dessin, trouver la longueur correspondant à ce nombre x^ puis décrire, du point b comme centre avec celte longueur pour rayon, une circonférence, et, en menant du point a des tangentes à celle circonférence, nous avons les horizontales 4 des deux plans qui répondent à la question.

Au moyen d'un cône de révolution, on résout également le problème suivant :

Par un point donné dans un plan, mener sur ce plan une droite ayant une pente donnée.

Mener une droite perpendiculaire à un plan. — Le plan est

Fîg. i5.

donné par son échelle de pente {^fig> i5) et c'est du point a que nous voulons lui mener une perpendiculaire.

La perpendiculaire au plan, étant perpendiculaire aux horizontales de ce plan, se projette suivant la droite ab menée parallèlement à l'échelle de pente.

Pour graduer aô, faisons tourner le plan projetant de cette droite autour de son horizontale 6, de manière à l'amener à être horizontale; après cette rotation, le pointa vient en «r, sur la perpendiculaire aa\ à a6, à une distance aa^ égale à trois unités de l'échelle du dessin, et la droite d'intersection du plan projetant de la perpendiculaire et du plan donné se projette en a\ b. La perpendiculaire au plan est alors projetée suivant la droite ^i /tf , qui fait un

PROJECTIONS COTÉES. '23

angle droit avec «i b. Prolongeons Thorizonlale 8 jusqu'en /|. Ce point est la projection du rabattement d'un point coté 8 et la parallèle /|m|/i, à ba est la projection du rabattement de l'horizontale 8 du plan projetant de la perpendiculaire demandée. Par suite, le point n de cette perpendiculaire est coté 8.

L'intervalle sur la perpendiculaire au plan est alors an.

Dans le triangle rectangle lia^ni^ la hauteur ^i //2i est égale à l'unité de l'échelle du dessin ; on a alors

Il nii X //ij/ii = I,

relation qui montre que l'intervalle pour la perpendiculaire est l'inverse de l'intervalle relatif à l'échelle de pente du plan.

Il faut remarquer que pour se rapprocher du plan de comparaison on marche dans la direction an sur la projection de la perpendiculaire et dans la direction ab sur la projection de la perpendiculaire, c'est-à-dire en sens opposés.

Il résulte de là que l'on doit opérer de la façon suivante : on mène une parallèle à l'échelle de pente du plan donné; on mesure à l'échelle du dessin le nombre qui correspond à l'intervalle de l'échelle de pente du plan donné, on prend l'inverse de ce nombre, et l'on obtient un nouveau nombre qui donne la longueur de l'intervalle de la perpendiculaire au plan ; on porte cet intervalle sur la droite que nous venons de tracer, et l'on cote les points obtenus en sens inverse de la manière dont l'échelle de pente est cotée.

On peut aussi déterminer graphiquement l'intervalle de la perpendiculaire au plan. Il suffit de construire un triangle tel que /, ai /t,, dont la hauteur axm^ est égale à l'unité de l'échelle du dessin et pour lequel /, m, est égal à l'intervalle de l'échelle de pente du plan donné.

Nous avons tracé arbitrairement une perpendiculaire au plan, mais il est tout aussi facile de la faire passer par un point donné.

Lorsqu'on a résolu ce problème : Mener par un point une perpendiculaire à un plan, on peut déterminer le point où cette perpendiculaire rencontre le plan, puis, soit par le calcul, soit graphiquement, chercher la distance du point donné au plan, c'est-à-dire la longueur comprise entre le point donné et le point où le plan est rencontré par la perpendiculaire abaissée du point donné sur ce plan.

Déterminer V angle de deux droites données par leurs projections cotées. — Si les droites ne se rencontrent pas, d'un point de l'une on mène une parallèle à l'autre; on est alors conduit à chercher l'angle de deux droites qui se coupent.

Soient {fig. 16) les droites a6, ac\ le point a est coté 8. Enjoignant les points qui ont les mêmes cotes, nous avons les horizontales du plan qui contient ces deux droites. Traçons l'horizontale 5 ; par le point a menons un plan perpendiculaire à cette horizontale 5 ; il est représenté par la perpendiculaire abaissée du point a sur l'horizontale 5. Ce plan auxiliaire rencontre le plan des deux droites suivant une ligne ad\ le point d est côté 5. Nous allons

chercher la longueur de ad^ afin d'arriver, comme dans la méthode des projections orthogonales, à l'angle des deux droites.

Pour cela nous faisons tourner le plan vertical ad autour de son horizontale 5. Le point a vient se rabattre en a' à une distance aa' égale à trois unités de l'échelle du dessin ; la longueur du segment a^d est la longueur du segment compris entre le point a de l'espace et le point d. Si maintenant nous rabattons le plan des deux droites sur le plan horizontal coté 5, en le faisant tourner autour de son horizontale 5 qui est la droite frc, le point a vient en ai sur la droite adbi une distance du point d égale à da'. Les droites sont alors rabattues suivant les lignes que l'on obtient en joignant le point ai aux points b elc qui sont cotés 5 sur chacune des droites et qui n'ont pas changé de position. Les droites ai 6, a|C comprennent entre elles Tangle demandé.

Trouver V angle de deux plans, — Les plans sont donnés par leurs échelles de pente.

Commençons par déterminer la droite d'intersection des deux plans, problème que nous avons résolu précédemment : ab est la projection de cette ligne d'intersection {fig- 17).

PROJECTIONS COTEES.

Coupons les deux plans par un plan auxiliaire perpendiculaire à leur intersection. L'horizontale de ce plan est alors dirigée perpendiculairement à la projection de ab ; pour tracer l'horizontale de ce plan auxiliaire coté 3, nous n'avons donc qu'à prendre une perpendiculaire à la ligne ab. Cette horizontale cotée 3 rencontre l'horizontale cotée 3 de l'un des plans au point m et l'horizontale cotée 3 de l'autre plan au point n. Le plan auxiliaire dont nous venons de tracer l'horizontale 3 coupe le plan vertical qui projette l'intersection ab suivant une droite qui est perpendiculaire à mn et à ab. Nous allons chercher la longueur de cette perpendiculaire commune, afin de construire le triangle qui a pour base mn, pour hauteur cette perpendiculaire, et dont l'angle au sommet n'est autre

Fig. 17.

que l'angle des deux plans, puisque les côtés de ce triangle sont les intersections des plans donnés avec le plan auxiliaire perpendiculaire à ab.

Pour déterminer la hauteur de ce triangle, faisons tourner le plan vertical ab autour de l'horizontale 3 de ce plan (horizontale 3 qui passe par le point a) jusqu'à ce que ce plan soit parallèle au plan de comparaison. Après la rotation, le point b de l'espace, qui est coté 6, vient en un point b^ à une distance du point b égale à 6 moins 3, c'est-à-dire à trois unités de l'échelle du dessin. La droite d'intersection des deux plans est alors rabattue suivant ab^ , et la hauteur du triangle dont nous venons de parler est rabattue en cdJ suivant la perpendiculaire abaissée du point c sur cette droite a6|. Si maintenant nous faisons tourner le triangle qui a pour base mn autour de mn, de façon à l'amener à coïncider avec le plan horizontal coté 3) le sommet de ce triangle, qui est sur la droite d'intersection des plans donnés, et dont la distance au pointe est égale

à cd', vient se rabattre an point d^ obtenu en prenant un segment cdi égal à cd'. Les points m et n n'ont pas changé de position; il suftit donc de joindre le point m et le point n au point d^ ; Pangle des deux droites mrf,, /irf, est égal à Tangle des deux plans qu'il fallait déterminer.

Plan tangent à on cône. — Problème d'ombre. — Au moyen des problèmes élémentaires que nous venons de résoudre, on peut traiter les questions relatives aux ombres, chercher les intersections des surfaces, mener des plans tangents aux cylindres et aux cônes, etc.

Voici un exemple :

On demande l'ombre portée par un cône sur le plan de sa base. Le cône est donné (Jig» i8) par sa projection ; la base est sur un

Fig. i8.

plan donné par son échelle de pente, et le rayon lumineux est donné par sa projection R, sur laquelle sont indiqués Tintervallc et le sens dans lequel on doit marcher pour se rapprocher du plan de comparaison.

Pour résoudre le problème, nous devons mener des plans tangents au cône, parallèlement au rayon lumineux; pour cela nous allons prendre la parallèle au rayon lumineux menée par le sommet s du cône, chercher le point de rencontre de celte droite avec le plan de la base, et, par ce point, mener des tangentes à la base. Ces droites limiteront l'ombre portée du cône sur le plan de sa base.

Ainsi, par le point lo nous menons une parallèle au rayon lumineux; il est facile de graduer cette droite en portant l'intervalle qui

PROIBCTIONR COTEES. T)

est donné sur Ja projection du rayon lumineux. Nous cherchons maintenant en quel point cette parallèle rencontre le plan de la base : pour cela, par le point 5 nous menons une droite dirigée de façon à avoir, dans Tétendue de la feuille du dessin, le point où elle rencontre l'horizontale du plan à même cote; par le point 7 nous traçons une parallèle à cette droite auxiliaire, et nous prenons également son point de rencontre avec l'horizontale 7 du plan. Nous joignons les deux points ainsi obtenus par une ligne qui détermine le point de rencontre s^ de la parallèle au rayon lumineux 55| avec le plan de la base. Le point 5{ est l'ombre portée par le sommet du cône sur le plan de la base. Les tangentes menées du point 5| à la base du cône limitent l'ombre portée par ce corps, et, si nous joignons le sommet s aux points de contact de ces tangentes, nous obtenons sur le cône les lignes de séparation d'ombre et de lumière.

'i8 PREMIÈRE PARTIE. — TROISIEME LEÇON.