SIXIÈME LEÇON

Problèmes relatifs à la ligne droite et au plan. — Perspective des moulures.

Problèmes relatifs à la ligne droite et an plan. — Pour les explications relatives aux solutions de ces problèmes, nous représentons un point par sa perspective et par la perspective de sa projection sur le géométral; de même pour une droite.

Etant donnée une droite, déterminer sa trace sur le géométral. — La droite M'N' {fig^ 44) et sa projection MN sur le géo-

Fig. 44.

ri"

métrai sont deux droites dans un même plan : dès lors, M'N' prolongée rencontre MN. Le point de rencontre T de ces deux droites est un point du géométral : c'est alors la trace de la droite donnée sur le géométral, c'est-à-dire le point demandé.

Déterminer la trace d'une droite sur un plan horizontal situé à une distance donnée du géométral. — Sur les verticales qui projettent les extrémités de la droite donnée et à partir du géométral, on porte, dans le sens convenable, la distance donnée. On obtient ainsi deux points qu'on joint par une droite. Cette droite coupe la droite donnée au point cherché.

On construit de la même manière le point où une droite donnée rencontre un plan horizontal qui passe par un point donné.

Déterminer la trace d'une droite sur un plan de/ront. — Soitx/ {fig' 44) l'horizontale de front, trace du plan de front donné sur le géométral. Ce plan de front rencontre, suivant une verticale, le plan qui projette la droite donnée sur le géométral ; cette verticale passe par le point R, qui est le point de rencontre de ûoy et de MN : la droite d'intersection des deux plans est la verticale RR'; le point R', où cette droite rencontre la droite donnée M'N', est le point demandé.

On détermine de la même manière la trace d'une droite sur un plan vertical quelconque.

Reprenons le plan de front xy et supposons qu'on ait transporté ce plan de front àPinfini; ^^est alors confondu avecHH', le point de rencontre F de MN avec HH' est la nouvelle position du point R, et, en élevant la perpendiculaire FF' à la ligne HH', nous obtenons le point F', qui est le point de rencontre de M'N' avec le plan de front, transporté à l'infini.

Puisque le point F' est la perspective du point de rencontre de la droite M'N' avec un plan à l'infini, le point F' est la perspective du point qui est à l'infini sur cette droite; ce point F' est donc le point de fuite de M'N', et la construction que nous venons de trouver conduit alors à la détermination du point de fuite d'une droite donnée.

Résolvons directement ce dernier problème.

Construire le point de fuite d'une droite donnée. — Le point de fuite de la droite donnée est sur la ligne de fuite du plan qui projette cette droite sur le géométral. Ce plan étant vertical, sa ligne de fuite est une verticale. Mais nous connaissons un point de cette ligne de fuite, puisque, la droite MN étant une droite de ce plan, son point de fuite, c'est-à-dire le point où elle rencontre la ligne d'horizon, appartient à la ligne de fuite de ce plan vertical. Nous devons donc prolonger MN jusqu'au point F où elle rencontre la • ligne d'horizon, par ce point F élever à la ligne d'horizon une perpendiculaire qui est la ligne de fuite du plan vertical qui projette la droite donnée sur le géométral. Le point de rencontre de celte ligne de fuite et de la droite M'N' est le point de fuite cherché de cette droite. Nous retrouvons ainsi la construction précédente.

La connaissance de ce point de fuite permet de résoudre immédiatement le problème suivant.

Uun point donnée mener une parallèle à une droite donnée. — Il suffît de joindre le point donné au point de fuite de la droite donnée, et Ton a la parallèle demandée.

La trace d'un plan sur le géométral a pour point de fuite le point où cette droite rencontre la ligne d'horizon, et, comme la ligne de fuite du plan doit contenir les points de fuite de toutes les droites tracées sur ce plan, cette ligne de fuite doit passer par le point de fuite de la trace du plan. La trace du plan sur le géométral et sa ligne de fuite sont donc deux droites qui viennent se couper sur la ligne d'horizon.

Nous ne ferons pas usage de ces droites pour résoudre les problèmes élémentaires relatifs à la droite et au plan. Lorsqu'on s'occupe du dessin d'un édifice, on a des plans obliques, comme cela se présente pour la -toiture; ces plans obliques ne sont nullement définis par leurs traces sur le géométral et par leurs lignes de fuite : ils sont définis par les droites qui les terminent, comme le faîte et les arêtes inférieures de la toiture. Ce sont les données mêmes de ces plans que l'on doit employer.

Si l'on coupe un plan par des plans de front, les intersections sont des droites de front, et, comme les intersections du plan donné avec ces plans de front sont des droites parallèles entre elles, nous voyons que les lignes de front du plan ont pour perspectives des droites parallèles entre elles.

Parmi tous les plans de front, on peut considérer un plan de front à l'infini. La droite de front, dans ce cas, a pour perspective la ligne de fuite. Nous voyons ainsi que les lignes de front d'un plan sont, sur le tableau, parallèles à la ligne de fuite de ce plan.

Déterminer une droite de front d'un plan donné par une droite et un point ou par deux droites qui se coupent, — Le plan est donné (^g. 4^) P^^ Isi droite (M'N', MN) et par le point (L', L). Par le point L, menons l'horizontale de front LR. Cette droite représente la trace, sur le géométral, du plan de front qui contient le point donné. Ce plan est rencontré par la droite donnée au point R' : la droite R'L' est la droite demandée. Si le plan est donné par deux droites qui se coupent, on résout le problème en joignant par une droite les traces de ces deux droites sur un plan de front.

Partager une droite M'N' en parties proportionnelles à des segments donnés, — Par le point (M', M) (^fig* 46) menons la droite de front (M'R', MR). Portons sur cette droite, à partir du point M, des segments proportionnels aux segments donnés ou ces segments eux-mêmes. L'extrémité du dernier segment étant (R', R), on mène la droite (N'R', NR) et Ton construit le point de fuite de cette droite. Il suffit alors de joindre F' aux extrémités des segments portés sur M'R' et de prendre les points de rencontre i, 2, 3 de ces droites avec M'N' pour avoir les points cherchés.

Car les droites F'-i, F'- 2, F' -3 sont les perspectives de lignes parallèles entre elles et qui déterminent, par conséquent,

Fig. 45.

Fig. 46.

sur M'N' et sur la droite de front qui passe par M' des segments proportionnels. Mais les segments qu'on a portés sur la droite de front sont les segments donnés ou des segments proportionnels à ceux-ci; donc les segments obtenus sur M'N' sont bien proportionnels à ces segments donnés.

Pour ne pas être conduit à un point de fuite F' trop éloigné, on peut choisir ce point, puis on cherche la droite de front M'R' du plan déterminé par F' et par la droite donnée. On partage M'R' en segments proportionnels aux segments donnés et l'on achève comme précédemment.

Voici une autre solution du même problème ;

Par le point M {^fig- 46) on mène une horizontale de front; on porte sur cette droite, à partir du point M, des segments égaux ou proportionnels aux segments donnés; on joint le point N à l'extrémité du dernier segment ainsi porté : cette droite rencontre la ligne d'horizon en un point que l'on joint aux extrémités des segments

portés sur Thorizontale de front menée par le point M; on a des droites qui rencontrent MN en certains points. Au moyen de verticales, on relève ces points, et Ton retrouve sur M'N' les points i , 2, 3 qui partagent cette droite en parties proportionnelles aux segments donnés.

Si Ton porte sur une horizontale de front des segments égaux entre eux, les droites qui partent des extrémités de ces segments et qui aboutissent à un même point de la ligne d'horizon sont les perspectives de droites parallèles entre elles, qui déterminent alors des segments égaux sur toute horizontale de front. Les segments ainsi obtenus sur toutes ces horizontales de front sont les perspectives de segments égaux entre eux dans Tespace.

On obtient de la sorte, sur ces horizontales de front, ce qu'on appelle les échelles des plans de front qui passent par ces droites.

Fig. 47-

Lorsque Ton porte sur un plan de front une longueur égale à uu segment donné, cette longueur doit être mesurée à l'échelle de ce plan de front.

Supposons, par exemple, que le point d {fig^ 47) soit le point de distance correspondant à la direction M/^ en joignant le point d au point M, nous obtenons, sur la droite de front qui passe par le point Mi, un point Ri, et nous avons RiMj -— MMi. On dit alors que Ri Mi est la longueur de MMi à Téchelle du plan de front qui passe par le point Mi. Si nous avions joint le point d au point M| , nous aurions obtenu un point R, qui nous donnerait encore RjM = MMi 5 mais ici RjM est la longueur du segment MM| à l'échelle du plan de front qui passe par le point M, et l'on voit que sur le tableau la longueur MRj, mesurée entre les pointes d'un compas, est plus grande que la longueur MMi. Dans l'espace, il est bien évident que les longueurs correspondant à ces segments sont égales entre elles.

Porter sur uns droite des segments égaux à des segments donnés sur cette droite. — Soit, sur le géométral, MR (Jig. 48) la droite donnée. Par le point M traçons une horizontale de front. Joignons les extrémités des segments MN, NR à un point / de la ligne d'horizon : ces droites rencontrent l'horizontale de front qui passe par le point M aux points i et 2. A partir du point 2, prenons des segments égaux aux segments M-i, 1-2 : nous obtenons les points i', 2'. Joignons ces points au point/: ces droites rencontrent la droite donnée aux points N', R', qui sont les points demandés.

Déterminer le point oii une droite rencontre un plan donné par deux droites qui se coupent, — On construit les points où les droites, qui déterminent le plan donné, rencontrent le plan vertical qui contient la droite donnée. La droite qui joint ces deux points rencontre la droite donnée au point demandé.

Au lieu de faire usage du plan vertical qui contient la droite donnée, on peut employer un plan déterminé par cette droite et par une droite de front menée de Tun de ses points. Mais cette solution exige qu'on sache résoudre le problème suivant.

Construire l'intersection de deux plans, — Nous supposons que chacun des plans est donné par deux droites qui se coupent. On coupe ces plans par un premier plan de front. On détermine ainsi deux droites de front qui, parleur rencontre, donnent un point de la droite d'intersection des deux plans. Au mo^'en d'un second plan de front, on construit un second point de cette droite qui est alors déterminée.

Le problème, qui consiste à partager une droite en segments proportionnels à des segments donnés, trouve son application lorsqu'on cherche la perspective d'une moulure.

Perspective des monlnres. — Nous allons considérer une moulure

qui contourne deux murs verticaux à angle droit et en chercher la perspective.

a'b'dd'efgU' {fig- 49) est le profil qu'on obtient en coupant la moulure par un plan perpendiculaire aux arêtes de cette moulure. En projection horizontale, on a des droites parallèles entre elles correspondant à la direction d'un des murs, et des droites p^allèles entre elles correspondant à la direction de l'autre mur. Ces droites viennent se couper en des points appartenant à un contour relatif à la moulure et qui se trouve dans le plan bissecteur du dièdre formé par les plans verticaux des deux murs.

En projection horizontale, on a acdel.

Supposons que sur le tableau nous ayons les perspectives des

i lL

grandes arêtes qui viennent aboutir au point projeté en a et les perspectives des grandes arêtes aboutissant au point /; nous supposons en outre que ces grandes arêtes sont obliques par rapport au tableau.

Soit Hir la ligne d'horizon {ftg* 5o). Le point projeté en a a pour perspective le point A', et les grandes arêtes qui aboutissent à ce point A' sont les deux droites de la figure qui parlent de ce point; de même pour le' point L', cl, comme ces dernières arêtes sont parallèles aux premières, elles doivent rencontrer respectivement la ligne d'horizon aux mêmes points que les premières.

Cherchons les perspectives des points appartenant au profil de la moulure, points qui se projettent en cdel {fig» Ad)- Pour cela, partageons AL {Jig- 5o) en segments proportionnels aux segments ac, cd^ rfe, e/, ou encore, si nous n'avons que le profil de la moulure en segments proportionnels aux segments 1-2, 2-3, 3-^

et ^-/'. A cet effet, menons par le point A une horizontale de front, portons à partir du point A des segments égaux à 1-2, 2-3, 'i-g' et g^-fj joignons l'extrémité du dernier segment ainsi porté au point L : cette droite rencontre la ligne d'horizon en un certain point. Joignons ce point aux extrémités des segments portés sur l'horizontale de front qui passe par le point A : ces droites rencontrent AL en des points C, D, E, L qui sont les perspectives des points c, rf, e, /.

Cherchons maintenant les points de l'espace correspondant aux

Fi g. 5o.

points C, D, E, L. Ces points sont dans le plan vertical qui a pour trace AL sur le géométral. Ce plan vertical rencontre le plan horizontal qui est à la hauteur du point A' suivant une droite qu'on obtient en joignant le point A' au point/, où la ligne d'horizon est rencontrée parla droite AL. Ce plan vertical rencontre aussi le plan horizontal qui est à la hauteur du point L' suivant une droite /L'. C'est dans ce plan vertical que se trouvent les points que nous cherchons, et qui sont sur les verticales élevées des points C, D, E. Dans ce plan vertical, et par les points du profil de la moulure, concevons des horizontales. Ces droites rencontrent la verticale qui passe par le point A' en des points qui correspondent aux points 6', m', i du profil de la moulure. Nous n'avons donc qu'à

]>arlager le segment A'i' en segments proportionnels aux segments aiy^ b'm\ m'i. Comme la droite A'i' est une droite de front, nous partageons le segment A'i' sur le tableau en segments proportionnels, en opérant comme s'il s'agissait de la droite A'i' de Tesj>ace : nous obtenons ainsi le point B' et le point M', et nous avons

Joignons maintenant les points B' et M' au point/: nous avons ainsi, dans le plan vertical dont la trace est AL, les deux horizontaies passant par les points B' et M'. Ces droites rencontrent les verticales qui passent par les points C, D, E en des points qui appartiennent au profil de la moulure ; c'est par les points ainsi déterminés qu'on doit mener les grandes arêtes de la moulure.

Par le point B passent deux grandes arêtes horizontales qui rencontrent la ligne d'horizon au point où cette droite est rencontrée par les droites qui passent par le point A'. Nous menons de même les grandes arêtes qui passent par les points C, D', E', G' et L'.

Nous avons déterminé les points C, D', E' en employant des segments comptés {fig- ^<j) sur les lignes a'i et if; on procède de même pour construire un point quelconque du contour CD'.

Pour achever le tracé de la perspective de la moulure, il faut avoir soin de remarquer qu'il existe une droite A'B' entre le point A' et le point B' et une droite E'G' entre les points E' et G', mais qu'il n'y a pas de droite entre B' et C, parce que c'est un même plan horizontal relatif à la moulure qui existe sur les deux murs; de même, entre D' et E', entre C et L', il n'y a pas d'intersection. Ainsi, en suivant le contour de la moulure à partir de A' jusqu'en L% on ne rencontre pas une ligne continue d'intersections de plans. Il y a intersection de plans lorsqu'on a des plans verticaux et le long de la ligne qui représente le contour courbe; mais les plans horizontaux ne donnent pas lieu à des droites d'intersection.

Les grandes arêtes passant par A' ont, l'une un point de fuite qu'on peut employer, l'autre, A'N', un point de fuite trop éloigné. Pour mener les arêtes parallèles à celle-ci, on peut faire usage d'un plan vertical auxiliaire sur lequel on détermine, comme nous venons de le faire pour le plan vertical AL, les points où il est rencontré par les arêtes parallèles à A'N'.

Dans la pratique, lorsqu'on a à déterminer un certain nombre

de tracés de moulures, on se contente de chercher la perspective d^une figure dans laquelle on remplace, par exemple, le contour compris entre V et gf {fi g* 49) par une simple droite V ^ . On cherche alors la perspective comme précédemment : on a ainsi la perspective par masses. Puis, en substituant à la droite B'G'{fig. 5o) un contour à simple vue, on obtient approximativement la perspective de la moulure. Mais cette manière d'opérer n'est possible que lorsqu'on sait, à la suite d'un certain nombre de tracés exacts, la forme à laquelle on doit arriver pour la perspective des moulures.

On doit remarquer que, pour la solution de tous les problèmes que nous venons de résoudre, les longueurs des segments n'intervenant que par leur rapport, nous n'avons pas fait usage des points de distance. Dans la Leçon suivante nous emploierons ces points pour traiter des questions, relatives au plan et à la droite, dans lesquelles on cherche la grandeur d'angles ou de segments de droites.