PERSPECTIVE

Perspective axonométrique. — Définitions ; notions générales. — Construction des échelles. — Perspective isométrique. — Convention relative aux échelles. — Perspective de prismes. — Ellipse isométrique. — Rapporteur isométrique. — Sphère rencontrée par un prisme à base carrée.

Définitions ; notipns générales. — En Architecture, comme pour les Machines, on dislingue, sur les objets à représenter, des directions principales : ce sont, par exemple, pour un édifice, les arêtes verticales, les grandes arêtes horizontales d^une façade longitudinale et les grandes arêtes horizontales d'une façade latérale. Ces trois directions sont parallèles aux arêtes d'un trièdre trirectangle.

Supposons que l'on place l'objet à représenter de façon que ces directions soient obliques par rapport au plan sur lequel on projette la figure et qu'on fasse la projection orthogonale sur ce plan de la figure ainsi placée. Cette projection orthogonale est ce que l'on désigne sous le nom de perspective axonométrique.

Fi g. 80.

Le trièdre trirectangle dont les arêtes sont parallèles aux trois directions principales, étant projeté ainsi orthogonalement, est représenté par la Jig. 7g. On dispose cette projection de façon que l'arête SZ, qui correspond à la direction des verticales, soit sur la

feuille du dessin, supposée inclinée, perpendiculaire à la dlreclioD des horizontales de cette feuille.

Si Ton coupe le trièdre trirectangle par un plan parallèle au plan de projection, les arêtes de ce trièdre et le plan sécant se rencontrent aux points X, Y, Z. Les droites XY, YZ et XZ sont les traces des faces du trièdre sur ce plan sécant, et, comme les arêtes du trièdre sont respectivement perpendiculaires aux faces, les droites SX, SY, SZ sont les hauteurs du triangle XYZ ; le point de rencontre des hauteurs S est à Tinlérieur du triangle XYZ. SZ correspondant aux verticales de Tobjet à représenter, SX et SY correspondent aux horizontales.

Avec cette disposition, la figure que l'on obtient est une figure vue en dessus. Si, par exemple, nous représentons un prisme dont les arêtes sont parallèles aux arêtes du trièdre, nous avons la Jig, 80. Si, au contraire, le trièdre a ses arêtes projetées suivant les droites SX, SY, SZ de la^?^. 81, un prisme dont les arêtes sonl parallèles aux arêtes de ce trièdre est représenté parlay?^. 82, et Ton voit la face inférieure de ce prisme, tandis qu'on voyait la face supérieure sur \dijig, 80.

Fig. 81. Fig. 82.

Si l'on veut représenter un point tel que celui qui est à l'extrémité du faîte de la toiture d'une maison, on détermine ce point à Taide de coordonnées dirigées parallèlement aux arêtes du trièdre trirectangle. Ainsi, pour obtenir le point A situé à l'extrémité du faîte {fig- 83), on mène une parallèle mn aux arêtes qui terminent la toiture à sa partie inférieure et à égale distance de ces arêtes; on porte sur cette droite une longueur ma qui détermine la projection du point A sur le plan horizontal qui contient ces arêtes; on relève ce point à l'aide d'une parallèle aux verticales, c'est-à-dire d'une parallèle à SZ, et l'on porte sur celte droite la hauteur A a du point A au-dessus du plan horizontal dont nous venons de parler, puis on joint ce point aux extrémités

PERSPECTIVE AXONOMETRIQUE.

des grandes arêtes horizontales; sur AB, parallèle à SX, on détermine de même la position du point B qui limite le faîte de la toiture.

Dans la perspective axonométrique, les arêtes du trièdre trirectangle sont inégalement inclinées sur le plan de projection.

Fig. 83.

Construction des échelles. — Afin de construire les échelles nécessaires dans ce mode de représentation, nous allons résoudre le trièdre trirectangle et déterminer les angles de ses arêtes avec le plan de projection.

Projetons (y?^. 84) le trièdre trirectangle sur un plan perpendiculaire au plan de projection XYZ et parallèle à Tarête SZ. Le point X se projette en X', le point Z en Z', et le point S vient en

Fig. 84

T -iiy

un point de la circonférence décrite sur X'Z' comme diamètre; en abaissant du point S une perpendiculaire sur (IF) projection verticale du plan XYZ, nous avons le point S' à la rencontre de cette droite et de la circonférence : le point S' est la projection du sommet du trièdre. L'arête SZ est maintenant projetée en S'Z', et l'angle que cette droite fait avec X'Z' est l'angle de l'arête SZ avec le plan de projection.

Faisons tourner le plan projetant de SY autour de la perpendi-

l36 PREMIÈRE PARTIE. — DOUZIÈME LEÇON.

culaîre au plan projetant menée par le point S jusqu'à ce que le point Y vienne en Yj sur SZ, et projetons cette droite sur le plan de projection auxiliaire; sa projection détermine avec (H') Tangle que SY fait avec le plan de projection ; de même pour SX. Les longueurs égales portées sur les droites qui partent du point S', comme S'Z'^ ont de sprojections inégales; par conséquent, si l'on établit des échelles sur les arêtes du trièdre trirectangle, on est conduit à des échelles particulières correspondant aux trois directions SX, SY et SZ; en outre, les longueurs portées sur des droites parallèles au plan de projection et qui se projettent sans altération de grandeur donnent lieu à une quatrième échelle. Ces quatre échelles sont employées en perspective axonométrîque. Lorsque l'objet à représenter est fait dans des dimensions réduites sur le dessin, on emploie une convention que nous expliquerons en parlant de la perspective isométrique.

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE.

Lorsque les arêtes du trièdre trirectangle, parallèles aux directions principales de l'objet à représenter, sont également inclinées sur le plan de projection, la perspective axonométrique est dite perspective isométrique. Toute droite parallèle aux arêtes de ce trièdre porte le nom de droite isométrique ; les échelles correspondant à ces directions reçoivent la désignation d^échelles isométriques, et enfin les plans parallèles aux faces du trièdre sont des plans isométriques.

Dans le cas particulier de la perspective isométrique, les arêtes du trièdre trirectangle se projettent sur le plan de projection suivant des droites, comprenant entre elles des angles égaux et qui sont les trois hauteurs du triangle XYZ {^g» 85), maintenant équilatéral.

Les arêtes faisant avec le plan de projection des angles égaux, nous n'avons plus, pour résoudre le trièdre, qu'à déterminer l'un

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. iZy

de ces angles , en reproduisant la construction que nous venons de donner.

Calculons la valeur de l'angle a que S'Z' fait avec (H'). Appe-

Fig. 85.

-Vi'"

Ions P le pied de la perpendiculaire à X'Z' qui passe par le point

S'. On a

cosa =

ou, en élevant au carré,

rré.

cosa =

cos* a =

VU s

donc

cos*a

P'Z' est égal à SZ; X'Z' est égal à la hauteur du triangle équilatéral. On peut donc écrire

cos«a = |, d*où cosa = vï'

Pour Fangle complémentaire p, on a cos P = y/|.

Nous pouvons arriver plus rapidement à cette valeur de cosa en remarquant que le plan XYZ est également incliné sur les trois arêtes du Irièdre trirectangle, et, comme la somme des carrés des cosinus des angles que les arêtes de ce trièdre font avec ce plan est égale à 2, on a immédiatement 3 cos^a = a, d'où l'on tire la valeur de cosa que nous venons de déterminer.

Connaissant cette valeur de cosa, voici comment on construit l'angle a. Sur une droite {fig» 86), à partir d'un point A, portons une longueur AB=i; élevons au point B une perpendiculaire

l38 PREMléRE PARTIE. — DOUZIEME LEÇON.

BG = AB = i; AC est alors égal à y/j. A partir du point B, portons un segment BO = AC = sji ; joignons le point O au point C; OC est égal alors à yS. Le cosinus de l'angle BOC, étant égal à ^, est égal à y/|, et, par conséquent, cet angle BOC est égal à

l'angle a.

Cet angle étant construit, il est facile d'établir sur ses côtés les deux échelles que l'on emploie en perspective isométrique.

Fig. 86.

Convention relative aux échelles. — Supposons que la figure à représenter soit faite à l'échelle de -pj. Sur la droite OB, qui est Féchelle isométrique, on porte — de l'unité de longueur; si l'uniu» de longueur est le mètre., on porte donc sur OB un segment de droite mesurant o", i , et la longueur de l'espace dont la projection est o", I est alors plus grande que o™, i : cette longueur est

Ainsi, si l'on projette une sphère de i"* de rayon, le contour apparent de cette sphère est une circonférence dont le rayon est égal au rayon de là sphère donnée, et, puisque la sphère a i™ de rayon et que l'on construit à l'échelle de -j^, on serait porté à croire que le rayon de cette circonférence est o™, i . En vertu de la convention faite en perspective isométrique de porter dans la direction des axes isométriques les longueurs comme si elles n'étaient pas réduites par la projection, la sphère est représentée par une circonférence de cercle dont le rayon est o", i x y/j. On voit donc que, pour arriver à la perspective isométrique avec cette convention, il faut supposer que le corps à représenter est amplifié en restant semblable à lui-même et que le rapport de similitude

est ^•

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. iSg

Avec cette convention, m/i, étant égal à o",i, est Tunité de l'échelle isométrique, et m! n! est Tunîté de V échelle des dimensions géométralesy qu'on nomme souvent aussi échelle des vraies grandeurs.

Perspective de prismes. — Perspective de deux prismes à base rectangulaire qui se rencontrent à angle droit, — Nous avons {fis* 87) '^ figure géométrale qui donne les dimensions des prismes. Nous nous proposons d'obtenir la perspective isométrique à la

Fig. 87.

même échelle que celle qui a été employée pour représenter cette figure géométrale.

Indiquons . sur la figure géométrale la position du trièdre trirectangle. L'une de ses arêtes est la droite sz\ les deux autres arêtes sont, l'une sx^ et la troisième est projetée en s. A partir d'un point y {fig* 88), et sur une parallèle à l'axe SZ du trièdre, qui donne les directions isométriques, portons un segment égal à sz de X^fig, 85 ; nous obtenons le point ;/. Menons une parallèle ^ xà SX et égale à sx-^ nous portons sur ces deux directions des segments respectivement égaux aux segments sx et sz^ puisque la perspective est faite à la même échelle que la figure géométrale, et qu'en vertu de la convention les dimensions comptées sur les directions isométriques ne sont pas altérées. Par le point z\ menons une parallèle à l'axe SX et portons une longueur égale à za\ nous obtenons ainsi le point a'. A partir du point a', menons une parallèle à d z\ et portons sur cette droite une longueur égale à ab\ nous obtenons le point V . V sf est alors la perspective de 65, et, en complétant au moyen d'une parallèle menée du point b' à l'axe SX et d'une parallèle menée du point x^ à l'axe SZ, nous avons la perspective de \difig. 87.

Traçons maintenant par les points c', 6', ci des droites parallèles à Taxe SY et portons sur ces droites des longueurs égales à l'épaisseur donnée des prismes ; nous n'avons plus qu'à joindre les exlré-

Fig. 88.

mités des segments ainsi obtenus pour avoir la perspective isométrique achevée.

La figure est vue en dessus, et nous apercevons la face latérale * qui est Lgauche et qui est projetée suivant ah.

En conservant le même trièdre de manière à voir toujours la face qui est en dessus, nous arrivons à une autre perspective, en suppo-

Fiff. 89.

sant que l'axe SY corresponde à la droite sy{fig. 89) et que Taxe SX soit projeté en s. On obtient alors l^Jîg* 90, et nous apercevons encore la face supérieure qui se projette suivant bc sur la figure géométrale; mais nous voyons maintenant les faces qui étaient projetées, l'une suivant sz, l'autre suivant cd. On comprend par là combien il importe, avant de tracer une perspective isométrique, de bien se rendre compte de la situation des directions principales par rapport au plan de projection, selon que l'on veuille montrer

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE. l4l

l'objet en dessus ou en dessous avec ses faces latérales de droite ou

de gauche.

Fig. 90.

Ellipse isométrique. — Si une circonférence est tracée sur un plan isométrique, c'est-à-dire parallèle à Tune des faces du trièdre irirectangle, la projection de cette circonférence sur le plan de projection, c'est-à-dire la perspective isométrique de cette circonférence, est ce qu'on appelle une ellipse isométrique.

Toutes les ellipses isométriques sont semblables.

Le grand axe d'une ellipse isométrique tracée sur le plan des XY (Jig. 91) est perpendiculaire à l'axe des Z; le petit axe est dirigé parallèlement à SZ.

Traçons l'échelle isométrique et l'échelle des dimensions géomé- I raies.

A partir du point O, portons sur l'échelle isométrique une Ion-

Fig.

gueur Or égale au rayon de la circonférence donnée. Élevons au point r une perpendiculaire à l'échelle isométrique; nous obtenons le point R à la rencontre de cette droite avec l'échelle des dimensions géométrales. Il résulte de la convention que OR est égal au

demi grand axe de i'eilipse isométrique ; Rr est égal au demi-petit axe de cette courbe, et, si nous menons à partir du point G des droites parallèles à SX et SY, les longueurs des demi-diamètres ainsi tracés sont mesurées par Or; ainsi CM = Or.

Dans le triangle ORr, puisque OR est le demi grand axe, Rr le demi petit axe, Or est égal à la distance du point G aux foyers de l'ellipse ; en décrivant du centre G de l'ellipse une circonférence passant par le point M, on a alors, à la rencontre de cette circonférence avec Taxe AA', les foyers de l'ellipse isométrique. Si le demi petit axe est égal à i , OR = \/3 et Or = y/a. Ainsi, pour l'ellipse isométrique, GB étant i , GM est égal à y/2 et GA est égal à y'^S ; CM est la direction d'un diamètre dont le conjugué a la même longueur.

Rapporteur isométrique. — Lorsque l'on veut faire des perspectives isométriques, il est utile de construire ce qu'on appelle un

rapporteur isométrique» Pour cela, on trace (Jîg- 92) une série d'ellipses isométriques liomolliétiques dont les extrémités des grands axes correspondent à des points de division de l'échelle des dimensions géométrales^ on divise ces ellipses en parties égales, les points de division se correspondant sur des rayons. A cet effet, on amène le plan de ces ellipses à être parallèle au plan de projection. Après la rotation, l'une de ces ellipses, la plus grande, par exemple, se projette suivant une circonférence de cercle. Partageons cette circonférence en parties égales, puis ramenons les points de division en replaçant le plan de cette circonférence dans la position qu'il doit avoir; les points de division sur cette circonférence se ramènent sur l'ellipse en menant à partir de ces points des perpendiculaires au grand axe de la courbe. Nous n'avons plus qu'à

PERSPECTIVE ISOMETRIQUE.

joindre ces points de division au centre commun de toutes les ellipses pour avoir un rapporteur isométrique.

Au moyen de ce rapporteur, on pourra non seulement tracer des circonférences de cercle en perspective isométrique, mais il sera facile également de déterminer une longueur mesurée sur une direction arbitraire, car, sur un rayon quelconque, ces ellipses isométriques déterminent Téchelle relative à la direction de ce rayon.

Perspective d'une sphère rencontrée par nn prisme à base carrée. — La sphère est représentée {^fig» gS) par une circonférence de

Fig. 93.

/ ' ^ iA ! -^ 1

cercle dont le rayon, comme nous l'avons dit, est égal au rayon de la sphère de l'espace multiplié par ^| , en supposant que la perspective soit faite à l'échelle même de la figure géométrale.

Supposons que les arêtes du prisme soient parallèles à l'axe SY et que les côtés de la base de ce prisme soient parallèles l'un à l'axe SX et l'autre à l'axe SZ. Menons par le centre de la sphère un plan parallèle au plan des XZ et cherchons la base du prisme, supposé prolongé j usqu'à ce plan. Menons par le point O une parallèle à l'axe des X et une parallèle àl'axe des Z ; portons sur ces droites à partir de O des longueurs égales à la moitié du côté du carré base du prisme, et, au moyen de ces points, traçons la perspective isométrique de cette base du prisme : cette perspective est un losange dont deux sommets se trouvent sur la parallèle menée du point O à l'axe des Y. Pour représenter le prisme, on mène des parallèles à l'axe SY par les sommets de ce losange ; on voit que deux des arêtes se projettent suivant une même droite.

l44 PREMIÈRE PARTIE. — DOCZIBHE LEÇON.

Si nous coupons ce prisme par un plan parallèle au plan des XZ, la section ainsi obtenue est un losange A6CD égal au losange que nous venons de construire dans le plan auxiliaire mené par le centre de la sphère.

Nous devons maintenant déterminer les lignes d^intersection avec la sphère des faces du prisme qui contiennent, l'une le côté AB, l'autre le côté AG. Comme ces faces sont des plans isométriques, les lignes d'intersection de la sphère par ces plans sont des circonférences de cercle qui sont représentées par des ellipses isométriques. Pour déterminer ces dernières courbes, nous faisons usage du rapporteur isométrique; mais nous allons construire d'abord les cordes de contact de ces ellipses avec le pian de la circonférence de cercle déjà tracée, et qui représente la ligne de contour apparent de la sphère. Chacune de ces ellipses isométriques doit, en effet, être doublement tangente à cette circonférence de cercle.

Le plan de cette circonférence de cercle, le plan de la face du prisme passant par AB et le plan mené par le centre O parallèlement au plan des XZ se coupent en un point par lequel passent les intersections de ces plans deux à deux. Le plan mené par le centre O rencontre le plan du grand cercle parallèle au plan de projection suivant la diagonale bOc; ce même plan du carré, mené par le centre O, rencontre la face supérieure du prisme qui contient AB suivant la ligne ab; le point b est donc le «point de rencontre des trois plans, et la ligne d'intersection de la face supérieure du prisme avec le plan mené par le centre parallèlement an plan de projection est une droite qui passe par le point 6. Mais cette droite est perpendiculaire à SZ, puisque la face supérieure du prisme est parallèle au plan des XY ; nous avons donc l'intersection de la face supérieure du prisme avec le plan mené par le point O parallèlement au plan de projection en menant du point b une perpendiculaire à SZ. Cette droite rencontre la circonférence qui représente la ligne de contour apparent de la sphère aux points m et n : ce sont les points de contact de cette circonférence et de l'ellipse isométrique, projection de la ligne d'intersection de la sphère et du plan supérieur du prisme. Au moyen du rapporteur isométrique, nous traçons cette courbe, dont nous connaissons lu direction des axes. Son centre est du reste au point i, milieu

PERSPECTIVE ISOUÉTRIQUE. l45

de ai, puisque ce point est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur la face AB ab.

Ce que nous venons de dire pour la face ABa6, nous pouvons le répéter pour la face ACac. Nous abaissons du pointe une perpendiculaire sur Taxe des X; cette droite rencontre la circonférence, ligne de contour apparent de la sphère, en deux points qui sont les points de contact avec cette courbe de Tellipse isométrique qui représente la projection de la ligne d'intersection de la sphère et de la face ACac du prisme.

Si la sphère est un solide auquel on limite le prisme qui la rencontre, les arêtes du prisme doivent alors être tracées en trait plein jusqu'à leurs intersections avec les ellipses isométriques, et nous devons figurer seulement en trait plein les portions de ces ellipses qui sont comprises entre les arêtes du prisme partant des points B, A, C. Quant à la ligne de contour apparent de la sphère, nous devons la limiter aux arêtes B6, Ce du prisme. Nous avons ainsi achevé la perspective de l'ensemble de la sphère rencontrée par un prisme à base carrée.

TREIZIÈME LEÇON

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE (fin).

Perspective d'une niche. — Ombre dans l'intérieur d'une demi-sphère. — Remarques à propos de la première Partie du Cours. — Commencement de la seconde Partie du Cours.

Perspective d'une niche. — Une niche est formée par un demicjlindre de révolution dont Taxe est une verticale du plan du mur; ce demi-cvlindre esl limité à sa partie inférieure par un plan horizontal et à sa partie supérieure par un quart de sphère.

Nous allons chercher la perspective de cette niche en supposant que le plan du mur soit un plan isométrique.

00', parallèle à SZ {Jtg, 94), est Taxe du cylindre. Par les points O et O' menons des parallèles à SX, et portons sur ces droites, à partir des points O et O', des segments égaux au rayon de la section droite du cylindre de la niche. Traçons les droites AA', BB': ce sont les génératrices d'intersection du cylindre avec le plan du mur. Par le point O menons une parallèle à XY, et portons sur cette droite, à partir du point O, une longueur égale au rayon de la section droite du cylindre mesuré à l'échelle des dimensions géométrales; puis, à partir du point O sur 00', portons le demi petit axe de l'ellipse isométrique perspective de la base du cylindre située dans le plan horizontal AB. Traçons cette ellipse.

De même on a une ellipse isométrique située dans le plan horizontal A'B'; et le demi-cylindre de la niche, s'il était plein au lieu d'être en creux, aurait pour contour apparent la tangente commune à ces deux ellipses menées parallèlement à AA'. Sur le plan du mur, nous avons une ellipse isométrique qui est l'intersection avec ce plan de la sphère qui surmonte ce cylindre ; le grand axe de cette courbe est parallèle à XZ, sa longueur est égale à la longueur du grand axe des ellipses déjà tracées. Décrivons cette courbe. Si le quart de sphère, au lieu d'être en creux, était en relief, on

PEnSPECT^VE ISOMÉTRIQUE.

aurait pour ligne de contour apparent un arc de cercle tangent à cette ellipse située sur le mur et à l'ellipse située dans le plan horizontal A'B'. Le cylindre et la sphère se raccordent suivant cette dernière ellipse.

Jusqu'au plan horizontal A'B' le mur se construit par assises; les

plans horizontaux qui terminent ces assises rencontrent le mur suivant des lignes qu'on appelle lignes de joint, qui sont des parallèles à AB. Ces plans horizontaux rencontrent le cylindre suivant des circonférences horizontales, lignes de joint sur ce cylindre, et dont les perspectives sont des ellipses isométriques égales aux ellipses qui passent par A, B ou A', B'.

Pour construire la partie sphérique, on réunit des pierres appelées voussoirs, qui sont limitées à des plans de joint menés par

l48 PREMIÈRE PARTIE. — TREIZIEME LEÇON.

le centre de la sphère perpendiculairement au plan du mur et par des points de division situés sur la courbe de tête de la partie sphérique. Ces plans de joint sont limités à une pierre qui repose sur le plan horizontal A'B', et qu'on appelle trompillon. Ce tro^npilloD évite de prolonger les voussoirs de la partie sphérique jusqu'au plan horizontal qui limite le cylindre et supprime ainsi de ces voussoirs une partie qui se briserait trop facilement.

Cherchons la représentation des lignes de joint dans Pintérieur de la sphère, c'est-à-dire les intersections de celte sphère avec les plans de joint dont nous venons de parler. Divisons la courbe de Icte de la partie sphérique en un nombre impair de parties égales. Pour cela, faisons tourner le plan du mur autour du grand axe de l'ellipse A'C'B' jusqu'à ce que ce plan soit parallèle au plan de projection. Après la rotation, le point B' vient au point B|, le point A au point Ai, et le diamètre A' B' est alors projeté suivant A, B,. Partageons la demi-circonférence B, C'A| en cinq parties égales: puis replaçons cette circonférence dans la position qu'elle doit occuper et ramenons les points de division sur l'ellipse isométrique A'C'B'. Les traces des plans de joint sur le plan du mur sont de? droites passant par ces points de division, ainsi que par le poînl O'; nous limitons ces droites à une ellipse isométrique dont le centre est en O'.

Le trompillon est terminé à un plan isométrique parallèle au plan du mur et dont la trace sur le plan horizontal A'B' est a!b\ parallèle à A'B'. Ce plan rencontre la sphère suivant une ellipse isométrique que nous traçons sur a' b' . Il ne reste, pour achever la figure, qu'à tracer les lignes de joint sur la partie sphérique: on ne voit comme ligne de joint que celle qui part du point de division E'. Pour la tracer, faisons tourner le plan de l'ellipse isométrique A'B'a^b' autour de la parallèle menée du point O' à l'axe des Y, c'est-à-dire autour d'une perpendiculaire au plan du mur. Un point M de cette courbe décrit un arc de cercle dont on obtient le rayon en menant du point M une parallèle Mm à O'B' jusqu'au point m où cette droite rencontre la charnière. Lorsque le point B' est venu au point E', le rayon OB' est venu en O'E' et la parallèle niM à ce rayon est maintenant la droite menée du point m parallèlement à O'E'. La corde de Parc décrit par le point B' est E'B'; la corde de l'arc décrit par le point M est parallèle à cette droite; cette corde

PERSPECTIVE ISOMETRIQUE.

rencontre au point M' la ligne que nous venons de mener du point m, et nous avons en ce point M' un point de la ligne de joint. Nous pouvons ainsi construire autant de points que nous voulons et, en les réunissant, nous avons la ligne de joint pour la partie sphérique.

Ombre dans rintérienr d'une demi-sphère. — Proposons-nous de déterminer l'ombre dans l'intérieur d'une demi-sphère terminée par un plan isométrique parallèle au plan des XZ {^fig* pS).

^' /Al / / \ \

Prenons la projection SR du rayon lumineux; supposons que ce rayon rencontre au point R le plan XYZ. Le plan qui projette ce rayon sur le plan des XZ est le plan YSR ; sa trace sur le plan XYZ est la droite qui joint le point Y au point R; cette droite rencontre au point r' la droite XZ ; joignons le point S au point r', nous avons la projection Sr' du rayon lumineux sur le plan des XZ.

Cherchons le rabattement du rayon lumineux quand on fait tourner le plan qui le projette sur le plan de projection, de manière à amener ce plan à coïncider avec le plan XYZ. Déterminons d'abord la hauteur du point S au-dessus du plan XYZ. Prolongeons la droite SZ jusqu'au point/? où elle rencontre XY; suvpZ comme diamètre décrivons une demi-circonférence de cercle, et élevons au point S une perpendiculaire k pZ; nous obtenons ainsi le

l5o PREMIÈRE PARTIE. — TREIZIÈME LEÇON.

point S| : le segment SSi est égal à la hauteur du point S au-dessus du plan XYZ. Lorsque le plan projetant du rayon lumineux SR a tourné autour de sa trace sur le plan XYZ, le point S vient sur une perpendiculaire à SR en un point S' à une distance de S égale à SS< , et la droite S'R est la projection du rayon lumineux après le rabattement du plan projetant de ce rayon.

Décrivons une circonférence de cercle qui représente le contour apparent de la sphère donnée; par le centre O menons une parallèle à Taxe XZ. Le diamètre qu'on obtient ainsi est le grand axe de l'ellipse isométrique perspective du grand cercle qui limite la demi-sphère. Traçons cette ellipse.

Cherchons Tombre portée dans Tintérieur de cette demi-sphère en employant la méthode des plans sécants. Prenons des plans perpendiculaires au plan de projection et parallèles au rayon lumineux. La trace de l'un de ces plans est, par exemple, la corde ah menée parallèlement à SR ; ce plan sécant coupe la sphère suivant un petit cercle que nous amenons à être parallèle au plan de projection en le faisant tourner autour de ab. Ce plan sécant rencontre au point M le grand cercle qui limite la sphère, et ce point, après le rabattement du plan sécant, vient, sur la circonférence décrite sur ab comme diamètre, au pointMi où la perpendiculaire MM| à ab rencontre la circonférence.

Le rayon lumineux qui passe par le point M est maintenant rabattu suivant M< T, , parallèle à S'R. Cette droite rencontre le petit cercle au point Ti, et, quand le plan sécant reprend sa position, le point Tj vient sur ab au pied de la perpendiculaire abaissée du point ï< sur cette droite : le point ï ainsi obtenu est l'ombre portée par le point M.

La courbe d'ombre dans l'intérieur de la sphère est un grand cercle dont le plan rencontre le plan diamétral qui limite la sphère suivant une droite perpendiculaire à la projection du rayon lumineux sur ce plan diamétral. Cherchons ce diamètre perpendiculaire à Sr'. Nous pouvons déterminer sa direction, en construisant sur le plan des XZ, comme on le voit sur la figure, une perpendiculaire à Sr'. Nous pouvons encore opérer ainsi : menons parallèlement à Sr' des tangentes à l'ellipse isométrique perspective du grand cercle qui limite la sphère; la droite qui joint les points de contact de ces tangentes est le diamètre AB suivant lequel le plan de la courbe

REMARQUES A PRUPOS DE LA PREMIERE PARTIE DU COURS. l5l

d'ombre porlée rencontre le plan diamétral qui limite la sphère. Faisons tourner ce plan diamétral autour de AB, de façon que le point M vienne au point T, Le point M décrit alors un arc de cercle dont le rayon est perpendiculaire à AB, par conséquent, c'est la parallèle Mm menée du point M à Sr'. La droite M/w, après la rotation, vient en mT. On a des points de la courbe d'ombre portée en cherchant ce que deviennent les points de l'ellipse isométrique AMB; on détermine ces points à l'aide de triangles semblables au triangle M m T. Ainsi, pour un point N, on mène la parallèle N/2 à Mm-, du point n on mène la parallèle n\ à mT; cette droite rencontre la parallèle NV à MT au point V, qui appartient à la courbe d'ombre portée. En réunissant les points ainsi obtenus, on a la courbe d'ombre portée; cette courbe est une ellipse qui est tangente en A et B à des droites menées de ces points parallèlement à la ligne mT; elle est doublement tangente^à la ligne de contour apparent de la sphère.

BEHARaUES A PROPOS DE LA PREUÉBE PARTIE DU COURS.

Nous terminons ici la première Partie du Cours, dans laquelle nous avons exposé les différents modes de représentation des objets supposés éclairés. Quant à l'emploi de ces modes de représentation, il est important de remarquer que si, pour l'étude d'un projet, on peut adopter tel ou tel système de projection avec lequel on est familiarisé, on doit toujours, lorsqu'on en vient à l'exécution, faire usage de celui qui conduit à des dessins de lecture facile.

En Architecture, les projets de bâtiment sont établis au moyen de plans, de coupes et d'élévations, auxquels il est utile de joindre une perspective de l'ensemble du projet.

Les perspectives cavalière ou isométrique, qu'on désigne aussi sous le nom àe perspectives rapides, sont très employées pour le dessin de détail dans Tlndustrie; elles ont le grand avantage de donner, au moyen d'une seule projection^ des figures faisant image et sur lesquelles on peut mesurer les dimensions de l'objet représenté.

l52 PREUIÉRE PARTIE. — TREIZIÉUB LEÇON.

Il existe des appareils à Paide desquels on construit assez facilement la perspective des objets visibles. Le plus simple se compose d'une vitre, placée verticalement et servant de tableau, puis d'une carte percée d'un trou pour fixer la position de l'œil. On suit les contours des objets à représenter au moyen d'un crajon gras que l'on appuie sur U vitre.

Cet instrument perfectionné a conduit au diagraphe de Gavard. On obtient une perspective très nette dans la chambre noire de Porta. La chambre claire de Wollaston, perfectionnée par le colonel Laussedat, est un instrument portatif à l'aide duquel on obtient, avec un peu d'habitude, la perspective des objets visibles. On trouve l'explication de ces différents instruments dans l'excellent Traité de Perspective linéaire de M. de la Gournerie.

Afin de compléter l'étude de la perspective, on fera bien délire, dans le même Ouvrage, ce qui concerne les panoramas, les basreliefs ( * ) et les décorations théâtrales.

Nous avons laissé de côté les applications qu'on peut faire des modes de représentation des figures à la démonstration de certaines propriétés géométriques. La perspective conique on projection centrale aurait pu donner lieu à de grands développements ; à ce point de vue, on ne saurait trop recommander la lecture du Traité des propriétés projectiles des figures de l'illustre général Poncelet.

( ' ) Le Traité de Perspective relief de M. Poddba a été roccasion d'un Rapport très intéressa ni de Chasles {Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, 12 décembre i853).