SUPPLÉMENT A LA DIXIÈME LEÇON

Construire les axes d'une ellipse connaissant les deux demi-diamètres conjugués OB, OC {fig- 73).

Conservons les notations employées pour exposer la solution de la page ii6. Le point }x est un sommet de l'ellipse, si la tangente \>.t en ce point à la courbe est perpendiculaire à 0(jl. Soit p-i le relèvement de {JL, la droite \x.^t étant la tangente à la circonférence relevée, Tangle 0\x.^t est droit aussi.

Afîn de déterminer p., construisons une figure semblable à 0\i.i\>.t qui est telle que la circonférence décrite sur O^ comme diamètre passe par les points [x et (Aj. Pour cela, du point /, milieu de CCi, élevons une perpendiculaire à cette droite. Cette perpendiculaire rencontre OB en un point qui est le centre de la circonférence circonscrite au triangle CjCC, . Soient O' et t' les points où cette circonférence rencontre OB. Le quadrilatère O'CiC^' est semblable au quadrilatère 0(jli[jl/; il résulte de là que Oji. est parallèle à O'C, c'est-à-dire à la bissectrice de l'angle CiCC'|.

On retrouve ainsi que les axes de V ellipse sont parallèles aux bissectrices des angles formés par les droites CCj,CC\.

laa PREMIÈRE PARTIE. — DIXIÈME LEÇON.

Un a

O'Ci O'G

O'Gi O'G

"Oi., -Oix °"

UGi ~ 0[x

'ou

Ofi = O'G cosO'GiO = O'G cosO'GG'i.

Projetons orthogonalement O' en ç sur CC'i, on a alors Cv=^0\l; de même pour l'autre axe. Ainsi les demi-cuves de V ellipse sont égaux aux projections^ de CO' et de Cl' sur CC, .

Fig. 73.

Menons la droite Oi, appelons a le point où elle rencontre ^C. La droite Ci a est parallèle à O'G. Les droites aC,, aC, obtenues comme nous l'avons vu dans la dixième Leçon, donnent donc les directions des axes de l'ellipse.

Les points O'CiCCi sont sur une même circonférence de cercle- Les pieds M, O, V des perpendiculaires abaissées dà O' sur les côtés du triangle CjCC', sont alors en ligne droite; mais O' est sur la bissectrice O'G de l'angle mGp; donc la droite uO v est perpendiculaire à O'G, et, par suite, elle est parallèle à Ca, On a donc Oa = Cv. Le segment Oa est, par suite, égal au demi-axe 0\i., On démontre de même que Ob est égal à l'autre demi-axe. On retrouve ainsi la construction donnée dans la dixième Leçon (*).

(') Voir The Messenger 0/ Mat hématies, vol. XI, p. 175.

PERSPECTIVE CAVALIÈRE. 123

ONZIÈME LEÇON

PERSPECTIVE CAVALIÈRE (fin).

Conséquences déduites de la perspective d'une sphère. — Ombre d'une sphère. Ombre dans une demi-sphère.

Conséqaences déduites de la perspective d'une sphère. — Reprenons la perspective cavalière d'une sphère pour arriver à quelques conséquences.

Du point O {^fig^ 74 )i menons une parallèle aux lignes fuyantes,

Fig. 74.

et portons sur cette droite, à partir de ce point O, la longueur réduite du rayon, nous obtenons en F et F' les perspectives des extrémités du diamètre perpendiculaire au plan du tableau. Le diamètre AB, tracé sur le plan de front qui contient O, perpendiculairement à la ligne fuyante, est terminé aux points A et B, qui sont deux des sommets de la perspective de la sphère.

Joignons le point F au point B, et menons au grand cercle de front des tangentes parallèles à FB; ces droites rencontrent la parallèle à la ligne fuyante, menée par le point O, aux points C, E, qui sont les deux autres sommets de l'ellipse perspective de la sphère. Traçons cette ellipse.

Par le centre O de la sphère, menons un plan horizontal. La trace de ce plan sur Je plan de front qui passe par le point O est la droite DG ; la section faite dans la sphère par ce plan horizontal est un grand cercle dont la perspective passe par les points D el G et a pour tangentes en ces points des parallèles aux lignes fuyantes. Celte perspective passe par les points F et F' et a pour tangentes en ces points des parallèles à la droite DG. Cette courbe est doublement tangente à la perspective de la sphère.

Si Ton coupe la sphère par un plan de front, la trace de ce plan sur le plan diamétral horizontal est la droite MN et la section faite dans la sphère par le plan de front est un petit cercle qui a MN pour diamètre. Le plan de front MN rencontre, suivant une droite, le plan de la ligne de contact de la sphère et du cylindre projetant circonscrit à cette sphère; les points où cette droite rencontre la ligne de contact de la sphère et de ce cylindre projetant ont pour perspectives les deux points où ce petit cercle de front touche la perspective de la sphère.

Ainsi, le petit cercle décrit sur MN comme diamètre est doublement tangent à l'ellipse perspective cavalière de la sphère. Ce double contact est réel ou imaginaire, et, d'après ce que nous venons de dire, la corde commune à ce cercle et à l'ellipse perspective de la sphère est la droite réelle, intersection du plan de front MN et du plan de la courbe de contact de la sphère et du cylindre projetant qui lui est circonscrit.

Si nous prenons une corde parallèle à MN, telle que M'N', le plan de front qui passe par cette droite coupe la sphère suivant le petit cercle décrit sur M'N' comme diamètre; ce petit cercle est doublement tangent à l'ellipse qui représente la perspective cavalière de la sphère. Mais, dans les circonstances où nous nous plaçons sur la figure, le double contact est imaginaire.

Si nous continuons à déplacer le plan de front tel que M'N', nous arrivons à un plan de front qui touche la sphère au point F', extrémité du diamètre perpendiculaire au plan de front; nous sommes ainsi conduits à considérer le point F' comme un cercle évanouissant doublement tangent à l'ellipse perspective cavalière de la sphère, et nous pouvons dire alors que le point F' est un foyer de cette courbe. Il en est de même du point F, symétriquement placé par rapport au point O.

PERSPECTIVE CAVALIÈRE. 125

Nous pouvons arriver autrement à ce résultat. Nous avons dans Fespace une sphère et un cylindre qui lui est circonscrit; nous menons un plan tangent à celte sphère parallèlement au plan du tableau. La section faite dans le cylindre par ce plan, en vertu d^un théorème connu, dû à Dandelin, a pour foyer le point de contact du plan et de la sphère; la section faite dans le cylindre est une courbe de front qui a pour perspective une ligne qui lui est égale et qui est l'ellipse perspective cavalière de la sphère. Quant au point de contact, il est en F' : donc le point F' est le foyer de r ellipse perspective cas?alière de la sphère.

Enfin, on peut voir tout de suite sur la figure que le point F est un foyer de Fellipse perspective de la sphère. Nous avons mené au grand cercle de front la tangente LC parallèlement à FB pour avoir le sommet C de cette courbe. Il résulte de cette construction que les triangles OBF, LOG sont égaux entre eux; le côté OB est égal au côté OL, l'angle en C est égal à l'angle en F, et les triangles sont rectangles, l'un en L, l'autre en O; on a alors BF = OC. Le point F peut donc être considéré comme déterminé par la rencontre du grand axe avec une circonférence ayant pour centre l'extrémité B du petit axe et pour rayon le demi grand axe : le point F est donc le foyer de V ellipse perspecti{^e cavalière de la sphère.

La figure à laquelle nous sommes conduits nous donne deux théorèmes qu'il suffit d'énoncer :

I® Etant donnée une ellipse, on mène des cordes parallèles entre elles, et sur ces cordes comme diamètres on décrit des circonférences de cercle : toutes ces circonférences sont doublement tangentes à une ellipse qui a pour foyers les extrémités du diamètre conjugué des cordes considérées,

2*" Étant donnée une ellipse, on mène des circonférences doublement tangentes à cette courbe, et l'on prend pour chacune de ces circonférences un diamètre parallèle à une droite donnée : le lieu des extrémités de ces diamètres est une ellipse qui passe par les foyers de l^ ellipse donnée.

Comme cas particulier, nous pouvons considérer les diamètres de ces circonférences qui sont menés perpendiculairement au grand axe de l'ellipse donnée, et nous voyons alors que, si l'on redresse les normales d'une ellipse perpendiculairement au grand axe

de cette courbe, le lieu des extrémités des normales redressées est une ellipse qui a pour sommets les foyers de V ellipse donnée: les deux autres sommets sont aux extrémités du petit axe de l'ellipse donnée. Ce dernier théorème nous sera utile plus tard.

Ombre d'ane sphère. — Proposons-nous de déterminer ta ligne d'ombre propre et la ligne d'ombre portée d'une sphère qui repose sur un plan horizontal.

Nous nous donnons la direction du rayon lumineux par sa perspective et par la perspective de sa projection sur un plan horizontal. OR {fig' 75) est la perspective du rayon lumineux, Or la

perspective de la projection de ce rayon lumineux sur un plan horizontal, et alors Or' est la perspective de la projection de ce rayon lumineux sur le plan de front, dont la trace sur le plan horizontal est O^.

Nous avons besoin de connaître la direction du rayon lumineux lorsque le plan qui projette ce rayon sur un plan de front est amené à être de front. Pour déterminer cette direction, faisons tourner le triangle Or'R autour de la droite O/; après la rotation, le côté Rr' est pei'pendiculaire à Or', le point R vient sur celte droile au point Ri, qui est tel que R, 7^= 2 .Rr', si le rapport de réduction est{. Après le relèvement, le rayon lumineux est donc dirige suivant 0R|.

Par le centre de la sphère donnée, menons un plan de front. Ce plan coupe la sphère suivant un grand cercle de front et le plan horizontal, sur lequel repose cette sphère, suivant une horizontale tangente à ce grand cercle de front. Traçons l'ellipse perspective

PERSPECTIVE CAVALIÈRE. iny

cavalière de la sphère comme nous l'avons expliqué précédemment.

Pour déterminer la ligne d'ombre sur la sphère et l'ombre portée par cette surface sur le plan horizontal, employons la méthode des plans sécants. Coupons la sphère et le plan horizontal par des plans auxiliaires perpendiculaires au tableau et parallèles au rayon lumineux, par conséquent par des plans parallèles au plan du triangle ORr' de \difig, ^5. 0/ est une droite de front du plan de ce triangle; l'un de ces plans auxiliaires a donc pour trace, sur le plan de front qui passe par le centre G de la sphère, une droite parallèle à Or'. Soit abd {fig^ 76) la trace d'un plan auxiliaire sur

le plan de front qui contient le centre de la sphère. La trace de ce plan sur le plan horizontal est une perpendiculaire au tableau : la perspective de cette trace est donc la parallèle aux lignes fuyantes menée du point rf. Faisons tourner ce plan auxiliaire autour de sa trace abd\ le petit cercle, intersection de la sphère par ce plan, se relève, sur le plan de front qui passe par le centre G, suivant une circonférence décrite sur ah comme diamètre. La trace du plan auxiliaire et du plan horizontal vient se relever suivant la perpendiculaire menée du point 6f à la trace ad.

Dans ce plan auxiliaire, il y a les rayons lumineux tangents à la sphère ; Tun d'eux vient se relever suivant une tangente à ce petit cercle menée parallèlement à 0R« de ^^Jig» y5. Appelons M| et N« le point de contact de cette tangente avec le petit cercle et le point

OÙ cette droite rencontre la perpendiculaire menée du point rf à la droite ad.

Ramenons maintenant le plan du petit cercle. Pour trouver ce que devient le point M| , abaissons de ce point une perpendiculaire M|/> surcrè; parle point/? menons une parallèle aux lignes fuyantes,

et portons sur cette droite une longueur/?M = - — ^ : le point M est

ce que devient le point M| . De même pour le point Ni ; ce point vient en N sur la droite Nrf trace du. plan auxiliaire, le point N

étant tel que Nrf= — î— . Comme vérification, la droite MN doit

être parallèle au rayon lumineux. Le point M a son ombre au point N.

En considérant une suite de plans sécants parallèles au plan auxiliaire que nous venons d'employer, nous aurons autant de points que nous voudrons de la ligne d'ombre propre et de la ligne d'ombre portée.

Parmi tous les plans auxiliaires, considérons celui qui a pour trace une tangente au grand cercle de front, la section faite dans la sphère par ce plan auxiliaire est réduite à un point et ce point fait partie de la ligne d'ombre propre. Ainsi, les extrémités du diamètre ÏU, du grand cercle de front, mené perpendiculairement à aè, appartiennent à la ligne d'ombre propre; en d'autres termes, ce diamètre est la trace du plan de la ligne d'ombre propre sur le j)lan de front qui passe par le centre de la sphère. D'après cela, lorsqu'on amène le plan de la courbe d'ombre propre à être de front en tournant autour de TU, la ligne d'ombre propre, après la rotation, se confond avec le grand cercle de front de la sphère.

La droite qui joint le point M au point /, où TU coupe aè, est perpendiculaire à TU; après la rotation, cette droite M/ vient en lb\ nous pouvons donc construire des points de la ligne d'ombre propre en faisant usage du grand cercle de front et de triangles semblables au triangle M/6.

Prenons, par exemple, un point V sur ce grand cercle, abaissons du point y une perpendiculaire VI' sur le diamètre TU, menons par le point /' une parallèle à /M, et par le point V une parallèle à M 6. Ces deux droites se rencontrent au point M', qui est un poinl de la ligne d'ombre propre. Cette ligne d'ombre propre, en perspective, est une ellipse qui passe par les points U, M', M, T; elle

PERSPECTIVE CAVALIÈRE

est doublement tangente à l'ellipse perspective cavalière de la sphère, et il est facile d'avoir ses points de contact avec cette ligne. Considérons pour cela le cylindre d'ombre. Ce cylindre a pour lignes de contour apparent les tangentes à la sphère menées parallèlement au rayon lumineux ; la ligne d'ombre propre est tangente à ces lignes de contour apparent, et les points de contact sont les points de contact des lignes de contour apparent du cylindre avec la ligne de contour apparent de la sphère.

La ligne d'ombre portée est aussi tangente à ces lignes de contour apparent du cylindre d'ombre.

Fig. 77-

Ombre dans une demi-sphère. — On demande V ombre dans V intérieur d\ine demi-sphère en perspective cavalière. Supposons tracée {fig» 77) la perspective cavalière de la demi-sphère. Le plan diamétral qui la limite est un plan horizontal.

Employons encore la méthode des plans sécants. Prenons des plans auxiliaires perpendiculaires au tableau et parallèles au rayon lumineux. La trace de l'un de ces plans sur le plan de front qui passe par le centre de la sphère est la droite ab menée parallèlement à Or'; ce plan auxiliaire coupe le plan diamétral horizontal qui limite la sphère suivant/? M parallèle aux lignes fuyantes. La section faite dans la sphère par ce plan est un petit cercle que nous amenons sur le plan de front qui passe par le centre de la sphère. Après la rotation, ce petit cercle a pour perspective la circonférence décrite sur ab comme diamètre. La droite /?M, entraînée pendant cette rotation, devient la perpendiculaire menée du point/>

l3o PREMIÈRE PARTIE. — ONZIEME LEÇON.

à la droite a6, et le point M vient au point M|, où cette perpendiculaire rencontre la circonférence décrite sur ab.

Nous avons amené ce petit cercle à droite de ab\ nous devons considérer le relèvement du rayon lumineux en faisant tourner de même le plan Or'R vers la droite de Or'. Après la rotation du plan Or'R, la droite r'R vient se placer perpendiculairement à Or, et le point R vient sur cette droite au point R/tel que r^Ri = ar'R, en supposant que le rapport de réduction soit^; le rayon lumineux est donc relevé maintenant en 0R«. Par le point Mi menons une parallèle à OR< ; cette droite rencontre la circonférence décrite sur ab en un point Ni , et le point Ni ramené en même temps que le plan auxiliaire devient l'ombre portée par le point M. Pour déterminer ce que devient le point Ni, abaissons de ce point une perpendiculaire Ni^r sur ab\ par le point q menons une parallèle aux lignes

fuyantes, et portons sur cette droite un segment ç^N = - — ^ : le point

N est l'ombre portée par le point M, et la droite MN, comme vérification, doit être parallèle au rayon lumineux OR.

On peut déterminer ainsi autant de points que l'on veut de la ligne d'ombre portée dans l'intérieur de la sphère, en considérant un certain nombre de plans sécants parallèles à celui que nous avons employé. Mais nous allons voir comment on peut construire cette courbe, connaissant le point N et la trace du plan de la courbe d'ombre sur le plan de front qui passe par le centre de la sphère.

Examinons la nature de la courbe d'ombre portée et sa situation sur la sphère. Projetons orthogonalement la demi-sphère sur un plan, perpendiculaire au plan diamétral qui la limite, et parallèle au rayon lumineux. La sphère se projette {fig* 78) suivant une demi-circonférence de cercle, le plan diamétral suivant un diamètre, et le rayon lumineux est parallèle au plan de projection. L'ombre dans l'intérieur de la sphère est l'intersection de cette surface avec le cylindre d'ombre du grand cercle qui limite la sphère. Nous avons là deux surfaces du second degré qui ont déjà un grand cercle comme ligne d'intersection; la partie restante est plane. Mais le plan de projection choisi est parallèle à un plan de symétrie des deux surfaces^ les points de la ligne d'intersection complète dans l'espace sont donc placés de façon à se projeter deux par deux

PERSPECTIVE CAVALIERE. j3l

«n un même point. La ligne d'intersection des deux surfaces, qui, dans l'espace, est une ligne du quatrième degré, se projette donc suivant une ligne du second degré.

Mais AB est la projection d'une partie de cette ligne; c'est une droite : donc la partie restante est aussi une droite. 11 est facile de la construire : le point A, extrémité du diamètre parallèle au plan <le projection, a pour ombre le point A', obtenu en menant AA' parallèlement au rayon lumineux ; la génératrice du cylindre qui passe par le point B est la droite BB'; A' et B' appartiennent à la projection de la ligne d'intersection. Donc la ligne d'intersection

Fig. 78.

Ah ^x- ^1

se projette suivant le diamètre B'A' et la ligne d'ombre se projette suivant le rayon CA'; on voit ainsi que la trace du plan de la ligne <l'ombre sur le plan diamétral AB, qui est ici une perpendiculaire au plan de projection, est perpendiculaire au rayon lumineux et perpendiculaire aussi à la projection du rayon lumineux sur le plan diamétral AB.

Revenons à la perspective cavalière (/ig- 77). Nous venons de dire que la trace du plan de la courbe d'ombre portée sur le plan diamétral qui limite la sphère est une perpendiculaire à la projection du rayon lumineux sur ce plan diamétral : cette projection du rayon lumineux est parallèle à Or. Nous pouvons déterminer la direction de cette perpendiculaire en amenant le plan rox à être de front, et en menant par le point C une parallèle à la droite ainsi déterminée. On obtient ainsi le diamètre EG qui passe par les points où Tellipse perspective du grand cercle horizontal a pour tangentes des droites parallèles à Or; EGest la ligne d'intersection du plan de la courbe d'ombre portée dans l'intérieur de la sphère avec le plan diamétral qui termine cette surface.

Cherchons la droite de front du plan de cette courbe d'ombre

l32 PREMIÈRE PARTIE. — ONZIÈME LEÇON.

portée, plan qui passe par EG et par le point N. Menons, pour cela, un plan de front par le point N. La trace de ce plan sur le plan auxiliaire employé est la parallèle NI kab menée du point N; N/ est alors une droite de front du plan auxiliaire. Cette parallèle rencontre M/? au point /; la trace du plan de front, dont nous nous occupons, sur le plan diamétral qui termine la demi-sphère passe par le point / et est parallèle à Gp ; cette ligne rencontre EG en un point ï, et la droite iN est la ligne de front du plan de la courbe d'ombre portée dans l'intérieur de la sphère. Du point C on mène une parallèle à la ligne zN, et l'on a la trace TU du plan de la courbe d'ombre portée sur le plan de front qui passe par le centre de la sphère. En tournant autour de cette trace, cette courbe d'ombre portée vient coïncider avec le grand cercle de front de la sphère, et Ton peut alors construire cette courbe par points en la faisant dériver de ce grand cercle de front.

La droite Ngr est perpendiculaire au plan de front qui passe par le centre de la sphère : abaissons du point q la droite gs perpendiculairement à TU et joignons le point s au point N, on a ainsi la perpendiculaire îis abaissée du point N sur TU. Lorsque le plan de la courbe d'ombre portée a tourné autour de TU, le point N vient, sur le grand cercle de front, au point N', où ce cercle est rencontré par la droite qs prolongée.

Pour avoir un autre point de la ligne d'ombre portée, on n'a qu'à prendre un point quelconque V du grand cercle de front; on abaisse de ce point une perpendiculaire sur TU, du pied de cette droite on trace une parallèle à la droite 5N; le point de rencontre V de cette droite avec la parallèle à NN', menée du point V, est un point de la ligne d'ombre portée.

On obtient ainsi autant de points que l'on veut; la courbe passe par les points G, V, N, E, et la partie vue de l'ombre est la partie couverte de hachures.

PERSPECTIVE AXONOHBTRIQOE.

DOUZIÈME LEÇON

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE.

ISOMÉTRIQUE.