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point M; ce point M est évidemment la trace sur le plan du tableau de la droite d'intersection des deux plans. M est donc la perspective du point m, et les droites MG, ME sont les perspectives des deux droites mC, mE du géométral.

Nous devons donc, pour déterminer la perspective du point /?i, construire les perspectives de deux droites tracées sur le géométral par ce point m.

Pour cela cherchons le point de fuite de chacune des droites. Par le point O menons une parallèle à la droite m G ; elle rencontre le tableau au point F sur la ligne d'horizon; ce point F est le point de fuite àfi la droite m G. De même pour la droite mË : la parallèle menée par le point O à cette droite rencontre le plan du tableau en un point F' qui est le point de fuite de la droite mE. Il suffit alors, sur le tableau, de joindre respectivement les points G, E aux points F, F', et Ton a deux droites qui se coupent au point M, perspective cherchée.

Voilà l'explication faite sur la fig. ao, qui est une figure d'ensemble.

PERSPECTIVE D*rN POINT. 33

Séparons maintenant chacune des parties de cette figure ; mettons d'un côté le géomélral {fig> ai ), et de l'autre le tableau (Jig* 22). Nous allons indiquer alors quels sont les segments dont on mesure les longueurs sur le géométral pour les reporter sur le tableau, afin d'arriver à effectuer les tracés sur ce tableau.

Prenons d'abord le géométral {^fig* 21), en supposant qu'on ait projeté l'œil sur ce plan.

Cette fig, 21 est la reproduction de la Cgure tracée sur le plan (G) de la fig. 20 ; AB est la ligne de terre et le point o est la projection de l'œil.

La position du point o par rapport à AB détermine un angle

Fig. 21.

AoB, qu'on appelle angle optique. Pour obtenir une perspective convenable, cet angle ne doit être ni trop petit ni trop grand, et pour cela le point 0 ne doit être ni trop rapproché ni trop éloigné de AB. En général, le point o ne doit pas être à une distance de AB moindre que la largeur AB ni plus grande que trois fois cette largeur-, c'est ce qu'on exprime en disant que l'œil ne doit pas être à une distance du tableau plus petite que la largeur de ce tableau ni plus grande que trois fois cette largeur.

Soit, sur la fig, 21, la position m du point dont on cherche la perspective. Traçons les deux droites mC, /?zE et les parallèles o/, o/', menées par le point 0, à chacune de ces droites. Les droites o/, o/' sont les projections sur le géométral des parallèles aux droites mC, mE qui ont été menées par l'œil dans l'espace.

Voilà les données sur le géométral, et, pour pouvoir déterminer la perspective du point m, on donne en outre la hauteur de roeil au-dessus du plan géométral.

Proposons-nous maintenant de construire un tableau sur lequel doit figurer la perspective du point m de la fig. ai .

Traçons le cadre du tableau {fig* 22), en ayant soin de prendre le côté inférieur de ce cadre égal en longueur à AB de la Jig. ai . Parallèlement à AB, et à une distance de AB égale à la hauteur de Toeil au-dessus du géométral, menons une parallèle à cette ligne de terre : nous obtenons la droite HH', qui est la ligne d'horizon.

hà fig* aa, que nous allons tracer maintenant, est la figure perspective ou tableau. Reproduisons les tracés qui ont été indiqués précédemment sur le plan (T) de la figure d'ensemble

Prenons sur le géométral (Jig- ai) les longueurs des segments AG, AE, et portons-les sur X^fig. aa à partir du point A : nous obtenons AC, AE. Prenons sur le géométral des segments égaux à A/, A/', et portons-les sur le tableau à partir du point H sur la ligne HH' : nous obtenons les points F, F'. Il suffit maintenant de joindre {^fig^ aa) le point G au point F et le point E au point F' pour avoir sur le tableau les perspectives des deux droites m G, /7îE du géométral : le point de rencontre M de ces deux droites est la perspective demandée.

Pour obtenir cette perspective, nous avons fait usage de deux droites MG, ME, et nous avons employé les points de fuite correspondant à chacune de ces droites. La méthode suivie porte, à cause de cela, le nom de méthode des deux points de fuite.

Un peu plus loin, nous nous servirons de cette méthode pour faire la perspective d'un parquet.

Au lieu d'employer deux droites quelconques, imaginons que Tune d'elles ait une direction particulière. Supposons que l'on ait pris le segment GE' {fig- ai) égal au segment Cm : la droite, qui était /?iE, devient la droite mE'. Mais nous allons voir qu'il n'est pas nécessaire de tracer cette droite. Le point qui était f est maintenant un certain point d obtenu en portant /(rf=/o, puisqu'il faudrait mener par le point o une parallèle à la droite mE'. Le triangle mGE' est isoscèle; il en est de même du triangle dfo. Le géométral est donc maintenant réduit au point m, dont

PERSPECTIVE d'un POINT. 35

on demande la perspective, et à la seule droite mC, qui est tracée. Nous avons mené par le point o la seule droite of parallèlement à /nC.

Reprenons le cadre du tableau {fig» as). La ligne de terre AB est toujours égale à la ligne de terre AB du géométral.

Prenons sur \^fig, 22, à partir du point A, un segment égal au segment AC du géométral : nous obtenons le point C. Portons sur la ligne d'horizon, à partir du point H, un segment égal à A/ de la fig, 21 : nous obtenons le point F. Traçons CF : cette ligne est la perspective de la droite Cm.

A partir du point C de la fig. 22, portons sur la ligne de terre

Fig. 33.

un segment CE' égal à la longueur mC de \^ fig, 21 : cette longueur m C est ce qu'on appelle Véloignement oblique du point m. Portons, à partir du point F, sur la ligne d'horizon, un segment ¥d égal au segment /e/ de \^fig- 21, mais dans le sens inverse du sens dans lequel nous avons porté le segment CE' : nous obtenons ainsi le point d. Il suffit de joindre le point d au point E' pour avoir la perspective de la ligne /nE' du géométral (que nous n'avons pas eu besoin de tracer). Le point de rencontre de cette droite avec la ligne CF est le point M, perspective du point m du géométral.

Le point d est le point de fuite de la droite m.E' du géométral : il est le point de fuite des droites, telles que mE', qui déterminent des segments égaux sur la ligne mC du géométral et sur une horizontale de front. Si nous menons une parallèle à AB ^fig* 21), cette parallèle, la droite m C et la droite mYl déterminent un triangle isosccle; c'est pourquoi l'on dit que le point d est le point de fuite des droites ayant la direction mY! qui déterminent des segments égaux sur des droites parallèles à mC et sur des horizontales de front. Ce point d porte le nom de point accidentel de distance relatif à la direction /nC, et la méthode à laquelle nous sommes

arrivés pour construire le point M est désignée sous le nom de méthode du point de distance.

Nous venons d'expliquer sur la Jig, 1 1 ce qui est relatif à ces triangles isoscèles formés par des droites parallèles à mC, par des horizontales de front et par des droites parallèles à mE'; nous pouvons reproduire celte explication sur le tableau ; cela va nous fournir l'occasion de faire connaître le langage employé habituellement en perspective.

Si nous menons une droite sur le tableau, à partir du point d {Jig» 22), cette droite est la perspective d'une parallèle à mE'; si nous menons une parallèle à AB, cette droite est la perspective d'une horizontale de front. Nous obtenons ainsi un triangle 1-2-3, et nous disons que ce triangle est isoscèle, que le côté 1-2 est égal au côté i-3. Cela n'est pas exact, si l'on considère la figure tracée sur le tableau; mais, en parlant ainsi, il est convenu qu'il s'agit de la figure de l'espace. Ainsi, en regardant sur le tableau le triangle i-2-3, nous disons que le côté 1-2 est égal au côté i-3 : cela veut dire que le côté dont i-i est la perspective est égal au côté dont 1-3 est la perspective.

Quand on montre un point sur le tableau, il faut donc, à moins d'indication contraire, se reporter à l'objet de l'espace.

Nous avons porté l'éloignement oblique du point m dans un certain sens CE', et, naturellement, le segmentai/ se trouve en sens inverse. Si nous avions changé le sens dans lequel nous avons porté d'abord le segment CE', nous aurions trouvé dans le sens opposé un autre point que le point d. Nous voyons ainsi qu'il y a deux points de distance correspondant à une même direction. On emploie le point de distance qui se trouve le plus rapproché du cadre du tableau. Sur \dijig. 22, nous aurions l'autre point de distance en portant, à partir du point F, la longueur Yd en sens opposé; nous obtiendrions ainsi un point qui serait éloigné du cadre du tableau.

Si, au lieu d'employer {fig* 21) une droite quelconque mC, nous prenons une perpendiculaire à AB, le point de fuite correspondant porte le nom de point principal de fuite et le point de distance correspondant est le point principal de distance ou le point de la distance principale. Dans ce cas particulier, la Ion-

gueur quMl faut porter pour avoir ce point de la distance principale n'est autre chose que la distance de Tœil au plan du tableau.

Lorsqu'on donne ce point principal de fuite et ce point de la distance principale, on a ce que Ton appelle \e^ points principaux de fuite et de distance.

Remarquons que nous n'avons déterminé la perspective du point m que lorsque le tableau et le géométral sont à la même échelle. Nous verrons, en cherchant la perspective d'une figure plane, comment on modifie les tracés lorsque le tableau est à une échelle différente de l'échelle du géométral.

Cette Leçon est très simple et il semble qu'il ne soit pas nécessaire de l'étudier pour en retenir les différentes parties. Cependant, comme elle renferme pour ainsi dire toute la perspective, il est très essentiel de se familiariser avec les tracés qu'elle fait connaître, pour arriver à les reproduire machinalement et sans avoir besoin de réfléchir.

QUATRIÈME LEÇON

Perspective d'un trapèze. — Échelle des éloignements. — Échelle des largeurs. — Perspective d'une ligne courbe. — Graticuler. — Perspective d'une circonférence de cercle. — Méthode des deux points de fuite : perspective d'un parquet.— Points en dehors du cadre du tableau.

Reprenons les tracés auxquels nous sommes arrivés dans la dernière Leçon, et, au moyen d'une remarque très simple, il sera facile

d'obtenir les constructions que l'on doit employer lorsque le tableau est à une échelle diflFérente de l'échelle du géométral.

Reprenons l^Jig- 22. Marquons sur la ligne d'horizon un point que nous appelons \d, et qui est l'extrémité d'un segment égal au tiers de Fd; à partir du point C, sur la ligne de terre, portons une longueur égale au tiers du segment GE^ Joignons le point ainsi obtenu sur CE' au point \d : il est bien évident que cette droite passe par le point M.

PERSPECTIVE DU PLAN. Sq

CeUe remarque 1res simple permet, lorsqu'on amplifie le tableau, de ne pas amplifier les éloignemenls à porter sur la ligne ^de terre, en ayant soin de ne pas amplifier non plus l'éloignement oblique de Tœil par rapport au tableau.

Cela posé, cherchons la perspective d'une figure plane, en supposant le tableau à une échelle trois fois plus grande que Téchelle du géométral.

Perspective d*iin trapèze. — Prenons, comme exemple, le trapèze mars qui est donné sur le géométral {fig^ 28).

Prolongeons les côtés parallèles jusqu'à la ligne de terre : nous obtenons ainsi les points e, %g. Menons par le point o une parallèle 0/ aux côtés parallèles mSy m. Par le point A menons aussi la parallèle ky à ces côtés du trapèze; puis, par les sommets du trapèze, menons des parallèles à la ligne de terre, c'est-à-dire des droites de front. Ces droites rencontrent h.y aux points i, a, 3, 4-

Fig. ap-

prenons maintenant {fig- 24) wn tableau trois fois plus grand que le géométral. AB est alors égal à trois fois AB du géométral. A partir de A portons AH égal à trois fois la hauteur donnée de l'œil au-dessus du géométral; traçons la ligne d'horizon HH'. A partir du point H', et sur cette ligne d'horizon, prenons un segment égal à trois fois la longueur B/ de la Jig. 23 : nous obtenons le point F, qui est le point de fuite des droites parallèles à la direction ms du géométral. En joignant A à F, nous avons la perspective de la ligne Ajk.

Il résulte de cette construction que FH est égal à 3/A du géo-

4o PREUIÉRE PARTIE. — QUATRIÈME LEÇON.

métrai. Si alors nous porlons, à partir du point F, le segment /A sur la ligne d'horizon, et si, par Textrémité de ce segment^ nous menons une parallèle à HA, cette droite rencontre FA en un point A, tel que FA= 3 FA'.

Par le point A' menons une parallèle à la droite AB. Il résulte de cette construction que, si le tableau n'avait pas été amplifié, le cadre du tableau ne serait pas en AB : il serait sur la droite que nous venons de tracer à partir du point A'. Pour avoir la perspective de la ligne es, nous n'avons alors qu'à porter, à partir du point A', un segment A'e' égal à Ae du géométral, puis à joindre le point F au point e\ La droite Fe' rencontre AB au point E. On voit que la marche que nous venons de suivre évite de porter à partir de A trois fois le segment Ae pour obtenir le point E; nous avons simplement porté le segment Ae lui-même sur la droite que nous venons de tracer à partir de A'.

Opérons de même pour le côté r/i. A partir de A' portons un segment égal au segment A^ : nous obtenons le point g'. Joignons le point F au point g^ : la droite Fg^ est la perspective de la ligne gr.

Pour déterminer la perspective des sommets du trapèze, nous allons chercher les perspectives des points i, a, 3, 4* Pour cela» appliquons une bande de papier le long de Ay et relevons sur cette bande de papier les points A, i, 2, 3 et 4^ puis reportons simultanément tous ces points à partir du point A sur la ligne de terre AB du tableau.

Dans le sens opposé à celui où nous avons porté ces segments, portons, à partir du point F, sur la ligne d'horizon, une longueur égale à/o; nous indiquons l'extrémité de ce segment par \d. Joignons le point jd aux points que nous venons de marquer sur AB; ces droites rencontrent AF aux points i', a', 3', 4', qui sont les perspectives des points i, 2, 3, 4 du géométral. Des points i', 2', 3', 4' on mène des droites de front, il suffit de prendre les intersections de ces droites avec les lignes Fe\ Fg' pour avoir les points M, N, R, S, qui sont les perspectives des sommets du trapèze.

En joignant maintenant ces points par des droites, on a la perspective du trapèze mars,

Échelle des éloignemenU. — La droite AF, qui est la perspective de la ligne Ay sur laquelle nous avons rapporté les différents

PERSPECTIVE DU PLAN. 4l

points de la figure pour mesurer les éloignements obliques, porte le nom A' échelle des éloignements.

fchelle des largeurs. — La droite Ale'g'y sur laquelle nous avons porté des segments égaux aux segments comptés sur la ligne de terre AB du géométral, s'appelle échelle des largeurs.

On peut remarquer que la droite A' g' est la perspective d'une horizontale de front qui jouit de cette propriété : la réduction par la perspective de la longueur d'un segment de cette droite se trouve compensée par l'amplification du tableau.

Perspective d'une ligne courbe. — Les constructions que nous venons d'indiquer en prenant comme exemple un trapèze permettent évidemment de trouver la perspective d'une figure quelconque. S'il s'agit d'une courbe on peut chercher les perspectives des dific'rents points de cette courbe, et, en réunissant convenablement ces perspectives, on a la perspective de la courbe. La perspective d'une tangente à la courbe, comme nous l'avons déjà fait remarquer, est une tangente à la perspective de cette courbe.

Graticnler. — Lorsque l'on a à déterminer la perspective d'une ligne sinueuse simplement tracée et sans définition géométrique, on établit un quadrillage formé par des droites de front et des parallèles à une certaine direction; on cherche la perspective de toutes ces droites et l'on relève à vue sur le tableau la perspective de la ligne sinueuse, en tenant compte de la position des points de rencontre de celte ligne avec les lignes qui forment le quadrillage. Cela s'appelle craticuler.

Perspective d'nne circonférence de cercle. — Si la courbe, à déterminer en perspective, a une définition géométrique qui permette de la construire par points, on peut opérer directement. Cherchons, comme exemple, la perspective d'une circonférence de cercle décrite sur une horizontale de front. On donne {fig- aS) le point principal de fuite P et le point de la distance principale D ; le diamètre de la circonférence est le segment de front MN. Le point O, milieu du segment MN, est la perspective du centre de cette circonférence; en joignant le point P au point O, nous avons

la perspective du diamètre perpendiculaire à MN, puisque le point P est le point principal de fuite, c'est-à-dire le point de fuite des droites perpendiculaires au plan du tableau. Joignons le point D au point N; cette droite DN rencontre OP au point C et nous avons OG = ON, car le point D est le point de fuite des droites qui déterminent des segments égaux sur des perpendiculaires au tableau telles que OP et sur des horizontales de front telles qut- ON. Le point C est donc un point de la circonférence de cercle décrite sur MN comme diamètre.

Pour déterminer un point quelconque de cette circonférence, nous effectuons les tracés suivants. Joignons le point M au point C^ par le point P menons une droite quelconque qui rencontre les deux droites CN, CM aux points G et L. Joignons le point G an

Fi g. 35.

point M, le point L au point N ; le point de rencontre I de ces deux droites est la perspective d'un point de la circonférence. En faisant varier la droite PL, nous obtiendrons autant de points que nous voudrons de la perspective de la circonférence.

Pour démontrer que le point I appartient à la perspective de cette circonférence, considérons le triangle MNL. Dans ce triangle, nous avons deux hauteurs : l'une est la droite NC, car l'angle enC est droit, le point G étant un point de la circonférence; Tautro hauteur est LG, puisque toute droite partant du point P est la perspective d'une ligne perpendiculaire à MN. Le point G, point de rencontre de ces deux hauteurs, est dès lors le point de rencontre des trois hauteurs du triangle : la droite MG est alors perpendiculaire sur LN, et le point I appartient à la circonférence décrite sur MN comme diamètre.

Prenons la perspective T du point qui, dans l'espace, est le milieu du segment LG; joignons le point T et le point O au point L Les deux triangles MIN, LIG sont semblables comme ayant leurs

côtés respectivement perpendiculaires ; ils sont tous deux rectangles en I. Il en résulte que la droite 10, qui joint le sommet de Tangle droit I au point O, milieu de l'hypoténuse, est homologue de la droite qui joint le point I au point T, milieu de l'hypoténuse LG; la droite IT est alors perpendiculaire à la droite 10. Puisque IT est perpendiculaire à l'extrémité du rayon 10, cette droite est la tangente en I à la perspective de la circonférence.

Si, au lieu de considérer le point I, nous avions pris le point C, nous aurions trouvé, de la même manière, que la droite CT est tangente en C à la circonférence. Mais nous connaissons la tangente en C : c'est une parallèle à MN, puisque le rayon CO est perpendiculaire à MN; nous avons donc le point ï en menant parle point C une parallèle à MN; cette parallèle rencontre la

Fig. 26.

droite PL au point T, et la tangente au point I est la ligne qui joint ce point T au point I. Nous avons ainsi une construction qui donne à la fois les points de la perspective de la courbe et les tangentes en ces points à cette perspective.

La figure que nous venons de tracer directement sur le tableau est la perspective de la Jig. 26, qui permet d'apercevoir tout de suite la relation de position des difTérenles lignes sans les modifications introduites par la perspective. La droite Igy qui correspond à LG, est perpendiculaire kmn; nous avons le triangle /m/i, dont les hauteurs sont ne, Ig et mi. Enfin la droite c/, parallèle à m/i, donne le point t qui est bien ici le milieu àe.lg\ la droite ti est la tangente en ik la circonférence décrite sur mn comme diamètre.

Méthode des deux points de faite : perspective d'un parqaet. — Revenons à la méthode des deux points de fuite et montrons un exemple où cette méthode peut être utilement employée.

On demande la perspeclwe d'un parquet formé d'une suite dliexagones {fig, 27).

Les sommets de ces hexagones sont situés sur des droites parallèles entre elles qui rencontrent AB aux points i, 2, 3, 4> 5; les segments compris entre ces points sont des segments égaux entre eux. Ces sommets peuvent être considérés aussi comme se trouvant sur des parallèles qui rencontrent AB aux points /w, /?, p, y, r] on a alternativement des segments égaux entre eux : mn =^ pq^ np = qr.

Par le point o menons les droites o/, o/' parallèlement à chacune

Fig. 27.

r^ mn V i r» ITJ

\ Il

des directions des lignes que nous venons de tracer : nous obtenons les points /et /'. En employant ces deux points de fuite, nous allons déterminer la perspective du parquet.

Prenons {fig» 28) un tableau à une échelle triple de Téchelle du géométral. A partir du point H, portons sur la ligne d'horizon un segment égal à trois fois A/': nous obtenons le point F'. De même, à partir du point H' portons un segment égal à trois fois B/: nous avons le point F.. Joignons le point F au point A et déterminons comme précédemment le point A' par lequel passe l'échelle des largeurs ; à partir du point A', portons des segments égaux aux seg-

ments A-i, 1-2, 2-3, ...; joignons les points ainsi obtenus sur Téchelle des largeurs au point F : nous avons des droites qui sont les perspectives des lignes parallèles entre elles qui ont donné les points I, 2, 3, 4 sur la ligne AB du géométral.

Faisons de même pour les parallèles m, /i, />, q, r. Joignons le point F' au point B : nous obtenons sur l'échelle des largeurs le point B' qui correspond au point B du géométral. A partir du point B', portons sur Téchelle des largeurs des segments égaux à B5, sr^ rq^ qp et ainsi de suite; joignons, par des droites allant au point ¥'y les points ainsi obtenus. Ces lignes sont les perspectives des parallèles qui passent par les points 5, r, gr, /?, /i, m ; elles rencontrent les premières en des points qui sont les perspectives

Fig. 28.

des sommets de Thexagone; il suffit alors de joindre convenablement ces points pour avoir la perspective du parquet.

Points en dehors dn cadre dn tableau. — Nous allons terminer ce qui est relatif à la perspective du plan en indiquant les constructions qui permettent de tracer des lignes passant par des points situés en dehors du cadre et trop éloignés pour être employés directement.

Nous donnerons une série de constructions, mais on peut en employer beaucoup d'autres suivant les circonstances.

Soient {Jîg' 29) les droites A, A', B, B'. La droite A rencontre la droite A' en un point en dehors du cadre et très éloigné ; il en est de même du point de rencontre des droites B et B' : on demande

PREMIÈRE PARTIK.

QUATRIEME LEÇON

de tracer la ligne qui passe par le point de rencontre de A avec A! et par le point de rencontre de B ai^ec B'.

Appelons C le point de rencontre de A et de B,. G le point de rencontre de A' et de B'. Traçons la droite CGet prenons, à partir de C, le tiers du segment CG : nous obtenons le segment CH. Par le point H menons une parallèle à A' et une parallèle à B' : nous obtenons ainsi le point a et le point b. La droite ab rencontre CG au point e; il suffit de porter trois fois la longueur de Ce à partir de C pour avoir le point E : la parallèle à ab menée par ce point E est la droite cherchée.

On voit que nous avons réduit, pour ainsi dire, les dimensions

Fi^. 39. Fig. 3o.

de la figure de façon à avoir des points de rencontre a, b dans l'intérieur du cadre; puis nous avons amplifié, dans le rapport inverse de la première réduction, de manière à avoir la droite demandée dans la position qu'elle doit occuper.

On a deux droites A, B {Jig> 3o) qui se rencontrent en un point trop éloigné pour poussoir être employé y et sur une droite des points i, 2, ...; on demande de mener des droites passant par ces points et par le point de rencontre de A et de B.

Joignons les points donnés, ainsi que le point m, à un point quelconque i de la droite B et menons la parallèle m' n' à m/t. (]ette droite rencontre les lignes que nous venons de tracer aux points //î,' 1', 2', .... Transportons maintenant cette droite parallèlement à elle-même dans la direction de B. Le point m' vient sur A en m" au point où cette droite est rencontrée par la droite m'm^ menée parallèlement à B. Par nf menons une parallèle à m' n* : nous obtenons la droite m" n" sur laquelle nous rapportons les points 1', 2', ..., en i", 2", ..., et il suffit évidemment de joindre

PKRSPECTIVE DU PLAN.

les points 1,2, ... aux points ainsi obtenus pour avoir les droites demandées.

On est conduit quelquefois à une solution en faisant usage d'une propriété des lignes représentées sur le tableau.

Prenons un exemple : on a (^fig- 3i) une droite de front MN, sur laquelle il y a les points i, 2, 3 ; une droite NN"^ passe par le point N et rencontre la ligne d'horizon en un point trop éloigné du cadre pour pouvoir être employé : on demande de tracer les droites partant des points M, i, 2, 3, ^^ aboutissant au point, en dehors du cadre, oit NN" rencontre la ligne d'horizon.

Traçons une horizontale de front et joignons les points M, 1,2, 3, N à un point F de la ligne d'horizon : nous obtenons les points

Fig. 3i.

M', 1', 2', 3VN'' Portons les segments compris entre ces points, à partir du point N", où l'horizontale de front que nous venons de mener rencontre la droite donnée qui passe par le point N : nous obtenons les points 3", 2*^, i'', M"'. Les lignes qui joignent ces points aux points donnés sont les droites demandées. Les droites qui aboutissent au point F sont, dans l'espace, des droites parallèles entre elles; les segments M'-i', i'-2', ..., qu'elles interceptent sur l'horizontale de front que nous avons tracée, sont égaux aux segments M-i, 1-2, 2-3, puisque ce sont des segments interceptés par des parallèles sur deux parallèles. En portant ces segments sur l'horizontale de front, nous avons les segments qu'intercepteraient les lignes demandées, qui, dans l'espace, doivent être parallèles entre elles. Par conséquent, nous avons résolu le problème en faisant usage de la propriété, que possèdent des lignes convergentes en un même point de la ligne d'horizon, d'être les perspectives de lignes de l'espace parallèles entre elles.

Déterminer sur MN {fig* 82) des points qui partagent ce segment comme i, 2, Z partagent le segment de front M 4.

Traçons la droite /M qui rencontre N4 au point L. Les droites Li, La, L3 coupent aux points i', 2', 3' la parallèle à M 4 menée du point N. On joint ces points au point /. Ces droites coupent MN aux points i", 2", 3" qui sont les points demandés.

Remarquons qu'on doit choisir la direction de M/ de manière à avoir un point L qui ne soit pas éloigné. Dans certains cas on peut mener simplement sur le tableau une droite par le point M parallèlement à N4.

Si le segment MN est égal au segment M4} les segments compris entre les points M, i", 2'', 3", N sont égaux aux segments compris entre les points M, 1,2, 3, 4-

Fig. 3a. Fig. 33.

Mener par un point M une droite qui passe par V intersection de deux droites A, B dont le point de rencontre est trop éloigné.

Du point donné abaissons une perpendiculaire sur chacune des droites; ces perpendiculaires donnent sur A et B les points a et 6. La droite demandée est la perpendiculaire abaissée du point M sur la droite ab. On fait ainsi tout simplement usage de la propriété des hauteurs d'un triangle de passer par un même point.

Voici une autre solution du même problème.

Supposons qu'il s'agisse de deux droites du gébmétral. Par le point M {fig. 33) menons deux droites qui coupent la ligne d'horizon aux points Q et R. Ces droites rencontrent les deux lignes données A, B, l'une au point i, l'autre au point 2. Menons la ligne 1-2, qui rencontre la ligne d'horizon au point S. Par le

point s traçons une droite quelconque qui coupe les droites A, B, Tune en i', l'autre en 2'; joignons R à i' et Q à 2' : ces deux dernières droites se coupent au point M' et la ligne MM' est la droite demandée.

Gela tient à ce que, sur le géométral, les deux triangles M- 1-2, M'- 1-2' ont leurs côtés respectivement parallèles, puisque les perspectives de ces côtés se rencontrent en des points situés sur la ligne d^ horizon.

La figure que nous obtenons ainsi conduit à cette proposition de Géométrie :

Si les côtés correspondants de deux triangles se coupent en des points situés sur une même droite, les sommets de ces triangles sont sur des droites convergentes en un même point.

Ou, réciproquement :

Si les sommets de deux triangles sont sur des lignes convergentes en un même point, les points de rencontre des côtés correspondants sont en ligne droite.

Ges deux triangles, dont les sommets sont ainsi placés sur des droites convergentes, sont des triangles homologiques.

En général, lorsque sur un plan deux figures se correspondent point par point et droite par droite, de façon que les points correspondants soient sur des droites convergentes en un même point 1, et que les droites correspondantes se rencontrent sur une même droite D, ces deux figures sont homologiques.

Le point i est le centre d'homologie, et la droite D est Vaxe d'homologie.

La théorie des figures homologiques est due à Tillustre géomètre Poncelet (*).

(•) Traité des propriétés projectives des figures, a» édition, t. I, p. i54.

CINQUIÈME LEÇON