SEPTIÈME LEÇON

CONSTRUCTIONS DIRECTIiS SUR LE TABLEAU (suite).

Amener un plan à être de front.— Perspective d'une perpendiculaire à un plan. — Perspective d'une figure vue après réflexion. — Relèvement du géométral.

Supplément : Perpendiculaire à un plan.

En Géométrie descriptive, les problèmes dans lesquels interviennent des grandeurs angulaires ou linéaires se résolvent au moyen de rabattements. Si, par exemple, on a à déterminer la grandeur d'un angle, on amène le plan de cet angle à être parallèle à Tun des plans de projection, on projette la figure ainsi obtenue, et l'on a en projection la grandeur de l'angle à mesurer.

De même, pour déterminer la grandeur d'un segment de droite, on amène le plan qui contient le segment qu'on veut mesurer à être parallèle à l'un ou à l'autre des plans de projection.

Dans la méthode des projections cotées, on n'a qu'un plan de projection, et alors les rabattements se font de manière à amener les plans, sur lesquels se trouvent les grandeurs qu'on veut mesurer, à être parallèles au plan de comparaison.

En perspective, nous n'avons plus qu'un plan vertical : c'est le plan du tableau. En amenant un plan à être parallèle au plan du tableau (et pour cela il suffit de le faire tourner autour de l'une de ses droites de front) et en construisant la perspective de la figure après la rotation, on obtient une figure semblable à la figure de l'espace. Les angles de celte figure sont alors égaux aux angles de la figure de l'espace, et les segments de droites sont proportionnels à ceux des droites de l'espace.

Le problème que nous sommes conduit à résoudre est donc le suivant : amener un plan à être de front.

Avant de donner la solution de cette question, faisons remarquer que, lorsqu'on connaît les points principaux de fuite et de distance,

on peul mesurer les segments comptés sur des perpendiculaires au plan du tableau.

P et D {fig* 5i) sont les points principaux de fuite et de dis-

Fig. 5i.

tance ; une droite MP est la perspective d'une perpendiculaire au plan du tableau : cherchons la longueur d'un segment Mm de cette droite.

Nous n'avons qu'à joindre le point D au point M et à mener par le point m une droite de front : la ligne mg est la longueur du segment M m, à l'échelle du plan de front qui contient le point m, car le point D est le point de distance correspondant à la direction MP; il est donc le point de fuite des droites, telles que DM, qui déterminent des segments égaux sur MP et sur une horizontale de front.

Occupons-nous maintenant de ce problème :

Amener nn plan à être de front. — On donne {fig» Sa) les points principaux de fuite et de distance P, D. Le plan est donné par les droites (M'C, MC), (M'E', ME), on le fait tourner autour d'une de ses droites de front, pour l'amener à être de front : on demande de construire les perspectives des points du plan lorsque la rotation est effectuée.

Soit xy la droite de front autour de laquelle nous allons faire tourner le plan donné. Cette droite est dans le plan de front qui a pour trace sur le géométral l'horizontale de front CE^'. En tournant autour de xy^ le point M' décrit une circonférence de cercle dont le rayon est la perpendiculaire abaissée du point M' sur la charnière. Cherchons cette perpendiculaire : pour cela projetons le point M' sur le plan de front xy, et du pied de celte perpendiculaire abaissons une perpendiculaire sur xy. Le pied de cette dernière droite est le pied de la perpendiculaire abaissée du point M' sur la charnière xy.

Effectuons ces constructions. Menons les droites M'P, MP. Cette dernière droite rencontre CE en m, la verticale mn}! coupe M'P

au point m', qui est la projection de M' sur le plan de front xy. Du point /n', dans ce plan de front, abaissons une perpendiculaire sur xy^ et pour cela il suffit de mener une droite rencontrant

Fig. 5!i.

à angle droit cette droite xy^ puisque nous opérons dans un plan de front. Le pied de cette perpendiculaire est |ji, et la droite M'(jl est la perpendiculaire abaissée du point M' sur la charnière xy.

Après la rotation du plan autour de xy^ la droite M'[x, qui est perpendiculaire à xy^ a pour perspective la perpendiculaire à la charnière menée à partir du point [jl, et le point M' est sur cette per-

pendiculaire, à une distance du point [Ji égale à la longueur de M'jji, à l'échelle du plan de front xy.

Pour trouver la longueur de M'(jl, considérons le triangle rectangle M'/n'[jL et amenons le plan de ce triangle à coïncider avec le plan de front xvj en le faisant tourner autour de la droite de front /n'(JL. Lorsque le plan du triangle M'm'|JL coïncide avec le plan de front ov^, le côté m'RT, qui est perpendiculaire à m'jji, a pour perspective une droite perpendiculaire à /n'[ji, et le point M' vient sur cette droite à une distance égale à la longueur de M' m'. Mais, d'après ce que nous venons de dire, nous savons déterminer la longueur de ce segment de droite : on mène par le point m' l'horizontale de front m' g, et par le point M' la droite M'D ; on obtient alors le segment m! g^ qui est égal au segment MW, à l'échelle du plan de front qui contient le point m'. Rapportons ce segment m! g en m'W : l'hypoténuse M"[ji du triangle M"m'[ji est la longueur de M'[Ji.

Il suffit alors de porter le segment (jlM", à partir du point (jl jusqu'en Mj, sur la perpendiculaire [jlM< kxy, pour avoir au point Mj la perspective du point M' après la rotation du plan. On dit que le point Ml est le relèvement du point M'.

On pourrait recommencer les mêmes constructions pour d'autres points du plan donné; mais quelques remarques permettent de simplifier les tracés qui conduisent aux relèvements de ces points.

Le plan du triangle W m!\k a sa ligne de fuite qui est parallèle à m'[jL, puisque cette dernière droite est une ligne de front du plan de ce triangle. Celte ligne de fuite doit passer par le point P, qui est le point de fuite de la droite Wm' du plan du triangle. Nous avons donc la ligne de fuite du plan de ce triangle en abaissant du point P une perpendiculaire sur la ligne de front xy du plan donné : cette perpendiculaire est, en efiet, parallèle à m'\k. Elle rencontre Wy. au point de fuite © de cette droite.

Le point ^ est le point de fuite des droites tracées sur le plan et qui sont perpendiculaires à xy. On peut remarquer que o est sur la ligne de fuite J du plan donné, puisque M'jjl est une droite de ce plan.

En tournant autour de xy^ le point M' décrit un arc de cercle, et la corde de l'arc décrit est la ligne M'M^. Pour chaque point du plan, on a une droite telle que M' Mi . Toutes ces droites, étant pa-

rallèles entre elles, ont même point de fuite. Ce point de fuil« est à la rencontre de M'Mi avec la ligne de fuite P'^. Comme il est trop éloigné, prenons le tiers du segment Mj [Ji, joignons le point M' à l'extrémité du premier tiers de [jlM, à partir de [Ji, nous obtenons, à la rencontre de cette droite et de P<p, le point ^5. Au mojen du point cp et du point |8, il est facile d'avoir le relèvement d'un point quelconque du plan.

Prenons, par exemple, le point N du plan. Abaissons du point N une perpendiculaire sur xy ; la perspective de cette droite esl Nç et son pied sur xy est le point v. Après la rotation, cette perpendiculaire Nv a, pour perspective, la perpendiculaire élevée du point V à la droite xy. Joignons le point N au point ^8. Cette ligne rencontre la perpendiculaire issue du point v en un point qui esl l'extrémité d'un segment, compté à partir de v, et que nous triplons jusqu'au point Nj : le point N^ est le relèvement du point N.

Réciproquement, si l'on a un point du plan relevé, tel que N,, par des constructions inverses, on revient du point N, au point N.

Le relèvement d'une droite se fait en relevant deux de ses points ; la droite M'N, par exemple, est relevée en M^N^. On peut remarquer que le point où la droite M'N rencontre la charnière est un point qui ne change pas pendant la rotation, et, par conséquent, il appartient à la droite M, N,.

La figure qui est tracée sur le plan donné et la figure qu'on obtient après le relèvement du plan sont deux figures, telles que les points correspondants, comme M' et M|, N et N|, sont sur des droites convergentes en un même point ô. Les droites de ces deux figures, comme M'N et M,N,, qui se correspondent, viennent se couper sur la droite xy. Ces deux figures sont donc homologiques.

Le problème que nous venons de résoudre permet d'arriver à la solution d'un grand nombre de questions. Si, pour ne prendre qu'un exemple, on demande de construire dans le plan donné et sur M'N un triangle semblable à un triangle donné, on n'a qu'à relever le plan donné. La droite M'N vient en Mi Nj ; dans cette situation, on construit sur M|Ni un triangle M|N|Q| semblable au triangle donné, puis on ramène le point Qi en faisant tourner le plan autour de ^^ jusqu'à ce qu'il soit revenu dans sa première position. Le point Qi vient prendre une certaine position

Q, et, en joignant le point Q ^ux points M' et N, on a la perspective demandée. Nous ne nous arrêtons pas à traiter d'autres problèmes de oe genre.

Perspective d'une perpendiculaire à nn plan. — Cherchons la perspective de la perpendiculaire au plan qui est issue du point M'.

La droite demandée doit être une droite du plan du triangle M'm'[Ji {fig- Sa), puisque le plan de ce triangle est perpendiculaire à xy\ il contient, en effet, les droites [xM' et }A/n', qui sont perpendiculaires à xy, La droite demandée doit être, en outre, perpendiculaire à la droite M'u; mais nous avons fait tourner le plan du triangle M'/w'ijl autour de la droite de front rnl^\ l'hypoténuse M' [Ji est venue en IVFjjl. Dans cette situation, la perpendiculaire, menée dans le plan du triangle à la droite M'|jl, n'est autre que la perpendiculaire M"/ à l'hypoténuse M''|jl. Lorsque nous ramenons le plan du triangle dans la position qu'il a dans l'espace, le point de rencontre /, de la perpendiculaire M'/ avec m'[jL, ne change pas de position, et la perpendiculaire demandée est /M'. En prolongeant cette perpendiculaire jusqu'au point où elle rencontre la ligne de fuite Pcp du plan du triangle M'm'jx, on a le point de fuite de toutes les perpendiculaires au plan donné.

La construction que nous venons de donner s'appuie sur la détermination du rabattement de M' [x lorsqu'on a fait tourner le plan du triangle M'm'jx autour de la droite de front /n'[JL située dans le plan xy. Nous pouvons faire la même construction en prenant un autre plan de front que le plan xy. Prenons, par exemple, comme charnière la ligne de fuite du plan donné, en supposant que le plan de front xy soit transporté à l'infini. Le triangle M'm'fx de la construction précédente est remplacé actuellement par le triangle MPcp et le segment rn! g par le segment PD, que nous devons porter en PM'", perpendiculairement à P^p. L'hypoténuse M' '^ du triangle M' P<p est maintenant rabattue en M'" '^, et la perpendiculaire au plan est rabattue suivant la perpendiculaire menée du point M''' à la droite M"' (p. Cette perpendiculaire rencontre Pcp en un point / qui est le point de fuite des perpendiculaires au plan ; en le joignant au point M', on a la perpendiculaire demandée.

On peut arriver directement à cette construction.

Le point P est le pied de la perpendiculaire abaissée de l'œil O

sur le plan du tableau; la ligne de fuite J du plan donné est la trace sur le plan du tableau du plan mené de l'œil parallèlement au plan donné.

Menons un plan perpendiculaire à cette ligne de fuite ; ce plan est à la fois perpendiculaire au tableau et au plan donné ; sa trace sur le tableau est la perpendiculaire Pf abaissée du point P sur la ligne de fuite du plan donné. Ce plan auxiliaire coupe le plan mené par l'œil parallèlement au plan donné suivant la droite Ocp; dan? ce plan auxiliaire, la perpendiculaire au plan donné menée par l'œil est une ligne perpendiculaire à cette droite 0<p. Pour construire cette ligne, faisons tourner le plan auxiliaire autour de la droite P<p tracée sur le plan du tableau. La perpendiculaire qui va de l'œil au point P vient alors se rabattre suivant la ligne PM'", le segment PM"' étant égal à PD, c'est-à-dire à la distance de l'œil au tableau. Nous avons alors le rabattement M'"çp de la ligne Ocp. Nous n'avons plus qu'à élever, du point M'", une perpendiculaire à cette droite et à ramener cette ligne en replaçant le plan auxiliaire dans la position qu'il doit occuper. Le point où la perpendiculaire menée du point M'" à M"' y rencontre P«p est le point de fuite /des droites perpendiculaires au plan donné.

Le plan auxiliaire que nous venons d'employer est perpendiculaire au tableau; il renferme deux droites rabattues, l'une en M*'^ et l'autre perpendiculaire à celle-ci en M"'/. Ces droites ont, pour points de fuite, l'une le point cf et l'autre un certain point/de oP.

Dans le triangle ^W f^ on a la relation Py x P/^-= PD . On peut donc dire que, lorsque sur un plan perpendiculaire au plan du tableau on a deux droites perpendiculaires entre elles, le pro^ duit des distances de leurs points de fuite au point principal de fuite est égal au carré de la distance principale. Ce résultat est applicable au géométral, puisque ce plan est perpendiculaire au plan du tableau.

Perspective d'une figure vue après réflexion. — Un point, vu par réflexion dans une glace, est vu comme s'il était, par rapport à la glace, le symétrique du point donné. Pour construire ce point symétrique, on applique ce qui précède, puisqu'on doit abaisser du point donné une perpendiculaire sur le plan.

Dans le cas particulier où la surface réfléchissante est une sur-

CONSTRUCTIONS DIRECTES SUR LE TABLEAU. 8l

face horizontale, par exemple une nappe d'eau, l'image d'un point s'obtient en menant une verticale et en prolongeant cette verticale au-dessous de la surface réfléchissante d'une longueur égale à la distance du point à cette surface ; comme on a des segments égaux sur une verticale, ils restent égaux sur le tableau.

Relèvement du géométral. — Lorsqu'au lieu d'un plan quelconque on considère le géométral, le problème, qui consiste à amener ce plan à être parallèle au tableau, porte le nom de relèvement du géométral. Les constructions, dans ce cas, se simplifient et se réduisent aux tracés que nous allons indiquer.

Soient M {fig- 53) un point du géométral elxy\di droite de front

Fig. 53.

qui est la charnière. On obtient la perpendiculaire à cette charnière enjoignant le point M au point P : cette droite coupe xy au point [JL. La longueur de M iji s'obtient en joignant le point M au point D, le segment \Lg est égal à M[jl, à l'échelle du plan de front xv. La droite M[jl est relevée en |jiM|, perpendiculairement à xy, le point M, étant tel que [xM| soit égal à \Lg.

Toutes les cordes des arcs décrits par les points du géométral sont des droites parallèles à MM, et ont alors pour point de fuite le point 8, où MM, rencontre la perpendiculaire menée du point P à la ligne d'horizon. Ce point 8 est appelé le point supérieur de distance. Si le géométral tourne autour de xy^ de façon que le point M vienne en M2 au-dessous de cette droite, la corde MM2 a alors pour point de fuite \e point inférieur de distance.

Une droite MN du géoniétral est relevée en M,N.

Cherchons le relèi^ement du point dont la perspective est à Vînfini sur MN. Joignons le point P au point à relever qui est à l'inGni sur MN, c'csl-à-dire menons par le point P une parallèle à MN : cette droite coupe xj au point i. Précédemment, pour le point M, nous avons mené la droite [jlM|, élevons maintenant une perpendiculaire à .TV, à partir du point i; nous avons joint le point D au point M, nous devons mener alors par le point D une parallèle Dy à MN et porter à partir du point i une longueur égale à la distance du point i au point j : nous obtenons ainsi le point I, qui est le relèvement du point de l'espace dont la perspective est à TinGni sur MN. Ce point de l'espace est dans le plan de front qui passe par l'œil. Comme il est alors sur le géométral du même côté que M, par rapport à xv, on doit le placer après le relèvement du même côté que M| par rapport à xy. La longueur il est égale à PD, d'après cette construction, et alors, quelle que soit la droite MN tracée sur le tableau, pourvu qu'elle soit parallèle à la même direction, on obtient toujours le même point I appartenant au relèvement de toutes ces droites. Ce résultat était à prévoir, puisque les droites tracées sur le géométral et dont les perspectives sont parallèles entre elles sont des droites qui convergent en un même point du plan de front passant par l'œil.

On peut relever le géométral en supposant donnés le point de fuite et le point accidentel correspondant à une direction arbitraire, mais alors il faut donner l'angle que fait cette direction avec une horizontale de front.

On peut se proposer un grand nombre de problèmes qui exigent le relèvement du géométral. Pour arriver à effectuer rapidement le relèvement du géométral, il est utile de s'exercer en résolvant un certain nombre de ces problèmes. Nous indiquons seulement l'énoncé suivant :

Déterminer sur le géométrallaperspectii^ed'unecirconférence décrite sur un segment donné, oblique par rapport au tableau.

Au lieu de prendre le cas particulier du relèvement du géométral, on peut chercher à amener de front un plan vertical. On arrive à des tracés très simples qui constituent la méthode de la corde de l^arc, dont nous nous occuperons dans la Leçon suivante. On doit remarquer que, dans le cas d'un plan quelconque, en se servant du

point -JS, on fait déjà usage de cette méthode; mais elle avait été employée jadis dans le cas particulier des plans verticaux. Nous réservons alors, comme on l'avait fait d'abord, le nom de méthode de la corde de Varc à ce dernier cas seulement.