COURBES PLANES. - GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE

Courbes planes. — Rappel de défioitions et de résultats. — Courbe d'erreur. — Géométrie cinématique. — Définition et conventions. — Déplacement fini d'une figure plane sur son plan. — Déplacement infiniment petit d'une figure plane, centre instantané de rotation. — Déplacement d'une figure de l'espace parallèlement à un plan.

Rappel de définitions et de résultats (*). — Une courbe plane est le lieu des positions d'un point mobile qui ne se déplace pas en ligne droite et qui reste dans un même plan. Pour une position du point mobile, la direction du déplacement est celle de la tangente à la courbe.

La perpendiculaire à une tangente issue du point de contact de cette droite est une normale à la courbe. Le plan perpendiculaire à une tangente, mené du point de contact de cette droite, est le plan normal à la courbe. \! angle de contingence en un point d'une courbe est l'angle que la tangente en ce point à la courbe fait avec la tangente à la courbe au point infiniment voisin de celui-ci.

Le cercle osculateur en un point m d'une courbe est la circonférence tangente à la courbe au point m et qui passe par le point de la courbe infiniment voisin de m, ou encore on peut dire que le cercle osculateur est un cercle qui possède avec la courbe trois

( *) Éléments de Calcul infinitésimal, par Dcdaubl.

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points infiniment voisins communs. Il résulte de là que le cercle osculateur traverse généralement la courbe. Dans le voisinage du point pour lequel on considère le cercle osculateur, la courbe partage le pian en deux régions; oh ne peut pas passer d'une région à l'autre en coupant la courbe, si ce n'est en la coupant un nombre impair de fois, et réciproquement; par conséquent, le cercle osculateur traverse la courbe, puisqu'il la rencontre en trois points.

Il peut arriver, dans certains cas, que le cercle osculateur rencontre la courbe en plus de trois points ; c'est ce qui a lieu, par exemple, aux points où la courbe est rencontrée par un axe de symétrie. En ces points, le cercle osculateur et la courbe ont au moins quatre points communs. Lorsque le cercle osculateur a avec la courbe quatre points infiniment voisins communs, il ne traverse pas la courbe. Les points pour lesquels cette circonstance se présente sont appelés sommets.

En un point d'une courbe, le cercle osculateur peut se réduire à une droite; on a alors ce qu'on appelle un point d^ inflexion. En ce point d'inflexion, la courbe et sa tangente ont trois points infiniment voisins communs.

La courbure d'une courbe en un point est égale à l'angle de contingence en ce point divisé par l'arc infiniment petit qui se termine au point de contact des tangentes comprenant cet angle.

L'inverse de cette courbure est le rayon d'une circonférence qui a même courbure que la courbe donnée.

Si l'on place cette circonférence tangentiellement à la courbe an point m, elle prend le nom de cercle de courbure et se confond avec le cercle osculateur en m. Le rayon de cette circonférence qui aboutit au point m est le rayon de courbure de la courbe en ce point m ; le centre de cette circonférence est le centre de courbure de la courbe pour ce point m; ce centre de courbure est le point de rencontre de deux normales infiniment voisines (*).

En un sommet, le rayon de courbure est maximum ou minimum; au point d'inflexion, défini comme précédemment, le rayon de courbure est infini.

Si les points d'une courbe M sont les points d'intersection de

(^) On ne doit pas oublier qu'à côté de définitions je me borne à rappeler ici des résultats démontrés ailleurs.

COURBES PLANES. l55

courbes infiniment voisines appartenant à une même série, la courbe M a, avec chacune de ces courbes, deux points infiniment voisins communs, c'est-à-dire qu'elle leur est tangente. La courbe M est Veni'eloppe de ces courbes infiniment voisines, et celles-ci prennent le nom d^ enveloppées de M.

Une courbe est l'enveloppe de ses tangentes.

Faisant usage de ce mot enveloppe^ on peut dire que l'ombre portée par une surface est l'enveloppe des ombres portées par ses génératrices. Ainsi, lorsque, dans la première Leçon, nous avons cherché l'ombre portée par une surface de révolution sur un plan horizontal, nous l'avons déterminée en traçant des lignes tangentes aux ombres portées par les parallèles de la surface; ces lignes d'ombre portée sont les enveloppes des ombres portées par les parallèles, supposés infiniment voisins.

De même, la ligne de perspective ou de contour apparent d'une surface est l'enveloppe des perspectives des génératrices de cette surface. Lorsque, par exemple, nous avons considéré en perspective cavalière les sections faites dans une sphère par des plans de front, nous avons eu une suite de circonférences de front dont les perspectives étaient des circonférences de cercle; l'enveloppe de ces" circonférences, supposées infiniment voisines, est la courbe perspective cavalière de la sphère.

Courbe d'errenr. — Lorsqu'une courbe est tracée et qu'on ne connaît pas sa définition géométrique, on a ce qu'on appelle une

Fig. 96.

courbe graphique. Proposons-nous de construire pour une pareille courbe la tangente au point m {fig- 96). Du point m comme centre décrivons un arc de cercle^ du point m menons une sécante

l56 SECONDE PARTIE. — TREIZIÈME LEÇON.

qui rencontre la courbe donnée au point a; portons, à partir du point où la droite ma rencontre la circonférence et dans le sens de ma, un segment égal à ma : nous obtenons le point a'. Menons une autre sécante qui rencontre la courbe au point b] construisons de même le point 6', puis une troisième sécante qui rencontre la courbe au point c à Taide duquel nous déterminons le point c^, et ainsi de suite. Les points a', 6', c' sont reliés par une courbe qu'on appelle courbe d'erreur. Cette courbe rencontre la circonférence de cercle en un point : c^est le point pour lequel on a une sécante qui rencontre la courbe en un point à une distance nulle du point m : c^est la tangente en m.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.

Définition et conventions. — Nous allons nous occuper des lignes décrites pendant le déplacement d'une figure plane qui glisse sur son plan. Nous commençons par là Tétude d'une branche de la Géométrie, que j'appelle Géométrie cinématique {^).

La Cinématique a pour objet l'étude du mouvement indépendamment des forces; la Géométrie cinématique a pour objet l'étude du mouvement indépendamment des forces et du temps, c'est-à-dire qu'elle a pour objet l'étude des déplacements. Nous réservons l'expression de déplacement pour un mouvement dans lequel on ne considère pas la vitesse (^).

(») C'est, je crois, le savant fondateur des Nouvelles Annales de Mathématiques, O. Terquem, qui, en 1869, dans un article de son intéressant Recueil, a. le premier, fait usage de cette expression. Depuis, elle a été employée en Allemagne. Le professeur ÀRo^cnoLD a publié, en 1872, un Mémoire relatif au déplacement plan, intitulé : Kinematisclie Mittlieilungen; Grutidzûge der kinemaiischen Géométrie,

Les titres des Mémoires suivants renferment des expressions analogues : A'inematisch-geometrische Untersuchungen der Bewegung àhnlich verànderlicher ebener Système, par L. Boriiester (1874), et Kinematisch-geometrische Tlieorie der Beschleunigung fiir die ebene Bewegung, par T. Rittershaus, etc.

(') « Il semble d'abord que, quand on a dit que la Mécanique est la réunion de toutes les vérités relatives aux mouvements ou aux forces considérées en général, on a suffisamment distingué cette science de toutes les autres. Mais on pourrait objecter que, dans la Géométrie, et surtout dans la théorie des lignes

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. l5y

Les propriétés géométriques relatives aux déplacements des figures, intéressantes en elles-mêmes, sont utiles en Mécanique; employées en Géométrie comme on emploie les différentiations en Analyse, elles permettent d'arriver à des propriétés géométriques concernant des figures immobiles.

Pour l'exposition des propriétés relatives aux déplacements, nous adoptons les notations suivantes. Les points sont marqués par de petites lettres; les lignes décrites par ces points, c'està-dire leurs trajectoires, sont indiquées par les lettres qui indiquent ces points placées entre parenthèses : ainsi le point a décrit la trajectoire (a). Les lignes sont indiquées par de grandes lettres; les surfaces engendrées par ces lignes sont indiquées par les lettres, qui indiquent ces lignes, mises entre parenthèses : ainsi la ligne A engendre la surface (A).

Si l'on considère pour un point la surface sur laquelle il se déplace et que j'appelle sur/ace trajectoire du point, il faut avoir soin de distinguer cette surface de la surface engendrée par une ligne; nous l'indiquons par une lettre entre crochets : ainsi le point a a pour surface trajectoire [a].

Déplacement fini d'une figure plane sur son plan. — Étant données sur un plan deux figures égales, telles que l'on puisse amener l'une à coïncider avec l'autre par glissement sur le plan, on peut obtenir cette coïncidence par une simple rotation (*).

Le quadrilatère abcd {Jîg. 97) est égal au quadrilatère dV c d\

et des surfaces, on définit ces lignes et ces surfaces en déterminant le déplacement du point ou de la ligne qui les décrit, et que ce déplacement est déjà un mouvement. La réponse que je ferai à cette objection, c'est qu'il n'y a réellement mouvement que quand, l'idée du temps pendant lequel a lieu le déplacement étant jointe à celle du déplacement lui-même, il en résulte la notion de la vitesse plus ou moins grande avec laquelle il s'opère, considération tout à fait étrangère à la Géométrie, qui fait le caractère propre de la Mécanique et la distingue à cet égard de la Géométrie. » ( Ampéhe, Es$ai sur la Philosophie des Sciences, p. 63.) (*) Ce théorème, les théorèmes suivants et la méthode des. normales qui en résuite sont dus à Cqaslbs. (Voir, dans le Bulletin de la Société' mathématique de France, 18-8, le Mémoire qui a été présenté à la Société philomathique le 1 1 août 1829, et qui a pour titre : Mémoire de Géométrie sur la construction des normales à plusieurs courbes mécaniques, par Cuaslu, et, du même illustre géomètre, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, p. 548; 1837.)

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et nous supposons que, lorsque le côté ab coïncide avec a! b\ les deux quadrilatères coïncident. Dans ces circonstances, nous allons montrer qu'il existe un point du plan autour duquel on peut faire tourner abcd de manière à Tamener à coïncider avec a'b'dd'.

Joignons le point a au point a', et élevons une perpendiculaire sur le milieu de la droite aa!. Joignons le point b au point f, et élevons une perpendiculaire sur le milieu de la droite bb\ Ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point o; nous allons montrer que ce point o est le centre de rotation qui répond à Ja question.

Il résulte de la construction de ce point que ao = a'o et bo = Vo. Les deux triangles abo^ a'b' o sont alors égaux comme ayant leurs

trois côtés égaux chacun à chacun; l'angle aob est donc égal à l'angle aob\ et, par suite, l'angle aod est égal à l'angle bob'. En faisant tourner la figure autour du point o de manière que le point a vienne en a', alors le point b vient en 6', et, par suite, les deux quadrilatères coïncident.

Nous avons considéré deux quadrilatères, mais il est bien clair que Ton peut prendre une figure quelconque ^ les points de la première figure viendront coïncider, après la rotation autour du point o, avec les points correspondants de la deuxième ligure.

Ce que nous venons d'expliquer pour un déplacement fini est vrai pour un déplacement infiniment petit.

Déplacement infiniment petit d'une figure plane, centre instantané de rotation. — Dans le cas d'un déplacement infiniment petit, le point o prend le nom de centre instantané de rotation, et les droites, telles que aa', bb\ cc\ , . . sont des tangentes aux lignes * décrites par les points de la figure mobile. Les perpendiculaires

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élevées sur les milieux de ces droites sont des normales à ces trajectoires, et Ton voit ainsi que :

Pour un déplacement infiniment petit d^ une figure sur son plan, les normales aux trajectoires des points de cette figure passent par un même point qui est le centre instantané de rotation, et, si l'on ne parle pas d*un déplacement infîniment petit, on peut dire : Pour une position quelconque d'une figure plane que l'on déplace d'une manière continue sur son plan, les normales, issues des points de la figure, aux trajectoires de ces points passent par un même point.

Il suffit de donner les trajectoires de deux, points de la figure mobile pour connaître tout ce qui est relatif au déplacement de cette figure. Si, par exemple {fig* 98), la droite aè, de grandeur

Fie- 98.

invariable, se déplace de façon que le point a reste sur sa trajectoire (a), le point b sur sa trajectoire (6), le centre instantané de rotation est le point de rencontre des normales issues des points a et b aux trajectoires (a), (b); la normale à la courbe décrite par un point m entraîné par le déplacement de abj c'est-à-dire lié invariablement à ab^ est alors, d'après ce que nous venons de dire, la droite mo, qui joint le point m au centre instantané o.

Du point o abaissons sur la droite ab la perpendiculaire oe] la tangente à la trajectoire du point e est la droite ab elle-même. En vertu de la rotation infiniment petite autour du point o, le point e se déplace alors sur ab; il est donc l'intersection de ab avec ce segment arrivé dans sa position infiniment voisine; il appartient, par suite, à la courbe enveloppe de ab. On détermine donc le point où la droite ab touche son enveloppe en projetant sur cette droite le centre instantané de rotation.

Le même raisonnement s'applique à une courbe entraînée en même temps que aè, et l'on voit que le point où cette courbe

l6o SECONDE PARTIE. — TREIZIÈME LEÇO?r.

touche son ens^eloppe est le pied de la normale qui lui est abaissée du centre instantané de rotation.

Déplacement d'une fignre de l'espace parallèlement à nn plan. — Ce que nous venons de dire pour une figure plane qui glisse sur son plan s'étend, dans l'espace, au cas d'une figure qui se déplace parallèlement à un plan, avec cette différence, qu'au lieu d'uo centre instantané de rotation, on a un axe instantané de rotation perpendiculaire à ce plan. Ceci est applicable à un segment de droite qui se déplace dans l'espace; les différents points de ce segment décrivent des trajectoires, et les tangentes à ces trajectoires issues des points de la droite sont parallèles à un même plan, comme il est facile de le voir en considérant d'abord un déplacement fini. /> déplacement infiniment petit d^'un segment de droite dans l'espace peut donc s'obtenir au moyen d'une rotation autour d'une droite, et l'on peut alors énoncer cette propriété : Les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'une droite se coupent suiçant une même droite (* ).

(*) Chasles a énoncé ce théorème, ainsi que beaucoup d'autres, dans ud tivf beau travail inséré, en i843, dans les Comptes rendus des séances de l'Academiedes Sciences, et intitulé Propriétés géométriques relatives au mouvement infiniment petit d'un corps solide libre dans Vespace,

Dans le même Recueil, en 1860 et 1861, Ciusles a publié aussi Propriétés relatives au déplacement fini quelconque, dans l'espace, d'une figure de forme invariable. Ce Mémoire est suivi d'une intéressante Notice historique sur la question du déplacement d'une figure de forme invariable, à laquelle je renvoie le lecteur.

Aux noms qui figurent dans cette Notice on peut ajouter ceux de : A. Boioom, C.-J. GiULio, G. Bbllavitis, D. Turazza, Sumofp, A. Catlet, Ligoixe, Nicolaidês. Habicu, Hato» de la Goopilliëre, Jordan, Brisse, Darbocx, d'Ocagsie, A. Scbcmaki. Dewulf, LaisanTi Sciioe!(plies, VanÊcbk et quelques autres que j'aurai roccasîon de citer plus loin.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. l6l

QUATORZIÈME LEÇON

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE (suite).

Déplacement continu d'une figure plane sur son plan. — Développante, développée. — Développante d'une courbe sans point singulier, ou avec point singulier. — Développantes de la développée d'une ellipse. — Déplacement sur son plan d'une figure de grandeur variable. — Droite mobile de grandeur variable. — Construction du centre de courbure d'une ellipsç.

Déplacement continu d'une figure plane sur son plan. — Nous avons vu que le déplacement inGnlment petit d'une figure plane sur son plan est une rotation infiniment petite autour d'un point qu'on appelle centre instantané de rotation. Considérons maintenant le déplacement continu d'une figure plane sur son plan.

Pour les diverses positions de la figure mobile on a {fig* gg), sur le plan fixe, une suite de centres instantanés de rotation c, C|, Ca, ...; sur le plan de la figure mobile, on a les points </,(/',..., qui deviennent successivement ces centres de rotation. Les points c, C|, C2, • • . appartiennent à une courbe F qui est sur le plan fixe; les points {/, c", ... sont sur une courbe M tracée sur le plan de la figure mobile. Les courbes F et M ont en commun le point c, qui est le centre instantané de rotation pour la position de la figure que nous considérons. Les deux courbes F et M sont tangentes entre elles au point c; car l'angle compris entre leurs tangentes

l6ll SECONDE PARTIE. — QUATORZIÈME LEÇON.

au point c est infiniment petit, puisque c^est de cet angle qu'il faut faire tourner la figure mobile pour amener cf à coïncider avec C|. On a donc une courbe M qui, dans chacune de ses positions, est tangente à F, et dont les diflférents points viennent coïncider successivement avec les points de la courbeF^ en outre, chacun des points de M ne reste en coïncidence qu'avec un seul point de F. La courbe M roule alors sur la courbe F sans glissement, et l'on voit ainsi que le déplacement continu d^une figure plane sur son plan peut être obtenu en considérant sur le plan de la figure mobile une certaine courbe qui roule sans glisser sur une courbe du plan fixe.

Le roulement d'une courbe sur une autre est appelé déplacement épicycloïdal ; on peut dire alors que le déplacement continua^ une figure plane sur son plan est un déplacement épicycloïdal,

La trajectoire (m) d'un point m prend le nom particulier de roulette, La courbe F porte le nom de ba^e de la roulette.

En se reportant à ce que nous avons dit précédemment, on voit que la normale à la roulette décrite par le point m, lorsque ce point occupe sur cette courbe une position à laquelle correspond le centre instantané c {qui est le point de contact de ¥ et de M), c'est la droite me.

Si la courbe F et la courbe M sont des circonférences de cercle, un point de la circonférence M décrit une roulette qu'on appelle épicycloide. Un point du plan de cette circonférence M,^silué à l'intérieur de cette courbe, décrit une épicycloïde qu'on appelle raccourcie j et un point, au dehors de la circonférence M, décrit une épicycloïde allongée.

Dans le cas où la courbe fixe est réduite à une droite, la courbe mobile étant toujours une circonférence M, on a, pour un point du plan de cette circonférence entraîné pendant le roulement de cette courbe sur la droite fixe, une cycloïde, ou une cycloïde raccourcie, ou une cycloïde allongée^ selon que le point est sur M, en dedans ou en dehors de M.

Prenons un exemple de figure mobile, et cherchons la ligne fixe et la ligne mobile à l'aide desquelles on obtient le déplacement de la figure de grandeur invariable par le roulement d'une courbe sur une autre.

Supposons que la figure de forme invariable soit {fig, loo) un

GÉOMÉTRIE GINÉUÀTIQUE. l63

segment de droite ab de grandeur invariable : le point a décrit la ligne droite (a), le point b décrit la ligne droite (6). Dans la position qu'occupe la droite aby le centre instantané s'obtient en menanty des points a et b, des perpendiculaires aux lignes décrites par ces points; ces droites se coupent en un point c qui est le centre instantané de rotation. L'angle acb est le supplémentaire de l'angle en o formé parles deux droites (a) et (6); par conséquent, sur le plan de la figure mobile, le point c appartient au segment

Fig.

1 V ii V

^ — niyb '

"icîr

capable de Tangle acb décrit sur la droite ab ; il est sur la circonférence oacb^ qui est alors la courbe M.

Le diamètre oc de cette circonférence étant de grandeur constante, le lieu des points tels que c est, sur le plan fixe, la circonférence décrite du point o comme centre avec oc pour rayon ; cette circonférence est la courbe fixe F; on voit qu'elle est tangente enc à la circonférence oacb. Ainsi, la circonférence dont le centre est au point o est la ligne fixe F et la circonférence oacb est la ligne mobile M.

D'après ce qui précède, la circonférence M roule sans glisser dans l'intérieur de la circonférence F, le point a décrit le diamètre oa^ le point b décrit le diamètre ob ; de même un point quelconque de la circonférence M décrit un diamètre de la circonférence fixe F.

De là on peut conclure la nature de la courbe décrite par un pioint quelconque m du plan de la circonférence mobile. Joignons le point m au point i, centre de M; ce diamètre rencontre la cir-

l64 SECONDE PARTIE. — QUATORZIÈME LEÇON.

conférence M aux points e, g. Pendant le roulement de M, le point e se déplace sur le diamètre oe, le point ^ sur le diamètre og\ le point m décrit donc une courbe qu'on peut considérer comme engendrée par un point d'une droite ge de grandeur invariable dont les extrémités e, g décrivent les côtés d'un angle droit. Le point m décrit donc une ellipse dont les axes coïncident avec œ et ogj et dont les longueurs des demi-axes sont me, mg.

Ceci permet de retrouver la construction donnée précédemment (p. 1 18) pour obtenir les axes d'une ellipse, connaissant deux diamètres conjugués. La normale en m à l'ellipse décrite par ce point est la droite cm, qui passe par le centre instantané c\ cette droite rencontre la circonférence M en un point rf, et, comme od est perpendiculaire k cnty od est une parallèle à la tangente en m à l'ellipse, c'est-à-dire que od est le diamètre dont la direction est conjuguée du diamètre om.

Pour avoir la longueur de ce diamètre conjugué de om, considérons le point m comme un point de la droite cd. Pendant le roulement de M, cette corde, qui est de grandeur invariable, se déplace dans l'angle cod ; le point c glisse sur la droite oc et le point d décrit la droite od. Lorsque le point c est venu au point o, le point m est venu sur la droite od en un point /i, tel que on= cm; le point n ainsi obtenu est l'extrémité du diamètre conjugué du diamètre om.

D'après cela, on procède de la façon suivante pour construire les axes d'une ellipse, connaissant les diamètres conjugués om et on : Du point m on abaisse une perpendiculaire sur on; on porte sur cette perpendiculaire, à partir du point m, une longueur mc= on-^ on joint le point o au point c, et l'on décrit sur cette droite une circonférence de cercle. On Joint le point m au centre de cette circonférence par une droite qui la rencontre aux points e, g; les droites oe, og sont les axes de l ellipse, et les segments me y mg sont les longueurs des demi-axes de cette courbe {*). On voit facilement que le segment porté à partir du

(*) C'est en 1857, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, p. 188, que j'ai donné pour la première fois cette construction. Depuis, dans le même Recueil (1878), j'ai montré comment on en dédui( la construction, bien connue, due à Chasles.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. lG5

point m pour obtenir le point c peut être porté dans l'autre sens : la construction s'achève toujours de la même manière.

Enveloppe d^un diamètre d'une circonférence M qui roule sur une circonférence F. — Le point de contact c de ces deux circonférences (fig> loi) étant le centre instantané de rotation, on a le point où ce diamètre touche son enveloppe en prenant le pied e de la perpendiculaire abaissée du point c sur ce diamètre. Le lieu des points analogues au point e est alors la courbe enveloppe du diamètre ab. On peut considérer le point e comme un point de la circonférence (i) tangente en c à M et dont le rayon est moitié du rayon de M; ce point e est tel, que pendant le roulement de (i)

à l'intérieur de M il décrit le diamètre ab. On a l'arc ec de la circonférence (i) qui est égal à l'arc ac de M. Prenons l'arc oc égal à l'arc ac; on peut considérer (i) comme tangente d'abord en son point e à F en o. Lorsque cette circonférence (i) roule sans glisser sur F et vient toucher cette courbe en c, la roulette décrite à partir de o vient en c tangentiellement à ab. Cela est vrai, quelle que soit la position de M : donc, le lieu des points tels que e, c'est-à-dire l'enveloppe de ab^ est l'épicyclolde engendrée par ce point lorsque la circonférence (i) roule sur la circonférence F.

On démontre de la même manière que, si une circonférence (2) roule à l'intérieur de M, un point ef de cette courbe engendre une épicycloïde E et que l'enveloppe de cette courbe, entraînée en même temps que M, n'est autre que l'épicycloïde engendrée par le point e! de la circonférence (2) qui roule sur la circonférence F.

Développante, développée. — Prenons comme courbe fixe une

l66 SECONDE PARTIE. — QUATORZIÂMB LEÇON.

courbe quelconque et comme ligne mobile une tangente à cette courbe.

Pendant le roulement de cette tangente, chacun de ses points décrit une courbe ; ces courbes rencontrent à angle droit les diverses positions de cette tangente : ce sont donc les trajectoires orthogonales des tangentes de la courbe fixe. Elles ont pour normales communes ces tangentes, et, comme elles interceptent sur ces droites des segments égaux, ce sont des courbes parallèles. Toutes ces courbes, trajectoires orthogonales des tangentes de la courbe fixe, portent le nom de développantes de cette courbe, et, par rapport à ces courbes, la courbe fixe porte le nom de développée (*).

La développée d'une courbe est l'enveloppe des normales à la courbe, et, comme nous avons rappelé que Je point de rencontre de deux normales à une courbe, qui sont infiniment voisines, est un centre de courbure de celte courbe, nous pouvons dire que la développée d'une courbe est aussi le lieu des centres de courbure de cette courbe.

Une courbe n'a qu'une développée; elle a une infinité de développantes.

Développante d'nne courbe sans point singulier, on avec point sis* golier (2). — Traçons une développante d'une courbe fermée.

Fig. loa.

Considérons (^^. 102) les tangentes qui touchent cette courbe aux points I, 2, 3, .... En prenant la trajectoire orthogonale de ces tan-

( * ) HuYGENs, Horologium oscillatorium tl De linearum curvarum evolutione et dimensione.

(') Parmi les géomètres qui se sont occupés des points singuliers, je citerai : MM. Caylet, Quarterly Journal^ t. VII; de la Gocbsiebib, /our/ia/ de Ataihéma-

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 167

gentes à partir du point m, on a pour développante une branche qui s'étend à l'infini. Si l'on prend les tangentes aux points i', 2', 3', ... sur la courbe dans le sens opposé à celui d'abord considéré, on a, à partir du point m, l'autre branche de la développante, qui s'étend aussi à l'infini. On a au point m un point pour lequel les deux branches de la développante sont tangentes à la normale en /?? à la courbe fixe. Le point m est donc sur la développante un point de rebroussement de première espèce, et l'on voit que la développante rencontre la courbe fixe en un point de rebroussement de première espèce. Nous supposons évidemment que le point m est un point ordinaire sur la courbe fixe.

Lorsque les deux branches d'une courbe sont tangentes à une même droite et situées d'un même côté de cette droite, on a un point de rebroussement de deuxième espèce. On rencontre un pareil point en cherchant la développante d'une courbe qui présente un point d'inflexion.

Si l'on prend la développante qui part d'un point m {fig* io3)

Fig. io3.

d'une courbe qui présente un point d'inflexion au point ï, on a, à partir du point m, la trajectoire orthogonale des tangentes dont les points de contact sont les points de l'arc mi\ cette courbe rencontre en r la tangente au point d'inflexion, et, à partir de ce point, il y a une branche de courbe trajectoire orthogonale des tangentes dont les points de contact sont sur le prolongement de l'arc mi, La développante présente au point r un point de rebroussement de deuxième espèce.

tiques de Liouville, 2* série, t. XIV et XV; Stolz, MathematUche Annaleriy t. VIII et t. XV; NôTHER, Mathematische Annalen, t. IX; Halphen, Recueil des Savants étrangers y t. XXVI, et Bulletin de la Société mathématique de France, t. III, IV, V; Étude sur les points singuliers des courbes algébriques planes (Appendice aa Traité des courbes planes de G. Salmon); Smith, Proceedings of London mathematical Society, t. VI; Zbuthe!<, Mathematische Annalen, t. X. A cette liste on doit ajouter le nom de Pdiseux, qui, le premier, a fait Tétude d'une fonction algébrique dans le voisinage d'une valeur singulière.

Si l'on cherche la développante d'une courbe qui a elle-même un point de rebroussement de deuxième espèce, on trouve encore une branche de courbe qui présente un point de rebroussement / de deuxième espèce situé sur la tangente à la courbe donnée en son point de rebroussement. La différence qui existe entre le point / trouvé maintenant et le point r trouvé précédemment, c'est que le point t est un sommet, puisqu'en parcourant la développante on trouve successivement, pour les points de cette courbe, des rajons de courbure allant d'abord en croissant jusqu'à ce qu'on arrive au rayon de courbure de la courbe en t, et à partir de ce rayon de courbure ils vont en décroissant ; au point ^ on a donc un rayon de courbure maximum, tandis que, pour la courbe qui présente un point d'inflexion, on a un rayon de courbure allant constamment en croissant lorsque l'on parcourt cette courbe depuis le point m jusqu'au point r, puis à partir du point r sur l'autre branche du point de rebroussement.

Cherchons la développante d'une courbe qui a des branches infinies. Prenons une hyperbole (^^. io4) et un point m de cette

Fig. 104.

courbe; traçons la trajectoire orthogonale des tangentes dont les points de contact sont i, 2, 3 et ainsi de suite jusqu'à l'infini. On a une branche de courbe partant normalement à l'hyperbole et venant rencontrer l'asymptote au point a à angle droit. Puis on doit prendre les points 4> 5, 6 de l'autre branche, à partir de l'infini, et les tangentes en ces points, pour tracer la trajectoire orthogonale de ces tangentes à partir du point a, La développante vient rencontrer de nouveau la courbe au point m', repart de ce point m', rencontre de nouveau l'autre asymptote et continue ainsi de suite.

GEOMETRIE CINEMATIQUE.

On a successivement sur la courbe des points de rebroussement pour cette développante, et aux points où cette ligne rencontre les asymptotes on a des points d'inflexion.

Prenons comme autre exemple une courbe située d'un même côté par rapport à Tune de ses asymptotes. Partant d'un point m de cette courbe {fig* io5), on a un arc de courbe normal en m à

Fig. io5.

la courbe donnée et qui rencontre à angle droit l'asymptote en a. Continuant à partir du point a, on a une branche de courbe qui vient rencontrer la courbe donnée au point m'; en ce point on a un point de rebroussement ainsi qu'au point m. Nous voyons sur cet exemple un point de rebroussement de première espèce en m pour lequel le rayon de courbure de la développante est nul, et en a un point de rebroussement de cette même développante pour lequel le rayon de courbure est infini.

Développantes de la développée d'une ellipse. — Traçons la développée d'une ellipse {Jig- 106). Cette développée est l'enveloppe

Fig. 106.

des normales à la courbe; elle a quatre points de rebroussement réels situés sur les axes de l'ellipse. Les développantes de cette dé

veloppée sont des courbes parallèles à l'ellipse, c'est-à-dire des courbes qu'on obtient en portant sur les normales à l'ellipse des segments égaux entre eux.

Parlant du point m de cette développée, on a une courbe (1) qui a quatre points de rebroussement sur la développée de l'ellipse.

Partant du point m'y on a une courbe qui présente toujours quatre points de rebroussement, mais qui a en outre deux points doubles situés sur le grand axe.

Enfin, partant du point n situé sur une tangente à la développée de l'ellipse, on a une courbe dont la forme rappelle la forme même de l'ellipse.

Il est important de connaître les formes de ces courbes parallèles à l'ellipse. On les rencontre, par exemple, quand on cherche la projection orthogonale d'un tore sur un plan oblique par rapport au plan qui contient le centre de la sphère, variable de position, mais de grandeur constante, qui engendre le tore. Le centre de cette sphère mobile décrit dans l'espace un cercle dont la projection est une ellipse; sur le plan de projection le contour apparent de cette sphère est une circonférence de cercle décrite d'un point de cette ellipse comme centre, avec un rayon égal au rayon de la sphère mobile. On a donc à considérer la courbe enveloppe d'une suite de circonférences de cercle ayant des rayons égaux et dont les centres sont sur une ellipse. L'enveloppe est une courbe parallèle à l'ellipse ; on l'obtient en portant sur les normales à l'ellipse une longueur constante égale au rayon de ces circonférences. Le contour apparent du tore est donc une ligne qui, selon la position du tore par rapport au plan de projection, a l'une ou l'autre forme des développantes de la développée de l'ellipse.

Déplacement sur son plan d'une figure de grandeur Tariable. Droite mobile de grandeur variable. — Relativement au déplacement d'une figure plane sur son plan, nous avons jusqu'à présent considéré une figure de grandeur invariable; nous allons montrer par un exemple comment on peut résoudre certains problèmes relatifs à une figure variable de forme, en profitant des éléments de cette figure qui restent de grandeur invariable (* ).

( ' ) Voir CHÀSLESy Mémoire de Géométrie sur la construction des normales à

GEOMETRIE CINEMATIQUE. I7I

Prenons une droite mobile ab qui enveloppe une courbe donnée E {fig' 107), la longueur de celte droite étant définie par les courbes sur lesquelles doivent se trouver les extrémités a et 6. Ainsi le point a reste sur la courbe (a), le point b sur la courbe (6). Sur cette droite construisons un triangle abm semblable à un triangle donné. Construisons ainsi, pour chacune des positions de la droite ab, un triangle tel que abm, les points tels que m appar-

Fig. 107.

tiennent à une courbe (/w). Nous nous proposons de déterminer au point m la normale à cette courbe.

Puisque les triangles tels que abm restent semblables à un triangle donné, Tangleen a est de grandeur invariable. Lorsque le point a se déplace infiniment peu sur sa trajectoire, le côté ae de cet angle restant toujours tangent à la courbe E, le centre instantané de rotation a est au point de rencontre de la normale en a à la trajectoire de ce point et de la normale en e à la courbe enveloppée par ab. Au moyen de ce centre instantané a on obtient le point /y où am touche son enveloppe, en prenant le pied de la perpendiculaire abaissée du point a sur am.

De même, on a, pour le déplacement infiniment petit de l'angle mobile abm de grandeur invariable, le centre instantané ^ à l'aide duquel on obtient le point g^ où le côté mb touche son enveloppe, en abaissant une perpendiculaire du point ^ sur ce côté et en prenant le pied de cette perpendiculaire.

On a maintenant un angle de grandeur invariable m, dont les

plusieurs courbes mécaniques ( Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI, p. a22) cl le Supplément de la quinzième Leçon.

17a SECONDE PARTIE. — QUATORZIEME LEÇON.

côtés sont tangents à deux courbes ; le centre instantané relatif an déplacement infiniment petit de cet angle est le point de rencontre jx des normales à ces courbes issues des points/ et ^. Le point fjL étant le centre instantané relatif au déplacement de l'angle m, la normale à la courbe décrite par le point m est la droite [xm.

Cet exemple montre comment on peut déterminer la normale à la courbe décrite par un point d'une figure de grandeur variable, en profitant des éléments de cette figure qui restent de grandeur invariable pendant son déplacement.

Le triangle qui a pour sommets les trois points a, p, [jl est semblable au triangle abm ; on a

a(x am jjL^ ~" mb

Prenons le cas particulier où le triangle se réduit k anib^ le point m! étant sur ab] le point jjl', analogue au point jx, est alors sur a^, de façon que

jjl'P ~ m' b ce qui donne le résultat suivant :

On partage un segment de droite ab de grandeur variable en segments proportionnels à deux segments donnés au point m'; pour avoir la normale à la courbe lieu des points tels que m\ on mène la normale en a à la trajectoire de ce point, cette droite rencontre, au point a, la normale issue du point e à Venveloppe de la droite mobile. On détermine de même le point p sur la normale ea. On prend sur a^ un point |jl', placé par rapport aux points a, p comme le point m' est placé par

rapport aux points a et b, c'est-à-dire tel que ^ soit égal à —TT ; la normale à la courbe lieu des points m! est la droite ml jx'.

Inversement, si une droite mobile est déplacée de façon que trois courbes données (a), (m'), (6) la partagent en segments proportionnels, on obtient, pour une position de cette droite, le point où elle touche son enveloppe en menant une perpendiculaire à la

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 178

droite ab qui soit partagée par les normales a a, m'(jL', 6^, de façon qu'on ait sur cette perpendiculaire les points a, |ji' et P tels que

au.' am' ^ i • , t i .

-rs=— rret en prenant le point ou cette perpendiculaire rencontre ab.

Remarque. — Si la droite mobile reste, pendant son déplacement, normale à l'une des courbes données, (a) par exemple, le point où elle touche son enveloppe est un centre de courbure de (a). Voici une application de cette remarque.

Constructions da centre de courbare d'une ellipse. — Prenons trois lignes : Tune est une ellipse {m){Jig, io8), les deux autres sont les axes de cette courbe. Une normale quelconque à l'ellipse mab

Fig. io8.

est, comme l'on sait, partagée par ces trois lignes en segments proportionnels. On peut alors déterminer le point où cette normale touche son enveloppe, c'est-à-dire le centre de courbure de Tellipse correspondant au point m. La normale au point m à l'ellipse est la droite mobile elle-même; la normale en a à la ligne sur laquelle doit rester ce point est la perpendiculaire élevée de a au grand axe ; de même pour le point b.

On doit donc construire une perpendiculaire à la normale qui soit partagée, par la normale ma et par les perpendiculaires aux axes menées des points a et b, en segments proportionnels à ma

et mè, c'est-à-dire qu'on doit avoir -!^ = ^*

Les triangles uot, bca sont semblables comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires. En vertu de la proportion précédente, les droites mab, pa^ sont homologues relativement à ces triangles. Le point [x partage donc a6, comme m partage ut.

De là différentes constructions; en voici quelques-unes : Menons ae parallèlement à tu^ on a

tm ad «{A mu ~ de ~ \kb

1° Le point |jl peut donc s'obtenir ainsi :

Au point a, où la normale en m rencontre l'un des a^es, on mène une perpendiculaire à cette normale ; cette droite rencontre le diamètre qui passe en m en un point d\ on abaisse de ce point une perpendiculaire sur Vaxe dont on a considéré le point de rencontre açec la normale : cette perpendiculaire rencontre la normale au centre de courbure (jl de la courbe ( *).

Il est évident que cette construction est vraie, qu'on l'applique à un axe ou à l'autre. Nous l'emploierons plus tard pour déterminer le centre d'une conique lorsque l'on donne l'un des axes, un point de la courbe et le centre de courbure correspondant.

2° On mène la droite ua, elle coupe la parallèle à ot menée du point m en un certain point : la parallèle à oby menée de ce point, coupe la normale en m au centre de courbure cherché,

i^ Les perpendiculaires aa^bp aux axes de r ellipse se rencontrent en c, on abaisse de ce point une perpendiculaire sur le diamètre om : cette droite rencontre la normale en /» au centre de courbure |jl.

La perpendiculaire abaissée du point c sur om est, en effet, l'homologue de om et détermine le point jx qui correspond au point m.

Remarque. — Projetons a et ^ en y et r sur les axes^ on démontre facilement que la droite rq est parallèle à mo et contient jjl. Cette remarque sera utile plus loin (p. 202).

{*) M. Lagcerbb a donné une construction analogue pour le cas de Tcspace dans son travail Sur la détermination, en un point d'une sur/ace du second ordre, des axes de l'indicatrice et des rayons de courbure principaux {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3« série, t. IV, p. 247). Voir aussi, sur le même sujet, un article que j'ai publié dans le môme Recueil, 3' série, t. VIII, page 167.

GÉOMÉTRIK CINÉMATIQUE. 176

QUINZIÈME LEÇON

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE (suite). — COURBES GAUCHES.

Construction du centre de courbure d'une épicycloïde. — Construction du centre de courbure d'unecourbe entraînée dans ledéplacementépicycloïdal. — CycloTde. — Courbes gauches. — Plan osculateur. — Projections diverses d'une courbe gauche. — Hélice. — Projections d'une hélice. — Perspective cavalière d'une hélice. — Rayon de courbure d'une hélice.

SuppLÉMBNT. Démonstration du théorème énoncé page 177, applications de ce théorème. — Géométrie cinématique. — Construction des centres de courbure des lignes décrites pendant le déplacement d'une figure plane sur son plan. — Centre de courbure de la ligne décrite par un point d'une figure mobile de grandeur variable. — Construire le centre de courbure de la développée d'une ellipse, — Sur le déplacement infiniment petit d'une figure polygonale de forme variable. — Sur les quadrilatères articulés.

Construction dn centre de courbure d'une épicycloïde. — M {fig> 109) est la circonférence qui roule sur la circonférence fixe F, m est le point qui engendre l'épicycloïde.

Joignons le point m au point de contact a des circonférences et M. La droite ma est la normale au point m à l'épicycloïde.

Joignons le point m au centre c de la circonférence M, et par le centre o de la circonférence F menons une parallèle à la droite me \ cette droite rencontre la normale ma au point 6. Les triangles nxac^ boa sont semblables, et Ton a

me oh ca ~~ oa

Dans cette proportion, les segments me, ca, oa sont de grandeur constante, quelle que soit la position de la circonférence mobile; le segment ob est alors aussi de grandeur constante. Le lieu des points tels que b est donc la circonférence décrite du point o comme centre avec ob pour rayon.

Les triangles semblables mac, boa montrent aussi que le rapport de ma à mb est constant. La droite ma est donc partagée, quelle que soit la position de la circonférence M, par Tépicycloïde, la circonférence fixe F et la circonférence concentrique à celle-ci qui passe par le point 6, en segments proportionnels.

On peut alors construire le point où cette droite touche son enveloppe. La normale au point m à l'épicycloïde est la droite /?ia; la normale au point a à F est le rayon ao ; la normale en b à la circonférence qui contient ce point est le rayon bo. On doit alors mener une perpendiculaire à la droite ma qui soit partagée par ces trois droites en segments proportionnels à ma et mb. Pour cela, on élève au point a une perpendiculaire à ma; elle rencontre la droite me au point d\ la droite do coupe la normale ma au point (JL : ce point [x est le centre de courbure demandé (' ).

Pour le faire voir, prolongeons la droite ad jusqu'au point e et menons parallèlement à cette droite la ligne |Jia^ ; on a

(xa __ <ia ma jjL^ ~ é/e ~ mh

Le point [x est donc bien le pied de la perpendiculaire partagée par les normales aux trois courbes en segments proportionnels à m,a, mb; c'est le centre de courbure de Tépicycloïde.

Pour avoir la relation qui existe entre le rayon de courbure mjjL

(') Cette construction, généralement attribuée à Savart, est due à EuLsa [JVouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg pour 1766, t. XI, p. 209).

GEOMETRIE CINEMATIQUE. J77

et les rayons des deux circonférences M et F, que nous désignerons par R3, et R^, nous faisons usage du lemme suivant :

On donne un angle de sommet s {fig, 110) et un point 0 dans l'intérieur de cet angle; on mène de ce point une transversale

Fig. no.

quelconque qui rencontre les côtés de l'angle aux points a et h, quelle que soit cette transversale ( * ), on a

( 1 r ) ^—. — = const.

\ao 00 1 %\vibos

Appliquons ce lemme. Prenons {fig> 109) Tangle mdo et les deux transversales mb^ co qui passent par le point a. On a

oad

Appelons p le rayon de courbure m[JL et cp l'angle mac\ cette formule peut s'écrire

lia p — ma ~ \Rm I^f/ cos

cos^

Telle est la relation qui permet de déterminer p, connaissant l'angle ç et la portion de normale ma comprise entre le point décrivant et le point de contact des deux circonférences.

(•) Voir dans ma brochure : Transformation des propriétés métriques des figures à t'aide de la théorie des polaires réciproques (Mallet-Bachelier, 1857, p. 3), Toriginc de ce théorème et une démonslration directe. Le supplément à celte leçon contient une autre démonstration de ce théorème et quelques applications. Ce théorème, du reste, peut être souvent très utilement employé; j'en ai fait beaucoup usage dans un Mémoire d'Optique géométrique [Atti délia R. Accademia dei Lincei (1 88^-1 885) ; Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1886].

178 SECONDE PxVRTIE. — QUINZIÈME LEÇON.

Constraction du centre de courbure de Tenveloppe d'une courbe entraînée dans le déplacement épicycloîdal. — La construction du centre de courbure de la courbe décrite par un point permet de trouver le centre de courbure de la courbe enveloppe des positions d'une courbe entraînée dans le mouvement.

Pour le faire voir, démontrons d'abord le lemme suivant :

Deux courbes parallèles entraînées dans le déplacement épicycloîdal ont pour enveloppes des courbes parallèles entre elles.

Pour une position quelconque de la figure, les points où ces courbes touchent leurs enveloppes sont les pieds des normales qui leur sont menées par le point de contact a de la courbe mobile et de la courbe fixe. Comme ce sont des courbes parallèles, la normale à Tune est normale à l'autre, et le segment w/i, compris entre les pieds de cette normale sur les courbes entraînées, est de grandeur constante, quelle que soit la position de la figure. On voit ainsi que les courbes enveloppes ont pour normale commune la droite am, et la portion mn de cette normale, comprise en ire les enveloppes, est une longueur constante : donc les enveloppes sonl aussi des courbes parallèles entre elles.

Dans le cas particulier où la courbe entraînée est une circonférence de cercle, la courbe enveloppe se compose de branches parallèles distantes entre elles d'une longueur égale au diamètre de celle circonférence, et ces branches sont aussi parallèles à la courbe engendrée par le centre de celte circonférence.

Prenons maintenant une courbe quelconque C {fig- 1 1 1). Du point de contact a de F et de M menons une normale ap à celle courbe ; prolongeons ap jusqu'au centre de courbure y de la courbe entraînée, et du point y coname centre décrivons avec ^p pour rayon le cercle de courbure de la courbe C. Sur la courbe mobile M prenons un point «' infiniment voisin du point a\ en menant du point a' une normale à la courbe entraînée G et une normale à son cercle de courbure, on obtient deux points q^ r, qui sont l'un et l'autre infiniment voisins du point /?, et l'angle ra\] est infiniment petit du second ordre (*).

(«) En général, si l'on considère une courbe ayant avec C un contact de Tordre n en /?, les normales à ces courbes abaissées de a', qui est iaûnimcnt près de ap.

GEOMETRIE CINEUATIQUE. I79

Après ua déplacemenl infiniment petit de M, le point à! devient le centre instantané a,, le point q vient au point q^y qui est un point de la courbe enveloppe E de la courbe C entraînée, et le point r vient au point Ti, qui est un point de la courbe enveloppe du cercle de courbure entraîné. Les points q^ et i\ sont infiniment

Fig. III.

voisins du point /?, et Tangle r^asq^^ qui est égal à l'angle ra!q^ est toujours infiniment petit du second ordre. Les développées des courbes enveloppes, qui sont des courbes tangentes à la normale /?a, doivent alors toucher cette droite au même point : on voit ainsi que les courbes enveloppes de la courbe entraînée et de son cercle de courbure sont des courbes osculatrices (* ).

Mais, en se reportant au lemme, le cercle de courbure a pour enveloppe une courbe parallèle à la ligne décrite par le point y ; on a donc le centre de courbure de E en construisant le centre de courbure de la courbe décrite par le point y (^)-

Cycloïde. — Ce que nous avons dit pour Tépicycloïde est applicable à la cycloïde. La construction du centre de courbure de la cycloïde engendrée par le point m {Jig* 1 1 a) est la suivante : on

c esl-à-dire les tangentes à leurs développées qui partent de a'j font entre elles un angle inûniment petit du /i'*"** ordre. Il est facile d'énoncer la réciproque.

(*) De la même manière, on démontre le théorème suivant : Deux courbes ajant entre elles un contact du /ï"''"* ordre au point p ont pour enveloppes des courbes ayant entre elles en ce point un contact de ce même ordre.

C) Résulut dû àEuLER {loc. cit.). Voir Siussi Des méthodes en Géométrie^ par P. Sbarbti p. 83.

l8o SECONDE PARTIE. — QUINZIÉUE LEÇON.

joint le point m au point de contact a du cercle mobile et de la droite fixe; on élève au point a une perpendiculaire à nia\ on joint le point m au centre de la circonférence mobile; cette droite

Fig. 112.

rencontre en rf la perpendiculaire que nous venons de mener du point a-^ la perpendiculaire abaissée du point rf sur la droite fixe rencontre ma au point jix, qui est le centre de courbure de la cvcloïde engendrée par m.

On appelle courbe gauche une courbe qui n'est pas plane.

Pour ces courbes, comme pour les courbes planes, commençons par rappeler des définitions, des résultats et quelques démonstrations, en insistant particulièrement sur ce qui doit être le plus utile (*).

En chaque point d'une courbe gauche, il y a une tangente et une infinité de normales; toutes ces normales sont dans le plan normal à la courbe, qui est le plan mené perpendiculairement à la tangente par le point de contact de cette droite.

(*) De S,vi!«t-Ve!ia!<t, Mémoire sur les lignes courbes non planes {Journal de V École Polytechnique, XXX" Cahier); J. Bsstraxd, Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral , t. I, p. 697.

COUaBES GAUCHES. l8l

Plan oscnlatenr. — Parmi tous les plans qu'on peut mener par un point m d'une courbe gauche, il y en a un qui se rapproche de la courbe plus que tous les autres.

Parle point m {Jig- ii3), menons un plan quelconque qui coupe la courbe sous un angle fini. Un point m! de la courbe, qui

Fig. ii3.

est infiniment voisin du point /w, est à une distance de ce plan qui est un infiniment petit de même ordre que mm' ^ car on a

mp = mm'.sïnpmm',

et nous supposons que Tangle pmnil est un angle fini.

Si l'on veut que la distance m' p soit infiniment petite par rapport à mm! ^ on doit supposer que la corde mm! est rencontrée par ce plan sous un angle infiniment petit, c'est-à-dire que le plan doit être mené par la tangente en m à la courbe.

Cherchons, parmi tous les plans qu'on peut mener par la tangente en m à une courbe, celui qui se rapproche le plus de la courbe. Par la tangente ml {fig- 1 14) à la courbe, menons un plan;

lit

abaissons du point m' de la courbe gauche, qui est infiniment voisin du point m, la perpendiculaire m'p sur ce plan et la perpendiculaire m'q sur la tangente ml.

Dans le triangle rectangle m' pq^ on a

m p = ni q swpqm y

et l'on voit que, parmi tous les plans menés par mt, celui qui se rapproche le plus de la courbe est celui pour lequel la distance m'p est infiniment petite par rapport à m'q : c'est le plan pour lequel

l82 ..JCONDE PARTIE. — QUINZIÈME LEÇON.

l'angle pqw! est infiniment petit, c'est-à-dire le plan mené par la tangente mt et par le point w! de la courbe gauche, qui est infiniment voisin du point m. Ce plan est appelé le plan osculateurde la courbe gauche.

Nous allons faire voir que le plan osculateur d*une courbe gauche en un point m {/ig. 1 15) est aussi le plan mené par la tangente en m à cette courbe, parallèlement à la tangente à la courbe au point qui est infiniment voisin du point m.

Projetons la courbe gauche sur un plan perpendiculaire à la tangente en m. Le point m est projeté au point (jl, et le point m', in-

finiment voisin du point m, est projeté au point [x'. Le plan osculateur de la courbe, considéré comme étant le plan mené par la tangente m [JL et par le point /n', infiniment voisin du point m, a pour trace sur le plan de projection la droite jjljjl'; le plan mené par la tangente mfx, parallèlement à la tangente au point m', a pour trace sur le plan de projection la droite menée du point [jl parallèlement àla tangente en jjl'. Lorsque le point /n'est confondu avec le point /n, le point ^' est confondu avec le point p, et les traces des deux plans considérés viennent coïncider et donnent ^en [jl la tangente à la projection de la courbe. On voit ainsi que ces deux plans nVn font alors qu'un.

On peut donc dire que le plan osculateur est le plan mené par une tangente à la courbe, parallèlement à la tangente à cette courbe au point infiniment voisin de celui que Von considère. Il résulte de là que, si d'un point s on mène des droites parallèles aux tangentes d'une courbe gauche, la surface conique lieu de ces droites jouit de cette propriété : Le plan tangent, le long de la génératrice qui est parallèle à la tangente m|jL, est parallèle au plan osculateur de la courbe gauche au point m.

COURBES GAUCHES. l83

On peut démontrer qu'on arrive encore au mérae plan osculateur en cherchant le plan qui passe par le point m de la courbe gauche et par deux points infiniment voisins; en d'autres termes, le plan oscillateur a, avec la courbe gauche, trois points infiniment voisins communs.

Puisque le plan osculateur peut être considéré comme ayant avec la courbe trois points infiniment voisins communs, il traverse la courbe; cette propriété est importante à remarquer.

Le cercle osculateur est sur le plan osculateur; le centre de ce cercle est sur la normale à la courbe qui est dans le plan osculateur. On donne à cette normale le nom de normale principale,

La perpendiculaire au plan osculateur élevée de ce centre de courbure est une droite que j'appelle axe de courbure de la courbe gauche.

Les plans osculateurs d'une courbe gauche en deux points infiniment voisins comprennent entre eux un angle qu'on appelle angle de torsion.

Le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins à l'arc compris entre leurs points de contact est la seconde courbure ou la torsion de la courbe gauche.

L'inverse de cette seconde courbure est le rayon de seconde courbure ou rayon de torsion.

Les courbes gauches sont souvent appelées courbes à double courbure*

La plus courte distance de deux tangentes à une courbe gauche, qui sont injlniment voisines, est un infiniment petit d^ ordre supérieur au second (*).

Par la tangente mt {fig- 1 16) menons un plan parallèle à la tangente au point m' \ abaissons du point 7?i' une perpendiculaire m'p sur ce plan : m'/? est égal à la plus courte distance des deux tangentes en m et m'. Abaissons du point m' une perpendiculaire m! q

(') Boi'QGET, Remarques sur les systèmes de droites dans l'espace (Journal de Mathématiques de Liouville, i^ série, t. XI, p. 120); O. Bon.'ibt, Note sur la distance de deux tangentes infiniment voisines à une courbe gauche {Nouvelles Annules de Mathématiques, i" série, t. XII, p. 192). Dans cette Note, M. O. Boxset donne l'expression de cette distance, qu'il trouve égale au douzième du produit de l'arc par l'angle de contingence et par l'angle de torsion.

l84 SECONDE PARTIE. — QUINZIÈME LEÇON.

sur la tangente mty joignons le poînt/? au point q :

m'p = m'q cospm'g.

m'q est un infîniment petit du second ordre lorsque m' est infiniment voisin de m. Mais, lorsque m' est infiniment voisin de m.

Fijj. II 6.

l'angle />m'<7 diffère infiniment peu d'un angle droit; on voit alors que m'p est infiniment petit par rapport à /?i'<7, et, par suite, la plus courte distance des deux tangentes est un infiniment petit \ d'ordre supérieur au second.

Projections diverses d'une conrbe ganche. — Appliquons ce que que nous venons de rappeler ou de démontrer à l'examen des projections diverses d'une courbe gauche.

Supposons qu'il s'agisse de la projection conique d'une courbe gauche. Si le point d'où parlent les rayons projetants est place arbitrairement par rapport à la courbe, la projection de la courbe jouit de cette propriété : La tangente en un point a' y projection du point a de la courbe, est la projection de la tangente en a.

Si le sommet du cône projetant est dans l'un des plans osculateurs de la courbe, la projection de la courbe est tangente à la trace de ce plan osculateur sur le plan projetant et est située de part et d'autre de cette trace; elle présente alors un point d'inflexion.

Si le sommet du cône projetant est un point de la tangente en m à la courbe gauche, la projection de cette courbe est tangente au point [jl, projection de niy à la trace du plan osculateur en m sur le plan projetant, et, comme la courbe gauche est de part et d'autre de ce plan osculateur, la projection de la courbe gauche présente un point de rebroussement au point |jl.

Ce dernier résultat peut s'énoncer de la manière suivante :

COURBES GAUCHES. l85

Lorsque la courbe directrice dUin cône est tangente à l'une des génératrices de ce cône, la section faite dans ce cône par un plan présente un point de rebroussement au point où le plan sécant rencontre cette génératrice. On dit alors que le cône présente un rebroussement le long de celte génératrice particulière, et le plan tangent au cône, qu'on appelle le plan de rebroussement, n'est autre que le plan osculateur de la courbe directrice du cône.

Au lieu de parler de cône projetant, on peut encore énoncer ainsi le résultat auquel nous venons d'arriver :

Lorsqu\in rayon visuel est tangent à une courbe, la perspective de cette courbe présente un point de rebroussement et la tangente en ce point de rebroussement est dans le plan osculateur de la courbe gauche au point où elle est touchée par le rayon visuel.

Tout ce que nous venons de dire en pariant d'une projection conique s'applique évidemment lorsqu'il s'agit d'une projection cylindrique.

Hélice. — Gomme exemple de courbe gauche, étudions Y hélice.

L'hélice est une courbe tracée sur une surface cylindrique et qui rencontre sous des angles égaux les génératrices de cette surface.

Considérons seulement l'hélice tracée sur un cylindre de révolution.

Il résulte de la définition de l'hélice que, si l'on développe le cylindre de révolution, cette courbe se transforme en une ligne droite.

Si ab {fig* 117) est la transformée d'une section droite du cylindre et ac la transformée de l'hélice, l'ordonnée mp du point m est égale à la distance du point de l'hélice correspondant à m à la section droite du cylindre transformée suivant ab\ l'abscisse ap est le développement de l'arc de cette section droite. Gomme, pour

un point quelconque de la droite am, on a toujours — = const.,

on voit que l'hélice sur le cylindre jouit de cette propriété que l'ordonnée d'un point de cette courbe divisée par l'arc compté sur une section droite entre le pied de cette ordonnée et le point où

SECONDE PARTIE

QUINZIEME LEÇON

la courbe rencontre celle section droite donne un rapport constant. On peut dire alors que, sur le cylindre, l'hélice est engendrée par un point d'une génératrice qui est tel que, pendant que cette génératrice se déplace de façon que son pied sur une section droite parcoure successivement des arcs égaux, le

Fig. 117.

point s'avance sur la génératrice successivement de longueurs égales.

L'hélice partant d'un point d'une génératrice rencontre de nouveau cette génératrice; la portion de cette droite comprise entre ces deux points de rencontre consécutifs est ce qu'on appelle le pas de l'hélice.

L'arc d'hélice compris entre ces deux points est ce qu'on appelle une spire.

Si ac est le développement d'une spire de l'hélice, cb est le pas;

on a

bc = ab tang^ac.

Si l'on désigne le pas par H, l'angle bac par a, le rayon de la section droite par r, on a

H = 27:rtanga, d'où tangx:

2rr

Si Ton représente ~ par A, on a

tanga= - ;

h est ce qu'on appelle le pas réduit ( ' ).

(*) Cette expression est due à M. de la Gocanbrie ( Traité de Géométrie descriptive, III* Partie, p. no).

On voit que h est le rayon de la circonférence dont la longueur est H, ou encore h est le rapport constant entre Tordonnée d'un point quelconque de Phélice et l'arc de section droite correspondanty pour la circonférence de rayon i •

Les tangentes à l'hélice font, avec les génératrices du cylindre qui passent parleurs points de contact, des angles égaux entre eux; si alors d'un point de l'espace on mène des parallèles aux tangentes de l'hélice, le lieu de ces droites est un cône de révolution.

Projection d'une hélice. — Prenons {fig- 118) comme plan horizontal de projection un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre

Fig. iiS.

sur lequel est tracée la courbe; (a', a) est le point de départ de l'hélice, a'b' est le pas de cette courbe.

Divisons a'b' en un certain nombre de parties égales, huit par exemple; divisons la circonférence base du cylindre en un même nombre de parties égales.

Nous n'avons maintenant qu'à relever les points de division de cette circonférence successivement sur les parallèles à la ligne de terre menées par les points de division de a! b'^ et nous avons des points de l'hélice; en réunissant ces points, on obtient la projection de la courbe.

Prenons en particulier le point m', pour lequel la tangente est de front.

SECONDE PARTIE

QUINZIEME LEÇON

Sur le cône formé par les parallèles aux tangentes à l'hélice, la génératrice parallèle à la tangente en m! est parallèle au plan vertical de projection. Le plan tangent à ce cône suivant cette génératrice est alors perpendiculaire à ce plan vertical de projection, puisque ce cône est de révolution; mais les plans tangents à ce cône sont parallèles aux plans osculateurs de Thélice : donc, au point m', le plan osculateurde Thélice est perpendiculaire au plan verlical, et la projection verticale de la courbe, étant faite sur un plan perpendiculaire à son plan osculateur, présente en m un point d'inflexion.

Perspective cavalière d'une hélice. — Traçons {fi g. 119) l'ellipse perspective cavalière de la section droite du cylindre et les généra-

Fig. iiç).

trices de contour apparent de ce cylindre. Nous divisons cette section droite en parties égales en fiiisant tourner son plan autour de son diamètre de front, puis, par les points de division, nous menons des génératrices du cylindre.

Si l'hélice part du point i , nous portons à partir du point 2 un segment 2-a; à partir du point 3, nous portons deux fois ce même segment et nous obtenons le point b\ à partir du point 4« nous portons trois fois ce même segment, et ainsi de suite : les points i , a, i, c sont les points de Thélice en perspective cavalière.

Elle est tracée sur le cylindre; elle arrive tangentiellement aux génératrices de contour apparent du cylindre, excepté dans un cas particulier dont nous allons parler bientôt.

Supposons que Ton ait construit le cône dont les génératrices sont parallèles aux tangentes à l'hélice et que ce cône ait pour base la base même du cylindre de révolution. Le sommet de ce cône

est supposé en 5, en dehors de l'ellipse perspective de la base du cylindre. Dans ce cas, le cône a deux génératrices de contour apparent; il y a alors deux plans tangents à ce cône parallèles aux projetantes. Mais les plans tangents à cç cône sont parallèles aux plans osculateurs de rhélice; il y a donc des plans osculatcurs de Thélice parallèles aux projetantes, et, par conséquent, la perspective de l'hélice doit présenter des points d'inflexion.

Supposons que le sommet du cône soit en s' sur la courbe de base du cylindre; cela veut dire qu'il y a une génératrice du cône dirigée suivant une projetante, et, comme les génératrices de ce cône sont parallèles aux tangentes à Thélice, il y a des tangentes à cette courbe qui sont parallèles aux projetantes; et alors, pour les perspectives des points de contact de ces tangentes, la courbe présente des points de rebroussement. Ces points de rebroussement sont nécessairement sur les génératrices de contour apparent du c>lindre, puisque ces tangentes parallèles aux projetantes sont nécessairement dans les plans tangents à ce c\lindre parallèles aux projetantes. C'est là le cas particulier annoncé précédemment.

Enfin, si le sommet du cône est à l'intérieur de l'ellipse perspective de la circonférence de base, la perspective de la courbe n'a ni point d'inflexion, ni point de rebroussement; elle présente alors ce qu'on appelle des points doubles, c'est-à-dire qu'elle se coupe elle-même; ces points doubles correspondent à des projetantes qui rencontrent deux fois l'hélice.

Ces différents cas se rencontrent lorsqu'on cherche l'ombre portée d'une hélice sur le plan de la base du cjlindre; il est facile de voir que, selon l'inclinaison du rayon lumineux, celle ombre est une cycloïde ordinaire, raccourcie ou allongée.

Rayon de courbure de l'hélice. — Pour terminer ce qui concerne l'hélice, cherchons le rayon de courbure de cette courbe en un point quelconque.

Prenons {Jig- 118) pour plan vertical de projection un plan parallèle au plan tangent au cylindre en ce point. Ce point se projette alors en /n' sur l'axe du cylindre, et le plan osculateur de l'hélice se projette suivant la tangente à la projection de cette courbe en m'; cette droite fait avec le plan horizontal un angle a. La section faite par le plan osculateur dans le cylindre est une

igO SECONDE PARTIE. — QUINZIEME LEÇON.

ellipse qui a en commun avec l'hélice trois points infînimenl voisins réunis en wl ; le rayon de courbure de Thélice est donc égal au rayon de courbure de celle ellipse.

Le demi petit axe de celte ellipse est égal au rayon r de la base

du cylindre, et le demi grand axe est — :-•

Cherchons le centre de courbure de cette ellipse pour le sommet m! {Jig- 120), c'est-à-dire le point où le petit axe est rencontré

par la normale au point infiniment voisin de m', La normale en un point/? est la bissectrice de Vsingle fpf, qu'on obtient en joignant p aux deux foyers / et/' ; elle rencontre le petit axe en un point qui est sur la circonférence circonscrite au triangle /t?/'. Lorsque/? est infiniment voisin de m', celle circonférence passe par y, m^, J\ et elle rencontre le petit axe au centre de courbure demandé.

Le rayon de courbure en m' est alors égal à -{— • Mais, d'après

ce qui précède, m'/'= et m'o ^= /*; on a donc, pour le rayon

de courbure p de l'hélice,

cos^a r r cos^a

La longueur de o est la même quel que soit le point delà courbe, comme on pouvait le prévoir.

Pour construire p, on mène {Jiff* 118) a'c parallèlement à la tangçnte en m' à Thélice. Cette droite rencontre la projection de l'axe du cylindre au point c\ de ce point on élève ce perpendiculairement à ac : le segment a'e est le rayon de courbure demandé.