DIXIÈME LEÇON

PERSPECTIVE CAVALIÈRE

Oénnitions: ligne fuyante, projetante. — Angle d'une projetante avec le tableau. — Amener un plan à être de front. — Perspective d'une perpendiculaire à un plan, d*uoc circonférence horizontale, d'une surface conique, d'une surface cylindrique, d'une sphère.

ScrPL£MB?iT : Construire les axes d'une ellipse dont on donne deux diamètres

conjugués.

Définitions : ligne fuyante, projetante. — La perspective cavalière d'un objet est la projection oblique de cet objet sur un plan de front.

Nous allons faire dériver la perspective cavalière de la perspective conique, en supposant que Tœil du spectateur s'éloigne indéfiniment sur un rayon visuel.

Reprenons la figure à laquelle nous sommes arrivés lorsque nous

Fig. 65.

avons déterminé la perspective d'un point, le géométral et le tableau étant à la même échelle. Soit P (^fig* 65) le point principal de fuite ^ CM est alors la perspective d'une perpendiculaire au tableau; CE est égal à l'éloignement du point M.

Supposons que l'œil s'élève à l'infini sur le rayon visuel qui passe par le point M; le point P s'élève alors à l'infini sur la droite MP, en même temps que le point D, et la ligne d'horizon s'élève en res-

PEnSPECTIVB GAVALlèRB. 111

tant parallèle à elle-même. Lorsque Tœil est à Finfini, les droites qui se dirigeaient vers les points P et D sont devenues des droites parallèles, Tune à la direction MP, l'autre à la direction MD, et alors, pour un point N, on a une parallèle NC et une parallèle NE' à ces droites; CE' est l'éloignement du point N.

Pour déterminer la perspective d'un point tel que N, nous avons besoin de connaître la direction de la ligne d'horizon ou d'une verticale, la direction d'une droite telle que C'N et la direction d'une droite lelle que NE'.

La droite C'N, qui est la perspective d'une perpendiculaire au plan du tableau, prend le nom de ligne fuyante. Au lieu d'indi-

NC quer la direction NE', on donne le rapport -^r^i^ qu'on appelle rapport de réduction; c'est le rapport qui existe entre la longueur qu'il faut porter sur la ligne fuyante, pour avoir la perspective du point, et l'éloignement de ce point dans l'espace.

Le rayon visuel prend le nom de projetante; toutes les projetantes sont des droites parallèles entre elles, et chacune d'elles n'a

Fig. 66.

pour perspective qu'un seul point. Ainsi, N représente la perspective de tous les points de la projetante qui passe par ce point.

En élevant l'œil jusqu'à l'infini, on le place nécessairement audessus de tous les objets à représenter; les figures qu'on obtient alors sont les figures d'objets vus en dessus. Ainsi, en prenant pour ligne fuyante une ligne ayant une direction telle que C'N, le point N étant plus éloigné du spectateur que le point C, le résultat de la perspective est alors une figure vue en dessus. Si, au contraire, on prend une ligne fuyante ayant la direction 1-2 ou la direction 3-4) ^^ obtient une figure représentant les objets comme s'ils étaient vus en dessous.

Par exemple, en prenant pour ligne fuyante la direction C'N, un

cube dont une face est de front est représenté comme on le voit fig. 66, et l'on aperçoit la face du cube qui est à la partie supérieure. Si l'on prend comme ligne fuyante la direction i-a, la perspective du cube est donnée par \2ifig, 67, et l'on aperçoit la face inférieure du cube.

La perspective cavalière d'un objet n'est pas modifiée quand on transporte le tableau parallèlement à lui-même; aussi on ne fixe pas sa position. On le suppose placé devant les objets dont on cherche la perspective.

Fig. 67.

Angle d'ime projetante avec le tableau. — Reprenons {fig^ &^) un cube dont une face est de front. Le point de l'espace dont la perspective est G est à l'extrémité du côté du cube partant de B et perpendiculaire à ABEG. Ge côté a pour perspective la droite BC. Gette droite représente aussi la perspective d'une ligne quelconque du plan projetant le côté du cube; elle peut être considérée comme la perspective de la trace de ce plan projetant sur le plan de front ABEG. Faisons tourner ce plan projetant autour de cette trace pour l'amener à être de front. Après la rotation, le côté du cube partant de B et perpendiculaire au tableau a pour perspective le segment BG|, perpendiculaire à BG et égal à AB. La projetante qui passe par le point G est alors rabattue en GCi, et Tangle BGGi est l'angle demandé.

Amener un plan à être de front. — Nous ne reprendrons pas les problèmes élémentaires que nous avons résolus dans la perspective conique. Les solutions en perspective cavalière sont très simples; ainsi, par exemple, si l'on demande de partager un segment de droite en parties proportionnelles à des segments donnés, on effectue sur la perspective cette division en parties proportionnelle5, puisque les projetantes sont des droites parallèles entre elles. Nous traiterons seulement le problème :

Amener un plan à être de front.

PERSPECTIVE CAVALIERE

Il3

Le plan est donné {fig^ 68) par les deux droites M'C, M'E', dont les projections sur un plan horizontal sontMG, ME. On donne aussi la direction Mm des lignes fuyantes et le rapport de réduction qui est ^.

Perpendiculairement à CC menons CE, cette droite est une horizontale de front du plan CME, elle est la projection de la droite de front CE' du plan donné. Appelons xy cette droite de front. C'est autour de xy que nous allons faire tourner le plan C'M'E' pour l'amener à être de front. Pendant la rotation, le point M' dé-

Fig. 68.

crit un arc de cercle dont le centre est le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur xy. Pour avoir ce point, projetons M' en m! sur le plan de front avK, au moyen de M' m' menée parallèlement aux lignes fuyantes. Le point m' est à la rencontre de cette droite et de la verticale mni! , Dans le plan de front xy^ on mène m'[JL de façon que l'angle ni! ^YJ soit droit. Le point [x est alors le pied de la perpendiculaire M' |JL à xy.

Lorsque le plan donné a tourné de manière à être amené de front, ;jlM' vient sur la perpendiculaire m'jx prolongée, à une distance du ])oint |JL égale à la longueur M'|jl. Cherchons la longueur de ce segment de droite; faisons tourner le plan du triangle M' m' jx autour de la droite de front m' [x jusqu'à ce qu'il soit de front. Après la rotation, le côté M' m' vient sur la perpendiculaire élevée en m' à la «iroite m'ix; le point M' vient en M'', ce point M" étant tel que

]l4 PREMIÈRE PARTIE. — DIXIÈME LEÇON.

]\F/n':= aM'/n'. En joignant le point M" au point }jl, on a une droite dont la longueur est égale à la longueur de M'[jl; il suffît alors de porter [xM'' depuis le point [x jusqu'au point M|, et Ton a au point M, le relèvement du point M,

La droite M'M , est la corde de Parc décrit par le point M'. Connaissant la droite M'M^ et la droite M'[jl, il est facile de relever un autre point du plan. Soit N' un point à relever. De ce point abaissons une perpendiculaire sur la charnière 5 nous n'avons, pour cela, qu'à mener une parallèle N'v à M'[x. Au point v élevons une perpendiculaire à la charnière, et menons du point N' une parallèle à la corde M'M| \ cette droite rencontre au point N| la perpendiculaire menée du point v : N| est le relèvement du point N.

Si l'angle de MM^ avec M i [jl est trop aigu, le point N| est graphiquement difficile à déterminer exactement. On emploie alors un triangle semblable à un triangle tel que M'E'Mj, comme on le voit sur la figure.

Par une construction inverse de celle qui donne le relèvement du point N| , on revient d'un point relevé à la perspective de ce point quand le plan est ramené dans sa position.

Perpendiculaire à nn plan. — -Si l'on demande la perpendiculaire au plan élevée du point M', on mène au point M'' une perpendiculaire à la droite M"|jl, on prend le point /où cette perpendiculaire rencontre m'[JL : îl suffit alors de mener la droite IM\

Perspective d'une circonférence horizontale. — Faisons tourner le plan de cette circonférence autour du diamètre de front donné AB (Jig' 69) pour amener son plan à être de front. Après la rotation, cette courbe a pour perspective une circonférence décrite sur AB comme diamètre. Nous devons maintenant ramener les points de cette circonférence pour avoir l'ellipse perspective cherchée.

Prenons un point M| sur cette circonférence ; abaissons de ce point une perpendiculaire M| m sur le diamètre de front AB. Lorsque le plan de front est amené à être horizontal, la droite /nM| devient perpendiculaire au tableau ; sa perspective est alors la parallèle aux lignes fuyantes menée par le point m, et, si nous supposons que le rapport de réduction est |^, nous devons porter à partir du point m, sur cette parallèle aux lignes fuyantes, un segment m M

PERSPECTIVE CAVALIÈRE. Tl5

égal à •* • En ramenant ainsi des points de la circonférence, nous

avons des points de la perspective demandée.

Lorsqu'on amène le plan de front à être horizontal, les points de la circonférence décrivent des arcs dont les cordes sont parallèles à MM|. On a alors le point C, qui correspond au point C|, en construisant le triangle C» OC semblable au triangle M i /nM. Ceci est vrai pour un point quelconque de la circonférence.

Pour avoir la tangente au point M, nous n'avons qu^à prendre la tangente au point M i et chercher ce que devient cette droite, en-

Fig. 69.

traînée en même temps que le plan de la circonférence. Le point T, où cette tangente rencontre la charnière AB, ne change pas de position ; la tangente à l'ellipse au point M est donc la ligne MT.

Il résulte de cette construction que pour le point C qui correspond au point C^, situé à l'extrémité du diamètre perpendiculaire àÂB, on a une tangente parallèle à AB. Nous voyons ainsi que OC et OB sont deux demi-diamètres conjugués de la perspective de la circonférence. On arrive aussi à ce résultat en remarquant que les tangentes en A et B à cette perspective sont parallèles à OC, puisqu'elles proviennent des tangentes au cercle qui sont perpendiculaires à AB.

Nous pouvons déterminer autant de points que nous voudrons de la perspective et les tangentes en ces points, et par suite tracer facilement cette perspective.

Construire les axes de V ellipse perspective de la circonférence

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — DIXIÈME LEÇON.

horizontale, connaissant les deux diamètres conjugués CC\ AB. — Menons parallèlement à la corde M|M une tangente à la circonférence décrite sur AB. Quand on ramène le plan de front à être horizontal, la droite qui correspond à cette tangente coïncide avec cette tangente elle-même, puisque le point de contact vient sur cette droite, qui a été menée parallèlement à la direction de la corde M, M, et que le point où elle coupe AB ne change pas de position : cette tangente particulière est donc tangente à l'ellipse perspective de la circonférence.

Nous ayons fait correspondre le point C au point C| , en supposant la rotation du plan de front autour de AB faite dans un certain sens ; mais, si nous supposons que le plan de front tourne autour de AB dans l'autre sens, nous pouvons faire correspondre le point C au point C\ , et, en répétant ce que nous venons de dire, nous voyons qu'une tangente à la circonférence de front menée parallèlement à la droite C'^ C est tangente à l'ellipse perspective de la circonférence. Nous avons donc deux droites qui sont des tangentes communes à une ellipse et à une circonférence concentriques. Maïs les tangentes communes à une ellipse et à une circonférence concentriques sont également inclinées sur les axes de l'ellipse; nous voyons donc que les axes demandés sont parallèles aux bissectrices des angles formés par les droites €< C et CC'^ . Ainsi, si l'on donne les droites OB et OC, en élevant au point O une perpendiculaire à OB et en portant sur cette droite des segments égaux à OB, on obtient les points C^ et G', , et les bissectrices des angles formés par les droites CC| et CC^ sont parallèles aux axes.

Nous pourrions dire que l'axe de l'ellipse perspective de la circonférence est dirigé suivant OD, le point D étant le point de rencontre des tangentes à la circonférence menées parallèlement à CG'j et àC|C^ puis, au moyen du relèvement de OD, nous pourrions construire le point de la perspective situé sur cette droite OD. Nous aurions alors l'extrémité de l'un des axes. Nous allons suivre une autre marche qui va nous conduire à une construction élégante des axes en grandeurs et en directions.

Prenons une nouvelle figure (Jig» 70) en conservant les notations précédentes. Du point C abaissons sur OC» la perpendiculaire C/ et du point M abaissons sur M^ m la perpendiculaire M p. Prolongeons cette dernière droite jusqu'au point q 011 elle ren-

PERSPECTIVE CAVALIERE. II7

contre OM,. On a

Ci^ Mip Mxç G,0 ~ Mim ~ MiO'

Il r<$sulte de là que M| y = C| /. Faisons maintenant tourner le rayon 0M< et le triangle ^rMMi autour de O jusqu'à ce que M| vienne en C^ : le point M vient en M' et 0M'= OM. L'angle C|M7 est égal à l'angle M|My et par suite est égal à l'angle C|C/. Les quatre points C|/CM' sont alors sur une circonférence de cercle et l'on voit que celte circonférence a pour diamètre C| C. Ainsi, les

Fig. 70.

Ar

smi

points tels que M' appartiennent à la circonférence décrite sur iZ^C comme diamètre.

On peut dire qu'à chacun des points de l'ellipse correspond un point de cette circonférence et que les distances du point O à deux points correspondants sont égales.

Le demi grand axe de l'ellipse, demi-diamètre maximum de cette courbe, est alors égal à la distance du point O au point de la circonférence CM'Cj le plus éloigné de O. Ce dernier point est en a à l'extrémité du diamètre Oia de cette circonférence. Ainsi : oa est égal au demi grand axe de V ellipse.

De la même manière on voit que : ob est égal au demi petit axe de cette courbe.

Le point i étant le milieu de C|C, la droite Oi est parallèle à C',G. Les axes de l'ellipse sont alors parallèles à G| 6, Ci a, qui sont également inclinées sur C| i et sur Oi.

ii8

En définitive, on arrive à la construction suivante ; Du point O on mène une parallèle à C',C. Sur cette droite, et à partir du point i où elle rencontre C|C, on porte ia = ib = iC : les droites C|è, da donnent les directions des axes de Tellipse et les segments Oa, 06 sont égaux aux demi-axes de cette courbe (').

On peut employer la droite CC| et terminer les tracés ainsi, après avoir construit C| et C|. Du point O on mène Ot' parallèlement à C|C; cette droite rencontre CC, en H. A partir de ce point et sur cette droite, on prend des segments égaux à i^Cf ; on a ainsi a' et 6' : Oa' et Oi' sont les longueurs des demi-axes de l'ellipse; C\ a', C\ V sont les directions de ces axes.

Perspective d'une surface conique. — On demande la tangente à la perspective de lacirconférence qui pa^se par un point donné\. — Cherchons le relèvement du point I (^^. 71 ), considéré comme

Fig. 71.

un point du plan de la circonférence horizontale. Parle point I menons la droite If parallèlement aux lignes fuyantes ; élevonsau point i ime perpendiculaire au diamètre de front AB et par le pointi traçons une parallèle à la corde MM i : nous obtenons au point I| le relèvement de I. En menant par le point I| une tangente à la circonférence relevée, nous avons le relèvement de la tangente demandée. et en prenant le point V, où cette tangente rencontre AB, nous avons un point qui ne change pas quand on la ramène; par conséquent, la tangente demandée est la droite IV.

(') Voir le Supplément à cette Leçon.

PERSPECTIVE CAVALIERE. II9

Ce tracé donne la solution du problème suivant : Construire les lignes de contour apparent d'une sur/ace conique dont la base est une circonférence horizontale et dont le sommet est donné.

Perspective d'une surface cylindrique.— On demande la tangente à V ellipse qui est parallèle à une droite donnée, par exemple, parallèle à une perpendiculaire à AB. Ce problème donne la solution de celui-ci : Déterminer le contour apparent d\in cylindre vertical qui a pour base la circonférence donnée.

Du point M {fig. 71) menons une droite MQ faisant un angle droit avec AB, et considérons cette droite comme tracée sur le plan de la circonférence horizontale. En relevant le plan de cette circonférence, cette droite MQ se relève en M|Q; il suffit maintenant de mener une tangente à la circonférence parallèlement à M|Q et de ramener cette tangente sur le plan horizontal. Pour cela on prend le point U, où elle rencontre AB : on a un point qui ne change pas pendant la rotation, et alors la tangente demandée est la perpendiculaire menée du point U à la droite AB.

Perspective d'une sphère. — La perspective cavalière d'une sphère est la trace, sur le plan du tableau, du cylindre circonscrit à cette sphère, dont les génératrices sont parallèles aux projetantes.

Puisque ce cylindre a ses génératrices parallèles aux projetantes, sa trace sur le plan du tableau est la perspective de toute ligne tracée sur sa surface. On est ainsi amené à chercher la perspective d'une ligne tracée sur ce cylindre. Prenons la ligne qui est dans le plan de front qui passe par le centre de la sphère, et cherchons à la construire.

Sur ce plan de front on a le grand cercle de front de la sphère donnée, dont le centre est au point O {fig. 72). Coupons la sphère par un plan perpendiculaire au tableau et parallèle aux projetantes. La trace de ce plan sur le plan de front qui passe par le centre O est une parallèle aux lignes fuyantes. Ce plan coupe la sphère suivant un petit cercle qui a pour diamètre la corde ab^ que le grand cercle de front de la sphère détermine sur la trace du plan sécant. Ce plan sécant coupe le cylindre circonscrit suivant des tangentes à ce petit cercle. Pour déterminer ces droites, amenons le plan de ce petit cercle à coïncider avec le plan de front qui contient ab.

lao PREMIERE PARTIE. — DIXIEME LEÇON.

Après la rotation, ce petit cercle a pour perspective la circonférence décrite sur ab comme diamètre et les tangentes à ce petit cercle, parallèles aux projetantes, sont maintenant des tangentes à ce petit cercle parallèles au rabattement de la projetante. Pour déterminer cette direction, reproduisons la construction indiquée page 1 1 1 pour obtenir l'angle d'une projetante avec le tableau. Considérons le rayon de la sphère perpendiculaire au tableau dont

Fig. 72.

la perspective est OF; le plan, qui contient ce rayon et la projetante passant par son extrémité, après avoir tourné dans le même sens que le petit cercle, donne pour le rabattement de ce rayon la droite OC, et pour la projetante la droite FC. C'est donc parallèlement à FC que nous devons mener des tangentes au petit cercle. Ces tangentes rencontrent la droite ab aux points M et M', et, lorsque nous replaçons le plan du petit cercle dans la situation qu'il doit avoir, ces points M et M' ne changent pas; ils représentent alors les perspectives des tangentes relevées. Les points M et M' appartiennent donc à la perspective de la sphère.

Nous n'avons qu'à prendre d'autres plans sécants analogues à celui que nous venons d'employer, et nous obtiendrons ainsi autant de points que nous voudrons de la perspective de la sphère.

On retrouve, par cette construction, que cette perspective est une ellipse. Appelons, en effet, L le point de contact de la tangente LM au petit cercle et I le centre de ce petit cercle. Pour un point quelconque de la ligne de contour apparent de la sphère, nous avons une tangente analogue à ML, parallèle à cette droite, et un

PERSPECTIVE CAVALIERB. 121

rayon analogue au rayon IL, qui est perpendiculaire à cette tangente. Nous avons donc toujours des triangles semblables au triangle IML.

Le rapport -^ est constant, quelle que soit la position du point M

sur la perspective de la sphère. Mais IL = 16, comme rayons d'ui^e

circonférence ; on voit ainsi que le pointMest un point de l'ordonnée

du grand cercle de front, qu'on a augmenté de façon à avoir tou-

IM jours le rapport constant jr • Le lieu des points tels que M est

une ellipse dont l'un des axes est parallèle à la direction des lignes fuyantes, et dont l'autre axe est perpendiculaire à cette direction. Les points G et C, situés aux extrémités du diamètre perpendiculaire aux lignes fuyantes, sont des sommets de cette ellipse; les autres sommets sont sur le diamètre parallèle aux lignes fuyantes, aux points E et E', où ce diamètre est rencontré par les tangentes au grand cercle de front menées parallèlement à FG.