SUPPLÉMENT A LA SEPTIÈME LEQON

Perpendicnlaire à un plan. — On détermine aussi la perspective d'une perpendiculaire à un plan en construisant d'abord les perspectives des projections de cette droite sur le géométral et sur un plan de front.

Fig. 54.

Soient Ta et a^ {fig* 54) la trace sur le géométral et une droite de front du plan donné.

Par le point quelconque (M', M), d'où nous voulons abaisser une perpendiculaire sur le plan donné, menons un plan de front : Tintersection de ce plan et du plan donné est la droite de front xy.

En abaissant du point M' la perpendiculaire M'^ sur cette droite, on a tout de suite la projection sur ce plan de front de la perpendiculaire demandée.

Pour avoir la projection de cette perpendiculaire~sur le géométral, relevons le géométral; faisons-le tourner autour de Thorizontale de front M/. La trace T/ du plan donné est relevée en Ti j et le relèvement d'une perpendiculaire à cette trace s'obtient en menant une droite Tji/, de façon que l'angle /TiM soit droit.

En ramenant le géométral, le point u ne change pas de position el la droite wT est alors la projection sur le géométral d'une perpendiculaire au plan donné.

Cette droite rencontre la ligne d'horizon au point / : la droite M/, qui est parallèle k uT, est la projection de la perpendiculaire demandée.

Cette projection est coupée au point p par la droite P^ : la droite M'/> est alors la perpendiculaire au plan, passant par le point M', qu'il s'agissait de construire.

Le plan vertical /? M rencontre le plan donné suivant re. Le points, où celte droite rencontre M'/?, est le pied, sur le plan, de la perpendiculaire M'i>,

Par des constructions inverses de celles qui précèdent, on détermine facilement un plan perpendiculaire à une droite donnée.

HUITIÈME LEÇON

CONSTRUCTIONS DIRECTES SUR LE TABLEAU (fin). OMBRES EN PERSPECTIVE.

Perspective d'une figure tracée sur un plan yerlical : méthode de la corde de l'arc — Perspectived'uneYoûted'arétes. — 0/n6r^tf/ijE7erjrjE7«c^iVe. — Ombre portée parune verticale sur le géométral. — Ombre portée par une verticale sur un plan oblique.

PenpectiTe d'une figure tracée snr un plan Tertical : méthode de la corde de l'arc. — Considérons le cas particulier où le plan qu'on

Fig. 55.

■-^ii

veut amener à être de front est un plan vertical. On donne {fig* 55) les points principaux de fuite et de distance P, D et la trace MN du plan donné sur le géométral. On veut déterminer la perspective

d'une figure tracée sur ce plan et dont on connaît les dimensions géométrales.

Nous pouvons faire tourner le plan vertical donné autour de l'une de ses verticales, de manière à l'amener à être parallèle au plan du tableau. Après la rotation, nous aurons sur le tableau une figure semblable à la figure donnée. Afin d'obtenir une figure égale à la figure donnée, nous prenons comme charnière la droite d'intersection du plan vertical donné avec le plan de front qui contient Téchelle des largeurs.

L'échelle des largeurs rencontre la trace du plan donné au point [x. C'est la verticale xy qui passe par ce point y, qui est la charnière.

Cherchons ce que devient un point M après la rotation. Dans le cas particulier actuel, on a tout de suite la droite Mjx, qui est le rayon de la circonférence décrite par le point M. Déterminons la longueur de cette droite. Pour cela, projetons le point M en m sur le plan de front de l'échelle des largeurs ; faisons tourner le géométral autour de m[JL : la droite m M, après le relèvement, est la perpendiculaire m G à l'échelle des largeurs. Joignons le point D au point M de manière à déterminer la longueur de m M, et portons cette longueur à partir du point m jusqu'au point G : G[jl est alors la longueur de M[ji à l'échelle du plan de front qui contient l'échelle des largeurs.

Portons le segment [xG depuis le point [jl jusqu'au point M, : le point Mj est la position du point M lorsque le plan vertical MN est amené à être de front après avoir tourné autour de xy. La corde de l'arc décrit par le point M est MM, ; cette droite rencontre la ligne d'horizon en un point S, qui est le point de fuite de toutes les cordes des arcs décrits par les points du plan vertical. Connaissant 8, il est facile de déterminer ce que devient un point du plan vertical, et, inversement, on ramène aisément sur ce plan les points du plan de front qui contient l'échelle des largeurs.

Prenons, par exemple, un point N, joignons ce point à o par la droite SN : cette droite rencontre l'échelle des largeurs au point N| . qui est la perspective du point N après la rotation du plan vertical.

Traçons sur le plan de front de l'échelle des largeurs, et avec les dimensions qu'elle a sur l'élévation qui est donnée, la figure dont

on demande la perspective sur le plan vertical donné. Cette figure étant tracée, il faut la ramener sur le plan vertical MN.

Cherchons ce que devient le point R'^ de cette figure, qui se projette au point R» sur Téchelle des largeurs. Le point R', ainsi que le point R| décrivent des arcs dont les cordes ont pour perspectives 8R', , 3R|; cette dernière droite rencontre MN au point R. En menant la verticale qui passe par ce point, on a une droite qui rencontre 8R', au point R', qui est la perspective du point R'^ ramené dans le plan vertical MN.

Pour avoir la tangente au point R', nous n'avons qu'à mener la tangente au point R', : cette droite rencontre la charnière xy en un point T. Le point T restant, pendant la rotation, à la place qu'il occupe, la tangente qui passe parle point R' est alors la droite R'T.

Il résulte de cette construction que, sur le tableau, la tangente, menée de 3 à la perspective de la courbe tracée sur le plan de front de l'échelle des largeurs, est aussi tangente à la perspective de cette courbe lorsque son plan est revenu dans sa position.

Aux points M et N les tangentes à la courbe cherchée sont verticales.

Proposons-nous de mener à celte courbe la tangente qui est parallèle à une droite UV donnée sur le tableau.

Traçons sur le tableau des droites parallèles à UV, et parmi ces droites la tangente demandée, on a des lignes qui sont les perspectives de droites convergentes en un même point du plan de front passant par l'œil, si l'on suppose qu'elles sont les perspectives de lignes situées sur le plan vertical MN.

Cherchons ce que devient le point de convergence de toutes ces droites lorsque le plan vertical MN est amené à être de front. Pour cela, nous n'avons qu'à appliquer la construction précédente au point dont la perspective est à l'infini sur la droite UV. Ce point se projette sur le géométral en un point dont la perspective est à l'infini sur la droite MN. Menons la droite qui joint le point 8 à ce point à l'infini, c'est-à-dire menons par le point 8 une parallèle à la droite MN : le point I, où cette droite rencontre Téchelle des largeurs, est la perspective du point où MN perce le plan de front passant par l'œil, lorsque le plan vertical MN est amené de front.

En élevant une verticale à partir du point I, on a une droite qui doit contenir la perspective du point correspondant au point situé

à rinfinî sur UV; mais ce point se trouve sur la droite 81' qui joint le point 8 au point à Tinfîni sur UV, c'est-à-dire sur une parallèle à UV : on a donc au point F la perspective du point de convergence des droites tracées sur le plan vertical MN, lorsque ce plan est amené à être de front.

Parmi toutes ces droites se trouve la tangente demandée : c'est celle qui est maintenant la tangente menée du point F à la courbe située dans le plan de front de Téchelle des largeurs; elle rencontre la charnière xy en un certain point, et, en menant de ce point une parallèle à la droite UV, on a la tangente cherchée.

Telles sont les constructions dont Tensemble est désigné sous le nom de méthode de la corde de l'arc.

Nous pouvons remarquer qu'en exposant cette méthode nous avons trouvé la solution du problème suivant : Étant donnés une direction MN sur le géométral et les points principaux de fuite et de distance, construire le point accidentel correspondant à cette direction. Le point 8 est, en effet, le point de distance accidentel correspondant à cette direction MN, puisqu'il est le point de fuite de droites, telles que 3 M, qui détermine des segments égaux sur MN et sur une horizontale de front.

Perspective d'une voûte d'arêtes. — Nous avons jusqu'à présent traité des problèmes relatifs aux droites et aux plans; nous allons résQudre maintenant un problème relatif aux intersections de surfaces. Nous nous proposons de chercher la perspective d'une voûte que l'on désigne sous le nom de voûte d'arêtes. Celle dont nous allons nous occuper est formée par la rencontre de deux voûtes appelées berceaux en plein cintre, dont les intrados, c'està-dire les surfaces apparentes de ces voûtes, sont des cylindres de révolution. Les axes de ces cylindres se rencontrent à angle droit et sont situés dans un plan horizontal appelé plan de naissance de la voûte. Puisque les deux cylindres ont leurs axes dans ce plan de naissance et que leurs sections droites ont des rayons égaux, les intersections de ces cylindres sont des courbes planes dont les plans sont verticaux.

AB {fi g* 56 j étant la section droite d'un des cylindres, BG la section droite de l'autre cylindre, il est facile de voir que les lignes d'intersection de ces deux cylindres de révolution sont des

courbes planes qui se projetlenl suivant les diagonales du carré dont les côtés sont AB et BC. Ces lignes planes, qui dans l'espace sont des ellipses, reçoivent le nom de lignes d^ arêtes de la voûte. Nous allons chercher la perspective d'une voûte d'arêtes, en supposant que les génératrices de Tun des cylindres qui forment l'intrados de l'une des voûtes soient des horizontales de front et que les génératrices de l'autre cylindre soient des perpendiculaires au plan du tableau.

Fig. 56.

AB {Jig* 57) est un segment de front; nous supposons qu'il est la projection sur le géométral du diamètre A'B' de la section droite du cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au tableau. Les génératrices de ce cylindre qui passent par les points A' et B' ont pour perspectives A'P et BP', et les perspectives des projections de ces droites sont AP et BP. Le cylindre, dont les génératrices sont des horizontales de front, a pour section droite, dans le plan vertical PA, une circonférence dont le diamètrie, passant par A', a pour perspective A' G', dont la projection est AC, la droite AG ayant été déterminée de façon qu'on ait AG=AB. Achevons la perspective du carré qui a pour côtés AG et AB : c'est la projection d'un carré dont la perspective est A'B'G'E'.

Dans le plan de front AB, la section droite du cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au tableau est la circonférence décrite sur A'B' comme diamètre. Dans le plan de front GE, ce même cylindre a pour section droite la circonférence décrite sur G'E' comme diamètre. Les lignes d'arêtes se projettent sur le géométral suivant les diagonales AE, BG du carré ABGE; nous sommes amenés à chercher l'intersection du cylindre, qui a pour section droite la circonférence A'B', avec les plans verticaux AE etBC-

Cherchons la perspective de la ligne d'arête qui est projetée suivant BC Coupons le cylindre par un plan horizontal : la trace de ce plan sur le plan de front AB est la parallèle G'L' à A'B'. Ce plan rencontre le cylindre suivant deux génératrices qui ont pour perspectives les droites G'P et UP et il rencontre le plan vertical BC suivant la droite qui joint le point où G'L' coupe la verticale BB' au point où BC coupe HH'. Celte dernière droite rencontre les génératrices G'P, L'P aux points M', N' de la ligne d'arête.

Fig. 57.

On peut aussi construire ces points en déterminant les traces sur le plan vertical BC des génératrices G'P, L'P. Les projections de ces deux génératrices sur le géométral sont les droites PG et PL; ces deux dernières lignes rencontrent la ligne BC aux points M et N, qui sont les projections sur le géométral des points de rencontre des génératrices PG', PL' avec le plan vertical BC. Nous avons donc, en menant les verticales MM', NN', les deux points M'N' de la ligne d'arête.

La tangente en M' est la trace sur le plan de la ligne d'arête du plan tangent au cylindre le long de la génératrice G'P. Construisons cette droite. Prenons les traces du plan tangent au cylindre

et du plan de la ligne d'arête sur le plan de front CE' : ces droites sont la tangente RU et la verticale C'U; elles se coupent en U, et UM' est la tangente en M'.

On peut construire ainsi autant de points qu'on voudra de cette ligne d'arête. En les réunissant, on a une courbe partant du point G' tangentiellement à la verticale G'U, arrivant au point M' tangentiellement à UM', puis enfin au point B' tangentiellement à la verticale B'B.

Proposons-nous de déterminer la tangente à cette courbe qui est parallèle à la ligne d'horizon, c'est-à-dire que nous voulons déterminer sur le tableau la tangente au point le plus élevé de la perspective de la ligne d'arête.

La ligne d'arête étant l'intersection de deux cylindres, considérons-la comme tracée sur le cylindre dont les génératrices sont des horizontales de front. Sur ce cylindre, nous avons ainsi une courbe plane, dont le plan ne passe pas par l'œil, puisque le plan de la courbe est le plan vertical BC. Cette courbe rencontre tangentiellement la ligne de contour apparent du cylindre, qui est ici la trace sur le tableau du plan mené par l'œil tangentiellement à ce cylindre. Mais la ligne de contour apparent du cylindre est une parallèle à la ligne d'horizon : cette ligne de contour apparent est donc la tangente que nous nous proposons de construire. Toutes les lignes tracées sur ce cylindre, et qui sont, comme la ligne d'arête, des lignes planes dont les plans ne passent pas par Tœil, ont pour perspectives des courbes tangentes à la même ligne de contour apparent du cylindre. Parmi ces lignes, il y a la section droite du cylindre, qui est la circonférence décrite sur A' G' comme diamètre. Si nous déterminons pour cette circonférence la tangente parallèle à la ligne d'horizon, nous aurons, d'après ce que nous venons de dire, la tangente que nous voulons construire pour la ligne d'arête. Le problème est donc ramené à celui-ci : Mener y à la perspective de la circonférence verticale décrite sur A' G' comme diamètre, une tangente parallèle à V horizon.

Pour cela, nous n'avons qu'à appliquer la construction que nous venons de donner en exposant la méthode de la corde de l'arc. Cette circonférence étant dans le plan vertical AC, nous pouvons construire sa perspective, en faisant tourner son plan autour de la verticale GG'. Après la rotation, le point A' vient en E', en même

temps que le point A vient en E, et la corde de l'arc décrit par le point A est la droite AE; le point de rencontre D de AE avec la ligne d'horizon est alors le point de fuite de toutes les cordes des arcs décrits par les points du plan vertical AC; après la rotation, la perspective de la circonférence est la circonférence décrite sur CE' comme diamètre.

Nous avons vu qu'il faut joindre le point D au point dont la perspective est à l'infini sur AC, c'est-à-dire mener par le point D une parallèle à AC. Cette droite rencontre la ligne de front CE au point I; en élevant au point I la verticale IF, on a F. Il suffit de mener par le point F une tangente à la circonférence CE' : cette droite rencontre la charnière CC au point T ; la parallèle menée du point T à la ligne d'horizon est la tangente cherchée.

Il résulte de cette construction, puisque DI est parallèle à PA, que CI = PD, et alors la droite PI est parallèle à CB. Par suite, on peut déterminer le point I en traçant la ligne PI parallèlement à la diagonale CB ; puis on relève le point I en F sur la ligne d'horizon, et l'on achève la construction comme nous venons de le faire.

Ces tracés, pour construire dans un plan vertical la tangente parallèle à une droite donnée sur le tableau, reviennent à considérer le cylindre, dont les génératrices ont pour point de fuite le point D, qui contient la circonférence A'C et dont la trace sur le plan vertical CE est la circonférence décrite sur CE' comme diamètre. Au lieu d'employer un pareil cylindre, on peut faire usage du cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au tableau. On a ainsi, pour le même problème, une deuxième solution que je vais maintenant indiquer.

Nous voulons déterminer sur le plan vertical BC une tangente à la ligne d'arête dont la perspective soit parallèle à HH'. En considérant HH' comme une droite du plan vertical BC, cela revient à chercher la tangente qui passe par le point à l'infini sur cette droite, point dont la projection sur le géométral est à l'infini sur BC. Cherchons les plans tangents au cylindre perpendiculaire au plan du tableau qui sont menés par ce point. Pour cela de ce point à l'infini menons une parallèle aux génératrices de ce cylindre; la perspective de cette droite est confondue avec la ligne d'horizon et la perspective de sa projection est PI parallèle à CB. La trace de

CONSTRUCTIONS DIRECTES SUR LE TABLEAU. gS

cette droite sur le plan de la base du cylindre est 1' dont la projection est I. La tangente FV est la trace de Tun des plans tangents au cylindre sur le plan de sa base. Ce plan tangent touche le cylindre suivant la génératrice PVW. La trace de ce plan tangent sur le plan vertical BG passe par le point T et elle est parallèle à la ligne d'horizon : c'est donc TW ; on a ainsi la tangente à la ligne d'arête dont la perspective est parallèle à HH'. Le point W où cette droite est coupée par VW est le point de contact de cette tangente : c'est le point le plus haut de la perspective de la ligne d'arête («).

Remarques, — Nous n'avons pas parlé des piliers que l'on voit sur la figure, parce qu'il est très simple de les déterminer.

Pour la facilité des explications, nous n'avons considéré qu'une ligne d'arête; mais, pour la rapidité des tracés, il est préférable de construire simultanément les deux lignes d'arêtes.

Le même plan horizontal G'L' permet de construire quatre points. Pour éviter de tracer les circonférences A'B', CE', on emploie ordinairement les circonférences d'entrée et de sortie de la voûte perpendiculaire au tableau.

Les tangentes aux quatre points des lignes d'arêtes situés dans le plan horizontal G'L' se rencontrent en un même point S' de la verticale SS'. On détermine le point S' en construisant le point où la verticale SS' est rencontrée par le plan qui touche le long de PM'G' le cylindre perpendiculaire au tableau. On fait usage pour cela de la trace JS' de ce plan tangent sur le plan vertical PSS'.

Nous ne prendrons pas d'autres exemples relatifs aux intersections de surfaces, parce que nous allons avoir l'occasion d'en donner à propos de la détermination des ombres en perspective.

(*) Lorsqu'on demande la tangente à la ligne d'arête qui passe par un point donné sur le tableau, on considère ce point comme étant un point du plan de la ligne d'arête et l'on applique la solution que nous venons de donner pour le cas où le point est à l'infini sur une direction tracée sur le tableau.

Lorsque le Soleil éclaire Tobjet dont on recherche les ombres, le Soleil est supposé à l'infini. Sa perspective est un point audessus de la ligne d'horizon quand il est devant le spectateur; la projection de ce point sur le géométral est un point de la ligne d'horizon.

Lorsque le Soleil est derrière le spectateur, comme il est audessus du plan d'horizon, sa perspective est au-dessous de la ligne

Fie. 58.

d'horizon, et la perspective de sa projection sur le géométral est toujours un point de la ligne d'horizon.

Ombre portée par une verticale sur le géométraL — Cherchons l'ombre portée par la verticale M' M éclairée par un /lambeau placé devant le spectateur et derrière le tableau.

Le plan d'ombre de cette verticale a pour trace {/ig* 58) la ligne qui joint le point M au point L, perspective de la projection du flambeau sur le géométral. Nous limitons l'ombre portée, qui est un segment de la trace de ce plan d'ombre, à sa rencontre avec L'M' qui joint le flambeau L'au point M'. L'ombre portée est alors le segment MM| .

Rapprochons le flambeau du géométral jusqu'en L', sur la verticale L'L : l'ombre portée va alors en augmentant.

Lorsque le flambeau est venu au point L^, de façon que sur le tableau L^^L — M' M, la droite L'^M' est alors parallèle à LM, et l'ombre portée est un segment indéfini sur le tableau.

Lorsque le flambeau est au point Lj, tel que M'Lg rencontre la ligne d'horizon au point où LM rencontre cette même ligne d'horizon, l'ombre portée a une longueur infinie dans l'espace.

Si nous rapprochons davantage le flambeau jusqu'au point L^, l'ombre portée a toujours une longueur infinie dans l'espace et l'on ne doit pas joindre le flambeau h\ au point M' pour avoir une droite qui limite l'ombre portée. Le flambeau ne peut pas donner d'ombre portée située entre lui et le côté opposé au point éclairé; le point éclairé est M', il est placé sur le rayon lumineux qui part du flambeau dans une certaine direction, et l'on ne peut pas chercher son ombre portée dans la direction opposée sur ce rayon lumineux.

Examinons encore le même problème lorsque le flambeau est placé derrière le spectateur.

Le flambeau, étant placé derrière le spectateur et au-dessus de

Fig. 5().

l'horizon, a pour perspective (/ig- Sg) un point L' au-dessous de la ligne d'horizon, et la perspective de sa projection sur le géométral est un point L au-dessus de la ligne d'horizon. Dans ces conditions, l'ombre portée par la verticale M' M s'éloigne du spectateur; donc, en prenant la trace ML du plan d'ombre de la verticale, nous devons chercher l'ombre portée de la verticale sur la portion de cette droite qui, partant du point M, se rapproche de la ligne d'horizon. Nous limitons cette ombre portée à la rencontre de ML avec la droite qui joint le point M' au point L'; ainsi l'ombre portée est MM, .

Nous pouvons, comme précédemment, rapprocher le flambeau du géométral. Le flambeau venaht au point L', , l'ombre portée est MMj, qui est un segment plus long que le segment MM, ; lorsque le flambeau est au point L!,, tel que M'L^ passe par le point de fuite / de la droite ML, l'ombre portée s'étend jusqu'à l'infini.

puisqu'elle est limitée à Thorizon. Si nous prenons un flambeau plus rapproché encore du géométral, en joignant le point M' au point L3, nous obtenons le point de rencontre de cette droite avec ML, mais nous ne devons pas prolonger l'ombre portée jusqu'en ce point : l'ombre portée ne pouvant pas dépasser la ligne d'horizon.

Lorsque le rayon lumineux est parallèle au plan du tableau, la recherche de l'ombre portée par la verticale MM' est très simple : il suffit de mener par le point M une horizontale de front et de prendre le point de rencontre M| de cette droite avec la parallèle au rayon lumineux menée par le point M'^ on a alors immédiatement MM^, qui est l'ombre portée sur Je géométral par la verticale MM' éclairée par des rayons lumineux parallèles au plan du tableau.

Fi^. 60.

HF "*'rv S 2*^

Ombre portée par une verticale sur un plan oblique. — Cherchons l'ombre portée par une verticale sur un plan oblique.

La trace du plan donné sur le géométral a pour perspective {/ig- 60) la droite EC, et ce plan est limité par cette trace et par une horizontale B'A', dont le point A' se projette sur le géométral au point A. La verticale dont nous allons chercher l'ombre portée sur ce plan est MM'; le point lumineux est le soleil S', supposé placé derrière le spectateur.

Employons la méthode des projections obliques pour déterminer l'ombre portée par la verticale sur l'horizontale A'B'; cherchons les ombres portées de ces deux lignes sur le géométral. L'ombre portée par la verticale est sur la droite MS ; l'ombre portée par l'horizontale A'B' est une horizontale dont il suffit de construire un point. Pour cela, prenons l'ombre portée par le point A': joignons le

point S au point A, le point A' au point S'; nous obtenons A|, qui est l'ombre portée par le point A'. L'horizontale FA' a alors pour ombre portée FA|.

Cette droite rencontre MS au point G| , et en joignant le point G i au point S' on obtient le point G, qui est l'intersection avec A'B' du rayon lumineux qui rencontre aussi la verticale. En joignant le point G au point I, on obtient une droite IG, qui est la trace sur le plan donné du plan d'ombre de la verticale. L'ombre portée par le point M' est sur le rayon lumineux M' S', et, comme cette droite rencontre la droite IG entre le point I et le point G, le point d'intersection M| est l'ombre portée par le point M' sur le plan donné. L'ombre portée par la verticale MM' se compose donc de MI sur le géométral et de IM| sur le plan oblique.

On résout de la même manière ce problème :

Déterminer l* ombre portée par un segment de droite sur un plan oblique.

g8 PREIIIBRE PARTIE. ~ NEUVIÈME LEÇON.

NEUVIÈME LEÇON

OMBRES EN PERSPECTIVE (fin).

Ombre d'un cylindre posé sur le géométral. — Ombre dans l'intérieur d'une Toûte. — Effets de perspectif, — Problème inverse de perspective. — Restitutions comparées. — Choix du point de vue.

Ombre d*im cylindre posé sur le géométral. — Un cylindre est posé sur le géométral; il est éclairé par le soleil placé devant le spectateur : on demande les lignes d'ombre sur ce cylindre et son ombre portée sur le géométral.

F (^g- 6i) est le point de fuite des génératrices du cjlindre donné, qui est limité à deux plans verticaux parallèles. On donne la trace de ces plans sur le géométral et leur ligne de fuite. La perspective du soleil est au point S'.

Pour déterminer la ligne d'ombre sur le cylindre, nous avons à construire des plans tangents au cylindre parallèlement aux rayons lumineux dont le point de fuite est S'; ces plans tangents, contenant des génératrices du cylindre, ont pour ligne de fuite une droite qui passe parle point F, et, comme ces plans sont parallèles aux rayons lumineux, cette ligne de fuite est la droite FS'. Ces plans tangents rencontrent le plan de Tune des bases du cylindre suivant des tangentes à cette base; ces droites ont pour point de fuite le point de rencontre de la ligne de fuite des plans tangents avec la ligne de fuite du plan de cette base, c'est-à-dire le point '^. On a donc les traces des plans d'ombre sur le plan de la base en menant du point (f des tangentes à la courbe de base du cylindre. Appelons A', B' les points de contact de ces tangentes ; les lignes d'ombre passent par ces points de contact, et, comme ce sont des génératrices du cylindre, elles ont pour point de fuite le point F. On obtient donc les lignes d'ombre sur le cylindre en joignant le point F aux points A' et B'.

La ligne d'ombre qui passe par le point A' a pour ombre portée sur le géomélral une des droites qui limitent Tombre portée par le cylindre sur ce géomélral; cette droite est la trace, sur le géomélral, du plan d'ombre qui contient FA'. On obtient cette droite en joignant le point F au point a, où la ligne çA' rencontre la trace Ta du plan de la courbe de base du cylindre sur le géomélral. Pour avoir la portion de cette droite qui est utile, nous n'avons qu'à la limiter aux points ou elle est rencontrée par les rayons lumineux

Fig. 61.

(|uî passent par les points A' et A*", extrémités de la ligne d^ombre sur le cylindre. A'j , A" sont les extrémités de la portion utile de celte droite. De même pour la ligne d'ombre qui passe par le point B'; son ombre portée est limitée au point B',. Entre le point A', et le point B',, il y a l'ombre portée par l'arc de courbe A'M'B'.

Construisons un point de cette courbe d'ombre portée et la tan-génie en ce point.

Prenons, par exemple, le point M' projeté en M sur le géomélral. Joignons le point S au point M, le point S' au point M'. Ces deux droites se rencontrent au point M^, qui est l'ombre portée sur le géomélral par le point M'.

Pour avoir la tangente en ce point à la courbe d'ombre portée, menons au point M' la tangente M'T à la courbe de base du cylindre; celle droite rencontre la trace du plan de celle courbe au

lOO PBEMIÉRE PARTIE. — NEUVIÈME LEÇON.

point T ; la ligne TMj est la tangente en M', à la courbe d'ombre portée. Cette courbe est, du reste, tangente à la droite menée du point S' tangenliellement à la courbe de base du cylindre; elle esl tangente aussi en Aj et Bj aux lignes d'ombre portée que nous venons de déterminer. Nous pouvons donc tracer cette courbe; nous obtenons de même l'ombre portée à l'autre extrémité du cylindre, et nous avons ainsi achevé l'ombre portée sur le géométral.

Ombre dans rintérienr d'une voûte. — L'intrados de la voûte esl formé par un cylindre de révolution dont les génératrices sont perpendiculaires au plan du tableau. A'B' {fi g- 62) est le diamètre horizontal de la courbe de tête de la voûte; CE' est le diamètre horizontal de la courbe de tête de la voûte située à une distance plus grande du spectateur que la courbe décrite sur A'B' comme diamètre.

Nous prenons un flambeau placé au delà de la voûte, et alors plus éloigné du spectateur que la voûte elle-même. La perspective de ce flambeau est au point L' et la perspective de sa projection sur le géométral est en L; les rayons lumineux éclairent la voûle en entrant par l'ouverture EE'C'C.

La verticale CCI a pour ombre portée la trace de son plan d'ombre. Sur le géométral celte trace est CC| ; sur le plan vertical EB, c'est la verticale C| y^. Le point yi est l'ombre portée par le point y, de la verticale CC, qui se trouve à la rencontre de cette droite avec le rayon lumineux L'yi» On a donc déjà l'ombre portée par la verticale Cy.

Cherchons l'ombre portée à l'intérieur du cylindre par la ligne y C et l'arc de la courbe de tête du cylindre d'intrados. Parlons d'abord de l'ombre portée par l'arc de cette courbe de tête qui part du point C. Cette courbe donne lieu à un cône d'ombre dont le sommet est au point L', et son ombre portée dans l'intérieur de la voûte est l'intersection de ce cône avec l'intrados delà voûte. Nous sommes ainsi conduits à chercher l'intersection d'un cône et d'un cylindre qu'on peut considérer comme ayant pour base commune la demi-circonférence de cercle décrite sur CE' comme diamètre.

Avant d'effectuer les tracés, nous allons d'abord démontrer que cette courbe d'ombre portée est une ligne plane, et, comme il s'agit

ici d'un cône et d'un cylindre du second degré, nous allons faire voir d'une manière générale que, lorsque deux surfaces du second degré se coupent suivant une ligne plane, la portion restante de leur intersection est une ligne plane.

Cette propriété, relative à l'intersection de deux surfaces du second degré, s'énonce souvent ainsi :

Lorsque la courbe d* entrée est plane, la courbe de sortie Vest aussi.

Fig. 62.

Pour construire des points appartenant à la ligne d'intersection de deux surfaces du second degré, on coupe ces surfaces par un plan. Ce plan rencontre chacune des surfaces suivant une conique ; les points de rencontre de ces coniques appartiennent à la ligne d'intersection cherchée. Ces points sont au nombre de quatre : on voit donc que la ligne d'intersection des deux surfaces rencontre en général un plan en quatre points.

Puisque nous supposons que les deux surfaces se coupent déjà suivant une ligne plane, qui rencontre alors le plan'sécant en deux points, nous voyons que la partie restante de l'intersection rencontre ce plan en deux points seulement. Cette partie restante

102 PABHIÉRE PARTIE. — MEUVIBHE LEÇON.

n'est pas alors une courbe gauche, elle est donc ou une conique ou Tensenible de deux droites.

Pour faire voir que cette partie restante n'est pas l'ensemble do deux droites, nous allons prouver que, si deux sur/aces du second degré se coupent suivant deux droites, qui ne se rencontrent pas^ la partie restante se compose aussi de deux droites. Quand nous aurons démontré cette propriété, nous aurons bien fait voir que les deux surfaces, se coupant suivant une ligne plane, ne peuvent pas se couper en outre suivant deux droites, car il s'ensuivrait, si nous supposions qu'elles se coupent suivant deux droites, que la première partie de l'intersection se composait de deux droites, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Soient A et B des droites qui ne se rencontrent pas et qui sont les intersections de deux surfaces du second degré. Prenons un point M de la partie restante de l'intersection des deux surfaces; par ce point, menons une droite Mat qui rencontre A et B. Il n\ a ainsi qu'une droite, et il y en a toujours une seule. La droite M<i6 rencontre chacune des surfaces au point M par hypothèse, puis aux points a et 6, où elle rencontre A et B; elle a donc avec chacune des surfaces trois points communs; donc elle est tout entière sur chacune des surfaces et elle fait partie de leur intersection. Nous pouvons prendre maintenant un autre point de la partie restante et reproduire le môme raisonnement. Nous voyons ainsi que les deux surfaces, se coupant déjà suivant les droites A et B, se coupent en outre suivant deux autres droites, et, d'après la remarque faite précédemment, puisque nous supposons que les deux surfaces du second degré se coupent suivant une ligne plane, la partie restante est donc plane aussi.

Revenons au problème d'ombre.

Nous avons à déterminer l'intersection d'un cône dont le sommet est U {fig* 62) avec un cylindre dont les génératrices ont pour point de fuite le point P. Par le sommet du cône, menons une droite parallèle aux génératrices du cylindre; sa perspective est PL', et la perspective de sa projection est PL. Cette droite rencontre le plan de la base du cône et du cylindre au point F.

Par la droite PF faisons passer des plans auxiliaires : l'un de ces plans a pour trace, sur le plan de la base, une droite FM'N' menëo du point F. Ce plan sécant auxiliaire coupe le cylindre suivant

deux génératrices qui ont pour perspectives PM', PN'. Il coupe le cône suivant deux génératrices qui ont pour perspectives UM', L'N'. Les points de rencontre M| , N| de ces génératrices du cône et du cylindre appartiennent à l'intersection de ces surfaces. Le point M| est seul utile au point de vue de la question d'ombre, il est au delà du point M' par rapport au point lumineux : il est l'ombre portée par le point M' dans l'intérieur du cylindre ; tandis que le point N| est placé entre le flambeau et le point N' et n'est pas l'ombre portée par ce point N'.

Pour avoir la tangente au point M| à la ligne d'ombre portée dans l'intérieur du cylindre, nous n'avons qu'à chercher l'intersection du plan tangent au cône le long de la génératrice L'M' avec le plan tangent au cylindre le long de la génératrice PN'. Ces plans tangents ont pour traces, sur le plan de la base du cône et du cylindre, les tangentes à cette courbe de base aux points M' et N'; ces deux droites se coupent au point T, et la ligne TMi est la tangente à la ligne d'ombre portée.

Si nous prenons comme plan auxiliaire celui qui a pour trace sur le plan de la base la tangente menée du point F à cette courbe de base, nous obtenons le point de contact G, qui est le point de rencontre de cette courbe avec la ligne d'ombre portée dans l'intérieur du cyliqdre.

Nous ne pouvons pas déterminer la tangente au point G à cette ligne d'ombre portée par l'intersection des plans tangents, puisqu'en ce point le cône et le cylindre ont le même plan tangent : c'est le plan déterminé par la ligne GF et par la droite FP.

Pour construire la tangente au point G à la ligne d'ombre portée, nous n'avons qu'à prendre sur ce plan tangent commun au cylindre et au cône la trace du plan de la courbe d'ombre portée. Le plan de la courbe d'ombre portée rencontre suivant la droite M|N| le plan auxiliaire employé précédemment; le plan de la courbe d'ombre portée rencontre donc la droite PF au point R, où la ligne M ^ N| rencontre cette droite. Mais le point R est un point du plan tangent commun au cône et au cylindre; il en est de même du point G; donc la droite RG est la trace du plan de la courbe d'ombre portée sur le plan tangent en G au cône et au cylindre : c'est donc la tangente cherchée.

Nous pouvons maintenant tracer la courbe qui part du point G

tangentiellement à la droite que nous venons de construire, qui arrive en Mi tangentiellement à TM^ et enfin au point yi tangentiellement à YiC|. La courbe d'ombre portée que nous traçons ainsi d'une façon continue entre le point M| et le point yi s'obtient de la même manière, qu'il s'agisse de points provenant de l'arc CE' ou de points provenant de la droite C'y.

On voit bien maintenant quelle est la partie éclairée, et l'on peut indiquer par des hachures le contour de l'ombre portée.

Nous avons terminé ici ce qui est relatif à la recherche de la perspective d'un ensemble accompagné des ombres.

Problème inverse de perspective. — Comme nous l'avons fait remarquer en commençant l'étude de la perspective, une figure tracée sur le tableau est la perspective d'une infinité de figures de l'espace. Le problème inverse de la perspective, c'est-à-dire celui qui consiste à revenir à l'objet de l'espace par la connaissance seule de cette figure tracée sur le tableau, est donc un problème indéterminé.

Nous allons montrer comment, en tenant compte de la nature des objets représentés, on peut, dans certains cas, revenir aux éléments qui suffisent pour reconstruire les figures géométrales.

Les éléments à retrouver sont la ligne d'horizon et les points principaux de fuite et de distance. La direction de la ligne d'horizon est, en général, connue par la perspective des lignes verticales représentées sur le tableau; il suffît de prendre une droite perpendiculaire à la direction des verticales représentées pour avoir la direction de la ligne d'horizon.

Lorsqu'on a un édifice, on peut admettre que les grandes arêtes figurées sur le tableau sont des droites horizontales, et, en prenant les arêtes correspondant à une même façade, on a des horizontales parallèles dont le point de rencontre est sur la ligne d'horizon. Ce point de rencontre détermine donc un point de la ligne d'horizon, et, comme on a la direction de cette droite, elle se trouve ainsi déterminée.

io5

On a encore un point de la ligne d'horizon, si Ton connaît une horizontale sur laquelle sont portés des segments égaux. Par un point de cette horizontale on mène une parallèle à la direction de la ligne d'horizon; à partir de ce point on porte sur celle droite de front des segments égaux, et l'on joint ces points aux points marqués sur l'horizontale oblique : on a ainsi les perspectives de lignes parallèles entre elles qui doivent concourir en un même point de la ligne d'horizon. Connaissant ce point, cette droite est alors

déterminée.

rig. 63.

Montrons comment, dans certaines circonstances, on peut retrouver les points principaux de fuite et de distance. On a sur le tableau, par exemple, deux édifices terminés chacun par deux murs, et nous supposons que ces murs se rencontrent à angle droit. La ligne d'intersection pour deux des murs est la droite AA' {fig* 63) ; pour les deux autres murs c'est BB'. Par le point A menons des parallèles aux traces des deux murs qui se coupent suivant BB', c'està-dire des parallèles aux droites B/, B/' ; pour cela, nous n'avons qu'à joindre le point A aux points / et /'. Nous avons maintenant au point A deux angles droits ayant même sommet. Menons une horizontale de front; cette droite rencontre les murs qui se coupent suivant AA' aux points i et 2, et les droites A/ et A/' aux points 3 et 4» Relevons le géométral autour de la droite de front i-4 ; comme l'angle 1 Aa est un angle droit, après le relèvement, le point A se trouve sur la circonférence décrite sur 1-2 comme diamètre. Comme l'angle 3 A4 est droit, le même point A se trouve sur la circonférence décrite sur 3-4 comme diamètre.

Le point A doit donc être relevé au point A< , intersection de ces deux circonférences. Abaissons du point A| la perpendiculaire Ai a

106, PBEMIÊRB PABTIE. — NBUVIÉMB LEÇON.

sur 1-45 q'iand nous ramenons le géométral dans sa première position, cette perpendiculaire devient une perpendiculaire au plan du tableau, et sa perspective A a rencontre alors la ligne d'horizon au point principal de fuite P, qui se trouve ainsi déterminé. Portons à partir du point a sur Thorizontale de front un segment a\\ égal à aA^ 5 la droite AAj rencontre la ligne d'horizon au point principal de distance D.

Prenons un autre exemple. On a sur le tableau une ellipse que l'on sait être la perspective d'une circonférence de cercle : on demande les points principaux de fuite et de distance.

Menons à cette courbe des tangentes parallèles à la ligne d'horizon ; la corde de contact rencontre la ligne d'horizon au point principal de fuite. De ce point menons des tangentes à l'ellipse (igurétsur le tableau ; ces droites et les premières forment un carré circonscrit dont les diagonales rencontrent la ligne d'horizon aux points principaux de distance.

Ainsi, dans bien des cas, on peut retrouver les points principaux de fuite et de distance et revenir alors de la perspective à l'objet de l'espace. C'est ce qu'on appelle faire une restitution.

Restitutions comparées. — Lorsque l'on se place devant un tableau, cette restitution se fait à simple vue^ mais elle varie suivant la position que l'on occupe. Si l'on se met exactement au point de vue, on est conduit à faire une restitution exacte; sinon il j aura des modifications introduites.

Nous allons chercher la nature de ces modifications en comparant deux restitutions d'une même perspective. Nous admettons qu'on est naturellement conduit à restituer une verticale suivant une droite verticale.

Nous avons sur le tableau (fig> 64) un point M' dont la projection sur le géométral est au point M. En nous plaçant d'abord au point 0|, la restitution du point M est le point de rencontre /W| de la droite 0|M avec le géométral, et le point de l'espace se trouve sur la droite 0| M' et sur la verticale élevée du point mi, par conséquent au point ni\ .

Prenons une seconde position de l'œil; plaçons-le au point Of Le point M se trouve restitué au point /w,, point de rencontre de OjM avec le géométral. Nous pouvons remarquer tout de suite

que la droite mi m^ passe par le point R, qui est le point de rencontre de la ligne 0| Ot avec le géométral prolongé. Le point M' pour la position Oj de l'œil est restitué en m.^ sur la verticale m, et sur le rayon visuel 0,M'.

La droite m\ni'^ étant la droite d'intersection du plan vertical mi 7722 qui contient le point R et du plan M'O^ Oj qui contient aussi ce point, cette droite passe par le point R. Nous pouvons alors faire la remarque suivante : Les deux restitutions d'un même point de l'espace sont sur des droites convergentes en un même point.

Prenons une droite. La perspective de la projection de cette droite

Fig. 64.

est MN; la perspective de la droite elle-même estM'N'. En prenant le point N sur la ligne de terre, on a un point qui est à lui-même sa restitution 5 de même pour le point N' : le point N', étant sur le tableau, est toujours restitué en N', quelle que soit la position de l'œil. La droite M'N' est toujours restituée suivant une droite, parce que la restitution de sa projection sur le géométral est d'abord une droite et que la restitution dans l'espace est l'intersection du plan vertical mené par cette droite et du plan perspectif. Dès lors, la droite M'N' est restituée en m', N' pour la première position de l'œil et en m\J^^ pour la seconde position de l'œil, et l'on voit que les deux restitutions d'une même droite sont deux droites qui se coupent sur le plan du tableau.

Puisqu'une droite est restituée suivant une droite, un plan est restitué suivant un plan, et, la trace d'un plan sur le tableau étant une droite qui ne change pas avec la position de l'œil, on voit que deux plans restitués d'un même plan se coupent sui\>ant une

droite du tableau. En résumé, pour les figures du géométral, les points correspondant à un même point sont sur des droites convergentes; les droites restituées d'une même droite se coupent sur la ligne de terre; donc deux restitutions de la perspective d^ une figure du géométral sont deux figures homologiques. Le centre d'homologie est le point R; l'axe d'homologie est la ligne de terre.

Pour les figures de l'espace, les points correspondants sont sur des droites qui passent par le point R, les droites restituées d'une même droite se coupent sur le plan du tableau, les plans euxmêmes se coupent suivant des droites du tableau. Les deux restitutions sont alors ce qu'on appelle des figures homologiques dans r espace.

Ces restitutions jouissent des propriétés de figures homologiques. Nous ne nous occuperons pas de ces propriétés; mais on peut remarquer, par exemple, que, si l'une des figures est inscrite dans un cône, la figure homologique est inscrite dans le même cône.

L'ensemble des remarques que nous venons de faire nous donne la nature des variations produites dans les restitutions.

Lorsqu'on se place devant un tableau et que, partant d'une première position, on marche vers la gauche de la position qu'on occupe, les restitutions des points semblent s'avancer vers la droite, et les droites et les plans paraissent tourner. Les figures de front restent des figures de front. Les horizontales restent des horizontales si l'œil reste toujours dans le plan d'horizon; mais, si l'œil sort du plan d'horizon, les horizontales s'inclinent et les rapports des segments, mesurés sur ces droites, se trouvent changés. 11 est donc important, lorsqu'on examine un tableau, de placer l'œil dans le plan d'horizon. C'est pourquoi, lorsqu'un tableau est à une certaine hauteur au-dessus du spectateur, on l'incline de façon que l'œil de ce spectateur puisse se placer dans le plan d'horizon du tableau.

Puisqu'une droite se trouve restituée suivant une droite, quand elle passe une fois par l'œil du spectateur, elle y passe toujours. On comprend pourquoi, lorsque sur le tableau une droite est représentée par un seul point, elle paraît constamment se diriger vers la personne qui regarde le tableau.

Puisque les droites sont restituées suivant des droites, les plans suivant des plans, les ombres sont toujours exactes, quelle que soit

EFFETS DE PERSPECTIVE. IO9

la position de l'œil devant le tableau. Du reste, on peut remarquer, en se reportant aux constructions qui ont été faites pour la recherche des ombres, que les points de distance n'ont pas été employés.

Les modifications les plus profondes qui proviennent des restitutions sont relatives aux surfaces courbes.

Une sphère est représentée par une circonférence de cercle, si la droite qui joint Tœll à son centre est perpendiculaire au plan du tableau. Si Ton ne se place pas exactement dans la position où cette sphère a été déterminée en perspective, la restitution ne se fera plus suivant une sphère : elle se fera suivant une surface homologique d'une sphère.

Des colonnes équidistantes et de même diamètre devraient être représentées entre des droites parallèles distantes Tune de l'autre d'intervalles différents. Il en résulterait alors que, suivant la position de l'œil, la restitution ne se ferait pas suivant des colonnes de dimensions égales. Pour éviter ces restitutions inexactes, les peintres, suivant leur expression, trichent; ils ne font pas une perspective exacte, afin de permettre au spectateur d'opérer une restitution aussi approchée que possible.

Choix du point de vue. — La hauteur de l'œil au-dessus du sol dépend de la plus ou moins grande étendue qu'on veut apercevoir. Le point principal de fuite est à peu près au milieu de la ligne d'horizon; quelquefois on le déplace un peu en le portant vers le point où l'on veut attirer l'attention du spectateur. La distance, comme nous Tavons déjà dit, est variable; elle est comprise entre une fois la largeur du tableau et trois fois cette largeur.

Les petites distances ont l'inconvénient d'altérer beaucoup les contours apparents des surfaces courbes qui sont placées près du cadre du tableau, et alors les restitutions ne sont pas exactes si Fœii n'est pas à la position qu'il doit occuper.

Les grandes distances ont l'inconvénient de réduire les lignes fuyantes.

11 y a donc lieu, lorsqu'on veut établir une perspective, de faire des essais pour donner à l'œil la position qui convient le mieux selon l'objet que l'on doit représenter.

PREUIÉRE PARTIB. — DIXIÈME LEÇON.